1-2기말고사
수학의정상M A T H P E A K
1. 1)무리함수
의 역함수를 라 하자. , 일 때, 의 값은?(단, 와 는 상수이다.)[4.1점] ① ② ③ ④ ⑤ 2. 2)각 면에 부터 까지의 숫자가 하나씩 적힌 정육면체 모양의 주사위가 있다. 이 주사위를 두 번 던져서 밑면에 놓인 수를 차례대로 , 라 할 때, ≤ ≤ 을 만족시키는 순서쌍 의 개수는?[4.1점] ① ② ③ ④ ⑤ 3. 3)두 함수 , 에 대하여
∘
, 일 때, 세 상수 , , 의 합 의 값은?[4.3점] ① ② ③ ④ ⑤ 4. 4)함수
≥ 에 대하여 ∘ 의 값은?[4.3점] ① ② ③ ④ ⑤ 5. 5)분모를 으로 하지 않는 모든 실수 에 대하여 등식 가 항상 성립할 때, 의 값은?(단, , , 는 상수이다.)[4.5점] ① ② ③ ④ ⑤ 6. 6)좌표평면에서 실수 에 대하여 곡선
가 두 점 , 를 이은 선분과 만나기 위한 값 중 정수 의 개수는?[4.5점] ① ② ③ ④ ⑤ 7. 7)유리함수 의 그래프 위의 점 P 와 직선 위의 점 Q 에 대하여 P Q 의 최솟값을 라 할 때, 의 값은?[4.7점] ① ② ③ ④ ⑤ 8. 8)다섯 개의 문자 , , , , 를 사전식으로 배열하려고 한다. , , , , 를 모두 배열하는 방법의 수는 가지이고, 가 번째에 오는 문자라고 할 때, 은?[4.7점] ① ② ③ ④ ⑤ 9. 9) ≤ ≤ 에서 함수
의 최솟값이 일 때, 최댓값을 M 이라고 하자. M 의 값은?(단, 는 상수이다.)[4.7점] ①
②
③ ④ ⑤ 10. 10)학생회 리더십 캠프를 위해 여학생 명과 남학생 명을 개의 방에 배정하려고 한다. 여학생은 A , B 방에 각각 명, C 방에 명을 배정하고, 남학생은 D , E 방에 각각 명씩 배정하는 방법이 × 가지일 때, 의 값은?[4.7점] ① ② ③ ④ ⑤ 11. 11)그림과 같이 점 A 와 곡선 위의 두 점 B , C 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 점 B 와 점 C 는 직선 에 대하여 대칭이다. (나) 삼각형 ABC 의 넓이는
이다. 점 B 의 좌표를 라 할 때, 의 값은? (단,
)[4.9점] ①
②
③
④
⑤
12. 12)집합 X
, Y 에 대하여 함수 ∶X → Y 는 일대일대응이다. 다음 조건을 만족하는 함수 의 개수는?[4.9점] × × × × ① ② ③ ④ ⑤ 13. 13)집합 X 에 대하여 함수 ∶X → X 가 있다. 함수 가 다음 조건을 만족시킬 때, 함수 의 개수는?[4.9점] ㄱ. 함수 는 일대일대응이다. ㄴ. × ㄷ. ∘ ① ② ③ ④ ⑤ 14. 14)양수 에 대하여 직선 와 두 곡선
,
가 만나는 점을 각각 A , B 라 하자. 점 B 를 지나고 축과 평행한 직선이 곡선
와 만나는 점을 C , 점 C 를 지나고 축과 평행한 직선이
와 만나는 점을 D 라고 할 때, 두 점 A , D 를 지나는 직선의 기울기가 이다. CD AB 일 때, 의 값은?[4.9점] ① ② ③ ④ ⑤ 15. 15) ≤ ≤ 에서 정의된 두 함수 , 의 그래프가 다음과 같이 개의 점을 지나는 직선으로 이루어져있을 때, ∘ 을 만족하는 실수 의 개수는?[5.1점] ① ② ③ ④ ⑤ 16. 16)최고차항의 계수가 양수인 이차함수 와 에서 정의된 함수 가 있다. 보다 작은 실수 에 대하여 ≤ ≤ 에서 함수 ∘ 의 최솟값을 라 할 때, 는 다음 조건을 만족시킨다. (가)
≤ (나) 의 값은?[5.1점] ① ② ③ ④ ⑤ 17. 17)두 곡선 ,
과 두 직선 , 으로 둘러싸인 영역의 내부에 포함되고 좌표와 좌표가 모두 자연수인 점의 개수는?(단, 영역의 경계는 포함하지 않는다.)[5.3점] ① ② ③ ④ ⑤ 18. 18)두 함수 ≥
에 대하여 , 의 그래프가 한 점에서 만나도록 하는 의 최댓값을 M , 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 의 최솟값을 이라 할 때, M 의 값은?[5.3점] ① ② ③ ④ ⑤ [논술형1]1) 개의 나라 중 개의 나라를 묶어 해외여행 상품을 만들 때 다음 조건을 만족한다. (가) 개의 나라 A , B , C , ⋯, I, J 중 개의 나라를 묶어 개의 해외여행 상품을 만든다. (나) D , E , F 는 반드시 같은 여행 상품에 들어 있고, C 와는 같은 여행 상품으로 묶을 수 없다. C 가 포함되는 여행 상품의 개수를 , C 가 포함되지 않는 여행 상품의 개수를 라고 할 때, , 를 각각 구하고 그 풀이 과정을 서술하시오.[7.0점] [논술형2]2) 함수 에 대하여 함수 의 그래프가 다음 조건을 만족한다. (가) 함수 의 그래프는 원점을 지난다. (나) 함수 의 그래프는 에 대하여 대칭이다. (다) ≤ ≤ 에서의 함수 의 최댓값은 이다. 이 때, 의 값을 구하고 그 풀이 과정을 서술하시오.(단, , ≠ )[8.0점]
정답 (중앙고) 1) ② 2) ③ 3) ① 4) ① 5) ④ 6) ② 7) ① 8) ② 9) ⑤ 10) ⑤ 11) ③ 12) ③ 13) ③ 14) ④ 15) ⑤ 16) ④ 17) ④ 18) ① 논술형1) , 논술형2)