수학적귀납법_2
수학의정상M A T H P E A K
1. 1)수열
에서 일 때, 번째 항 은? 2. 2)수열
에서 이고, 일 때, 일반항 과 항까지의 합 S을 구하여라. 3. 3)수열
이 ⋯ 을 만족한다. S의 값은? 4. 4)수열
이 귀납적으로 다음과 같이 주어졌을 때,
의 값은? 5. 5)첫째항이 , 공비가 인 등비수열의 제 항부터 제 N 항까지의 합이 일 때, 과 N 을 구하여라. (단, ≤ N 이다.) 6. 6) 이고, ⋅ ⋯일 때, 제 번째 항 의 값은? 7. 7)다음은 등식
가 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다. (ⅰ) 일 때, (좌변) (우변) 이므로 등식은 성립한다. (ⅱ) 일 때, 등식이 성립한다고 가정하면
등식의 양변에 가 를 더하면 (좌변)
가 나 (우변) 가 따라서 일 때에도 등식이 성립한다. (ⅰ) , (ⅱ)에 의하여 주어진 등식은 임의의 자연수 에 대하여 성립한다. 위의 증명 과정에서 (가), (나)에 알맞은 것을 차례로 적으면? (가) (나) ①
②
③
④
⑤
8. 8)다음은
이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다. (ⅰ) 일 때, (좌변) ⋅ , (우변)
이므로 부등식은 성립한다. (ⅱ) 일 때, 부등식이 성립한다고 가정하면
부등식의 양변에 가 을(를) 더하면
가 가 나 다 즉,
다 이므로 일 때에도 부등식이 성립한다. 그러므로 (ⅰ) , (ⅱ)에 의하여 주어진 부등식은 임의의 자연수 에 대하여 성립한다. 위의 증명 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 차례로 적으면? (가) (나) (다) ① ② ③ ④ ⑤ 9. 9) 이고, 첫째항부터 항까지의 합을 S이라 할 때, S 이다. 의 값을 구하여라. 10. 10)각 항이 자연수인 수열
이 다음 조건을 만족할 때, 을 구하여라. (단, ⋯ ) (가) (나) (다) 11. 11)자연수 에 대하여 을 만족하고 일 때, 일반항이 이 된다고 한다. 의 값은? 12. 12)모든 자연수 에 대하여 수열 은
과 같이 정의된다고 한다. 이 때, 을 구하여라. 13. 13) , ( ⋯ )인 수열 에서
라 할 때, 을 바르게 구한 것은? ⋅ ⋅ 14. 14)수열
이 다음 조건을 만족시킨다. (가)
≥ (나)
이 때,
의 값을 구하여라.15. 15)수열
은 ⋯로 정의한다. 는 서로소인 자연수)라 할 때, 의 값을 구하여라. 16. 16)모든 자연수 에 대하여 , ⋯ 일 때, 옳은 것만을 다음 중에서 있는 대로 모든 고른 것은? ㄱ. ㄴ. ≥ ㄷ. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 17. 17)가로, 세로의 길이가 각각 , 이고, 높이가 인 직육면체 모양의 수족관이 있다. 주일마다 수족관에 남아 있는 물의 양의 를 버리고 의 새로운 물을 넣는다. 처음에 이 수족관에 의 물을 넣고 이와 같은 과정을 한없이 반복할 때, 수족관의 물이 넘치지 않도록 하기 위한 수족관의 높이 의 최솟값을 구하여라. 18. 18)두 함수 , 가 있다. 모든 항이 양수인 수열
에 대하여 ∘
가 성립할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, 은 자연수) <보 기> ㄱ. ㄴ.
ㄷ. 수열
이
일 때,
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 19. 19) , ⋯ 으로 정의되는 수열
에 대하여 다음 물음에 답하여라. (1) 일반항 을 구하여라. (2) 모든 자연수 에 대하여 (1)에서 구한 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명하여라.정답 (수학적귀납법_2) 1) 2) S 3) 4) 5) , N 6) 7) ① 8) ⑤ 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) ⑤ 17) 18) ⑤ 19) (1) (2) 일 때 이므로 성립 일 때 성립한다고 가정하면 이므로 일 때도 성립 따라서 모든 자연수에 대하여 성립
