정답과
풀이
본문
IV - 2
이차함수 y=axÛ`+bx+c의 그래프
2
V - 1
삼각비
9
V - 2
삼각비의 활용
14
VI - 1
원과 직선
20
대단원
마무리 문제
26
실전
모의고사
30
프리미엄
수학
42
수학
중
3
2학기
중간고사
0
1
⑴ y =xÛ`-2x-1=(xÛ`-2x+1-1)-1 =(x-1)Û`-2 ⑵ y =-xÛ`-4x+5=-(xÛ`+4x+4-4)+5 =-(x+2)Û`+9 ⑶ y =2xÛ`-8x+3=2(xÛ`-4x+4-4)+3 =2(x-2)Û`-5 ⑷ y =-3xÛ`+6x+1=-3(xÛ`-2x+1-1)+1 =-3(x-1)Û`+40
2
⑴ y=-;4!;xÛ`+x-3=-;4!;(xÛ`-4x+4-4)-3 =-;4!;(x-2)Û`-20
6
⑴ 그래프가 위로 볼록하므로 a<0 축이 y축의 왼쪽에 있으므로 a, b는 같은 부호이다. ∴ b<0 y축과의 교점이 x축의 위쪽에 있으므로 c>0 ⑵ 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0 축이 y축의 오른쪽에 있으므로 a, b는 다른 부호이다. ∴ b<0 y축과의 교점이 x축의 위쪽에 있으므로 c>00
7
⑴ y=a(x-1)Û`+1로 놓고 x=0, y=-2를 대입하면 -2=a+1 ∴ a=-3 ∴ y=-3(x-1)Û`+1=-3xÛ`+6x-2 ⑵ y=a(x+2)Û`-1로 놓고 x=-1, y=3을 대입하면 3=a-1 ∴ a=4 ∴ y=4(x+2)Û`-1=4xÛ`+16x+15 ⑶ y=a(x-1)Û`-2로 놓고 x=-2, y=7을 대입하면 7=9a-2, 9a=9 ∴ a=1∴ y=(x-1)Û`-2=xÛ`-2x-1
이차함수 y=axÛ`+bx+c의 그래프
2
01 ⑴ y=(x-1)Û`-2 ⑵ y=-(x+2)Û`+9 ⑶ y=2(x-2)Û`-5 ⑷ y=-3(x-1)Û`+4 02 ⑴ y=-;4!;(x-2)Û`-2 ⑵ (2, -2) ⑶ x=2 ⑷ (0, -3) 03 3, 3, 3, -6, -6 04 ⑴ x축과의 교점 : (-1, 0), (4, 0), y축과의 교점 : (0, -4) ⑵ x축과의 교점 : (3, 0), y축과의 교점 : (0, 9) ⑶ x축과의 교점 : (-2, 0), (6, 0), y축과의 교점 : (0, 12) ⑷ x축과의 교점 : {-;2!;, 0}, (1, 0), y축과의 교점 : (0, -1) 05 >, 오른, 다른, <, 아래, < 06 ⑴ a<0, b<0, c>0 ⑵ a>0, b<0, c>007 ⑴ y=-3xÛ`+6x-2 ⑵ y=4xÛ`+16x+15 ⑶ y=xÛ`-2x-1 08 ⑴ y=xÛ`-4x-2 ⑵ y=2xÛ`+4x-13 ⑶ y=-xÛ`+6x-10 09 ⑴ y=xÛ`-2x ⑵ y=2xÛ`-x+1 ⑶ y=-xÛ`-x+1
10 ⑴ y=-2xÛ`+2x+4 ⑵ y=xÛ`-8x+15 ⑶ y=-xÛ`+4x-3
교과서가 한눈에
p.3, p.501
y =-xÛ`+6x-2=-(xÛ`-6x+9-9)-2 =-(x-3)Û`+7 01 9 02 ⑤ 03 ④ 04 꼭짓점의 좌표 : (-1, 8), 축의 방정식 : x=-1 05 ② 06 ⑤ 07 ③ 08 -11 09 -6 10 ⑤ 11 ④ 12 4 13 6 14 4 15 ⑤ 16 ④ 17 ② 18 제2사분면 19 ②, ③ 20 ㉡, ㉣ 21 ① 22 2 23 8 24 15 25 3 26 a>0, b>0, c<0 27 ⑤ 28 ② 29 -2 30 ② 31 ④ 32 ⑤ 33 17 34 ② 35 ;3!; 36 y=2xÛ`+12x+15 37 -8 38 (-3, 10) 39 ④ 40 4 실수하기 쉬운 문제 01 3 02 3 03 -13또또! 나오는 문제
p.6~110
8
⑴ y=a(x-2)Û`+q로 놓고 두 점의 좌표를 각각 대입하면 -5=a+q, 3=9a+q 두 식을 연립하여 풀면 a=1, q=-6 ∴ y=(x-2)Û`-6=xÛ`-4x-2 ⑵ y=a(x+1)Û`+q로 놓고 두 점의 좌표를 각각 대입하면 3=9a+q, -7=4a+q 두 식을 연립하여 풀면 a=2, q=-15 ∴ y=2(x+1)Û`-15=2xÛ`+4x-13 ⑶ y=a(x-3)Û`+q로 놓고 두 점의 좌표를 각각 대입하면 -10=9a+q, -2=a+q 두 식을 연립하여 풀면 a=-1, q=-1 ∴ y=-(x-3)Û`-1=-xÛ`+6x-100
9
⑴ y=axÛ`+bx+c로 놓고 세 점의 좌표를 각각 대입하면 0=c, 0=4a+2b+c, -1=a+b+c 세 식을 연립하여 풀면 a=1, b=-2 ∴ y=xÛ`-2x ⑵ y=axÛ`+bx+c로 놓고 세 점의 좌표를 각각 대입하면 1=c, 2=a+b+c, 4=a-b+c 세 식을 연립하여 풀면 a=2, b=-1 ∴ y=2xÛ`-x+1 ⑶ y=axÛ`+bx+c로 놓고 세 점의 좌표를 각각 대입하면 1=c, -1=4a-2b+c, -1=a+b+c 세 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=-1 ∴ y=-xÛ`-x+110
⑴ y=a(x+1)(x-2)로 놓고 x=0, y=4를 대입하면 4=-2a ∴ a=-2 ∴ y=-2(x+1)(x-2)=-2xÛ`+2x+4 ⑵ y=a(x-3)(x-5)로 놓고 x=2, y=3을 대입하면 3=3a ∴ a=1 ∴ y=(x-3)(x-5)=xÛ`-8x+15 ⑶ y=a(x-1)(x-3)으로 놓고 x=0, y=-3을 대입하면 -3=3a ∴ a=-1 ∴ y=-(x-1)(x-3)=-xÛ`+4x-3따라서 a=-1, p=3, q=7이므로 a+p+q=-1+3+7=9
02
⑤ 903
y=xÛ`+kx+8에 x=2, y=8을 대입하면 8=4+2k+8, 2k=-4 ∴ k=-2 따라서 y=xÛ`-2x+8=(x-1)Û`+7의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (1, 7)이다.04
y=-3xÛ`-6x+5=-3(x+1)Û`+8 따라서 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-1, 8), 축의 방정식 은 x=-1이다.05
y=2xÛ`-4x-m+3=2(x-1)Û`-m+1 이때 꼭짓점 (1, -m+1)이 x축 위에 있으므로 -m+1=0 ∴ m=106
y=-2xÛ`+ax-4=-2{x-;4A;}Û`+ a8 -4Û` 이때 축의 방정식이 x=;4A;이므로 ;4A;=4 ∴ a=1607
y=-;2!;xÛ`-x+k=-;2!;(x+1)Û`+;2!;+k 이때 꼭짓점 {-1, ;2!;+k}가 제2사분면 위에 있으므로 ;2!;+k>0 ∴ k>-;2!;08
y=-xÛ`+4x+a=-(x-2)Û`+4+a의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (2, 4+a) y=xÛ`+2bx-1=(x+b)Û`-bÛ`-1의 그래프의 꼭짓점의 좌 표는 (-b, -bÛ`-1) 이때 두 이차함수의 그래프의 꼭짓점이 일치하므로 2=-b, 4+a=-bÛ`-1 따라서 a=-9, b=-2이므로 a+b=-9+(-2)=-1109
y=-xÛ`-6x+4=-(x+3)Û`+13의 그래프를 x축의 방향 으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 그래프의 식 은 y=-(x+3-m)Û`+13+n 한편, y=-xÛ`-2x+9=-(x+1)Û`+10이므로 3-m=1, 13+n=10 따라서 m=2, n=-3이므로 mn=2_(-3)=-610
y=-xÛ`+8x-10=-(x-4)Û`+6의 그래프를 x축의 방향 으로 3만큼, y축의 방향으로 -5만큼 평행이동한 그래프의 식 은 y=-(x-4-3)Û`+6-5=-(x-7)Û`+1 따라서 이 그래프의 축의 방정식은 x=7이다.11
y=xÛ`-4x-1=(x-2)Û`-5의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=(x-2-m)Û`-5+n 이 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (2+m, -5+n)이므로 2+m=1, -5+n=2 따라서 m=-1, n=7이므로 m+n=-1+7=612
y=2xÛ`-12x+15=2(x-3)Û`-3의 그래프를 x축의 방향으 로 -2만큼, y축의 방향으로 5만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=2(x-3+2)Û`-3+5=2(x-1)Û`+2 y=2(x-1)Û`+2에 x=2, y=k를 대입하면 k=2+2=413
y=;2!;xÛ`+2x-;2%;에 y=0을 대입하면 ;2!;xÛ`+2x-;2%;=0, xÛ`+4x-5=0 (x+5)(x-1)=0 ∴ x=-5 또는 x=1 따라서 A(-5, 0), B(1, 0) 또는 A(1, 0), B(-5, 0)이므로 ABÓ=614
y=xÛ`+3x+2에 y=0을 대입하면 xÛ`+3x+2=0, (x+2)(x+1)=0 ∴ x=-2 또는 x=-1 ∴ a=-2, b=-1 또는 a=-1, b=-2 y=xÛ`+3x+2에 x=0을 대입하면 y=2 ∴ c=2 ∴ abc=4`15
y=xÛ`+4x+3에 y=0을 대입하면 xÛ`+4x+3=0, (x+3)(x+1)=0 ∴ x=-3 또는 x=-1 ∴ A(-3, 0), C(-1, 0) y=xÛ`+4x+3=(x+2)Û`-1 ∴ B(-2, -1) y=xÛ`+4x+3에 x=0을 대입하면 y=3 ∴ D(0, 3) 점 E는 점 D와 직선 x=-2에 대칭이므로 E(-4, 3)이다.16
y=-2xÛ`+4x-3k+1=-2(x-1)Û`-3k+3 그래프가 위로 볼록하므로 x축과 서로 다른 두 점에서 만나려면 -3k+3>0, -3k>-3 ∴ k<117
y=2xÛ`-4x+1=2(x-1)Û`-1의 그래프는 아래로 볼록하 고, 꼭짓점의 좌표는 (1, -1), y축과 만나는 점의 좌표는 (0, 1)이므로 ②이다.18
y=-;2!;xÛ`+4x-5=-;2!;(x-4)Û`+3의 O 3 4 -5 x y 그래프는 위로 볼록하고, 꼭짓점의 좌표는 (4, 3), y축과 만나는 점의 좌표는 (0, -5)이다. 따라서 그래프는 오른쪽 그 림과 같으므로 제2사분면을 지나지 않는다.19
y=3xÛ`-6x+4=3(x-1)Û`+1 ① 아래로 볼록한 포물선이다. ④ |3|>|2|이므로 y=2xÛ`+1의 그래프보다 폭이 좁다. ⑤ x<1일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.20
y=xÛ`-10x+20=(x-5)Û`-5 ㉡ 그래프는 아래로 볼록하고, 꼭짓점의 좌표는 (5, -5), y축 과 만나는 점의 좌표는 (0, 20)이므로 제1, 2, 4사분면을 지난다.㉣ y=xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 5만큼, y축의 방향으로 -5만큼 평행이동한 것이다.
21
y=2xÛ`-8x-5=2(x-2)Û`-13의 그래프는 아래로 볼록하 고, 축의 방정식이 x=2이므로 x>2일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.22
y=-xÛ`+2mx+m+1=-(x-m)Û`+mÛ`+m+1의 그래 프는 위로 볼록하고, 축의 방정식이 x=m이다. 그런데 이차함 수의 증가, 감소는 축을 기준으로 변하므로 m=223
y=-xÛ`+6x-5=-(x-3)Û`+4 ∴ A(3, 4) y=-xÛ`+6x-5에 y=0을 대입하면 -xÛ`+6x-5=0, xÛ`-6x+5=0, (x-1)(x-5)=0 ∴ x=1 또는 x=5, 즉 B(1, 0), C(5, 0) ∴△
ABC=;2!;_4_4=824
y=xÛ`+7x+6에 y=0을 대입하면 xÛ`+7x+6=0, (x+6)(x+1)=0 ∴ x=-6 또는 x=-1, 즉 A(-6, 0), B(-1, 0) y=xÛ`+7x+6에 x=0을 대입하면 y=6 ∴ C(0, 6) ∴△
ABC=;2!;_5_6=1525
y=-;2!;xÛ`-2x+k=-;2!;(x+2)Û`+2+k ∴ A(-2, 2+k) y=-;2!;xÛ`-2x+k에 x=0을 대입하면 y=k ∴ B(0, k) 이때△
AOB의 넓이가 3이므로 ;2!;_k_2=3 ∴ k=326
그래프가 아래로 볼록하므로 a>0 축이 y축의 왼쪽에 있으므로 a, b는 같은 부호이다. ∴ b>0 y축과의 교점이 x축의 아래쪽에 있으므로 c<027
① 그래프가 위로 볼록하므로 a<0 ② 축이 y축의 오른쪽에 있으므로 a, b는 다른 부호이다. ∴ b>0 ③ y축과의 교점이 x축의 위쪽에 있으므로 c>0 ④ x=-1일 때, a-b+c<0 ⑤ x=1일 때, a+b+c>028
y=ax+b의 그래프에서 a>0, b<0 즉 y=axÛ`+bx+1의 그래프는 a>0이므로 아래로 볼록하 고, a, b의 부호가 다르므로 축이 y축의 오른쪽에 있으며, y축 과의 교점의 좌표는 (0, 1)이다. 따라서 그래프로 적당한 것은 ②이다.29
꼭짓점의 좌표가 (-2, 0)이고, 점 (0, -2)를 지나므로 y=a(x+2)Û`에 x=0, y=-2를 대입하면 -2=4a ∴ a=-;2!; ∴ y=-;2!;(x+2)Û`=-;2!;xÛ`-2x-2 따라서 a=-;2!;, b=-2, c=-2이므로 abc=-;2!;_(-2)_(-2)=-230
꼭짓점의 좌표가 (2, -1)이고, 점 (0, 3)을 지나므로 y=a(x-2)Û`-1에 x=0, y=3을 대입하면 3=4a-1, 4a=4 ∴ a=1 ∴ y=(x-2)Û`-1=xÛ`-4x+331
y=a(x-1)Û`+3에 x=0, y=5를 대입하면 5=a+3 ∴ a=2 ∴ y=2(x-1)Û`+3=2xÛ`-4x+5 따라서 a=2, b=-4, c=5이므로 a+b+c=2+(-4)+5=332
y=a(x-3)Û`+2에 x=4, y=3을 대입하면 3=a+2 ∴ a=1 따라서 y=(x-3)Û`+2에 x=1, y=k를 대입하면 k=4+2=633
y=a(x-4)Û`+q에 두 점의 좌표를 각각 대입하면 4a+q=7, a+q=1 두 식을 연립하여 풀면 a=2, q=-1 ∴ y=2(x-4)Û`-1=2xÛ`-16x+31 따라서 a=2, b=-16, c=31이므로 a+b+c=2+(-16)+31=1734
y=a(x+3)Û`+q에 두 점의 좌표를 각각 대입하면 a+q=4, 16a+q=-11 두 식을 연립하여 풀면 a=-1, q=5 ∴ y=-(x+3)Û`+5=-xÛ`-6x-435
y=;3!;(x-1)Û`+q에 x=2, y=1을 대입하면 ;3!;+q=1 ∴ q=;3@; ∴ y=;3!;(x-1)Û`+;3@;=;3!;xÛ`-;3@;x+1 따라서 a=-;3@;, b=1이므로 a+b=-;3@;+1=;3!;36
y=2(x+3)Û`+q에 x=-1, y=5를 대입하면 5=8+q ∴ q=-3 ∴ y=2(x+3)Û`-3=2xÛ`+12x+1537
y=axÛ`+bx+c에 세 점의 좌표를 각각 대입하면 c=-5, a+b+c=-4, 9a+3b+c=-8세 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=2, c=-5 ∴ a-b+c=-1-2+(-5)=-8
38
y=axÛ`+bx+c에 세 점의 좌표를 각각 대입하면 4a-2b+c=9, c=1, a+b+c=-6 세 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=-6, c=1 ∴ y=-xÛ`-6x+1=-(x+3)Û`+10 따라서 꼭짓점의 좌표는 (-3, 10)이다.39
x축과 두 점 (-1, 0), (4, 0)에서 만나고, 점 (0, 2)를 지나 므로 y=a(x+1)(x-4)에 x=0, y=2를 대입하면 2=-4a ∴ a=-;2!; ∴ y=-;2!;(x+1)(x-4)=-;2!;xÛ`+;2#;x+240
y=a(x+2)(x-2)에 x=4, y=6을 대입하면 6=12a ∴ a=;2!; ∴ y=;2!;(x+2)(x-2)=;2!;xÛ`-2 따라서 a=;2!;, b=0, c=-2이므로 4a+2b-c=2+0+2=401
y=xÛ`-2ax+b에 x=2, y=4를 대입하면 4=4-4a+b ∴ b=4a y=xÛ`-2ax+4a=(x-a)Û`-aÛ`+4a의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (a, -aÛ`+4a)이므로 y=2x+1에 x=a, y=-aÛ`+4a를 대입하면 -aÛ`+4a=2a+1, aÛ`-2a+1=0 (a-1)Û`=0 ∴ a=1 따라서 b=4_1=4이므로 b-a=4-1=302
y=xÛ`-2x=(x-1)Û`-1 A B P Q x y O y=x™-2x y=x™-8x+15 ∴ P(1, -1) y=xÛ`-8x+15=(x-4)Û`-1 ∴ Q(4, -1) y=xÛ`-8x+15의 그래프는 y=xÛ`-2x의 그래프를 x축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것 이므로 색칠한 부분의 넓이는 직사각형 APQB의 넓이와 같 다. ∴ (색칠한 부분의 넓이)=APQB=(4-1)_1=303
축의 방정식이 x=-1이고, x축과 만나는 두 점 사이의 거리 가 8이므로 두 점 (-5, 0), (3, 0)을 지난다. ∴ y=(x+5)(x-3)=xÛ`+2x-15 따라서 a=2, b=-15이므로 a+b=2+(-15)=-13 실수하기 쉬운 문제0
1
① 4 ② 4 ③ 4 ⑤ 60
2
y=3xÛ`+6x-6=3(x+1)Û`-9 따라서 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-1, -9), 축의 방정 식은 x=-1이다.0
3
y=xÛ`+4x-a=(x+2)Û`-4-a의 그래프의 꼭짓점의 좌 표는 (-2, -4-a)이므로 b=-2, 2=-4-a 따라서 a=-6, b=-2이므로 a+b=-6+(-2)=-80
4
y =-;3@;xÛ`+4x+2a-3=-;3@;(x-3)Û`+2a+3 이때 꼭짓점 (3, 2a+3)이 제4사분면 위에 있으므로 2a+3<0, 2a<-3 ∴ a<-;2#;0
5
y=;4!;xÛ`+2x+1=;4!;(x+4)Û`-3의 그래프의 꼭짓점의 좌 표가 (-4, -3)이므로 y=xÛ`-2mx-3에 x=-4, y=-3을 대입하면 -3=16+8m-3, 8m=-16 ∴ m=-20
6
y=-xÛ`+2x-4=-(x-1)Û`-3의 그래프를 x축의 방향 으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 그래프의 식 은 y=-(x-1-m)Û`-3+n 한편, y=-xÛ`+10x-29=-(x-5)Û`-4이므로 -1-m=-5, -3+n=-4 따라서 m=4, n=-1이므로 m-n=4-(-1)=50
7
y=2xÛ`+4x+4=2(x+1)Û`+2의 그래프를 x축의 방향으 로 p만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=2(x+1-p)Û`+2 이 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (-1+p, 2)이므로 -1+p=4, 2=q 따라서 p=5, q=2이므로 p+q=5+2=70
8
y=xÛ`-5x+4에 y=0을 대입하면 xÛ`-5x+4=0, (x-1)(x-4)=0 ∴ x=1 또는 x=4 ∴ a=1, b=4`(∵ a<b) y=xÛ`-5x+4에 x=0을 대입하면 y=4 ∴ c=4 ∴ a-b+c=1-4+4=10
9
y=-xÛ`-10x+k=-(x+5)Û`+25+k의 그래프의 축의 방정식은 x=-5이고, x축과 만나는 두 점 사이의 거리가 6 이므로 x축과 만나는 두 점의 좌표는 (-8, 0), (-2, 0)이다. y=-xÛ`-10x+k에 x=-2, y=0을 대입하면 0=-4+20+k ∴ k=-16 01 ④ 02 ① 03 ③ 04 a<-;2#; 05 -2 06 5 07 ④ 08 1 09 ① 10 ② 11 ② 12 ⑤ 13 4 14 8 15 abc<0 16 ③ 17 ② 18 ④ 19 ④ 20 ① 21 y=xÛ`+x-6 22 ⑤튼튼! 만점 예상 문제 1회
p.12~1410
y=-xÛ`+4x-3=-(x-2)Û`+1의 그래프는 위로 볼록하 고, 꼭짓점의 좌표는 (2, 1), y축과 만나는 점의 좌표는 (0, -3)이므로 ②이다.11
y=-3xÛ`+6x-1=-3(x-1)Û`+2의 x y O 2 1 -1 그래프는 위로 볼록하고, 꼭짓점의 좌표 는 (1, 2), y축과 만나는 점의 좌표는 (0, -1)이다. 따라서 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 제2사분면을 지나지 않 는다.12
y=-;3!;xÛ`+2x+3=-;3!;(x-3)Û`+6 ⑤ y=-;3!;xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향 으로 6만큼 평행이동한 것이다.13
y=;2!;xÛ`-px-4=;2!;(x-p)Û`-;2!;pÛ`-4의 그래프의 축의 방정식은 x=p이다. 그런데 이차함수의 증가, 감소는 축을 기 준으로 변하므로 p=414
그래프가 원점을 지나므로 b=0 축의 방정식이 x=2이므로 A(4, 0) y=-xÛ`+ax에 x=4, y=0을 대입하면 0=-16+4a, 4a=16 ∴ a=4 y=-xÛ`+4x=-(x-2)Û`+4 ∴ B(2, 4) ∴△
OAB=;2!;_4_4=815
그래프가 위로 볼록하므로 a<0 축이 y축의 왼쪽에 있으므로 a, b는 같은 부호이다. ∴ b<0 y축과의 교점이 x축의 위쪽에 있으므로 -c>0 ∴ c<0 ∴ abc<016
y=axÛ`+bx+c의 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0 축이 y축의 오른쪽에 있으므로 a, b는 다른 부호이다. ∴ b<0 y축과의 교점이 x축의 아래쪽에 있으므로 c<0 즉 y=cxÛ`+bx+a의 그래프는 c<0이므로 위로 볼록하고, b 와 c의 부호가 같으므로 축이 y축의 왼쪽에 있으며, a>0이므 로 y축과의 교점이 x축의 위쪽에 있다. 따라서 그래프로 적당한 것은 ③이다.17
꼭짓점의 좌표가 (2, 4)이고, 점 (0, 2)를 지나므로 y=a(x-2)Û`+4에 x=0, y=2를 대입하면 2=4a+4, 4a=-2 ∴ a=-;2!; ∴ y=-;2!;(x-2)Û`+4=-;2!;xÛ`+2x+2 따라서 a=-;2!;, b=2, c=2이므로 abc=-;2!;_2_2=-218
y=a(x+1)Û`+4에 x=0, y=2를 대입하면 2=a+4 ∴ a=-2 따라서 y=-2(x+1)Û`+4에 x=-2, y=m을 대입하면 m=-2+4=219
y=a(x+1)Û`+q에 두 점의 좌표를 각각 대입하면 9a+q=-7, 4a+q=-2 두 식을 연립하여 풀면 a=-1, q=2 따라서 y=-(x+1)Û`+2에 x=0을 대입하면 y=1이므로 y축과 만나는 점의 좌표는 (0, 1)이다.20
축의 방정식이 x=1이고, 점 (0, 3)을 지나므로 y=(x-1)Û`+q에 x=0, y=3을 대입하면 3=1+q ∴ q=2 ∴ y=(x-1)Û`+2=xÛ`-2x+3 따라서 a=-2, b=3이므로 ab=-2_3=-621
y=axÛ`+bx+c에 세 점의 좌표를 각각 대입하면 4a-2b+c=-4, c=-6, 4a+2b+c=0 세 식을 연립하여 풀면 a=1, b=1, c=-6 ∴ y=xÛ`+x-622
y=a(x+2)(x-1)에 x=0, y=-4를 대입하면 -4=-2a ∴ a=2 따라서 y=2(x+2)(x-1)에 x=-3, y=k를 대입하면 k=2_(-1)_(-4)=80
1
y=xÛ`-4x+1=(x-2)Û`-3 따라서 a=1, p=2, q=-3이므로 apq=1_2_(-3)=-60
2
① y=xÛ`-2x+5=(x-1)Û`+4 ∴ (1, 4) ⇨ 제 1 사분면 ② y=-xÛ`-8x+2=-(x+4)Û`+18 ∴ (-4, 18) ⇨ 제 2 사분면 ③ y=3xÛ`+6x=3(x+1)Û`-3 ∴ (-1, -3) ⇨ 제 3 사분면 ④ y=xÛ`+4x+9=(x+2)Û`+5 ∴ (-2, 5) ⇨ 제 2 사분면 ⑤ y=-;2!;xÛ`+2x-7=-;2!;(x-2)Û`-5 ∴ (2, -5) ⇨ 제 4 사분면0
3
y=;2!;xÛ`+2px=;2!;(x+2p)Û`-2pÛ` 이때 축의 방정식이 x=-2p이므로 01 ② 02 ③ 03 {1, -;2!;} 04 40 05 ② 06 ④ 07 ① 08 8 09 {-;2#;, 0} 10 k>9 11 ⑤ 12 ②, ④ 13 ④ 14 ③ 15 ④ 16 ②, ⑤ 17 ② 18 0 19 ③ 20 ② 21 ④ 22 ①튼튼! 만점 예상 문제 2회
p.15~17-2p=1 ∴ p=-;2!; 따라서 y=;2!;(x-1)Û`-;2!;의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 {1, -;2!;}이다.
0
4
y=2xÛ`+12x+a=2(x+3)Û`+a-18의 그래프의 꼭짓점 의 좌표는 (-3, a-18) y=-3xÛ`+6bx-2=-3(x-b)Û`+3bÛ`-2의 그래프의 꼭 짓점의 좌표는 (b, 3bÛ`-2) 이때 두 이차함수의 그래프의 꼭짓점이 일치하므로 -3=b, a-18=3bÛ`-2 따라서 a=43, b=-3이므로 a+b=43+(-3)=400
5
y=-;2!;xÛ`+2x+2m-1=-;2!;(x-2)Û`+2m+1의 그래 프의 꼭짓점의 좌표가 (2, 2m+1)이므로 2x+3y=1에 x=2, y=2m+1을 대입하면 4+3(2m+1)=1, 6m=-6 ∴ m=-10
6
y=2xÛ`-8x+3=2(x-2)Û`-5 따라서 A(2, -5)이므로 피타고라스 정리에 의해 AOÓ="2Û`+5Û`='¶290
7
y=-xÛ`+6x-2=-(x-3)Û`+7의 그래프를 x축의 방향 으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 그래프의 식 은 y=-(x-3-m)Û`+7+n 이 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (3+m, 7+n)이므로 3+m=4, 7+n=4 따라서 m=1, n=-3이므로 m-n=1-(-3)=40
8
y=xÛ`+4x+5=(x+2)Û`+1의 그래프를 x축의 방향으로 5 만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=(x+2-5)Û`+1-2=(x-3)Û`-1 y=(x-3)Û`-1에 x=6, y=k를 대입하면 k=9-1=80
9
y=-2xÛ`+3x+a에 x=3, y=0을 대입하면 0=-18+9+a ∴ a=9 y=-2xÛ`+3x+9에 y=0을 대입하면 -2xÛ`+3x+9=0, 2xÛ`-3x-9=0 (2x+3)(x-3)=0 ∴ x=-;2#; 또는 x=3 따라서 다른 한 점의 좌표는 {-;2#;, 0}이다.10
y=xÛ`-6x+k=(x-3)Û`-9+k 그래프가 아래로 볼록하므로 x축과 만나지 않으려면 -9+k>0 ∴ k>911
① ② ③ x y O -1 -1 x y O -1 x y O 5 -4 3 ④ ⑤ 따라서 모든 사분면을 지나는 것은 ⑤이다.12
y=-xÛ`+12x-20=-(x-6)Û`+16 ① 꼭짓점의 좌표는 (6, 16)이다. ③ y=-xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 6만큼, y축의 방향으 로 16만큼 평행이동한 것이다. ⑤ y축과 만나는 점의 좌표는 (0, -20)이다.13
y=;2!;xÛ`+4x-3=;2!;(x+4)Û`-11의 그래프는 아래로 볼록 하고, 축의 방정식이 x=-4이므로 x<-4일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.14
y=-;2!;xÛ`-2x+6=-;2!;(x+2)Û`+8 ∴ A(-2, 8) y=-;2!;xÛ`-2x+6에 y=0을 대입하면 -;2!;xÛ`-2x+6=0 xÛ`+4x-12=0, (x+6)(x-2)=0 ∴ x=-6 또는 x=2 ∴ B(-6, 0) y=-;2!;xÛ`-2x+6에 x=0을 대입하면 y=6 ∴ C(0, 6)∴
△
ABC=△
ABO+△
AOC-△
CBO =;2!;_6_8+;2!;_6_2-;2!;_6_6=1215
그래프가 위로 볼록하므로 a<0 축이 y축의 오른쪽에 있으므로 a, b는 다른 부호이다. ∴ b>0 y축과의 교점이 x축의 위쪽에 있으므로 -c>0 ∴ c<016
그래프가 아래로 볼록하므로 a>0 축이 y축의 왼쪽에 있으므로 a, b는 같은 부호이다. ∴ b>0 y축과의 교점이 x축의 아래쪽에 있으므로 c<0 ① ab>0 ② ac<0 ③ bc<0 ④ x=1일 때, a+b+c=0 ⑤ x=-2일 때, 4a-2b+c>017
꼭짓점의 좌표가 (-4, -3)이고, 점 (0, 5)를 지나므로 y=a(x+4)Û`-3에 x=0, y=5를 대입하면 5=16a-3, 16a=8 ∴ a=;2!; ∴ y=;2!;(x+4)Û`-3=;2!;xÛ`+4x+518
y=a(x-3)Û`+4에 x=5, y=0을 대입하면 0=4a+4, 4a=-4 ∴ a=-1 ∴ y=-(x-3)Û`+4=-xÛ`+6x-5 따라서 a=-1, b=6, c=-5이므로 a+b+c=-1+6+(-5)=0 x y O 11 3 -7 x y O 5 3 219
y=a(x+2)Û`+q에 두 점의 좌표를 각각 대입하면 a+q=-3, 4a+q=6 두 식을 연립하여 풀면 a=3, q=-6 ∴ y=3(x+2)Û`-6=3xÛ`+12x+620
y=-2(x+1)Û`+q에 x=2, y=-10을 대입하면 -10=-18+q ∴ q=8 ∴ y=-2(x+1)Û`+8=-2xÛ`-4x+6 따라서 a=-4, b=6이므로 a+b=-4+6=221
y=axÛ`+bx+c에 세 점의 좌표를 각각 대입하면 c=1, a+b+c=4, 16a+4b+c=1 세 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=4, c=1 ∴ y=-xÛ`+4x+1=-(x-2)Û`+5 따라서 축의 방정식은 x=2이다.22
x축과 두 점 (-2, 0), (5, 0)에서 만나고, 점 (0, 10)을 지나 므로 y=a(x+2)(x-5)에 x=0, y=10을 대입하면 10=-10a ∴ a=-1 ∴ y=-(x+2)(x-5)=-xÛ`+3x+10 따라서 a=-1, b=3, c=10이므로 a+b+c=-1+3+10=12 01 ⑴ a<0 ⑵ b>0 ⑶ c>0 ⑷ a+b+c>0 ⑸ a-b+c>0 02 ⑴ y=-2xÛ`-4x+1 ⑵ y=2xÛ`+4x-2 ⑶ y=-xÛ`+6x+1 03 1 04 :Á2°: 05 제1, 2사분면 06 20 07-1 꼭짓점의 좌표:{-;4#;, -:ª8°:}, 축의 방정식:x=-;4#; 07-2 (3, 23) 07-3 -1, 2별별! 서술형 문제
p.18~190
1
⑴ 그래프가 위로 볼록하므로 a<0 ⑵ 축이 y축의 오른쪽에 있으므로 a, b는 다른 부호이다. ∴ b>0 ⑶ y축과의 교점이 x축의 위쪽에 있으므로 c>0 ⑷ x=1일 때, a+b+c>0 ⑸ x=-1일 때, a-b+c>00
2
⑴ y=a(x+1)Û`+3에 x=1, y=-5를 대입하면 -5=4a+3, 4a=-8 ∴ a=-2 ∴ y=-2(x+1)Û`+3=-2xÛ`-4x+1 ⑵ y=a(x+1)Û`+q에 두 점의 좌표를 각각 대입하면 4=4a+q, 14=9a+q 두 식을 연립하여 풀면 a=2, q=-4 ∴ y=2(x+1)Û`-4=2xÛ`+4x-2 ⑶ y=axÛ`+bx+c에 세 점의 좌표를 각각 대입하면 a-b+c=-6, c=1, 4a+2b+c=9 세 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=6, c=1 ∴ y=-xÛ`+6x+10
3
⑴ y=-xÛ`-4x+7=-(x+2)Û`+11의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 그래 프의 식은 y=-(x+2-m)Û`+11+n ⑵ y=-xÛ`+8x-10=-(x-4)Û`+6 ⑶ 2-m=-4, 11+n=6이므로 m=6, n=-5 ⑷ m+n=6+(-5)=10
4
⑴ y=xÛ`+2x-3=(x+1)Û`-4 ∴ A(-1, -4) y=xÛ`+2x-3에 y=0을 대입하면 xÛ`+2x-3=0, (x+3)(x-1)=0 ∴ x=-3 또는 x=1 ∴ B(-3, 0) y=xÛ`+2x-3에 x=0을 대입하면 y=-3 ∴ C(0, -3)⑵ ACOB=
△
BAO+△
ACO =;2!;_3_4+;2!;_3_1 =6+;2#;=:Á2°:0
5
y=;4!;xÛ`+x+2=;4!;(x+2)Û`+1의 그래프는 아래로 볼록하 고, 꼭짓점의 좌표는 (-2, 1), y축과 만나는 점의 좌표는 (0, 2)이다. …… [2점] 따라서 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 x y O -2 1 2 제1, 2사분면을 지난다. …… [2점]0
6
y=a(x+3)(x-4)에 x=0, y=24를 대입하면 24=-12a ∴ a=-2 …… [2점] ∴ y=-2(x+3)(x-4)=-2xÛ`+2x+24 …… [1점] 따라서 a=-2, b=2, c=24이므로 a-b+c=-2-2+24=20 …… [1점]0
7-
1y=2xÛ`+3x-2=2{x+;4#;}Û`-:ª8°: …… [2점] 따라서 꼭짓점의 좌표는 {-;4#;, -:ª8°:}, 축의 방정식은 x=-;4#;이다. …… [1점]0
7-
2y=-3xÛ`+18x+m에 x=4, y=20을 대입하면 20=-48+72+m ∴ m=-4 …… [1점] y=-3xÛ`+18x-4=-3(x-3)Û`+23 …… [2점] 따라서 꼭짓점의 좌표는 (3, 23)이다. …… [1점]0
7-
3y=-xÛ`-6ax-18=-(x+3a)Û`+9aÛ`-18 …… [2점] 이때 꼭짓점의 좌표가 (-3a, 9aÛ`-18)이므로 …… [1점] y=-3x에 x=-3a, y=9aÛ`-18을 대입하면 9aÛ`-18=-3_(-3a), 9aÛ`-9a-18=0 aÛ`-a-2=0, (a+1)(a-2)=0 ∴ a=-1 또는 a=2 …… [2점]0
3
⑴ (주어진 식)=;2!;+;2!;=1 ⑵ (주어진 식)= '2 -2 '22 =0 ⑶ (주어진 식)= '2 _'3=;2#;3 ⑷ (주어진 식)=1Ö '3 ='330
4
⑴ cos 45ù=;[@;= '2 이므로 x=2'22 tan 45ù=;2};=1이므로 y=2 ⑵ sin 60ù=;4{;= '2 이므로 x=2'33 cos 60ù=;4};=;2!;이므로 y=20
6
⑴ (주어진 식)=0+0=0 ⑵ (주어진 식)=1-0=1 ⑶ (주어진 식)=1_1+0_0=1삼각비
1
01 ⑴ sin A=;1°3;, cos A=;1!3@;, tan A=;1°2; ⑵ sin C=;1!3@;, cos C=;1°3;, tan C=:Á5ª: 02 ⑴ '3 ⑵ sin C=;2!;, cos C= '2 , tan C=3 '33 03 ⑴ 1 ⑵ 0 ⑶ ;2#; ⑷ '3
04 ⑴ x=2'2, y=2 ⑵ x=2'3, y=2
05 ⑴ ABÓ, ABÓ, ABÓ ⑵ OBÓ, OBÓ, OBÓ ⑶ CDÓ, CDÓ, CDÓ 06 ⑴ 0 ⑵ 1 ⑶ 1 07 ⑴ 0.6157 ⑵ 0.7547 ⑶ 0.8391 08 ⑴ 40ù ⑵ 39ù ⑶ 37ù
교과서가 한눈에
p.21V
삼각비
01 ③ 02 ;4#; 03 ;1¥5; 04 '5 5 05 ① 06 '3 6 07 2'5 cm 08 ④ 09 ⑤ 10 '¶215 11 ① 12 sin A= '4 , tan A=7 '73 13 9'¶4141 14 ② 15 ② 16 ;1°3; 17 ;1@7#; 18 ;5&; 19 ⑤ 20 ① 21 ③ 22 ① 23 ;4&; 24 5 25 ③ 26 15ù 27 ④ 28 ③ 29 ④ 30 6('3+2) 31 ④ 32 ③ 33 ④ 34 ⑤ 35 2.0017 36 '2 -1 2 37 ⑤ 38 ④ 39 ⑤ 40 ③ 41 ③ 42 30ù 43 0.7769 44 1.3894 실수하기 쉬운 문제 01 2'2 02 '5 2 03 ④또또! 나오는 문제
p.22~2701
BCÓ="Ã3Û`-2Û`='5① sin A= '3 ② cos A=;3@; ④ sin B=;3@;5 ⑤ tan B= 2 '5= 2'55
02
BCÓ="Ã3Û`+('7)Û`=4이므로 cos B=;4#;03
△
CDB에서 BCÓ="Ã10Û`-6Û`=8△
ABC에서 ABÓ="Ã17Û`-8Û`=15 ∴ tan A=;1¥5;04
BCÓ=2k, ACÓ=k(k>0)라고 하면 ABÓ="Ã(2k)Û`+kÛ`='5k ∴ sin B= k '5k= '5505
4x-3y+12=0에 y=0, x=0을 각각 대입하면 A(-3, 0), B(0, 4)직각삼각형 AOB에서 AOÓ=3, BOÓ=4이므로 ABÓ="Ã3Û`+4Û`=5
따라서 sin a=;5$;, cos a=;5#;이므로 sin a-cos a=;5$;-;5#;=;5!;
06
△
EFG에서 EGÓ="Ã2Û`+2Û`=2'2 (cm)△
AEG에서 AGÓ="Ã2Û`+(2'2)Û`=2'3 (cm) ∴ cos x=22'2'3= '63
07
sin B=ACÓ6 =;3@;에서 ACÓ=4 (cm) ∴ BCÓ="Ã6Û`-4Û`=2'5 (cm)08
tan B= 9 BCÓ=;4#;에서 BCÓ=12 ∴ ABÓ="Ã12Û`+9Û`=1509
sin A=BCÓ8 ='32 에서 BCÓ=4'3 (cm) ACÓ="Ã8Û`-(4'3)Û`=4 (cm)이므로△
ABC=;2!;_4'3_4=8'3 (cmÛ`)10
cos C= 4 ACÓ=;5@;에서 ACÓ=10 ABÓ="Ã10Û`-4Û`=2'¶21이므로 cos A=2'¶2110 ='¶21511
sin A=;3!;이므로 오른쪽 그림과 같은 A B C 3 1 직각삼각형 ABC에서 ABÓ="Ã3Û`-1Û`=2'2 ∴ cos A_tan A=2'23 _21 '2=;3!;12
cos A=;4#;이므로 오른쪽 그림과 같은 직각 C A 3 B 4 삼각형 ABC에서 BCÓ="Ã4Û`-3Û`='7 ∴ sin A= '4 , tan A=7 '7313
tan B=;4%;이므로 오른쪽 그림과 같은 직각삼 B C A 4 5 각형 ABC에서 ABÓ="Ã4Û`+5Û`='¶41 ∴ sin B+cos B= 5 '¶41+ 4'¶41= 9'¶414114
6 cos A-4=0에서 cos A=;3@;오른쪽 그림과 같은 직각삼각형 ABC에서 A B C 2 3 BCÓ="Ã3Û`-2Û`='5 ∴ sin A_tan A= '3 _5 '52 =;6%;
15
tan A=2이므로 오른쪽 그림과 같은 직각삼 A B C 2 1 각형 ABC에서 ACÓ="Ã1Û`+2Û`='5 ∴ sin A+cos Asin A-cos A={'52 + 1 '5 }Ö{'52 - 1'5 } = 3 '5Ö 1'5=3
16
△
ABC»△
EBD(AA 닮음)이므로 ∠C=x△
ABC에서 BCÓ="Ã12Û`+5Û`=13 ∴ cos x=cos C=;1°3;17
△
ABC»△
HBA(AA 닮음)이므로 ∠C=x△
ABC»△
HAC(AA 닮음)이므로 ∠B=y△
ABC에서 BCÓ="Ã8Û`+15Û`=17 ∴ cos x+cos y=cos C+cos B=;1!7%;+;1¥7;=;1@7#;
18
△
ABC»△
EBD(AA 닮음)이므로 ∠A=∠BED△
BED에서 BDÓ="Ã5Û`-3Û`=4∴ sin A+cos A=sin(∠BED)+cos(∠BED) =;5$;+;5#;=;5&;
19
△
ABC»△
CBD»△
ACD(AA 닮음)이므로 ∠BAC=∠BCD∴ cos A=ACÓ
ABÓ= CDÓBCÓ= ADÓACÓ
20
(주어진 식)='3_;2!;- '2 _1=3 '32 -'32 =021
① (주어진 식)= '2 +;2!;=3 '3+12 ② (주어진 식)= '2 +3 '33 =5'36 ③ (주어진 식)='3- '2 =3 '32 ④ (주어진 식)=;2!;_ '2 =3 '34 ⑤ (주어진 식)= '2 Ö2 '22 =122
(주어진 식)='2_ '2 -'3Ö{;2!;+;2!;}=1-'3223
(주어진 식)={1+;2!;+ '2 }{1-2 '22 +;2!;} ={;2#;+ '2 }{;2#;-2 '22 } =;4(;-;4@;=;4&;24
cos 60ù=;2!;이므로 x=;2!;을 2xÛ`+ax-3=0에 대입하면 ;2!;+;2A;-3=0, ;2A;=;2%; ∴ a=525
tan 45ù=1이므로 x+15ù=45ù ∴`x=30ù ∴ sin x+cos x=sin 30ù+cos 30ù=;2!;+ '2 =3 1+2'3
26
cos 45ù= '22 이므로 2x+15ù=45ù 2x=30ù ∴ x=15ù27
cos 30ù= '32 이므로 sin 3x='32 이때 sin 60ù= '2 이므로 3x=60ù ∴ x=20ù328
4xÛ`-4x+1=0에서 (2x-1)Û`=0 ∴ x=;2!; 즉 cos A=;2!;이므로 A=60ù ∴ sin A=sin 60ù= '2329
△
ABC에서 tan 60ù= BCÓ '6 ='3 ∴ BCÓ=3'2△
BCD에서 sin 45ù= 3'2 BDÓ= '22 ∴ BDÓ=630
tan 60ù=;6{;='3이므로 x=6'3 cos 60ù=;]^;=;2!;이므로 y=12 ∴ x+y=6'3+12=6('3+2)31
△
ABD에서 sin 30ù= ADÓ12 =;2!; ∴ ADÓ=6 (cm)△
ADC에서 sin 45ù= 6 ACÓ= '22 ∴ ACÓ=6'2 (cm)32
△
ABC에서 tan 30ù= 2'3 BCÓ= '33 ∴ BCÓ=6△
ADC에서 tan 45ù= 2'3 DCÓ=1 ∴ DCÓ=2'3 ∴ BDÓ=BCÓ-DCÓ=6-2'3=2(3-'3)33
① sin x=ABÓOAÓ= ABÓ1 =ABÓ ② sin z=sin y=OBÓ
OAÓ= OBÓ1 =OBÓ ③ cos x=OBÓ
OAÓ= OBÓ1 =OBÓ ⑤ tan x=CDÓ
ODÓ= CDÓ1 =CDÓ
34
tan x=DEÓADÓ= DEÓ1 =DEÓ
35
sin 35ù= OBÓOAÓ= OBÓ1 =OBÓ=0.5736 tan 55ù= CDÓ ODÓ= CDÓ1 =CDÓ=1.4281 ∴ sin 35ù+tan 55ù=0.5736+1.4281=2.0017
36
(주어진 식)=1_ '2 +0-1_1=2 '22 -137
① sin 0ù=cos 90ù=0 ② cos 0ù=tan 45ù=1 ③ sin 30ù=cos 60ù=;2!; ④ sin 0ù=tan 0ù=0 ⑤ sin 90ù=1, tan 90ù의 값은 정할 수 없다.38
① (주어진 식)=0+1=1 ② (주어진 식)=1-'3_ '3 =1-1=03 ③ (주어진 식)=1_1+ '2 Ö3 '32 =1+1=2 ④ (주어진 식)=0_ '2 -2 '22 _0=0 ⑤ (주어진 식)=(1-0)_(1+1)=1_2=239
① cos 0ù=1>0 ② cos 10ù>cos 50ù ③ tan 44ù<tan 88ù ④ sin 45ù=cos 45ù40
① cos 0ù=1 ② sin 25ù<sin 90ù=1 ③ tan 50ù>tan 45ù=1 ④ cos 75ù<cos 0ù=1 ⑤ sin 90ù=1따라서 삼각비의 값이 가장 큰 것은 ③이다.
41
③ 45ù<A<90ù일 때, cos A<sin A42
sin 14ù=0.2419이므로 x=14ù tan 16ù=0.2867이므로 y=16ù∴ x+y=14ù+16ù=30ù
43
sin 33ù+cos 31ù-tan 32ù =0.5446+0.8572-0.6249 =0.776944
cos 46ù= BCÓ2 이므로 BCÓ=2 cos 46ù=2_0.6947=1.389401
BMÓ=CMÓ=;2!;BCÓ=;2!;_6=3 (cm)이므로△
ABM에서 AMÓ="Ã6Û`-3Û`=3'3 (cm) ∴ DMÓ=AMÓ=3'3 cm 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 A B 6 cm a D C M H△
BCD에 내린 수선의 발을 H라고 하 면 점 H는△
BCD의 무게중심이므로 MHÓ=;3!;DMÓ=;3!;_3'3='3 (cm)△
AMH에서 AHÓ="Ã(3'3)Û`-('3)Û`=2'6 (cm) 따라서△
AMH에서 tan a=2'6 '3 =2'202
△
ADC에서 sin x= 2 ADÓ=;3!; ∴ ADÓ=6, ACÓ="Ã6Û`-2Û`=4'2△
ADC»△
BDE(AA 닮음)이므로 6:2=4'2:BEÓ에서 BEÓ=4'23 6:2=2:DEÓ에서 DEÓ=;3@; 따라서△
ABE에서 tan y=BEÓAEÓ= 4'23 _;2£0;='25
03
45ù<x<90ù일 때, cos x<sin x이므로 sin x-cos x>0, cos x-sin x<0∴ "Ã(sin x-cos x)Û`+"Ã(cos x-sin x)Û` =sin x-cos x+{-(cos x-sin x)} =sin x-cos x-cos x+sin x =2 sin x-2 cos x 실수하기 쉬운 문제
튼튼! 만점 예상 문제 1회
p.28~29 01 ④ 02 ;1!3@; 03 4'¶3417 04 ③ 05 ④ 06 ;5$; 07 ⑤ 08 1 09 ① 10 2'6 11 ⑤ 12 1.52 13 ③ 14 ③ 15 ③, ⑤ 16 ④0
1
ABÓ="Ã2Û`+1Û`='5 ∴ sin A_sin B= 2 '5_ 1'5=;5@;0
2
△
ADC에서 CDÓ="Ã5Û`-4Û`=3 ∴ BCÓ=BDÓ+CDÓ=5+3=8△
ABC에서 ABÓ="Ã8Û`+4Û`=4'5 ∴ cos B=48 '5= 2'55 01 ② 02 ③ 03 ③ 04 ⑤ 05 ;1!7%; 06 ③ 07 ⑤ 08 ④ 09 ③ 10 6'3 cm 11 ②, ③ 12 ④ 13 ㉣, ㉤, ㉡, ㉢, ㉠ 14 ⑤ 15 ④ 16 63ù튼튼! 만점 예상 문제 2회
p.30~310
1
BCÓ="Ã17Û`-8Û`=15 ④ sin C=;1¥7;0
2
CDÓ=ABÓ=12이므로 직각삼각형 DBC에서 BDÓ="Ã5Û`+12Û` =13 ∴ cos x_tan x=;1°3;_:Á5ª:=;1!3@;0
3
△
FGH에서 FHÓ="Ã4Û`+3Û`=5△
BFH에서 BHÓ="Ã3Û`+5Û`='¶34 따라서 sin x= 3 '¶34= 3'¶3434 , cos x='¶345 = 5'¶3434 이므로 sin x+cos x=3'¶3434 +5'¶3434 =4'¶34170
4
tan B= 8 BCÓ=;3@;에서 BCÓ=12 ∴ ABÓ="Ã12Û`+8Û`=4'¶130
5
cos A= '3 이므로 오른쪽 그림과 같은 직각5 A B C 5 3 삼각형 ABC에서 BCÓ="Ã3Û`-('5)Û`=2∴ 15 sin A_tan A=15_;3@;_'52 =4'5
0
6
△
ABC»△
EDC(AA 닮음)이므로 ∠B=x△
ABC에서 ACÓ="Ã10Û`-6Û`=8 ∴ sin x=sin B=;1¥0;=;5$;0
7
① (주어진 식)= '2 +2 '22 ='2 ② (주어진 식)= '2 -3 '32 =0 ③ (주어진 식)= '3 _'3=13 ④ (주어진 식)=;2!;_'3= '23 ⑤ (주어진 식)=1Ö;2!;=20
8
x=180ù_1+2+3 =30ù1∴ sin x+cos x_tan x=sin 30ù+cos 30ù_tan 30ù =;2!;+ '2 _3 '33 =1
0
9
cos 60ù=;2!;이므로 sin(x-15ù)=;2!;이때 sin 30ù=;2!;이므로 x-15ù=30ù ∴ x=45ù ∴`sin x-cos x=sin 45ù-cos 45ù
= '22 -'22 =0
10
△
DBC에서 tan 30ù= 4BCÓ= '33 ∴ BCÓ=4'3
△
ABC에서 sin 45ù= ABÓ4'3= '22 ∴ ABÓ=2'6
11
△
ADC에서 ∠ACD=60ù-30ù=30ù 즉 ∠CAD=∠ACD이므로 CDÓ=ADÓ=12△
CDB에서 sin 60ù= BCÓ12 ='32 ∴ BCÓ=6'3 cos 60ù= BDÓ12 =;2!; ∴ BDÓ=6 ∴△
ABC=;2!;_(12+6)_6'3=54'312
cos 35ù= OBÓOAÓ= OBÓ1 =OBÓ=0.82 tan 35ù= CDÓ
ODÓ= CDÓ1 =CDÓ=0.70 ∴ cos 35ù+tan 35ù=0.82+0.70=1.52
13
sin a=ABÓOAÓ= ABÓ1 =ABÓ, cos a= OBÓ
OAÓ= OBÓ1 =OBÓ 따라서 점 A의 좌표는 (cos a, sin a)이다.
14
(주어진 식)=1_;2!;+;2!;Ö1-'2_1=1-'215
③ A의 값이 커지면 tan A의 값도 커진다. ⑤ tan A의 최솟값은 0이고, 최댓값은 알 수 없다.16
sin 51ù=0.7771이므로 x=51ù cos 54ù=0.5878이므로 y=54ù0
3
구하는 직선의 방정식을 y=ax+b라고 하면 a=(직선의 기울기)=tan 45ù=1 y=x+b에 x=-2, y=0을 대입하면 0=-2+b ∴ b=2 ∴ y=x+20
4
cos A=ABÓ3 '5= '55 에서 ABÓ=3 BCÓ="Ã(3'5)Û`-3Û`=6이므로 tan C=;6#;=;2!;0
5
sin A=;1¥7;이므로 오른쪽 그림과 같은 A 17 8 C B 직각삼각형 ABC에서 ABÓ="Ã17Û`-8Û`=15 ∴ cos A=;1!7%;0
6
△
ABC»△
HAC(AA 닮음)이므로 ∠B=x△
ABC에서 BCÓ="Ã5Û`+12Û`=13 ∴ sin x=sin B=;1!3@;0
7
(주어진 식)= '2 _'3+'3_3 '32 -'2_'22 =;2#;+;2#;-1=20
8
2xÛ`-3x+1=0에서 (2x-1)(x-1)=0 ∴ x=;2!; 또는 x=1이때 0ù<A<90ù에서 0<sin A<1이므로 sin A=;2!; ∴ A=30ù
∴ cos A=cos 30ù= '23
0
9
△
BCD에서 cos 60ù= 3BDÓ=;2!; ∴ BDÓ=6
△
ABD에서 cos 45ù= ABÓ6 ='22 ∴ ABÓ=3'210
△
ABC에서sin 30ù= ABÓ18 =;2!; ∴ ABÓ=9 (cm) cos 30ù= BCÓ18 ='32 ∴ BCÓ=9'3 (cm)
△
ABD에서 ∠BAD=30ù이므로tan 30ù= BDÓ9 ='33 ∴ BDÓ=3'3 (cm) ∴ CDÓ=BCÓ-BDÓ=9'3-3'3=6'3 (cm)
11
∠OAB=∠OCD=y① sin x=ABÓ ② sin y=OBÓ ③ cos x=OBÓ ④ cos y=ABÓ ⑤ tan x=CDÓ
따라서 OBÓ의 길이와 값이 같은 것은 ②, ③이다. 01 ⑴ 6'2 ⑵ 3(2+'3) 02 ⑴ ;2#; ⑵ '2 ⑶ ;4!;- '23 03 2 04 2-'3 05 ;1!3&; 06 1.9051 07-1 '3 3 07-2 ;2!5@; 07-3 3
별별! 서술형 문제
p.32~330
1
⑴ cos 45ù=;6{;= '2 이므로 x=3'22 sin 45ù=;6};= '2 이므로 y=3'22 ∴ x+y=3'2+3'2=6'2 ⑵ sin 30ù=;[#;=;2!;이므로 x=6 tan 30ù=;]#;= '3 이므로 y=3'33 ∴ x+y=6+3'3=3(2+'3)0
2
⑴ (주어진 식)=;2!;_1+1=;2#; ⑵ (주어진 식)='2_{;2!;+1}- '2 ='22 ⑶ (주어진 식)='3_ '3 -{3 '32 +1}_'32 =1-;4#;- '2 =;4!;-3 '3212
㉠ sin 30ù=;2!;, cos 30ù_tan 30ù= '2 _3 '33 =;2!; ㉡ tan 60ù='3, tan 30ù =1_1 3'3='3
㉢ cos 30ù+cos 60ù= '2 +;2!;=3 '3+12 , cos 90ù=0 ㉣ sin 90ù_tan 0ù+cos 0ù_sin 90ù=1_0+1_1=1 따라서 옳은 것은 ㉠, ㉡, ㉣이다.
13
㉠ tan 60ù='3 ㉢ tan 45ù=1 ㉤ sin 45ù= '22 ㉡, ㉣ 45ù<A<90ù일 때,'2
2 <sin A<1, 0<cos A<'22 이므로 '2
2 <sin 50ù<1, 0<cos 50ù<'22
따라서 작은 것부터 차례로 나열하면 ㉣, ㉤, ㉡, ㉢, ㉠이다.
14
0ù<A<45ù일 때, 0<tan A<1이므로 tan A-1<0 ∴ "Ã(tan A-1)Û`=-(tan A-1)=1-tan A15
④ sin x=0.8988이면 x=64ù0
2
⑴ x=10 sin 50ù=10_0.77=7.7 y=10 cos 50ù=10_0.64=6.4 ⑵ x=8 sin 35ù=8_0.57=4.56y=8 cos 35ù=8_0.82=6.56
0
3
⑴△
ABH에서 AHÓ=4 sin 30ù=4_;2!;=2 ⑵△
ABH에서 BHÓ=4 cos 30ù=4_ '32 =2'3 ⑶ CHÓ=BCÓ-BHÓ=3'3-2'3='3⑷
△
AHC에서 ACÓ="Ã2Û`+('3)Û`='70
4
⑴△
ABH에서 AHÓ=6 sin 60ù=6_ '32 =3'3 ⑵ ∠C=180ù-(75ù+60ù)=45ù△
AHC에서 ACÓ= 3'3sin 45ù =3'3_ 2 '2=3'60
6
⑴△
ABC=;2!;_6_8_sin 60ù =;2!;_6_8_ '2 =12'33 ⑵△
ABC=;2!;_9_8_sin(180ù-135ù) =;2!;_9_8_ '2 =18'220
7
⑴ ABCD=4_5_sin 60ù =4_5_ '32 =10'3 ⑵ ABCD=8_11_sin(180ù-150ù) =8_11_;2!;=440
8
⑴ ABCD=;2!;_6_8_sin 45ù =;2!;_6_8_ '2 =12'22 ⑵ ABCD=;2!;_10_7_sin(180ù-120ù) =;2!;_10_7_ '2 =3 352 '3삼각비의 활용
2
01 ⑴ x=6 cos 25ù, y=6 sin 25ù ⑵ x=tan 40ù , y4 =sin 40ù 4 02 ⑴ x=7.7, y=6.4 ⑵ x=4.56, y=6.56 03 ⑴ 2 ⑵ 2'3 ⑶ '3 ⑷ '7 04 ⑴ 3'3 ⑵ 3'6 05 60, 60, '3h, 45, 45, h, '3h, h, '3+1, '3+1, '3-1 06 ⑴ 12'3 ⑵ 18'2 07 ⑴ 10'3 ⑵ 44 08 ⑴ 12'2 ⑵ 352 '3
교과서가 한눈에
p.350
3
⑴ ∠BIC=90ù+;2!;∠A이므로 105ù=90ù+;2!;∠A ∴ ∠A=30ù ∴ ∠B=180ù-(30ù+90ù)=60ù⑵ sin A+cos A_tan B=sin 30ù+cos 30ù_tan 60ù =;2!;+ '2 _'3=23
0
4
⑴△
ADC에서 sin 30ù= 1 ADÓ=;2!; ∴ ADÓ=2 ⑵△
ADC에서 tan 30ù= 1 DCÓ= '33 ∴ DCÓ='3 ⑶ BDÓ=ADÓ=2이므로 BCÓ=BDÓ+DCÓ=2+'3 따라서△
ABC에서 ∠B=15ù이므로 tan 15ù= 12+ '3=2-'30
5
tan A=;1°2;이므로 오른쪽 그림과 같은 A B C 12 5 직각삼각형 ABC에서 ACÓ="Ã12Û`+5Û`=13 …… [2점]∴ sin A+cos A=;1°3;+;1!3@;=;1!3&; …… [2점]
0
6
cos x=OBÓ=0.6561이므로 x=49ù …… [2점]∴ ABÓ+CDÓ =sin 49ù+tan 49ù =0.7547+1.1504 =1.9051 …… [3점]
0
7-
1△
ABC에서 ACÓ="Ã3Û`-1Û`=2'2 …… [1점] 점 D가 ACÓ의 중점이므로 ADÓ=CDÓ='2 …… [1점]△
BCD에서 BDÓ="Ã1Û`+('2)Û`='3 …… [1점] ∴ cos x= 1 '3= '33 …… [1점]0
7-
2△
ABD »△
HBA(AA 닮음)이므로 ∠ADB=x …… [2점]△
ABD에서 BDÓ="Ã9Û`+12Û`=15 …… [1점]∴ sin x_cos x=sin(∠ADB)_cos(∠ADB)
=;1»5;_;1!5@;=;2!5@; …… [2점]
0
7-
3 ∠APQ=∠CPQ (접은 각)이고 10 6 A B Q P H D C R x ∠APQ=∠CQP (엇각)이므로△
CPQ는 CPÓ=CQÓ인 이등변삼각 형이다. …… [1점] CQÓ=CPÓ=APÓ=10, CRÓ=ABÓ=6이므로△
CQR에서 QRÓ="Ã10Û`-6Û`=8 …… [2점] 점 Q에서 ADÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하면 AHÓ=BQÓ=QRÓ=8이므로 PHÓ=APÓ-AHÓ=10-8=2 …… [2점] 따라서△
HQP에서 tan x=HQÓ PHÓ=;2^;=3 …… [1점]01 ① 02 ⑤ 03 6.9 m 04 50('3+1) m 05 ③ 06 2'¶21 cm 07 4'5 m 08 ④ 09 4'3 cm 10 12'2 11 10(3+'3) m 12 5(3-'3) 13 30('3-1) m 14 16(3-'3) cmÛ` 15 21'3 cmÛ` 16 4('3+1) 17 ③ 18 15'3 cmÛ` 19 36 cmÛ` 20 45ù 21 24'3 cmÛ` 22 10 cm 23 7'32 cmÛ` 24 ① 25 ③ 26 3'22 cmÛ` 27 ③ 28 24'2 mÛ` 실수하기 쉬운 문제 01 10(2-'2) cm 02 ;5#; 03 21 cmÛ`
또또! 나오는 문제
p.36~3901
x=10 sin 43ù=10_0.68=6.8 y=10 cos 43ù=10_0.73=7.3 ∴ y-x=7.3-6.8=0.502
∠A=34ù이므로 ACÓ=5 tan 56ù=tan 34ù503
ABÓ=10 m이므로△
ABC에서 BCÓ=10 tan 28ù=10_0.53=5.3 (m) ∴ (나무의 높이) =CHÓ=BCÓ+BHÓ =5.3+1.6=6.9 (m)04
AHÓ=50 m이므로△
ACH에서 CHÓ=50 tan 45ù=50_1=50 (m)△
AHB에서 BHÓ=50 tan 60ù=50_'3=50'3 (m) ∴ (건물 Q의 높이) =BCÓ=BHÓ+CHÓ =50('3+1) (m)05
AOÓ=6 sin 60ù=6_ '32 =3'3 (cm) BOÓ=6 cos 60ù=6_;2!;=3 (cm) ∴ (원뿔의 부피)=;3!;_(p_3Û`)_3'3=9'3p (cmÜ`)06
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BCÓ B C 8 cm 10 cm A 60∞ H 에 내린 수선의 발을 H라고 하면△
ABH에서 AHÓ=8 sin 60ù=8_ '32 =4'3 (cm) BHÓ=8 cos 60ù=8_;2!;=4 (cm) CHÓ=BCÓ-BHÓ=10-4=6 (cm)이므로△
AHC에서 ACÓ="Ã(4'3)Û`+6Û`=2'¶21 (cm)07
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BCÓ 45∞ H A B C 4 m m 8 2 에 내린 수선의 발을 H라고 하면△
AHC에서 AHÓ=4 sin 45ù=4_ '22 =2'2 (m) CHÓ=4 cos 45ù=4_ '22 =2'2 (m) BHÓ=BCÓ-CHÓ=8'2-2'2=6'2 (m)이므로△
ABH에서 ABÓ="Ã(6'2)Û`+(2'2)Û`=4'5 (m)08
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BCÓ 120∞ A B 3 C H 4 의 연장선에 내린 수선의 발을 H라고 하면△
ACH에서 ∠ACH=180ù-120ù=60ù이므로 AHÓ=4 sin 60ù=4_ '2 =2'33 CHÓ=4 cos 60ù=4_;2!;=2 BHÓ=BCÓ+CHÓ=3+2=5이므로△
ABH에서 ABÓ="Ã5Û`+(2'3)Û`='¶3709
∠A=180ù-(75ù+45ù)=60ù 75∞ 45∞ A H B C cm 6 2 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 B에서 ACÓ 에 내린 수선의 발을 H라고 하면△
BCH에서 BHÓ=6'2 sin 45ù=6'2_ '2 =6 (cm)2 따라서△
ABH에서 ABÓ=sin 60ù =6_6 2'3=4'3 (cm)
10
∠A=180ù-(105ù+30ù)=45ù 30∞ 105∞ A H B C 12 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 B에서 ACÓ 에 내린 수선의 발을 H라고 하면△
ABH에서 BHÓ=12 sin 45ù=12_ '22 =6'2 따라서△
BCH에서 BCÓ= 6'2sin 30ù =6'2_2=12'211
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 C에서 ABÓ A H B C 45∞ 60∞ m 30 2 에 내린 수선의 발을 H라고 하면△
AHC에서 AHÓ=30'2 cos 45ù =30'2_ '2 =30 (m)2 CHÓ=30'2 sin 45ù=30'2_ '2 =30 (m) 2△
CHB에서 BHÓ= 30tan 60ù =30_ 1 '3=10'3 (m) ∴ ABÓ=AHÓ+BHÓ=30+10'3=10(3+'3) (m)12
AHÓ=h라고 하면 ∠BAH=45ù이므로 BHÓ=h tan 45ù=h ∠CAH=30ù이므로 CHÓ=h tan 30ù= '3 h3 BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로 10=h+ '3 h, {1+3 '33 }h=10 ∴ h=3+30 '3=5(3-'3)13
AHÓ=h m라고 하면 ∠BAH=45ù이므로 BHÓ=h tan 45ù=h (m) ∠CAH=60ù이므로 CHÓ=h tan 60ù='3h (m) BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로 60=h+'3h, (1+'3)h=60 ∴ h=1+60 '3=30('3-1) 따라서 나무의 높이는 30('3-1) m이다.21
△
ABC=;2!;_8_12_sin (180ù-120ù) =;2!;_8_12_ '2 =24'3 (cmÛ`)322
;2!;_ABÓ_16_sin(180ù-135ù)=40'2이므로 ;2!;_ABÓ_16_ '2 =40'2 ∴ ABÓ=10 (cm)223
오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그으면 60∞ 150∞ A B C D 2 cm 3 cm 4 cm cm 3 ABCD =△
ABC+△
ACD =;2!;_3_4_sin 60ù +;2!;_2_'3_sin(180ù-150ù) =;2!;_3_4_ '2 +;2!;_2_'3_;2!;3 =3'3+ '2 =3 7'32 (cmÛ`)24
ABCD=4_3'3_sin 30ù =4_3'3_;2!;=6'3 (cmÛ`)25
5_8_sin B=20'3이므로 sin B= '23 이때 sin 60ù= '2 이므로 ∠B=60ù326
△
BED=;2!;△
BCD=;2!;_;2!;ABCD=;4!;ABCD =;4!;_3_4_sin(180ù-135ù) =;4!;_3_4_ '2 =2 3'22 (cmÛ`)27
ABCD=;2!;_9_8_sin 60ù =;2!;_9_8_ '2 =18'3 (cmÛ`)328
ABCD=;2!;_8_12_sin(180ù-135ù) =;2!;_8_12_ '2 =24'2 (mÛ`)201
오른쪽 그림과 같이 점 B에서 OAÓ에 45∞ A B H B′ O 20 cm 내린 수선의 발을 H라고 하면△
OBH에서 OHÓ=20 cos 45ù =20_ '22 =10'2 (cm) ∴ AHÓ=OAÓ-OHÓ=20-10'2=10(2-'2) (cm) 따라서 B 지점은 A 지점을 기준으로 10(2-'2) cm 위에 있다.02
△
AMN=ABCD-△
ABM-△
AND-△
MCN =2_2-;2!;_2_1-;2!;_2_1-;2!;_1_1 =;2#; (cmÛ`) 실수하기 쉬운 문제14
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BCÓ 45∞ 60∞ A H B C 8 cm 에 내린 수선의 발을 H, AHÓ=h cm 라고 하면 ∠BAH=30ù이므로 BHÓ=h tan 30ù= '3 h (cm)3 ∠CAH=45ù이므로 CHÓ=h tan 45ù=h (cm) BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로 8= '33 h+h, {'33 +1}h=8 ∴ h= 24 '3+3=4(3-'3) ∴△
ABC=;2!;_8_4(3-'3)=16(3-'3) (cmÛ`)15
오른쪽 그림과 같이 두 꼭짓점 A, D 60∞ C P Q 4 cm 6 cm A B D 에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 각각 P, Q라고 하면△
ABP에서 APÓ=6 sin 60ù =6_ '32 =3'3 (cm) BPÓ=6 cos 60ù=6_;2!;=3 (cm)△
ABPª△
DCQ이므로 PQÓ=ADÓ=4 cm, CQÓ=BPÓ=3 cm ∴ ABCD=;2!;_(4+10)_3'3=21'3 (cmÛ`)16
CHÓ=h라고 하면∠ACH=60ù이므로 AHÓ=h tan 60ù='3h ∠BCH=45ù이므로 BHÓ=h tan 45ù=h
ABÓ=AHÓ-BHÓ이므로 8='3h-h, ('3-1)h=8 ∴ h= 8
'3-1=4('3+1)
17
CHÓ=h m라고 하면∠ACH=60ù이므로 AHÓ=h tan 60ù='3h (m) ∠BCH=30ù이므로 BHÓ=h tan 30ù= '3 h (m)3 ABÓ=AHÓ-BHÓ이므로 10='3h- '3 h, 3 2'33 h=10 ∴ h=5'3 따라서 굴뚝의 높이는 5'3 m이다.
18
△
ABC=;2!;_10_6_sin 60ù =;2!;_10_6_ '2 =15'3 (cmÛ`)319
∠C=∠B=75ù이므로 ∠A=180ù-2_75ù=30ù ∴△
ABC=;2!;_12_12_sin 30ù =;2!;_12_12_;2!;=36 (cmÛ`)20
;2!;_6_8_sin B=12'2이므로 sin B= '22 이때 sin 45ù= '2 이므로 ∠B=45ù 2튼튼! 만점 예상 문제 1회
p.40~41 01 ①, ③ 02 ① 03 160'3 cmÜ` 04 100'3 m 05 2'77 06 ④ 07 4('3-1) 08 ② 09 25('3+1) m 10 ③ 11 ④12 ③ 13 (12p-9'3) cmÛ` 14 4'2 cm 15 ② 16 ②
0
1
∠A=40ù이므로 x=9 sin 50ù=9 cos 40ù0
2
h=3 sin 20ù=3_0.3420=1.026 (m)0
3
DHÓ=8 sin 30ù=8_;2!;=4 (cm)GHÓ=8 cos 30ù=8_ '32 =4'3 (cm)
∴ (직육면체의 부피)=10_4'3_4=160'3 (cmÜ`)
0
4
△
ABH에서 AHÓ=200 sin 60ù=200_ '32 =100'3 (m)따라서
△
AHC에서 CHÓ=100'3 tan 45ù=100'3_1=100'3 (m)0
5
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 30∞ 6 cm A H B C cm 5 3 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하 면△
ABH에서 AHÓ=6 sin 30ù=6_;2!;=3 (cm) BHÓ=6 cos 30ù=6_ '32 =3'3 (cm) CHÓ=BCÓ-BHÓ=5'3-3'3=2'3 (cm)이므로△
AHC에서 ACÓ="Ã3Û`+(2'3)Û`='¶21 (cm) ∴ cos C=2'3 '¶21= 2'770
6
∠A=180ù-(60ù+75ù)=45ù A H B 60∞ C 75∞ 10 cm 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 C에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하면△
BCH 에서 CHÓ=10 sin 60ù=10_ '32 =5'3 (cm) 따라서△
AHC에서 ACÓ= 5'3sin 45ù =5'3_ 2 '2=5'6 (cm)0
7
AHÓ=h라고 하면 ∠BAH=45ù이므로 BHÓ=h tan 45ù=h ∠CAH=60ù이므로 CHÓ=h tan 60ù='3h BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로 8=h+'3h, (1+'3)h=8 ∴ h=1+8 '3=4('3-1)0
8
AHÓ=h라고 하면 ∠BAH=44ù이므로 BHÓ=h tan 44ù ∠CAH=27ù이므로 CHÓ=h tan 27ù BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로 60=h tan 44ù+h tan 27ù (tan 44ù+tan 27ù)h=60 ∴ h=tan 44ù+tan 27ù600
9
CHÓ=h m라고 하면∠ACH=60ù이므로 AHÓ=h tan 60ù='3h (m) ∠BCH=45ù이므로 BHÓ=h tan 45ù=h (m) ABÓ=AHÓ-BHÓ이므로 50='3h-h, ('3-1)h=50 ∴ h= 50 '3-1=25('3+1) 따라서 지면에서 기구까지의 높이는 25('3+1) m이다.
10
△
ABC=;2!;_8_9_sin 30ù =;2!;_8_9_;2!;=18 (cmÛ`)11
정팔각형의 대각선을 모두 그으면 두 변의 길이가 각각 4이고, 그 끼인각의 크기가 360ù8 =45ù인 8개의 합동인 이등변삼각 형이 생긴다. ∴ (정팔각형의 넓이)=8_{;2!;_4_4_sin 45ù} =8_{;2!;_4_4_ '2 }=32'2212
오른쪽 그림과 같이 BDÓ를 그으면 10 cm 8 cm A C D B 60∞ 120∞ 7 cm 2 7 cm 2 ABCD =△
ABD+△
BCD =;2!;_2'7_2'7_sin(180ù-120ù) +;2!;_8_10_sin 60ù =;2!;_2'7_2'7_ '2 +;2!;_8_10_3 '32 =7'3+20'3=27'3 (cmÛ`)13
오른쪽 그림과 같이 OCÓ를 그으면 30∞ A B C O 6 cm OAÓ=OCÓ이므로 ∠AOC=180ù-2_30ù=120ù ∴ (색칠한 부분의 넓이) =(부채꼴 AOC의 넓이)-△
AOC =p_6Û`_;3!6@0);-;2!;_6_6_sin(180ù-120ù) =12p-;2!;_6_6_ '2 =12p-9'3 (cmÛ`)3 AMÓ=ANÓ="Ã2Û`+1Û`='5 (cm)이므로△
AMN=;2!;_'5_'5_sin x=;2#; ;2%; sin x=;2#; ∴ sin x=;5#;03
두 대각선이 이루는 예각의 크기를 x라고 하면 ABCD=;2!;_7_6_sin x=21 sin x (cmÛ`)이때 sin x의 최댓값은 1이므로 ABCD의 넓이의 최댓값 은 21 cmÛ`이다.
14
마름모 ABCD의 한 변의 길이를 x cm라고 하면 x_x_sin(180ù-135ù)=16'2이므로 '2 2 xÛ`=16'2, xÛ`=32 ∴ x=4'2 (∵ x>0) 따라서 마름모 ABCD의 한 변의 길이는 4'2 cm이다.15
△
ABP=;4!;ABCD=;4!;_4_8_sin 30ù =;4!;_4_8_;2!;=4 (cmÛ`)16
ABCD=;2!;_4_5_sin 60ù =;2!;_4_5_ '2 =5'33
튼튼! 만점 예상 문제 2회
p.42~43 01 ④ 02 16.92 03 ③ 04 (3+'3) m 05 ② 06 3'5 07 ① 08 (3-'3) cm 09 9('3-1) 10 ② 11 ③ 12 18'3 cmÛ` 13 ② 14 ③ 15 12'2 cmÛ` 16 ③0
1
④ c sin A=BCÓ=a0
2
x=12 sin 39ù=12_0.63=7.56 y=12 cos 39ù=12_0.78=9.36 ∴ x+y=7.56+9.36=16.920
3
(높이) =1.4+8 sin 48ù=1.4+8_0.74=7.32 (m)0
4
CDÓ=3 m이므로△
CBD에서 BDÓ=3 tan 45ù=3_1=3 (m)△
CDE에서 DEÓ=3 tan30ù=3_ '33 ='3 (m) ∴ (큰 나무의 높이)=BEÓ=BDÓ+DEÓ=3+'3 (m)0
5
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BCÓ 60∞ 2 cm 3 cm B H C A 에 내린 수선의 발을 H라고 하면△
ABH에서 AHÓ=2 sin 60ù=2_ '32 ='3 (cm) BHÓ=2 cos 60ù=2_;2!;=1 (cm) CHÓ=BCÓ-BHÓ=3-1=2 (cm)이므로△
AHC에서 ACÓ="Ã('3)Û`+2Û`='7 (cm)0
6
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BCÓ B C 10 11 H A 에 내린 수선의 발을 H라고 하면△
AHC에서 AHÓ=10 sin C=10_;5#;=6 CHÓ=10 cos C=10_;5$;=8 BHÓ=BCÓ-CHÓ=11-8=3이므로△
ABH에서 ABÓ="Ã3Û`+6Û`=3'50
7
∠A=180ù-(105ù+45ù)=30ù 10 cm A B C H 105∞ 45∞ 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 B에서 ACÓ 에 내린 수선의 발을 H라고 하면△
BCH에서 BHÓ=10 sin 45ù=10_ '22 =5'2 (cm) 따라서△
ABH에서 ABÓ= 5'2sin 30ù =5'2_2=10'2 (cm)0
8
AHÓ=h cm라고 하면 ∠BAH=45ù이므로 BHÓ=h tan 45ù=h (cm) ∠CAH=30ù이므로 CHÓ=h tan 30ù= '3 h (cm)3 BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로 2=h+ '3 h, {1+3 '33 }h=2 ∴ h=3+6 '3=3-'30
9
BCÓ= 3'2cos 45ù =3'2_ 2 '2=6 오른쪽 그림과 같이 점 E에서 BCÓ에 45∞ 60∞ A B H C D E 3 2 내린 수선의 발을 H, EHÓ=h라고 하면 ∠BEH=45ù이므로 BHÓ=h tan 45ù=h ∠CEH=60ù이므로 CHÓ=h tan 60ù='3h BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로 6=h+'3h, (1+'3)h=6 ∴ h=1+6 '3=3('3-1) ∴△
EBC=;2!;_6_3('3-1)=9('3-1)10
AHÓ=h라고 하면 ∠BAH=60ù이므로 BHÓ=h tan 60ù='3h∠ACH=60ù, ∠CAH=30ù이므로 CHÓ=h tan 30ù= '3 h3 BCÓ=BHÓ-CHÓ이므로 4='3h- '3 h, 3 2'33 h=4 ∴ h=2'3
11
;2!;_ABÓ_6_sin 45ù=6'2이므로 ;2!;_ABÓ_6_ '2 =6'2 ∴ ABÓ=4 (cm)212
오른쪽 그림과 같이 AEÓ를 그으면 60∞ A C D B E 6 cm 4 cm 8 cmABCD=
△
ABC+△
ACD =△
ABC+△
ACE =△
ABE=;2!;_6_(8+4)_sin 60ù =;2!;_6_12_ '2 =18'3 (cmÛ`)3
01 ⑴ 2'¶10 ⑵ 6'6 02 ⑴ 50'3 cmÛ` ⑵ 272 cmÛ` '2 03 13.8 m 04 50('3-1) m 05 10(3+'3) m 06 35'3 cmÛ` 07-1 6'3 07-2 3'3 cmÛ` 07-3 :ª7¢: cm
별별! 서술형 문제
p.44~450
1
⑴ 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에 45∞ A H B C 4 6 2 서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 고 하면△
ABH에서 AHÓ=4 sin 45ù=4_ '2 =2'22 BHÓ=4 cos 45ù=4_ '2 =2'22 CHÓ=BCÓ-BHÓ=6'2-2'2=4'2이므로△
AHC에서 ACÓ="Ã(2'2)Û`+(4'2)Û`=2'¶10 ⑵ ∠B=180ù-(45ù+75ù)=60ù 45∞ 75∞ A H B C 12 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 C에서 ABÓ 에 내린 수선의 발을 H라고 하면△
BCH에서 CHÓ=12 sin 60ù=12_ '2 =6'33따라서
△
AHC에서 ACÓ= 6'3sin 45ù =6'3_ 2 '2=6'60
2
⑴ ABCD=10_10_sin 60ù =10_10_ '32 =50'3 (cmÛ`) ⑵△
AED=;2!;ABCD=;2!;_6_9_sin 45ù =;2!;_6_9_ '2 =2 272 (cmÛ`)'20
3
⑴ ABÓ=10 cos 57ù=10_0.54=5.4 (m) ⑵ ACÓ=10 sin 57ù=10_0.84=8.4 (m) ⑶ (나무의 높이)=ABÓ+ACÓ=5.4+8.4=13.8 (m)0
4
⑴ ∠APH=60ù이므로 AHÓ=h tan 60ù='3h (m) ⑵ ∠BPH=45ù이므로 BHÓ=h tan 45ù=h (m) ⑶ ABÓ=AHÓ+BHÓ이므로 100='3h+h, ('3+1)h=100 ∴ h= 100 '3+1=50('3-1) 따라서 헬리콥터의 높이는 50('3-1) m이다.0
5
ADÓ=h m라고 하면 ∠BAD=45ù이므로 BDÓ=h tan 45ù=h (m) ∠CAD=30ù이므로 CDÓ=h tan 30ù= '3 h (m) 3 …… [2점] BCÓ=BDÓ-CDÓ이므로 20=h- '3 h, {1-3 '33 }h=20 ∴ h=3-60 '3=10(3+'3) 따라서 건물의 높이는 10(3+'3) m이다. …… [3점]0
6
∠AOB=25ù+35ù=60ù이므로 …… [2점] ABCD=;2!;_10_14_sin 60ù =;2!;_10_14_ '2 =35'3 (cmÛ`) 3 …… [2점]0
7-
1△
ABC=;2!;_8_9_sin 60ù =;2!;_8_9_ '2 =18'3 3 …… [2점] ∴△
AGC=;3!;△
ABC=;3!;_18'3=6'3 …… [1점]0
7-
2△
ABC에서 ACÓ=4 sin 60ù=4_ '32 =2'3 (cm) …… [1점] ABÓ=4 cos 60ù=4_;2!;=2 (cm) …… [1점]∴ ABCD=
△
ABC+△
ACD=;2!;_2_4_sin 60ù+;2!;_2'3_2_sin 30ù =;2!;_2_4_ '2 +;2!;_2'3_2_;2!;3 =2'3+'3=3'3 (cmÛ`) …… [2점]
0
7-
3 ADÓ=x cm라고 하면△
ABC=△
ABD+△
ADC이므로 …… [2점];2!;_8_6_sin (180ù-120ù) =;2!;_8_x_sin 60ù+;2!;_x_6_sin 60ù …… [1점] ;2!;_8_6_ '2 =;2!;_8_x_3 '32 +;2!;_x_6_'32 12'3=2'3x+3'32 x, 7'32 x=12'3 ∴ x=:ª7¢: 따라서 ADÓ의 길이는 :ª7¢: cm이다. …… [2점]