수학 및 연습 2 기말고사
(2017년 12월 9일 오후 1:00-3:00) ᄒ ᅡ ᆨ번: 이름: 문제의 답에 풀이과정을 명시하시오. (총점 200점) 문제 1. [20점] 곡선 X(t) = t cos t, sin2 t 6 , 4t π (0 ≤ t ≤ π)와 벡터장 F(x, y, z) =yz2cos(xy) + 2 arctan(yz), xz2cos(xy) + 2xz
1 + y2z2, 2z sin(xy) + 2xy 1 + y2z2 ᄋ ᅦ 대하여 Z X F · ds의 값을구하시오. 문제 2. [20점] 다음적ᄇᆫᅮ값을구하시오. Z1 0 Z π4 1 2arcsin y 1 p 1 − sin4x dxdy 문제 3. [20점] 좌표평면에서 네점 (1, 0), (2, 0), (0, −2), (0, −1) 을 꼭ᅵᄌ점으로 하는 ᅡᄀ삭형이 영역 R ᄋ ᅵ ᆯ 때, 다음적분ᆹᄋ가ᅳᆯ구하시오. Z Z R e(x+2y)/(x−y)dxdy 문제 4. [20점] 좌표공간에서 다음부등식을ᅩᄃ무 만족하는ᆼ여역의 부피를구하시오. x2+ y2+ (z − 1)2≤ 2, x2+ y2+ 1 ≤ z 문제 5. [20점] 양의 실수 a, b 와 곡선 X(t) = 2at 1 + t2, b(1 − t2) 1 + t2 (0 ≤ t ≤ 1) ᄋ ᅦ 대하여 선적분 Z X x dy 를구하시오. 문제 6. [20점] 좌표공간에서 정의된벡터장 F(x, y, z) = (x, y, z) 가 곡면 S = {(x, y, z) ∈ R3| z = e4−x2−y2, z ≥ 1} ᄅ ᅳ ᆯ 통과하여 빠져나가는양(flux) 을구하시오. (단, S 의 향은단위법벡터장 n 에 대하여 n · k > 0 ᄋ ᅵ도록정한다.) 문제 7. [20점] 좌표평면의 영역 D = { (u, v) ∈ R2 | u2+v 2 4 ≤ 1 }에서 정의된매개화된 곡면 X(u, v) = (uv, 2u + v, 2u − v) ᄋ ᅴ 넓이를구하시오. 문제 8. [20점] 좌표공간에서 다음구면 좌표계 식에 의해 표현되ᄂᆫ 그ᅩᆨ면을 S라 하자. S : ρ = 1 + cos ϕ (0 ≤ ϕ ≤ π, 0 ≤ θ ≤ 2π) ᄋ ᅡ래에 정의된ᆨ테버장 F 가 곡면 S 를 통과하여 빠져나가ᄂᆫᅳ양(flux)을구하시오. F(x, y, z) = (xy2+ ez)i + (yz2+ sin x)j + (zx2+ cos y)k 문제 9. [20점] 좌표공간에 있는단위 구면 x 2 + y2+ z2= 1 은평면 x + y + z = 1 에 의하여 두 조각 ᄋ ᅳ로 나뉜다. 이 중큰조각을 곡면 S 라 하자. 벡터장 F(x, y, z) = (y, z, x) 에 대하여 Z Z S curl F · dS ᄅ ᅳ ᆯ구하시오. (단, ᄀᆨ모ᅧᆫ S 의 향은 원ᄌᆷ어ᅦ서 멀어지는ᆼ하뱡으로 정한다.) 문제 10. [20점] 좌표공ᆫ아게 있는폐곡선 X를아래와 같이 정의하자.
X(t) = (cos 2t, sin 2t, sin t) (0 ≤ t ≤ π) ᄋ
ᅵ 곡선 X 에 대한 다음ᆫ저석분을구하시오. Z
X
(−y + x2)dx + (x + ey)dy + (x + arctan z)dz
