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소인수분해
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소인수분해
0001 1은 소수도 합성수도 아니다. × 0002 소 0003 9=3_3이므로 합성수이다. 합 0004 소 0005 27=3_9이므로 합성수이다. 합 0006 38=2_19이므로 합성수이다. 합 0007 밑：4, 지수：3 0008 밑：7, 지수：2 0009 밑：10, 지수：4 0010 밑：8, 지수：6 0011 2Ü`_3Û` 0012 2Û`_7Ý` 0013 {;5!;}Û`_{;7!;}Ü` 0014 3Ü`_5Û`1 0015 2_5Ü`_7Û` 0016 2Û`_5Û`_71 0017 2 >³ 42 3 >³ 21 7 ∴ 42= 2_3_7 2, 3, 2_3_7 0018 56 2 28 2 28 2 14 2 14 2 7 ∴ 56=2_2_2_7= 2Ü`_7 14 2 7 2, 2, 2, 2Ü`_7 0019 ⑴ 2 >³ 28 2 >³ 14 7 ∴ 28=2Û`_7 따라서 28의 소인수는 2, 7이다. 28=2Û`_7, 소인수：2, 7 0020 2 >³ 40 2 >³ 20 2 >³ 10 5 ∴ 40=2Ü`_5 따라서 40의 소인수는 2, 5이다. 40=2Ü`_5, 소인수：2, 5기본 문제
다지기
p.7STEP 1
필수
유형 익히기
p.8~p.12 0029 소수는 약수가 1과 자기 자신뿐인 수이므로 2, 3, 7, 23, 29, 31의 6개이다. 6개 0030 ① 1은 소수도 합성수도 아니다. ⑤ 91=7_13이므로 소수가 아니다. ①, ⑤ 0021 3 >³ 81 3 >³ 27 3 >³ 9 3 ∴ 81=3Ý` 따라서 81의 소인수는 3이다. 81=3Ý`, 소인수：3 0022 2 >³ 96 2 >³ 48 2 >³ 24 2 >³ 12 2 >³ 6 3 ∴ 96=2Þ`_3 따라서 96의 소인수는 2, 3이다. 96=2Þ`_3, 소인수：2, 3 0023 _ 1 5 1 1_1=1 1_5=5 3 3_1=3 3_5=15 3Û` 3Û`_1=9 3Û`_5=45 약수：1, 3, 5, 9, 15, 45 0024 54=2_3Ü` _ 1 3 3Û` 3Ü` 1 1_1=1 1_3=3 1_3Û`=9 1_3Ü`=27 2 2_1=2 2_3=6 2_3Û`=18 2_3Ü`=54 약수：1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54 0025 2Þ`의 약수의 개수는 5+1=6(개) 6개 0026 2Û`_5Ý`의 약수의 개수는 (2+1)_(4+1)=15(개) 15개 0027 2Û`_3_7의 약수의 개수는 (2+1)_(1+1)_(1+1)=12(개) 12개 0028 120=2Ü`_3_5이므로 120의 약수의 개수는 (3+1)_(1+1)_(1+1)=16(개) 16개0031 소수는 29, 37의 2개이므로 a=2 합성수는 4, 15, 48, 57, 74, 81의 6개이므로 b=6 ∴ b-a=6-2=4 4 0032 한 자리 자연수 중 가장 큰 소수는 7이므로 a=7 두 자리 자연수 중 두 번째로 작은 소수는 13이므로 b=13 ∴ a+b=7+13=20 ⑤ 0033 ① 소수는 1과 자기 자신만을 약수로 가지므로 2개의 약수를 갖는다. ② 2는 소수이지만 짝수이다. ③ 자연수는 1, 소수, 합성수로 이루어져 있다. ⑤ 1은 소수도 합성수도 아니다. ④ 0034 ② 10보다 작은 소수는 2, 3, 5, 7의 4개이다. ② 0035 ㉠ 49=7_7이므로 합성수이다. ㉡ 가장 작은 소수는 2이다. ㉢ 51=3_17이므로 합성수이다. ㉣ 10 이하의 합성수는 4, 6, 8, 9, 10의 5개이다. ③ 0036 ① 2Ü`=2_2_2=8 ② 3+3+3+3=4_3 ③ ;5!;_;5!;_;5!;={;5!;}Ü` {또는 15Ü`} ⑤ 2_2_2_2_2=2Þ` ④ 0037 ① 2_2_2_2=2Ý` ② 3Þ`=3_3_3_3_3 ③ 5_5_5_5_5=5Þ`` ④ 2_2+3_3_3=2Û`+3Ü` ⑤ 0038 5_3_2_2_3_2=2Ü`_3Û`_5이므로 a=3, b=3, c=1 ∴ a+b+c=3+3+1=7 ③ 0039 ① 32=2Þ` ② 48=2Ý`_3` ③ 54=2_3Ü` ⑤ 120=2Ü`_3_5` ④ 0040 3 >³ 105 5 >³ 35 7 ∴ 105=3_5_7 ③ 0041 180=2Û`_3Û`_5이므로 a=2, b=2, c=1 ∴ a+b-c=2+2-1=3` 3 0042 504=2Ü`_3Û`_7이므로 a=3, b=2, c=7 ∴ a+b+c=3+2+7=12` ③ 0043 90=2_3Û`_5이므로 소인수는 2, 3, 5이다.` ② 0044 660=2Û`_3_5_11이므로 소인수는 2, 3, 5, 11이다. ` ④ 0045 378=2_3Ü`_7이므로 소인수는 2, 3, 7이다. 따라서 구하는 합은 2+3+7=12` ③ 0046 ① 56=2Ü`_7이므로 소인수는 2, 7의 2개 ② 80=2Ý`_5이므로 소인수는 2, 5의 2개 ③ 128=2à`이므로 소인수는 2의 1개 ④ 210=2_3_5_7이므로 소인수는 2, 3, 5, 7의 4개 ⑤ 325=5Û`_13이므로 소인수는 5, 13의 2개`` ④ 0047 600=2Ü`_3_5Û`이므로 어떤 자연수의 제곱이 되게 하려면 곱해야 할 가장 작은 자연수는 2_3=6` 6 0048 2_3Û`_7_a가 어떤 자연수의 제곱이 되도록 하는 가장 작 은 자연수 a의 값은 2_7=14` 14 0049 108=2Û`_3Ü`이므로 108_a가 어떤 자연수의 제곱이 되게 하려면 a=3_(자연수)Û`의 꼴이어야 한다. ① 3=3_1Û` ② 12=3_2Û` ③ 27=3_3Û` ④ 48=3_4Û` ⑤ 81=3_27 따라서 자연수 a의 값으로 적당하지 않은 것은 ⑤이다. ` ⑤ 0050 150=2_3_5Û`이므로 어떤 자연수의 제곱이 되게 하려면 곱해야 할 가장 작은 자연수는 2_3=6 ∴ a=6 150_a=150_6=900=30Û`이므로 b=30 ∴ a+b=6+30=36` ⑤ 0051 56=2Ü`_7이므로 yy 20`% 56_x가 어떤 자연수의 제곱이 되게 하려면 곱해야 할 가장 작은 자연수는 2_7=14 ∴ x=14 yy 30`% 56_x=56_14=784=28Û`이므로 y=28 yy 30`% ∴ x+y=14+28=42 yy 20`% ` 42 채점 기준 비율 56을 소인수분해하기 20 % x의 값 구하기 30 % y의 값 구하기 30 % x+y의 값 구하기 20 % 0052 116=2Û`_29이므로 어떤 자연수의 제곱이 되게 하려면 나 눌 수 있는 가장 작은 자연수는 29이다.` ④
0053 375=3_5Ü`이므로 어떤 자연수의 제곱이 되게 하려면 나누 어야 할 가장 작은 자연수 a의 값은 3_5=15` ③ 0054 216=2Ü`_3Ü`이므로 어떤 자연수의 제곱이 되게 하려면 나 누어야 할 가장 작은 자연수는 2_3=6` 6 0055 2Ü`_5의 약수는 다음과 같다. _ 1 5 1 1 5 2 2 2_5 2Û` 2Û` 2Û`_5 2Ü` 2Ü` 2Ü`_5 ` ③ 0056 ⑴ 3 >³ 135 3 >³ 45 3 >³ 15 5 ∴ 135=3Ü`_5 ⑵ 135=3Ü`_5의 소인수는 3, 5이다. ⑶ _ 1 5 1 1_1=1 1_5=5 3 3_1=3 3_5=15 3Û` 3Û`_1=9 3Û`_5=45 3Ü` 3Ü`_1=27 3Ü`_5=135 따라서 135의 약수는 1, 3, 5, 9, 15, 27, 45, 135이다. ⑴ 135=3Ü`_5 ⑵ 3, 5 ⑶ 1, 3, 5, 9, 15, 27, 45, 135 0057 60=2Û`_3_5이므로 60의 약수는 (2Û`의 약수)_(3의 약수)_(5의 약수)의 꼴이다. ② 2_3Û`, ⑤ 2_3Û`_5에서 3Û`은 3의 약수가 아니므로 60의 약수가 아니다. ②, ⑤ 0058 72=2Ü`_3Û`이므로 72의 약수 중 어떤 자연수의 제곱이 되는 수는 1, 2Û`, 3Û`, 2Û`_3Û`의 4개이다. 4개 0059 ① (1+1)_(2+1)=6(개) ② 200=2Ü`_5Û`이므로 약수의 개수는 (3+1)_(2+1)=12(개) ③ 3_10Û`=2Û`_3_5Û`이므로 약수의 개수는 (2+1)_(1+1)_(2+1)=18(개) ④ 2Û`_9Û`=2Û`_3Ý`이므로 약수의 개수는 (2+1)_(4+1)=15(개) ⑤ (4+1)_(1+1)=10(개) ③ 0060 3Þ`의 약수의 개수는 5+1=6(개)이므로 a=6 2Þ`_3Û`의 약수의 개수는 (5+1)_(2+1)=18(개)이므로 b=18 ∴ b-a=18-6=12 12 0061 ① 5+1=6(개) ② (2+1)_(1+1)=6(개) ③ 105=3_5_7이므로 약수의 개수는 (1+1)_(1+1)_(1+1)=8(개) ④ 32=2Þ`이므로 약수의 개수는 5+1=6(개) ⑤ 98=2_7Û`이므로 약수의 개수는 (1+1)_(2+1)=6(개) ③ 0062 450n 이 자연수가 되려면 n의 값은 450의 약수이어야 한다. 따라서 n의 값의 개수는 450의 약수의 개수와 같고 450=2_3Û`_5Û`이므로 구하는 자연수 n의 값의 개수는 (1+1)_(2+1)_(2+1)=18(개) ④ 0063 ① 2Û`_4=2Û`_2Û`=2Ý`이므로 약수의 개수는 4+1=5(개) ② 2Û`_9=2Û`_3Û`이므로 약수의 개수는 (2+1)_(2+1)=9(개) ③ 2Û`_25=2Û`_5Û`이므로 약수의 개수는 (2+1)_(2+1)=9(개) ④ 2Û`_49=2Û`_7Û`이므로 약수의 개수는 (2+1)_(2+1)=9(개) ⑤ 2Û`_121=2Û`_11Û`이므로 약수의 개수는 (2+1)_(2+1)=9(개) ① 0064 (4+1)_(x+1)=45에서 5_(x+1)=5_9 ∴ x=8 8 0065 ① 3_4_5Û`=2Û`_3_5Û`이므로 약수의 개수는 (2+1)_(1+1)_(2+1)=18(개) ② 3_25_5Û`=3_5Û`_5Û`=3_5Ý`이므로 약수의 개수는 (1+1)_(4+1)=10(개) ③ 3_49_5Û`=3_5Û`_7Û`이므로 약수의 개수는 (1+1)_(2+1)_(2+1)=18(개) ④ 3_81_5Û`=3_3Ý`_5Û`=3Þ`_5Û`이므로 약수의 개수는 (5+1)_(2+1)=18(개) ⑤ 3_375_5Û`=3_(3_5Ü`)_5Û`=3Û`_5Þ`이므로 약수의 개수는 (2+1)_(5+1)=18(개) ②
0
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최대공약수와 최소공배수
0067 1, 2, 3, 6, 9, 18 0068 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 0069 1, 2, 3, 6 0070 6 0071 2와 6의 최대공약수는 2이므로 서로소가 아니다. × 0072 7과 15의 최대공약수는 1이므로 서로소이다. ◯ 0073 15와 27의 최대공약수는 3이므로 서로소가 아니다. × 0074 27과 70의 최대공약수는 1이므로 서로소이다. ◯ 0075 5, 5Û`, 5, 15 0076 3, 3Û`, 3, 3, 6 0077 3 >³ 108 135 3 >³ 36 45 3 >³ 12 15 4 5 3 3 3 0078 2 >³ 54 72 90 3 >³ 27 36 45 3 >³ 9 12 15 3 4 5 2 3 3 ∴ (최대공약수) =3_3_3=27 27 ∴ (최대공약수) =2_3_3=18 18 0079 2Û`_3 0080 2Û`_3 0081 6, 12, 18, 24, 30, 36, y 0082 9, 18, 27, 36, y 0083 18, 36, 54, y 0084 18 0085 2Ü`, 2Ü`, 2Ü`, 5, 360기본 문제
다지기
p.14 0086 3, 3Û`, 3, 2Ü`, 3Û`, 360 0087 3 >³ 12 45 4 15 3 4 15 0088 3 >³ 45 75 90 5 >³ 15 25 30 3 >³ 3 5 6 1 5 2 3 5 3 1 5 2 0089 2Ü`_3_5Û` 0090 2Û`_3Û`_5Û`_7 ∴ (최소공배수) =3_4_15=180 180 ∴ (최소공배수) =3_5_3_5_2 =450 450STEP 1
필수
유형 익히기
p.15~p.19 0091 ② 0092 ∴ (최대공약수)=2_2_3=12 ① 0093 ① 0094 따라서 a=2, b=3이므로 a+b=2+3=5 5 0095 ⑤ 21과 49의 최대공약수는 7이므로 서로소가 아니다. ⑤ 0096 두 수의 최대공약수를 각각 구하면 다음과 같다. ① 4 ② 5 ③ 3 ④ 7 ⑤ 1 따라서 서로소인 것은 ⑤이다. ⑤ 0097 14=2_7이므로 14와 서로소인 수는 2 또는 7을 약수로 갖 지 않아야 한다. 따라서 20보다 작은 자연수 중 14와 서로소인 수는 1, 3, 5, 9, 11, 13, 15, 17, 19의 9개이다. ③ 0098 ⑤ 4와 15는 서로소이지만 두 수 모두 소수가 아니다. ⑤ 2Û`_3 _5Û`_11 2Û`_3Û`_5 _11_13 (최대공약수)=2Û`_3 _5 2 >³ 36 48 60 2 >³ 18 24 30 3 >³ 9 12 15 3 4 5 2 2 3 20=2Û`_3 _5 30=2 _3 _5 =2Û`_3Û` (최대공약수)=2 2Û`_3Ý`_5Ý`_7Ü 2Ü`_3Ü`_5Ý` (최대공약수)=2Û`_3Ü` 0066 100=2Û`_5Û`이므로 약수의 개수는 (2+1)_(2+1)=9(개) ① 3Û`_8=3Û`_2Ü`이므로 약수의 개수는 (2+1)_(3+1)=12(개) ② 3Û`_16=3Û`_2Ý`이므로 약수의 개수는 (2+1)_(4+1)=15(개) ③ 3Û`_27=3Û`_3Ü`=3Þ`이므로 약수의 개수는 5+1=6(개) ④ 3Û`_32=3Û`_2Þ`이므로 약수의 개수는 (2+1)_(5+1)=18(개) ⑤ 3Û`_729=3Û`_3ß`=3¡`이므로 약수의 개수는 8+1=9(개) 따라서 A의 값이 될 수 있는 것은 ⑤이다. ⑤0099 두 수의 최대공약수는 2Û`_3이므로 두 수의 공약수는 2Û`_3 의 약수이다. 따라서 공약수가 될 수 없는 것은 ⑤이다. ⑤ 0100 두 자연수의 공약수는 최대공약수인 24의 약수이므로 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24이다. 따라서 공약수가 아닌 것은 ④이다. ④ 0101 2 >³ 56 84 140 2 >³ 28 42 70 7 >³ 14 21 35 2 3 5 2 2 7 ∴ (최대공약수)=2_2_7=2Û`_7 따라서 세 수의 공약수는 최대공약수인 2Û`_7의 약수이므 로 공약수인 것은 ㉠, ㉡, ㉣이다. ㉠, ㉡, ㉣ 0102 세 수의 최대공약수는 2Û`_5Û`이므로 세 수의 공약수의 개수 는 2Û`_5Û`의 약수의 개수와 같다. yy 60`% 따라서 구하는 공약수의 개수는 (2+1)_(2+1)=9(개) yy 40`% 9개 채점 기준 비율 세 수의 최대공약수 구하기 60 % 세 수의 공약수의 개수 구하기 40 % 0103 ③ 0104 ④ 0105 ∴ (최소공배수)=13_2_3_5=390 ③ 0106 두 수의 최소공배수를 각각 구하면 ① 2Ý`_3Ü`=432 ② 5Ý`=625 ③ 2Ü`_3_5Û`=600 ④ 2_3_5_7=210 ⑤ 2Û`_3Û`_5_7=1260 ④ 0107 두 수의 최소공배수는 2Û`_3Û`_5이므로 두 수의 공배수는 2Û`_3Û`_5의 배수이다. 따라서 공배수가 될 수 없는 것은 ①이다. ① 2 _3Ü` 2Û`_3Û`_5 (최소공배수)=2Û`_3Ü`_5=540 2Û`_3Ü`_5 2Û`_3 _5Û` 2 _3Û`_5Û`_7 (최소공배수)=2Û`_3Ü`_5Û`_7 13 >³ 26 39 65 2 3 5 13 2 3 5 0108 두 자연수의 공배수는 최소공배수인 12의 배수이므로 공배 수 중 두 자리 자연수는 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96의 8개 이다. 8개 0109 6, 9의 공배수는 6, 9의 최소공배수인 18의 배수이므로 100 이하의 공배수는 18, 36, 54, 72, 90의 5개이다. 5개 0110 14, 21의 공배수는 14, 21의 최소공배수인 42의 배수이다. 이때 42_4=168, 42_5=210이므로 공배수 중 200에 가 장 가까운 수는 210이다. 210 0111 2 _3Û`_5 ` 2Û`_3 _5 2 _5_7 (최대공약수)=2 _5 (최소공배수)=2Û`_3Û`_5_7 ④ 0112 2Û`_3_5Û` 2 _5Û`_7 (최대공약수)=2 _5Û` (최소공배수)=2Û`_3_5Û`_7 ③ 0113 72=2Ü`_3Û` 2Û`_3Ü`_5Û` (최대공약수)=2Û`_3Û` (최소공배수)=2Ü`_3Ü`_5Û ⑤ 0114 30=2 _3 _5 ` 2Û`_3 _5Û` 2Û`_3Ü` _7 (최대공약수)=2 _3 (최소공배수)=2Û`_3Ü`_5Û`_7 ② 0115 3 >³ 45 90 108 3 >³ 15 30 36 2 >³ 5 10 12 5 >³ 5 5 6 1 1 6 a=3_3=9, b=3_3_2_5_6=540이므로 b-a=540-9=531 531 0116 2 >³ 12 30 70 3 >³ 6 15 35 5 >³ 2 5 35 2 1 7 ① 세 수의 최대공약수는 2이다. ② 세 수의 최소공배수는 2_3_5_2_7=420이다. ③ 세 수의 공배수 중 가장 작은 수는 420이다. ⑤ 세 수의 공약수는 최대공약수인 2의 약수이므로 1, 2이 다. ②, ④
0117 x >³ 4_x 6_x 8_x 2 >³ 4 6 8 2 >³ 2 3 4 1 3 2 x 2 2 1 3 2 (최소공배수)=x_2_2_3_2=x_24 즉 x_24=264이므로 x=11 ∴ (최대공약수)=x_2=11_2=22 ③ 0118 a >³ 6_a 8_a 18_a
2 >³ 6 8 18 3 >³ 3 4 9 1 4 3 a 2 3 1 4 3 (최소공배수)=a_2_3_4_3=a_72 즉 a_72=720이므로 a=10 10 0119 세 자연수의 최대공약수를 G라 하면 세 자연수는 2_G, 3_G, 5_G이므로 G >³ 2_G 3_G 5_G 2 3 5 G 2 3 5 (최소공배수)=G_2_3_5=G_30 즉 G_30=360이므로 G=12 따라서 세 자연수는 2_G=2_12=24, 3_G=3_12=36, 5_G=5_12=60이므로 구하는 가 장 작은 수는 24이다. ② 0120 세 자연수의 최대공약수를 G라 하면 세 자연수는 2_G, 4_G, 7_G이므로 G >³ 2_G 4_G 7_G 2 >³ 2 4 7 1 2 7 G 2 1 2 7 (최소공배수)=G_2_2_7=G_28 즉 G_28=140이므로 G=5 따라서 세 자연수는 2_G=2_5=10, 4_G=4_5=20, 7_G=7_5=35이므로 구하는 세 자 연수의 합은 10+20+35=65 65 0121 최대공약수가 2Û`_3이므로 a=1, b=2 최소공배수가 2Ü`_3Û`_5_7이므로 c=5 ∴ a-b+c=1-2+5=4 4 0122 최소공배수가 2Û`_3Ü`_5Û`이므로 a=2, b=3, c=2 ∴ a+b+c=2+3+2=7 7 0123 최대공약수가 2Û`_3이므로 a=2, b=1 최소공배수가 2Ü`_3Ý`_5이므로 c=5 ① 0124 최대공약수가 300=2Û`_3_5Û`, 최소공배수가 12600=2Ü`_3Û`_5Û`_7이므로 a=2, b=7 ∴ a+b=2+7=9 9 0125 어떤 수를 A=2`_3º`(a, b는 자연수)이라 하면 최대공약수가 2Û`_3Û`이므로 a=2 최소공배수가 2Ü`_3Ü`_5이므로 b=3 ∴ A=2Û`_3Ü` ③ 0126 28=2Û`_7과 7_a의 최대공약수가 7이므로 a는 2와 서로 소이어야 한다. 따라서 a의 값이 될 수 있는 수는 ②이다. ② 0127 A와 2Û`_3Û`의 최소공배수가 180=2Û`_3Û`_5이므로 A는 5 의 배수이면서 최소공배수인 2Û`_3Û`_5의 약수이어야 한다. 따라서 A의 값이 될 수 없는 수는 ④이다. ④ 0128 56=2Ü`_7, 70=2_5_7, A의 최대공약수가 7이므로 A=7_a라 하면 a는 2와 서로소이어야 한다. 따라서 A의 값이 될 수 있는 수를 작은 수부터 차례대로 나 열하면 7, 21, 35, 49, …이므로 세 번째로 작은 수는 35이다. ⑤
0
3
최대공약수와 최소공배수의 활용
0129 2 >³ 16 24 2 >³ 8 12 2 >³ 4 6 2 3 2 2 2 ∴ (최대공약수)=2_2_2=8 8 0130 가능한 한 많은 학생에게 똑같이 나누어 주려면 학생 수는 16과 24의 최대공약수이어야 하므로 8명이다. 8명 0131 2 >³ 72 120 2 >³ 36 60 2 >³ 18 30 3 >³ 9 15 3 5 2 2 2 3 ∴ (최대공약수)=2_2_2_3=24 24 0132 가능한 한 큰 정사각형의 모양의 타일을 붙이려면 타일의 한 변의 길이는 72와 120의 최대공약수이어야 하므로 24`cm 이다. 24`cm 0133 3 >³ 9 12 3 4 3 3 4 ∴ (최소공배수)=3_3_4=36 36기본 문제
다지기
p.21STEP 1
필수
유형 익히기
p.22~p.27 0140 되도록 많은 학생들에게 똑같이 나누 2 >³ 42 70 56 7 >³ 21 35 28 3 5 4 2 7 어 주려면 학생 수는 42, 70, 56의 최 대공약수이어야 한다. 따라서 구하는 학생 수는 2_7=14(명)이다. 14명 0141 각 반에 속하는 남학생 수와 여학생 수가 각각 같도록 하여 반을 최대한 만들려면 반의 수는 138과 120의 최대공약수이어 야 한다. 따라서 반을 최대 2_3=6(개)까지 만들 수 있다. 6개 0142 가능한 한 많은 학생들에게 똑같 5 >³ 140 175 280 7 >³ 28 35 56 4 5 8 5 7 이 나누어 주려면 학생 수는 140, 175, 280의 최대공약수이어야 한 다. 따라서 나누어 줄 수 있는 학생 수는 5_7=35(명)이므로 한 학생이 받는 펜은 280Ö35=8(자루)이다. 8자루 2 >³ 138 120 3 >³ 69 60 23 20 0143 가능한 한 많은 학생들에게 똑같이 나누어 2 >³ 54 30 3 >³ 27 15 9 5 2 3 주려면 학생 수는 54, 30의 최대공약수이 어야 한다. 따라서 나누어 줄 수 있는 학생 수는 2_3=6(명)이므로 A=6 6명의 학생들에게 각각 빵은 54Ö6=9(개), 우유는 30Ö6=5(개)를 나누어 줄 수 있으므로 B=9, C=5 ∴ A+B+C=6+9+5=20 20 0144 가능한 한 큰 정사각형 모양의 타일을 붙 2 >³ 204 108 2 >³ 102 54 3 >³ 51 27 17 9 2 2 3 이려면 타일의 한 변의 길이는 204와 108의 최대공약수이어야 한다. 따라서 타일의 한 변의 길이는 2_2_3=12 (cm)이다. ① 0145 되도록 큰 정사각형 모양의 대리석을 붙 2 >³ 360 168 2 >³ 180 84 2 >³ 90 42 3 >³ 45 21 15 7 2 2 2 3 이려면 대리석의 한 변의 길이는 360과 168의 최대공약수이어야 한다. 따라서 대리석의 한 변의 길이는 2_2_2_3=24`(cm)이므로 A=24 이때 가로는 360Ö24=15(개), 세로는 168Ö24=7(개)씩 대리석을 붙이면 되므로 B=15_7=105 ∴ B-A=105-24=81 81 0146 ⑴ 가능한 한 큰 정육면체를 만들려 2 >³ 36 54 90 3 >³ 18 27 45 3 >³ 6 9 15 2 3 5 2 3 3 면 정육면체의 한 모서리의 길이는 36, 54, 90의 최대공약수이어야 한 다. 따라서 정육면체의 한 모서리의 길이는 2_3_3=18`(cm)이다. ⑵ 가로는 36Ö18=2(개), 세로는 54Ö18=3(개), 높이는 90Ö18=5(개)씩 나무토막이 나누어지므로 만들어지는 정육면체의 개수는 2_3_5=30(개) ⑴ 18`cm ⑵ 30개 0147 화분의 수를 최소한으로 하려면 화분 사이 2 >³ 98 84 7 >³ 49 42 7 6 의 간격을 가능한 한 넓게 해야 하므로 화 분 사이의 간격은 98과 84의 최대공약수인 2_7=14`(m)이다. 이때 98Ö14=7, 84Ö14=6이므로 필요한 화분의 개수는 (7+6)_2=26(개) 26개 0148 ⑴ 나무 사이의 간격이 최대가 되어야 하므 2 >³ 90 54 3 >³ 45 27 3 >³ 15 9 5 3 2 3 3 로 나무 사이의 간격은 90과 54의 최대 공약수인 2_3_3=18`(m)이다. ⑵ 90Ö18=5, 54Ö18=3이므로 필요한 나무의 수는 (5+3)_2=16(그루) ⑴ 18`m ⑵ 16그루 0134 가장 작은 정사각형 모양을 만들려면 정사각형의 한 변의 길 이는 9와 12의 최소공배수이어야 하므로 36`cm이다. 36`cm 0135 5 >³ 15 20 3 4 5 3 4 ∴ (최소공배수)=5_3_4=60 60 0136 대전행 기차와 춘천행 기차가 처음으로 다시 동시에 출발할 때까지 걸리는 시간은 15와 20의 최소공배수이므로 60분이 다. 따라서 오전 9시에 두 기차가 동시에 출발한 후 처음으로 다시 동시에 출발하게 되는 시각은 60분 후인 오전 10시이 다. 오전 10시 0137 2, 3, 4의 어느 것으로 나누어도 나누어떨 2 >³ 2 3 4 1 3 2 2 1 3 2 어지므로 어떤 자연수는 2, 3, 4의 공배수 이다. 이러한 자연수 중 가장 작은 수는 2, 3, 4의 최소공배수이므 로 2_3_2=12이다. 12 0138 (두 수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로 A_18=9_270 ∴ A=135 135 0139 (두 수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로 80=2_(최소공배수) ∴ (최소공배수)=40 400149 가로등의 개수가 최소가 되도록 하려면 2 >³ 360 210 3 >³ 180 105 5 >³ 60 35 12 7 2 3 5 가로등 사이의 간격은 가능한 한 넓게 해 야 하므로 가로등 사이의 간격은 360과 210의 최대공약수인 2_3_5=30`(m)이다. 360Ö30=12, 210Ö30=7이고 네 모퉁이에는 가로등이 설 치되어 있으므로 필요한 가로등의 개수는 (12+7)_2-4=34(개) 34개 0150 어떤 자연수로 63-3, 40-4, 즉 60, 36을 2 >³ 60 36 2 >³ 30 18 3 >³ 15 9 5 3 2 2 3 나누면 나누어떨어지므로 어떤 자연수는 60과 36의 공약수이다. 이러한 자연수 중 가장 큰 수는 60과 36의 최대공약수이므로 2_2_3=12이다. 12 0151 사과는 2개가 남고, 귤은 5개가 부족했으므 2 >³ 24 40 2 >³ 12 20 2 >³ 6 10 3 5 2 2 2 로 사과는 26-2=24(개), 귤은 35+5=40(개)가 있으면 똑같이 나누어 줄 수 있다. 따라서 사과와 귤을 가능한 한 많은 어린이에게 나누어 줄 때의 어린이의 수는 24와 40의 최대공약수이므로 2_2_2=8(명)이다. ④ 0152 사탕은 5개가 남고, 초콜릿은 9개가 남았으 2 >³ 48 72 2 >³ 24 36 2 >³ 12 18 3 >³ 6 9 2 3 2 2 2 3 므로 사탕은 53-5=48(개), 초콜릿은 81-9=72(개)가 있으면 똑같이 나누어 줄 수 있다. 따라서 손님의 수는 48과 72의 공약수이다. 48과 72의 최대공약수는 2_2_2_3=24이므로 손님의 수는 24의 약수이다. 이때 식당에 있는 손님의 수가 10명보 다 많고 20명보다 적으므로 구하는 손님의 수는 24의 약수 중 10보다 크고 20보다 작은 12명이다. ② 0153 구하는 수는 68-4, 100-4, 108-4, 2 >³ 64 96 104 2 >³ 32 48 52 2 >³ 16 24 26 8 12 13 즉 64, 96, 104의 공약수 중 4보다 큰 수이다. 64, 96, 104의 최대공약수는 2_2_2=8이고 구하는 수는 8의 약수 중 4보다 큰 수이 므로 8의 1개이다. ① 0154 어떤 자연수로 47+1, 57-1, 65+3, 2 >³ 48 56 68 2 >³ 24 28 34 12 14 17 2 2 즉 48, 56, 68을 나누면 나누어떨어지 므로 어떤 자연수는 48, 56, 68의 공 약수이다. 이러한 자연수 중 가장 큰 수는 48, 56, 68의 최대공약수이 므로 2_2=4이다. 4 0155 연필은 남지 않고, 공책은 2권, 지우개 3 >³ 45 54 72 3 >³ 15 18 24 5 6 8 는 3개가 남았으므로 연필은 45자루, 공책은 56-2=54(권), 지우개는 75-3=72(개)가 있으면 똑같이 나누어 줄 수 있다. 따라서 연필, 공책, 지우개를 가능한 한 많은 학생들에게 나 누어 줄 때의 학생 수는 45, 54, 72의 최대공약수이므로 3_3=9(명)이다. 9명 0156 가능한 한 작은 정육면체를 만들려면 5 >³ 10 15 25 2 3 5 정육면체의 한 모서리의 길이는 10, 15, 25의 최소공배수이어야 한다. 따라서 정육면체의 한 모서리의 길이는 5_2_3_5=150`(cm)이다. 150`cm 0157 가장 작은 정사각형 모양을 만들려면 정사 3 >³ 21 12 7 4 각형의 한 변의 길이는 21과 12의 최소공 배수이어야 한다. 따라서 정사각형의 한 변의 길이는 3_7_4=84 (cm)이다. 이때 가로는 84Ö21=4(개), 세로는 84Ö12=7(개)씩 타 일을 붙이면 되므로 필요한 타일의 개수는 4_7=28(개) ③ 0158 ⑴ 가장 작은 정육면체를 만들려면 한 2 >³ 16 10 8 2 >³ 8 5 4 2 >³ 4 5 2 2 5 1 모서리의 길이는 16, 10, 8의 최소 공배수이어야 한다. 따라서 정육면체의 한 모서리의 길 이는 2_2_2_2_5=80`(cm) ⑵ 가로는 80Ö16=5(개), 세로는 80Ö10=8(개), 높이는 80Ö8=10(개)씩 벽돌을 쌓으면 되므로 필요한 벽돌의 개수는 5_8_10=400(개) ⑴ 80`cm ⑵ 400개 0159 15와 18의 최소공배수가 3_5_6=90이 3 >³ 15 18 5 6 므로 기차와 버스는 90분마다 동시에 출발 한다. 따라서 오전 8시에 기차와 버스가 동시에 출발한 후 처음으 로 다시 동시에 출발하는 시각은 90분, 즉 1시간 30분 후인 오전 9시 30분이다. ⑤ 0160 8, 4, 6의 최소공배수는 2 >³ 8 4 6 2 >³ 4 2 3 2 1 3 2_2_2_3=24이므로 세 사람은 24일 마다 같이 축구를 하게 된다. 따라서 세 사람이 처음으로 다시 모여 축구를 하게 되는 것 은 24일 후이다. 24일 후
0161 15와 20의 최소공배수가 5_3_4=60이 5 >³ 15 20 3 4 므로 영민이와 은수는 60분마다 출발점에 서 다시 만난다. 따라서 두 사람이 처음으로 다시 출발점에서 만나려면 영민 이는 60Ö15=4(바퀴), 은수는 60Ö20=3(바퀴)씩 돌아야 한다. 영민：4바퀴, 은수：3바퀴 0162 보미가 다시 일하는 데 걸리는 기간은 2 >³ 6 10 3 5 5+1=6(일)이고, 현성이가 다시 일하는 데 걸리는 기간은 7+3=10(일)이다. 이때 6, 10의 최소공배수는 2_3_5=30이므로 두 사람은 30일마다 동시에 일을 시작한다. 따라서 두 사람이 동시에 일을 시작하는 날은 총 300Ö30=10(일)이다. 10일 0163 같은 톱니에서 처음으로 다시 맞물릴 때까 2 >³ 12 20 2 >³ 6 10 3 5 지 돌아간 톱니의 수는 12와 20의 최소공 배수인 2_2_3_5=60(개)이다. 따라서 두 톱니바퀴가 같은 톱니에서 처음으로 다시 맞물리 게 되는 것은 톱니바퀴 A가 60Ö12=5(바퀴), 톱니바퀴 B 가 60Ö20=3(바퀴) 회전한 후이므로 a=5, b=3 ∴ a-b=5-3=2 2 0164 같은 톱니에서 처음으로 다시 맞물릴 때까 3 >³ 36 63 3 >³ 12 21 4 7 지 돌아간 톱니의 수는 36과 63의 최소공 배수인 3_3_4_7=252(개)이다. 따라서 두 톱니바퀴가 같은 톱니에서 처음으로 다시 맞물린 것은 톱니바퀴 A가 252Ö36=7(바퀴) 회전한 후이다. ② 0165 같은 톱니에서 처음으로 다시 맞물릴 2 >³ 18 32 12 2 >³ 9 16 6 3 >³ 9 8 3 3 8 1 때까지 돌아간 톱니의 수는 18, 32, 12 의 최소공배수인 2_2_3_3_8=288(개)이다. 따라서 세 톱니바퀴가 같은 톱니에서 처음으로 다시 맞물린 것은 톱니바퀴 B가 288Ö32=9(바퀴) 회전한 후이다. ② 0166 3, 4, 5로 나누면 항상 2가 남으므로 구하는 수를 x라 하면 x-2는 3, 4, 5의 공배수이다. 3, 4, 5의 최소공배수는 3_4_5=60이므로 x-2=60 ∴ x=62 ③ 0167 4, 5로 나누면 모두 2가 부족하므로 구하는 수를 x라 하면 x+2는 4, 5의 공배수이다. 4, 5의 최소공배수는 4_5=20이므로 x+2=20 ∴ x=18 18 0168 6, 5, 4로 나누면 모두 1이 부족하므로 구하 2 >³ 6 5 4 3 5 2 는 수를 x라 하면 x+1은 6, 5, 4의 공배 수이다. 6, 5, 4의 최소공배수는 2_3_5_2=60이므로 60의 배수 중 100에 가장 가까운 수는 120이다. 즉 x+1=120이므로 x=119 119 0169 6명, 7명, 8명씩 배정하면 모두 2명이 부 2 >³ 6 7 8 3 7 4 족하므로 구하는 학생 수를 x명이라 하면 x+2는 6, 7, 8의 공배수이다. 6, 7, 8의 최소공배수는 2_3_7_4=168이므로 x+2는 168의 배수이다. 이때 야영에 참가한 학생 수는 300명보다 많고 350명보다 적으므로 x+2=336 ∴ x=334 따라서 구하는 학생 수는 334명이다. ② 0170 60n , 78n 이 모두 자연수가 되려면 n의 값 2 >³ 60 78 3 >³ 30 39 10 13 은 60과 78의 공약수이어야 한다. 60과 78의 최대공약수는 2_3=6이므로 n의 값 중 가장 큰 수는 6이다. ③ 0171 90n , 126 n 이 모두 자연수가 되려면 n의 값 2 >³ 90 126 3 >³ 45 63 3 >³ 15 21 5 7 은 90과 126의 공약수이어야 한다. 90과 126의 최대공약수는 2_3_3=18 이므로 구하는 자연수 n의 값은 18의 약수 인 1, 2, 3, 6, 9, 18이다. 1, 2, 3, 6, 9, 18 0172 구하는 수는 4와 6의 공배수이다. 2 >³ 4 6 2 3 4와 6의 최소공배수는 2_2_3=12이므로 100 이하의 자연수 중 12의 배수는 12, 24, y, 96의 8개이 다. ④ 0173 구하는 기약분수를 ;aB; (a, b는 서로소)라 하면 ;2$5@;_;aB;=(자연수), ;1#5@;_;aB;=(자연수)를 만족해야 하므로 ;aB;=(25, 15의 최소공배수)(42, 32의 최대공약수)=:¦2°: :¦2°: 0174 :Á8°:_;aB;=(자연수), ;1#2%;_;aB;=(자연수)를 만족해야 하므로 ;aB;=(15, 35의 최대공약수)(8, 12의 최소공배수)=:ª5¢: 따라서 a=5, b=24이므로 a+b=5+24=29 29
STEP 2
중단원
유형 다지기
p.28~p.30 0180 ① 1은 소수가 아니다. ③ 2는 2를 약수로 갖지만 소수이다. ⑤ 2는 소수이지만 짝수이다. ②, ④ 0181 ① 28=2Û`_7 ② 68=2Û`_17 ③ 100=2Û`_5Û` ④ 125=5Ü` ⑤ 0182 126=2_3Û`_7이므로 126의 소인수는 2, 3, 7이다. ④ 0183 320=2ß`_5이므로 320_a가 어떤 자연수의 제곱이 되려면 a=5_(자연수)Û`의 꼴이어야 한다. ① 5=5_1Û` ② 20=5_2Û` ③ 45=5_3Û` ④ 75=5_15 ⑤ 125=5_5Û` 따라서 자연수 a의 값으로 적당하지 않은 것은 ④ 75이다. ④ 0175 구하는 기약분수를 ;aB; (a, b는 서로소)라 하면 ;3%;_;aB;=(자연수), ;1@2%;_;aB;=(자연수), ;9%;_;aB;=(자연수)를 만족해야 하므로 ;aB;=(3, 12, 9의 최소공배수)(5, 25, 5의 최대공약수)=:£5¤: ② 0176 (두 수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로 640=8_(최소공배수) ∴ (최소공배수)=80 ④ 0177 (두 수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로 A_B=9_54=486 486 0178 (두 수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로 A_32=8_160 ∴ A=40 40 다른 풀이 A=8_a (a와 4는 서로소)라 하면 서로소 8 >³ A 32 a 4 A와 32의 최소공배수는 160이므로 8_a_4=160 ∴ a=5 ∴ A=8_5=40 0179 A=12_a라 하면 12 >³ 2 4 A 36 2 a 3 360=12_2_3_5이므로 a의 값은 5 또는 5_2 또는 5_3 또는 5_2_3 따라서 가장 작은 자연수 A의 값은 a=5일 때이므로 A=12_5=60 ① 0184 270=2_3Ü`_5이므로 270의 약수는 (2의 약수)_(3Ü`의 약수)_(5의 약수)의 꼴이다. ③ 2Û`_3에서 2Û`은 2의 약수가 아니므로 270의 약수가 아니 다. ⑤ 2_3Û`_5Û`에서 5Û`은 5의 약수가 아니므로 270의 약수가 아니다. ③, ⑤ 0185 280=2Ü`_5_7이므로 약수의 개수는 (3+1)_(1+1)_(1+1)=16(개) 8_3`_7º`=2Ü`_3`_7º`이므로 약수의 개수는 (3+1)_(a+1)_(b+1)개 따라서 16=4_(a+1)_(b+1)이므로 4=(a+1)_(b+1) 이것을 만족하는 자연수 a, b는 a=1, b=1뿐이다. ∴ a_b=1_1=1 ① 0186 두 수의 최대공약수를 각각 구하면 ① 4 ② 3 ③ 7 ④ 1 ⑤ 23 따라서 서로소인 두 수로 짝지어진 것은 ④이다. ④ 0187 세 자연수의 최대공약수가 2Û`_5Û`이므로 공약수의 개수는 (2+1)_(2+1)=9(개) ② 0188 2 _3Ü`_7Û` 2Û`_3Û`_7 (최대공약수)=2 _3Û`_7 (최소공배수)=2Û`_3Ü`_7Û` ③ 0189 ① 약수의 개수는 (6+1)_(2+1)_(4+1)=105(개) ⑤ 2Þ`_3_7Û`과의 최소공배수는 2ß`_3Û`_5Ý`_7Û`이다. ⑤ 0190 n >³ 4_n 6_n 8_n 2 >³ 4 6 8 2 >³ 2 3 4 1 3 2 (최소공배수)=n_2_2_3_2=n_24 즉 n_24=48이므로 n=2 ∴ (최대공약수)=n_2=2_2=4 ② 0191 가능한 한 많은 학생들에게 똑같이 나누어 2 >³ 40 60 2 >³ 20 30 5 >³ 10 15 2 3 2 2 5 주려면 학생 수는 40과 60의 최대공약수 이어야 한다. 따라서 나누어 줄 수 있는 학 생 수는 2_2_5=20(명)이므로 a=40Ö20=2, b=60Ö20=3 ∴ a+b=2+3=5 50192 구하는 자연수는 50-2, 118+2, 2 >³ 48 120 144 2 >³ 24 60 72 2 >³ 12 30 36 3 >³ 6 15 18 2 5 6 150-6, 즉 48, 120, 144의 공약수 중 6보다 큰 수이다. 48, 120, 144의 최대공약수는 2_2_2_3=24이고 24의 약수 중 6보다 큰 수는 8, 12, 24이다. 따라서 보기 중 어떤 자연수가 될 수 있는 수는 ④, ⑤이다. ④, ⑤ 0193 4, 7, 14의 최소공배수가 2 >³ 4 7 14 7 >³ 2 7 7 2 1 1 2_7_2=28이므로 28일마다 세 식물 에게 동시에 물을 주게 된다. 따라서 4월 1 일부터 28일 후, 즉 4월 29일에 처음으로 다시 동시에 물을 주게 된다. ⑤ 0194 (두 수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로 A_143=11_286 ∴ A=22 이때 A=2_11이므로 구하는 소인수들의 합은 2+11=13 13 다른 풀이 A=11_a(a와 13은 서로소)라 하면 A 와 143의 최소공배수가 286이므로 11_a_13=286 ∴ a=2 따라서 A=11_2이므로 구하는 소인수들의 합은 2+11=13 0195 ⑴ 3 >³ 75 5 >³ 25 5 ∴ 75=3_5Û ` ⑵ 따라서 75의 약수는 1, 3, 5, 15, 25, 75이다. ⑴ 75=3_5Û` ⑵ 표는 풀이 참조, 75의 약수：1, 3, 5, 15, 25, 75 0196 ㈎에 의하여 구하는 자연수는 aÛ``(a는 소수)의 꼴이다. yy 2점 즉 약수의 개수가 3개인 자연수를 크기가 작은 것부터 차례 대로 나열하면 2Û`=4, 3Û`=9, 5Û`=25, 7Û`=49, 11Û`=121, … yy 3점 따라서 ㈏, ㈐에 의하여 구하는 자연수는 49이다. yy 1점 49 채점 기준 배점 약수의 개수가 3개인 수를 소인수분해한 꼴로 나타내기 2점 약수의 개수가 3개인 수를 크기가 작은 것부터 차례대로 나열하기 3점 조건을 만족하는 수 구하기 1점 11 >³ A 143 a 13 서로소 _ 1 5 5Û` 1 1_1=1 1_5=5 1_5Û`=25 3 3_1=3 3_5=15 3_5Û`=75 0197 최대공약수가 2º`_3Û`이므로 a=2, b=2 yy 2점 최소공배수가 2`_3Þ`_5이므로 c=3 yy 1점 ∴ a+b-c=2+2-3=1 yy 2점 1 채점 기준 배점 a, b, c의 값 구하기 각 1점 a+b-c의 값 구하기 2점 0198 ⑴ 주사위의 개수를 가능한 한 적게 2 >³ 52 78 130 13 >³ 26 39 65 2 3 5 하려면 주사위의 크기가 최대한 커야 한다. 즉 주사위의 한 모서 리의 길이는 52, 78, 130의 최대공약수이어야 하므로 2_13=26 (cm)이다. ⑵ 가로는 52Ö26=2(개), 세로는 78Ö26=3(개), 높이는 130Ö26=5(개)씩 나무토막이 나누어지므로 만들어지 는 주사위의 개수는 2_3_5=30(개) ⑴ 26`cm ⑵ 30개 0199 3개씩, 4개씩, 6개씩 포장하면 모두 2개가 부족하므로 오렌 지의 개수를 n개라 하면 n+2는 3, 4, 6의 공배수이다. 3, 4, 6의 최소공배수는 2_3_2=12이 므로 n+2는 12의 배수이다. yy 3점 이때 오렌지의 개수가 40개보다 많고 50개 보다 적으므로 n+2=48 ∴ n=46 yy 2점 따라서 오렌지의 개수는 46개이므로 10개씩 포장하면 6개 가 남는다. yy 2점 6개 채점 기준 배점 (오렌지의 개수)+2가 12의 배수임을 파악하기 3점 오렌지의 개수 구하기 2점 10개씩 포장할 때 남는 오렌지의 개수 구하기 2점 0200 ;1!5$;_;aB;=(자연수), :£6°:_;aB;=(자연수)를 만족해야 하므로 ;aB;=(14, 35의 최대공약수)(15, 6의 최소공배수) yy 3점 =:£7¼: 따라서 a=7, b=30이므로 yy 3점 b-a=30-7=23 yy 1점 23 채점 기준 배점 a, b의 조건 알기 3점 a, b의 값 구하기 3점 b-a의 값 구하기 1점 2 >³ 3 4 6 3 >³ 3 2 3 1 2 1
교과서에 나오는
창의 . 융합문제
p.31 0201 ⑴ 1번 학생이 시행을 한 후 열려 있는 문에 적힌 숫자는 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 2번 학생이 시행을 한 후 열려 있는 문에 적힌 숫자는 3, 5, 7, 9 3번 학생이 시행을 한 후 열려 있는 문에 적힌 숫자는 5, 6, 7 이와 같은 방법으로 10번 학생까지 시행을 한 후 열려 있 는 문에 적힌 숫자는 4, 9이다. ⑵ ㉡, ㉣ 4=2Û`, 9=3Û`이므로 약수의 개수는 2+1=3(개)이 고 합성수이다. ㉤ 4는 2의 제곱이 되는 수, 9는 3의 제곱이 되는 수이다. ⑴ 4, 9 ⑵ ㉡, ㉣, ㉤ 0202 ⑴ 10과 12의 최소공배수는 2_5_6=60 2 >³ 10 12 5 6 이므로 같은 이름의 해는 60년마다 돌아 온다. ⑵ 2081=2018+63이고 63=60+3이므로 63년 후의 십 간은 ‘무’에서 3칸 뒤인 ‘신’이고, 십이지는 ‘술’에서 3칸 뒤 인 ‘축’이므로 2081년은 신축년이다. ⑴ 60년 ⑵ 신축년 0203 3Ú`=3, 3Û`=9, 3Ü`=27, 3Ý`=81, 3Þ`=243, y이므로 3의 거듭 제곱은 일의 자리에 3, 9, 7, 1이 순서대로 반복하여 나타난 다. 이때 2018=4_504+2이므로 구하는 일의 자리의 숫자는 9이다. 9 0204 28=2Û`_7과 서로소인 자연수는 2의 배수도 7의 배수도 아 닌 수이다. 100 이하의 자연수 중 2의 배수는 50개, 7의 배수는 14개이 고, 2와 7의 공배수인 14의 배수는 7개이므로 구하는 자연수 의 개수는 100-(50+14-7)=43(개) ④ 0205 2Ü`_ 의 약수의 개수가 12개가 되려면 Ú 2Ü`_ =211 에서 =2¡` Û 2Ü`_ =2Þ`_n (n은 2가 아닌 소수)에서 =2Û`_3, 2Û`_5, 2Û`_7, y 즉 =12, 20, 28, y Ü 2Ü`_ =2Ü`_nÛ` (n은 2가 아닌 소수)에서 =3Û`, 5Û`, 7Û`, y 즉 =9, 25, 49, y Ú ~ Ü에 의하여 안에 알맞은 가장 작은 자연수는 9이다. 9
STEP 3
만점
도전하기
p.32 0206 48=2Ý`_3이므로 A(48)=(4+1)_(1+1)=10 A(48)_A(x)=120에서 10_A(x)=120 ∴ A(x)=12 약수의 개수가 12개가 되려면 Ú x=aÚÚ`Ú``(a는 소수)에서 x=2ÚÚ`Ú`, 3ÚÚ`Ú`, 5ÚÚ`Ú`, y Û x=aÞ`_b`(a, b는 서로 다른 소수)에서 x=2Þ`_3, 2Þ`_5, 2Þ`_7, y Ü x=aÜ`_bÛ``(a, b는 서로 다른 소수)에서 x=2Ü`_3Û`, 3Ü`_2Û`, 2Ü`_5Û`, y Ý x=aÛ`_b_c`(a, b, c는 서로 다른 소수)에서 x=2Û`_3_5, 2Û`_3_7, 3Û`_2_5, y Ú ~ Ý에 의하여 가장 작은 자연수 x의 값은 2Û`_3_5=60 이다. 60 0207 말뚝을 같은 간격으로 박고, 세 모퉁 이에 반드시 박아야 하므로 말뚝 사 이의 간격은 96, 160, 192의 공약수 이어야 한다. 96, 160, 192의 최대공약수는 2Þ`=32이므로 공약수는 1, 2, 4, 8, 16, 32이다. 이때 말뚝의 개수를 가능한 한 적게 하려면 말뚝 사이의 간 격은 20`m를 넘지 않으면서 가능한 한 넓게 해야 하므로 16`m이다. 따라서 96Ö16=6, 160Ö16=10, 192Ö16=12이므로 필요한 말뚝의 개수는 6+10+12=28(개) 28개 0208 네온사인이 다시 켜질 때까지 걸리는 2 >³ 10 16 20 2 >³ 5 8 10 5 >³ 5 4 5 1 4 1 시간은 A는 8+2=10(초), B는 12+4=16(초), C는 14+6=20(초) 이므로 세 네온사인이 다시 동시에 켜 질 때까지 걸리는 시간은 10, 16, 20의 최소공배수인 2_2_5_4=80(초)이다. 따라서 오후 6시 50분에 동시에 켰을 때, 오후 7시 이후에는 640초 후, 즉 10분 40초 후인 오후 7시 0분 40초에 세 네온 사인이 처음으로 다시 동시에 켜진다. 오후 7시 0분 40초 0209 A, B의 최대공약수가 6이므로 A=6_a, B=6_b (a>b이고, a, b는 서로소)라 하면 최소공배수가 108이므로6_a_b=108 ∴ a_b=18 yy`㉠
A+B=66에서
6_a+6_b=66 ∴ a+b=11 yy`㉡ ㉠, ㉡ 을 모두 만족하는 자연수 a, b를 구하면 a=9, b=2`(∵ a>b) ∴ A=6_a=6_9=54 ⑤ 2 >³ 96 160 192 2 >³ 48 80 96 2 >³ 24 40 48 2 >³ 12 20 24 2 >³ 6 10 12 3 5 6 2 2 2 2 2
2
|
정수와 유리수
0
1
정수와 유리수
0210 -3`ùC 0211 +20원 0212 -10년 0213 +4명 0214 +1, 3 0215 -;3(;=-3이므로 음의 정수이다. -5, -;3(; 0216 +1, 3, -5, 0, -;3(; 0217 +1, 2.5, ;2!;, 3 0218 -5, -;3(;, -1.5 0219 2.5, ;2!;, -1.5 0220 0은 유리수이다. × 0221 ◯ 0222 가장 작은 정수는 알 수 없다. × 0223 ◯ 0224 ◯ 0225 양의 정수가 아닌 정수는 0 또는 음의 정수이다. × 0226 A：-3, B：-;2#;, C：0, D：;3$;, E：:Á4Á: 0227 0228 10 0229 7 0230 0 0231 ;3!; 0232 ;5#; 0233 4.5 0234 4 0235 ;2!; 0236 0 0237 0.7 0238 ;5$; 0239 ;6%; 0240 +3, -3 0241 +;3@;, -;3@; 0242 +;2!; 0243 -;4#; 0244 > 0245 < -3 -2 -1 0 1 2 3 (1) (4) (3) (2)기본 문제
다지기
p.35, 37 0258 ① -5`kg ② -5분 ③ -10점 ④ +15`ùC ⑤ -100원 따라서 부호가 나머지 넷과 다른 하나는 ④이다. ④ 0259 ① +3점 ② +10`% ③ -7000`m ④ -5000원 따라서 옳은 것은 ⑤이다. ⑤ 0260 ② +3`cm ② 0261 정수가 아닌 유리수는 ;6%;, -;3@;, -0.8, 2.4의 4개이므로 x=4 음의 유리수는 -;3@;, -2, -0.8의 3개이므로 y=3 ∴ x+y=4+3=7 7 0262 ① 양수는 7, +;2^;의 2개이다. ② 음수는 -4.8, -;3$;, -1의 3개이다. ③ 정수는 7, +;2^;=+3, 0, -1의 4개이다. ④ 자연수는 7, +;2^;=+3의 2개이다. ⑤ 모두 유리수이므로 유리수는 6개이다. 따라서 옳은 것은 ③이다. ③ 0263 세 친구의 대화 내용을 모두 만족하는 수는 정수가 아닌 음 의 유리수이므로 ③이다. ③ 0264 ③ 유리수는 양의 유리수, 0, 음의 유리수로 이루어져 있다. ③ 0265 ① 유리수에는 정수가 아닌 유리수도 있다. ② 정수에는 0과 음의 정수도 있다. ④ 음의 정수가 아닌 정수는 0 또는 양의 정수이다. ⑤ 1과 2 사이에는 정수가 없으므로 서로 다른 두 정수 사이 에는 정수가 없을 수도 있다. ③STEP 1
필수
유형 익히기
p.38~p.45 0246 < 0247 > 0248 > 0249 < 0250 < 0251 > 0252 x¾-8 0253 xÉ;5#; 0254 x<-5 0255 x¾2 0256 -3<xÉ2 0257 -;3@;Éx<1.50266 ③ 0은 유리수이다. ③ 0267 ② B：-0.5 ② 0268 우현 : 점 C에 대응하는 수는 ;5*;이다. 따라서 옳게 말한 사람은 성규, 호야이다. 성규, 호야 0269 주어진 수를 수직선 위에 나타내면 다음과 같다. 따라서 왼쪽에서 두 번째에 있는 수는 -;4%;이다. ⑤ 0270 -3과 5를 나타내는 두 점 사이의 거리가 8이므로 두 수를 나타내는 점의 한가운데에 있는 점에 대응하는 수는 1이다. 1 0271 수직선에서 -2를 나타내는 점으로부터의 거리가 3인 점에 대응하는 수는 -5, 1이다. ①, ④ 0272 -6과 4를 나타내는 두 점 사이의 거리가 10이므로 두 수를 나타내는 점에서 같은 거리에 있는 점에 대응하는 수는 -1 이다. ` ② 0273 수직선 위에 -;3*;과 ;4%;를 나타내면 다음과 같다. -3 -2 -1 0 1 2 3 8 - 45 ∴ a=-3, b=1 a=-3, b=1 0274 수직선 위에 -;5&;과 `:Á3Á:을 나타내면 다음과 같다. -2 -1 0 1 2 3 4 5 7 - 113 따라서 a=-1, b=4이므로 -1<xÉ4를 만족하는 정수 x는 0, 1, 2, 3, 4이다. 0, 1, 2, 3, 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -0.2 3 10 - -45 23 거리 : 4 거리 : 8 거리 : 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 거리 : 3 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 거리 : 3 거리 : 5 거리 : 10 거리 : 5 -6-5 -4-3 -2-1 0 1 2 3 4 0275 수직선 위에 :Á3¼:과 -:Á4°:를 나타내면 다음과 같다. 보다 큰 수 보다 작은 수 -1 -4 -3 -2 0 1 2 3 4 4 15 3 10 -4 15 3 10 - 가장 작은 정수 가장 큰 정수 ∴ x=3, y=-3 x=3, y=-3 0276 수직선 위에 ;2#;과 -:Á4£:을 나타내면 다음과 같다. -1 -3 -4 -5 -2 0 1 2 4 13 - 23 4 13 - 23 가장 작은 정수 가장 큰 정수 보다 큰 수 보다 작은 수 따라서 a=2, b=-4이므로 2와 -4를 나타내는 두 점 사 이의 거리는 6이다. 6 0277 절댓값이 4인 양수는 4이므로 a=4 -;2(;의 절댓값은 ;2(;이므로 b=;2(; ∴ a+b=4+;2(;=:Á2¦: :Á2¦: 0278 원점으로부터의 거리가 6인 점에 대응하는 수는 절댓값이 6 인 수이므로 6, -6이다. ①, ④ 0279 ① |2|=|-2|이지만 2+-2이다. ④ 절댓값이 가장 작은 정수는 0이다. ①, ④ 0280 A, B를 나타내는 두 점 사이의 거리를 a라 하자. B는 음의 정수이고 A, B를 나타내는 점에서 같은 거리에 있는 점에 대응하는 수가 1이므로 두 정수 A, B를 수직선 위에 나타내 면 다음과 같다. 거리 : a B 1 A 거리 : 2 a 거리 : 2 a 이때 A의 절댓값이 5이므로 A=5 따라서 ;2A;=4이므로 1을 나타내는 점에서 왼쪽으로 거리가 4인 점에 대응하는 수는 -3이다. ∴ B=-3 ③ 0281 원점에서 가장 가까운 수는 절댓값이 가장 작은 수이다. 주어진 수의 절댓값을 각각 구하면 ① 2.7 ② 3.1 ③ 8 ④ 1 ⑤ 1.5 따라서 원점에서 가장 가까운 수는 ④이다. ④ 0282 주어진 수의 절댓값을 각각 구하면 ① 3 ② 1 ③ ;2&; ④ 3.3 ⑤ 0 따라서 절댓값이 가장 큰 수는 ③이다. ③
0283 주어진 수를 절댓값이 큰 수부터 차례대로 나열하면 3;2!;, ;3&;, 2, -1.9, -1.4 이므로 세 번째에 오는 수는 2이다. ① 0284 절댓값이 가장 큰 수는 ;2(;이므로 a=;2(; 절댓값이 가장 작은 수는 0.3이므로 b=0.3 ∴ a+b=;2(;+0.3=4.5+0.3=4.8 4.8 0285 절댓값이 같고 부호가 반대인 두 수를 나타내는 두 점 사이 의 거리가 8이므로 두 점은 원점으로부터 각각 8_;2!;=4 만큼 떨어져 있다. 따라서 두 수는 4, -4이므로 두 수 중 작은 수는 -4이다. -4 0286 ⑴ 절댓값이 같고 부호가 반대인 두 수를 나타내는 두 점 사 이의 거리가 7이므로 두 점은 원점으로부터 각각 7_;2!;=;2&;만큼 떨어져 있다. 따라서 두 수 a, b의 절댓값은 ;2&;이다. ⑵ 두 수는 ;2&;, -;2&;이고 a>b이므로
a=;2&;, b=-;2&; ⑴ ;2&; ⑵ a=;2&;, b=-;2&; 0287 a<b, |a|=|b|이므로 두 수 a, b는 절댓값이 같고 부호가 반대이다. 이때 a, b를 나타내는 두 점 사이의 거리가 ;5*;이므로 두 점은 원점으로부터 각각 ;5*;_;2!;=;5$;만큼 떨어져 있다. 따라서 두 수는 ;5$;,-;5$;이고 a<b이므로 a=-;5$; -;5$; 0288 ① -;3!;>-;2!; ② 3>;3&; ③ ;3!;>-1 ④ 0>-4 ⑤ 0289 ① -3<0 ② |-2|=2이므로 |-2|>-5 ③ 0.5=;2!; ④ |+5|=5, |-8|=8이므로 |+5|<|-8| ⑤ 0290 ② |-;3!;|=;3!;, 0.2=;5!;이므로 |-;3!;|>0.2 ② 0291 주어진 수를 작은 수부터 차례대로 나열하면 -3, -;3@;, -;4!;, 0, 2, ;3&; 이므로 네 번째에 오는 수는 0이다. ② 0292 ④ 음수끼리는 절댓값이 작은 수가 크므로 음수 중 가장 큰 수는 -1이다. ④ 0293 A：-;4%;, B：-;2!;, C：1, D：;3%; ① 음수를 나타내는 점은 점 A, B의 2개이다. ③ 절댓값이 작은 수부터 차례대로 나열하면 -;2!;, 1, -;4%;, ;3%; 이므로 점 B에 대응하는 수의 절댓값이 가장 작다. ④ 점 D에 대응하는 수는 ;3%;이다. ⑤ 두 점 A, D에 대응하는 두 수 사이에는 -1, 0, 1의 3개 의 정수가 있다. ② 0294 ② -;2#;<-1이므로 수직선에서 -;2#;은 -1보다 왼쪽에 있 다. ② 0295 ② 0296 ⑤ -2Éa<;3!; ⑤ 0297 ① aÉ7 ② b>3 ③ 3Éc<6 ④ -1<d<5 ⑤ 0298 수직선 위에 -;3%;와 3을 나타내면 다음과 같다. 따라서 -;3%;<xÉ3을 만족하는 정수 x는 -1, 0, 1, 2, 3 의 5개이다. ① 0299 -3Éx<1을 만족하는 정수 x는 -3, -2, -1, 0의 4개이 다. ② 0300 수직선 위에 -;4(;와 ;3&;을 나타내면 다음과 같다. -3 -2 -1 0 1 2 3 4 9 - 37 yy 70`% 따라서 두 수 사이에 있는 정수는 -2, -1, 0, 1, 2이다. yy 30`% -2, -1, 0, 1, 2 채점 기준 비율 수직선 위에 두 수를 나타내기 70`% 두 수 사이에 있는 정수 구하기 30`% -1 -3 -2 0 1 2 3 35
-0301 절댓값이 ;2&;인 두 수는 -;2&;과 ;2&;이고 -;2&;=-3;2!;, ;2&;=3;2!;이므로 두 수 사이에 있는 정수는 -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3의 7개이다. ④ 0302 절댓값이 3 이하인 정수를 x라 하면 |x|É3에서 |x|의 값은 0, 1, 2, 3이다. |x|=0일 때, x=0 |x|=1일 때, x=-1 또는 x=1 |x|=2일 때, x=-2 또는 x=2 |x|=3일 때, x=-3 또는 x=3 따라서 구하는 정수는 -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3의 7개이다. ⑤ 0303 절댓값이 4 미만인 수는 :Á5ª:, 0, 3.6의 3개이다. ③ 0304 |x|<3에서 x는 정수이므로 |x|의 값은 0, 1, 2이다. |x|=0일 때, x=0 |x|=1일 때, x=-1 또는 x=1 |x|=2일 때, x=-2 또는 x=2 따라서 정수 x는 -2, -1, 0, 1, 2의 5개이다. ② 0305 절댓값이 ;2&; 이상 6 이하인 정수를 x라 하면 ;2&;É|x|É6에서 |x|의 값은 4, 5, 6이다. |x|=4일 때, x=-4 또는 x=4 |x|=5일 때, x=-5 또는 x=5 |x|=6일 때, x=-6 또는 x=6 따라서 구하는 정수는 -6, -5, -4, 4, 5, 6의 6개이다. 6개 0306 1<;4%;<;3$;이므로 -;3&;과 ;4%; 사이에 있는 정수가 아닌 유리 수 중에서 분모가 3인 수는 -;3%;, -;3$;, -;3@;, -;3!;, ;3!;, ;3@; 의 6개이다. 6개 0307 ⑴ -;2#;=-1;2!;, ;3$;=1;3!;이므로 -;2#;과 ;3$; 사이에 있는 정수는 -1, 0, 1이다. ⑵ -;2#;=-;6(;, ;3$;=;6*;이므로 -;2#;과 ;3$; 사이에 있는 정 수가 아닌 유리수 중에서 분모가 6인 기약분수는 -;6&;, -;6%;, -;6!;, ;6!;, ;6%;, ;6&;이다. ⑴ -1, 0, 1 ⑵ -;6&;, -;6%;, -;6!;, ;6!;, ;6%;, ;6&; 0308 -;3@;=-;2!4^;, ;6%;=;2@4);이므로 -;3@;보다 크고 ;6%;보다 작 은 정수가 아닌 유리수 중에서 분모가 24인 기약분수는 -;2!4#;, -;2!4!;, -;2¦4;,-;2°4;,-;2Á4;, ;2Á4;, ;2°4;, ;2¦4;, ;2!4!;, ;2!4#;, ;2!4&;, ;2!4(;의 12개이다. ⑤ 0309 ;8@;<;3!;<;8#;이고 ;4#;=;8^;이므로 ;3!;과 ;4#; 사이에 있는 정수 가 아닌 유리수 중에서 분모가 8인 기약분수는 ;8#;, ;8%;이다. ②, ③ 0310 ㉠, ㉡ b<a<0 ㉢ |b|=|c|이고 b와 c는 서로 다른 정수이므로 b와 c의 부 호는 반대이다. ∴ c>0 ∴ b<a<c ③ 0311 ㉠, ㉡ a는 -4보다 크고 절댓값이 4이므로 a=4 ㉢ c는 4보다 크므로 a<c ㉠, ㉣ b는 -4보다 크고 c는 b보다 -4에 더 가까우므로 c<b ∴ a<c<b ② 0312 ㉠ a<0, b<0 ㉡ c>0, d>0 ㉢ 절댓값이 가장 큰 수가 b이므로 b<a<0 절댓값이 가장 작은 수가 c이므로 0<c<d ∴ b<a<c<d ③
0
2
정수와 유리수의 덧셈과 뺄셈
0313 (+5)+(+6)=+(5+6)=+11 +11 0314 (-2)+(-5)=-(2+5)=-7 -7 0315 (+3)+(-7)=-(7-3)=-4 -4 0316 (-11)+(+8)=-(11-8)=-3 -3 0317 {+;2#;}+{+;3!;}={+;6(;}+{+;6@;}=+:Á6Á: +:Á6Á: 0318 {-;2!;}+{-;4#;}={-;4@;}+{-;4#;}=-;4%; -;4%; 0319 {-;3!;}+{+;9%;}={-;9#;}+{+;9%;}=+;9@; +;9@; 0320 {+;6!;}+{-;4#;}={+;1ª2;}+{-;1»2;}=-;1¦2; -;1¦2;기본 문제
다지기
p.470321 +;4#;, +;4#;, 0, ㈎ 덧셈의 교환법칙, ㈏ 덧셈의 결합법칙 0322 (+5)+(-12)+(+2) =(+5)+(+2)+(-12) ={(+5)+(+2)}+(-12) =(+7)+(-12)=-5 -5 0323 {-;2%;}+{+;3@;}+{-;6!;} ={-;2%;}+{-;6!;}+{+;3@;} =[{-;2%;}+{-;6!;}]+{+;3@;} ={-;3*;}+{+;3@;}=-2 -2 0324 (+1.6)+(-2.8)+(-3.2) =(+1.6)+{(-2.8)+(-3.2)} =(+1.6)+(-6)=-4.4 -4.4 0325 (+16)-(+8)=(+16)+(-8)=+8 +8 0326 (+6)-(-3)=(+6)+(+3)=+9 +9 0327 (-12)-(+3)=(-12)+(-3)=-15 -15 0328 (-4)-(-9)=(-4)+(+9)=+5 +5 0329 {+;2#;}-{+;3!;}={+;2#;}+{-;3!;}=+;6&; +;6&; 0330 {+;4#;}-{-;4!;}={+;4#;}+{+;4!;}=+1 +1 0331 {-;5!;}-{+;3@;}={-;5!;}+{-;3@;}=-;1!5#; -;1!5#; 0332 (-3.5)-(-7.1)=(-3.5)+(+7.1)=+3.6 +3.6 0333 (-3)-(-5)+(+2)=(-3)+(+5)+(+2) =+4 +4 0334 {-;7@;}-{+;1°4;}+{-;2#;} ={-;7@;}+{-;1°4;}+{-;2#;} =-:Á7°: -:Á7°: 0335 (-1.8)+(+5.6)-(-2.4) =(-1.8)+(+5.6)+(+2.4) =+6.2 +6.2 0336 4-10+7=4+7-10=11-10=1 1
STEP 1
필수
유형 익히기
p.48~p.52 0338 ①(-2)+(-3)=-5 ②{+;5#;}+{-;5!;}=+;5@; ③{-;3@;}-{+;2!;}={-;3@;}+{-;2!;}=-;6&; ④(-1.2)-(-0.8)=(-1.2)+(+0.8)=-0.4 ⑤{+;2!;}+(-0.5)=0 따라서계산결과가옳은것은③이다. ③ 0339 ④ 0340 ①(+2)+(+7)=+9 ②(+3)-(-6)=(+3)+(+6)=+9 ③(-5)-(-4)=(-5)+(+4)=-1 ④(+6)-(-3)=(+6)+(+3)=+9 ⑤(-1)+(+10)=+9 따라서계산결과가나머지넷과다른하나는③이다. ③ 0341 ①{+;3%;}+{-:Á3Á:}=-;3^;=-2 ②{-;5@;}+{+;1!0#;}=+;1»0; ③(-14.3)-(+3.3)=(-14.3)+(-3.3) =-17.6 ④(-13.5)-(-5.1)=(-13.5)+(+5.1) =-8.4 ⑤{+;3&;}-{-:Á5¤:}={+;3&;}+{+:Á5¤:} =+;1*5#; 따라서계산결과가가장작은것은③이다. ③ 0342 ① 0343 ② 0344 ⑴(-6)+(+3)+(+6)=(-6)+(+6)+(+3) ={(-6)+(+6)}+(+3) =0+(+3)=3 0337 -;2#;+;6%;-;3!;=-;2#;-;3!;+;6%; =-:Á6Á:+;6%;=-1 -1⑵ {+;2!;}+{+;3!;}+{-;2%;} ={+;2!;}+{-;2%;}+{+;3!;} =[{+;2!;}+{-;2%;}]+{+;3!;} =(-2)+{+;3!;}=-;3%; ⑴ 3 ⑵ -;3%; 0345 ① 2-5+;2!;=2+;2!;-5=;2%;-5=-;2%; ② -;3!;+6+;3%;=-;3!;+;3%;+6=;3$;+6=:ª3ª: ③ 10.5-9+2.5=10.5+2.5-9=13-9=4 ④ -;2%;-;6%;+;3$;=-:Á6°:-;6%;+;6*;=-:Á6ª:=-2 ⑤ 2+;8&;-;4!;=:Á8¤:+;8&;-;8@;=:ª8Á: 따라서 계산 결과가 가장 큰 것은 ②이다. ② 0346 ① (+7)+(-8)+(-7)=-8 ② (+5)-(-18)+(+15) =(+5)+(+18)+(+15) =38 ③ (+18)+(-9)-(+11) =(+18)+(-9)+(-11) =-2 ④ (-15)+(+29)-(-9) =(-15)+(+29)+(+9) =23 ⑤ (+15)-(-10)-(+10) =(+15)+(+10)+(-10) =15 따라서 계산 결과가 옳은 것은 ③이다. ③ 0347 ① (-2)+(-3)-(-1.5) =(-2)+(-3)+(+1.5) =-3.5 ② {-;4#;}+(+1)-{+;4!;}={-;4#;}+(+1)+{-;4!;} =0 ③ {+;2#;}-{+;5@;}+{-;5#;}={+;2#;}+{-;5@;}+{-;5#;} =;2!; ④ ;3!;-;6%;-;4#;=;1¢2;-;1!2);-;1»2;=-;1!2%;=-;4%; ⑤ -2.5+;4#;-3.5=-2.5-3.5+;4#;=-6+;4#; =-:ª4Á: 따라서 계산 결과가 옳은 것은 ④이다. ④ 0348 ;2!;-0.3+;4!;+0.2=;2!;+;4!;-0.3+0.2 =;4#;-0.1=;4#;-;1Á0; =;2!0#; ;2!0#; 0349 a=-1+4=3 b=-3-5=-8 ∴ a+b=3+(-8)=-5 -5 0350 ① -3+3=0 ② 0+(-2)=-2 ③ 5-(-2)=7 ④ -2+2=0 ⑤ -5-(-1)=-4 따라서 옳은 것은 ③이다. ③ 0351 ⑴ a=-2+;2#;=-;2!; b=5+{-;4#;}=:Á4¦: ⑵ :Á4¦:=4;4!;이므로 -;2!;<x<:Á4¦:을 만족하는 정수 x는 0, 1, 2, 3, 4의 5개이다. ⑴ a=-;2!;, b=:Á4¦: ⑵ 5개 0352 a=-;2%;+{-;4!;}=-:Á4¼:+{-;4!;}=-:Á4Á: b=-;2(;-{-;4!;}=-:Á4¥:+{+;4!;}=-:Á4¦: ∴ a-b=-:Á4Á:-{-:Á4¦:}=-:Á4Á:+{+:Á4¦:} =;4^;=;2#; ;2#; 0353 a-(+1)=3에서 a=3+(+1)=4 b-(-2)=-5에서 b=-5+(-2)=-7 ∴ a+b=4+(-7)=-3 ① 0354 ⑴ (-3)+☐=-8에서 ☐=-8-(-3)=-8+(+3)=-5 ⑵ ☐-(-1)=-4에서 ☐=-4+(-1)=-5 ⑴ -5 ⑵ -5 0355 a-{-;3!;}=2에서 a=2+{-;3!;}=;3%; b+{-;5@;}=2에서 b=2-{-;5@;}=2+{+;5@;}=:Á5ª: ∴ b-a=:Á5ª:-;3%;=;1!5!; ⑤ 0356 {-;2%;}+☐-{-;2!;}+5=7에서 ☐+{-;2%;}+{+;2!;}+5=7 ☐+3=7 ∴ ☐=7-3=4 4 0357 어떤 정수를 ☐ 라 하면 ☐-5=-7 ∴ ☐=-7+5=-2 따라서 바르게 계산한 값은 -2+5=3 3
0358 어떤 유리수를 ☐라 하면 ☐+;4#;=;3%; yy 60`% ∴ ☐=;3%;-;4#;=;1!2!; yy 40`% ;1!2!; 채점 기준 비율 어떤 유리수를 ☐로 놓고 식 세우기 60 % 어떤 유리수 구하기 40 % 0359 어떤 수를 ☐라 하면 ☐+{-;2#;}=-:Á3Á: ∴ ☐=-:Á3Á:-{-;2#;}=-:ª6ª:+{+;6(;}=-:Á6£: 따라서 바르게 계산한 값은 -:Á6£:-{-;2#;}=-:Á6£:+{+;6(;}=-;6$;=-;3@; -;3@; 0360 |a|=5이므로 a=-5 또는 a=5 |b|=6이므로 b=-6 또는 b=6 Ú a=-5, b=-6일 때, a+b=-5+(-6)=-11 Û a=-5, b=6일 때, a+b=-5+6=1 Ü a=5, b=-6일 때, a+b=5+(-6)=-1 Ý a=5, b=6일 때, a+b=5+6=11 Ú~`Ý에서 A=11, B=-11 ∴ A-B=11-(-11)=11+(+11)=22 22 0361 |a|=2이므로 a=-2 또는 a=2 |b|=3이므로 b=-3 또는 b=3 ① a=-2, b=-3일 때, a+b=-2+(-3)=-5 ② a=2, b=-3일 때, a+b=2+(-3)=-1 ④ a=-2, b=3일 때, a+b=-2+3=1 ⑤ a=2, b=3일 때, a+b=2+3=5 따라서 a+b의 값이 될 수 없는 것은 ③이다. ③ 0362 a의 절댓값이 ;4!;이므로 a=-;4!; 또는 a=;4!; b의 절댓값이 ;5!;이므로 b=-;5!; 또는 b=;5!; Ú a=-;4!;, b=-;5!;일 때, a+b=-;4!;+{-;5!;}=-;2»0; Û a=-;4!;, b=;5!;일 때, a+b=-;4!;+;5!;=-;2Á0; Ü a=;4!;, b=-;5!;일 때, a+b=;4!;+{-;5!;}=;2Á0; Ý a=;4!;, b=;5!;일 때, a+b=;4!;+;5!;=;2»0; 따라서 a+b의 값 중 가장 큰 값은 ;2»0;, 가장 작은 값은 -;2»0;이다. 가장 큰 값：;2»0;, 가장 작은 값：-;2»0; 0363 ㉠에서 |a|=;6%;이므로 a=-;6%; 또는 a=;6%; |b|=;2#;이므로 b=-;2#; 또는 b=;2#; Ú a=-;6%;, b=-;2#;일 때, a+b=-;6%;+{-;2#;}=-:Á6¢:=-;3&; Û a=-;6%;, b=;2#;일 때, a+b=-;6%;+;2#;=;6$;=;3@; Ü a=;6%;, b=-;2#;일 때, a+b=;6%;+{-;2#;}=-;6$;=-;3@; Ý a=;6%;, b=;2#;일 때, a+b=;6%;+;2#;=:Á6¢:=;3&; ㉡에서 a+b=-;3@;이므로 a=;6%;, b=-;2#;
∴ a-b=;6%;-{-;2#;}=;6%;+{+;6(;}=:Á6¢:=;3&; ;3&; 0364 ㉠, ㉡ a=3 ㉢ |a|+|b|=8에서 |a|=3이므로 3+|b|=8 ∴ |b|=5 이때 b<0이므로 b=-5 ∴ a+b=3+(-5)=-2 -2 0365 ㉠, ㉡ a=-5 ㉢ |a|+|b|=9에서 |a|=5이므로 5+|b|=9 ∴ |b|=4 이때 b>0이므로 b=4 ㉣ a-b+c=-6에서 -5-4+c=-6 -9+c=-6 ∴ c=-6+9=3 ∴ a+b+c=-5+4+3=2 2 0366 a+b, |a|=|b|이므로 두 수 a, b는 절댓값이 같고 부호가 반대이다. 이때 a=b-;3@;, 즉 b=a+;3@;에서 b는 a보다 ;3@;만큼 크므로 |a|=|b|=;3@;_;2!;=;3!; ∴ a=-;3!;, b=;3!; ② 0367 주어진 5개의 도시의 최고 기온과 최저 기온의 차를 각각 구 하면 다음과 같다. 서울 : 34.4-(-15.2)=49.6`(ùC) 대전 : 34.5-(-13.1)=47.6`(ùC)
광주 : 35.6-(-12.3)=47.9`(ùC) 부산 : 37.3-(-12.1)=49.4`(ùC) 대구 : 39.7-(-12.0)=51.7`(ùC) 따라서 최고 기온과 최저 기온의 차가 가장 큰 도시는 대구 이고 기온의 차는 51.7`¾이다. 대구, 51.7`¾ 0368 1100-20+15+25-10-50=1060(원) 1060원 0369 ⑴ (시차)=(세계 주요 도시의 시각)-(서울 시각)이므로 ㉠ =(싱가포르 시각)-(서울 시각) =11-12=-1 (세계 주요 도시의 시각)=(시차)+(서울 시각)이므로 ㉡=-13+12=-1 즉 ㉡에 알맞은 시각은 전날 23시이다. ⑵ 서울에서 4월 25일 오전 10시에 시드니와 뉴욕에 각각 전 화를 건다면 전화를 받는 시드니 시각은 서울 시각보다 1 시간 빠르므로 4월 25일 오전 11시이고, 전화를 받는 뉴 욕 시각은 서울 시각보다 13시간 느리므로 4월 24일 오후 9시이다. ⑴ ㉠ -1, ㉡ 전날 23시 ⑵ 시드니：4월 25일 오전 11시, 뉴욕：4월 24일 오후 9시 0370 오른쪽 사각형에서 대각선 방향에 있 4 -3 a 1 c b -2 는 세 정수의 합은 4+1+(-2)=3 두 번째 세로줄에서 -3+1+b=3 ∴ b=5 세 번째 가로줄에서 c+b+(-2)=3, 즉 c+5+(-2)=3 ∴ c=0 첫 번째 세로줄에서 4+a+c=3, 즉 4+a+0=3 ∴ a=-1 ∴ a+b=-1+5=4 4 0371 점 A에 대응하는 수는 -5+:Á3¢:=-;3!; 점 B에 대응하는 수는 -;3!;-;2%;=-;6@;-:Á6°:=-:Á6¦: A：-;3!;, B：-:Á6¦: 0372 5+2+0+a=4 ∴ a=-3 5+(-1)+b+6=4 ∴ b=-6 ∴ a-b=-3-(-6)=-3+(+6)=3 3
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정수와 유리수의 곱셈과 나눗셈
기본 문제
다지기
p.54 0373 (-4)_(+6)=-(4_6)=-24 -24 0374 (-5)_(-3)=+(5_3)=+15 +15 0375 {+;4#;}_{-;6&;}=-{;4#;_;6&;}=-;8&; -;8&; 0376 {-;1¦0;}_{-;4%;}=+{;1¦0;_;4%;}=+;8&; +;8&; 0377 +20, +220, ㈎ 곱셈의 교환법칙, ㈏ 곱셈의 결합법칙 0378 (-2)_(+13)_(+5) =-(2_13_5) =-130 -130 0379 (-4)_(-6)_(+5) =+(4_6_5) =+120 +120 0380 {-;3@;}_{+;5!;}_{+;2#;}=-{;3@;_;5!;_;2#;} =-;5!; -;5!; 0381 {-:Á5ª:}_{+;9$;}_{-;6%;}=+{:Á5ª:_;9$;_;6%;} =+;9*; +;9*; 0382 12_{;4#;-;3!;}=12_;4#;-12_;3!; =9-4=5 5 0383 7_(-4)+7_14 =7_(-4+14) =7_10=70 70 0384 (+14)Ö(+2)=+(14Ö2)=+7 +7 0385 (-12)Ö(-3)=+(12Ö3)=+4 +4 0386 (+18)Ö(-6)=-(18Ö6)=-3 -3 0387 (-24)Ö(+4)=-(24Ö4)=-6 -6 0388 -;4!; 0389 0.5=;2!;이므로 0.5의 역수는 2 2 0390 1 0391 -;3$; 0392 {+;5@;}Ö{-;1¦5;}={+;5@;}_{-:Á7°:}=-;7^; -;7^;STEP 1
필수
유형 익히기
p.55~p.62 0400 ⑤ {-;3!;}_{+;5#;}_(+2)=-{;3!;_;5#;_2} ⑤ {-;3!;}_{+;5#;}_(+2)=-;5@; ⑤ 0401 가장 큰 수는 ;2%;, 가장 작은 수는 -1이므로 두 수의 곱은 ;2%;_(-1)=-;2%; ② 0402 a={-;1¢3;}_{+:£6»:}=-2 yy 40`% b={+;2!;}_{-;2#;}=-;4#; yy 40`% ∴ a_b=(-2)_{-;4#;}=;2#; yy 20`% ;2#; 채점 기준 비율 a의 값 구하기 40 % b의 값 구하기 40 % a_b의 값 구하기 20 % 0403 +2, -4, ㈎ 곱셈의 교환법칙, ㈏ 곱셈의 결합법칙 0404 ① 0405 {-:ª4°:}_(+3)_(+16) =(+3)_{-:ª4°:}_(+16) =(+3)_[{-:ª4°:}_(+16)] =(+3)_(-100)=-300 ① 0406 ③ -(-4)Û`=-16 ③ 0407 ① -4 ② -8 ③ -32 ④ 8 ⑤ -16 따라서 계산 결과가 양수인 것은 ④이다. ④ 0408 ① -1 ② 1 ③ -9 ④ ;1Á6; ⑤ ;8!; 따라서 계산 결과가 가장 큰 수는 ②이다. ② 0409 {-;2!;}Ü`_{-;3@;}Û`_(-3)Ü` =-;8!;_;9$;_(-27)=;2#; ;2#; 0410 (-1)5+(-1)10+(-1)15+y+(-1)210+(-1)215 =(-1)+1+(-1)+1+y+(-1)+1+(-1) =-1 ② 0411 ① (-1)Û`=1 ② {-(-1)}Û`=1Û`=1 ③ -(-1)Ü`=-(-1)=1 ④ {-(-1)}Ü`=1Ü`=1 ⑤ -(-1)Û`=-1 따라서 계산 결과가 나머지 넷과 다른 하나는 ⑤이다. ⑤ 0412 (-1)2017_48+(-1)2018_49+(-1)2019_50 =-1_48+1_49+(-1)_50 =-48+49-50=-49 -49 0413 세 수를 뽑아 곱할 때, 가장 큰 값이 되려면 양수이어야 하므 로 음수 2개, 양수 1개를 곱해야 하며 음수는 절댓값이 큰 수 2개를 선택해야 한다. 즉 (가장 큰 값)=-2_;3!;_(-3)=2 세 수를 뽑아 곱할 때, 가장 작은 값이 되려면 음수이어야 하 므로 음수 3개를 선택해야 한다. 즉 (가장 작은 값)=-2_{-;2#;}_(-3)=-9 ∴ (가장 큰 값)-(가장 작은 값)=2-(-9)=11 11 0 0 0 0393 {-;2(;}Ö{+;5#;}={-;2(;}_{+;3%;}=-:Á2°: -:Á2°: 0394 {+;3@;}Ö{+;5$;}={+;3@;}_{+;4%;}=+;6%; +;6%; 0395 {-:ª3°:}Ö{-;3%;}={-:ª3°:}_{-;5#;}=+5 +5 0396 (+10)_(-3)Ö(-6) =(+10)_(-3)_{-;6!;}=+5 +5 0397 {-;1¥5;}Ö{-;5$;}_{-;2(;} ={-;1¥5;}_{-;4%;}_{-;2(;}=-3 -3 0398 -2+6Ö{4-(-1)Û`_(-2)} =-2+6Ö{4-1_(-2)} =-2+6Ö{4-(-2)} =-2+6Ö6 =-2+1=-1 -1 0399 [12-6Ö{-;5@;}]_;9$;=[12-6_{-;2%;}]_;9$; ={12-(-15)}_;9$; =27_;9$;=12 120414 세 수를 뽑아 곱할 때, 가장 큰 값이 되려면 양수이어야 하므 로 음수 2개, 양수 1개를 곱해야 하며 양수는 절댓값이 큰 수 1개를 선택해야 한다. 즉 M=4_{-;6%;}_(-2)=:ª3¼: 세 수를 뽑아 곱할 때, 가장 작은 값이 되려면 음수이어야 하 므로 음수 1개, 양수 2개를 곱해야 하며 음수는 절댓값이 큰 수 1개를 선택해야 한다. 즉 N=4_;3!;_(-2)=-;3*; ∴ M+N=:ª3¼:+{-;3*;}=:Á3ª:=4 4 0415 세 수를 뽑아 곱할 때, 가장 큰 값이 되려면 양수이어야 하므 로 음수 2개, 양수 1개를 곱해야 하며 절댓값이 큰 음수 2개 와 양수 1개를 선택해야 한다. 즉 A=-5_(-2)_;2%;=25 세 수를 뽑아 곱할 때, 가장 작은 값이 되려면 음수이어야 하 므로 음수 3개 또는 음수 1개, 양수 2개를 곱해야 하며 음수 는 절댓값이 큰 수 1개를 선택해야 한다. Ú 음수 3개를 뽑는 경우 -5_{-;2#;}_(-2)=-15 Û 음수 1개, 양수 2개를 뽑는 경우 -5_;3$;_;2%;=-;;°3¼;; Ú, Û에서 B=-;;°3¼;; ∴ A-B=25-{-;;°3¼;;}=;:!3@:%; :Á;3@;°: 0416 62_{-;5^;}-12_{-;5^;}=(62-12)_{-;5^;} =50_{-;5^;}=-60 -60 0417 ⑤ 0418 -15_42+(-15)_58 =-15_(42+58) =-15_ ㉠ 100 = ㉡ -1500 ∴ ㉠-㉡=100-(-1500)=1600 ⑤ 0419 a_(b+c)=2에서 a_b+a_c=2이므로 6+a_c=2 ∴ a_c=2-6=-4 ① 0420 -0.4=-;1¢0;=-;5@;이므로 -0.4의 역수는 -;2%; ∴ a=-;2%; 1;7#;=:Á7¼:이므로 1;7#;의 역수는 ;1¦0; ∴ b=;1¦0; ∴ a-b=-;2%;-;1¦0;=-;1#0@;=-:Á5¤: -:Á5¤: 0421 -;3A;의 역수는 -;a#;이므로 -;a#;=5 ∴ a=-;5#; 1;3@;=;3%;이므로 1;3@;의 역수는 ;5#; ∴ b=;5#; ∴ a+b=-;5#;+;5#;=0 0 0422 유리수 a의 역수에 4를 곱한 수는 ;a!;_4이므로 ;a!;_4=1, ;a!;=;4!; ∴ a=4 -;2%;의 역수는 -;5@;이므로 b=-;5@; ∴ a_b=4_{-;5@;}=-;5*; ② 0423 주어진 정육면체에서 마주 보는 면에 적힌 두 수는 서로 역 수이므로 0.7, -;2#;, ;7@;의 역수를 각각 구하면 :Á7¼:, -;3@;, ;2&;이다. 따라서 보이지 않는 세 면에 적힌 세 수의 곱은 :Á7¼:_{-;3@;}_;2&;=-:Á3¼: ① 0424 ① (+36)Ö{-;5$;}=(+36)_{-;4%;}=-45 ② {-;8%;}Ö{+;1°6;}={-;8%;}_{+:Á5¤:}=-2 ③ {+;1ª5;}Ö{-;5#;}={+;1ª5;}_{-;3%;}=-;9@; ④ {+;1°8;}Ö{+;3@;}={+;1°8;}_{+;2#;}=;1°2; ⑤ {+;2#;}Ö(-9)Ö{-;6!;}={+;2#;}_{-;9!;}_(-6) =1 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. ⑤ 0425 ① (+3)Ö{+;2!;}=(+3)_(+2)=6 ② {-;2!;}Ö{-;1Á2;}={-;2!;}_(-12)=6 ③ {+;4!;}Ö{+;3*;}={+;4!;}_{+;8#;}=;3£2; ④ (-5)Ö{-;6%;}=(-5)_{-;5^;}=6 ⑤ {-;1»0;}Ö{-;2£0;}={-;1»0;}_{-:ª3¼:}=6 따라서 계산 결과가 나머지 넷과 다른 하나는 ③이다. ③
0426 a=-;3*;+1=-;3%; yy 30`% b=-;4#;-{-;3!;}=-;1°2; yy 30`% ∴ aÖb=-;3%;Ö{-;1°2;}=-;3%;_{-:Á5ª:}=4 yy 40`% 4 채점 기준 비율 a의 값 구하기 30`% b의 값 구하기 30`% aÖb의 값 구하기 40`% 0427 ① -2Û`_(-2)Û`Ö4=-4_4_;4!;=-4 ② {-;2!;}2`Ö2Ü`_(-32)=;4!;_;8!;_(-32)=-1 ③ {-;2!;}2`_(-8)Ö2=;4!;_(-8)_;2!;=-1 ④ (-1)Ü`Ö{-;3!;}_(-9)=(-1)_(-3)_(-9) =-27 ⑤ {-;5#;}Ö(-6)_(-5)Û`={-;5#;}_{-;6!;}_25=;2%; 따라서 계산 결과가 옳은 것은 ②이다. ② 0428 ;3@;Ö{-;2!;}_;4#;=;3@;_(-2)_;4#;=-1 ① 0429 ① {-;2#;}Ö;2#;_2={-;2#;}_;3@;_2=-2 ② {-;2#;}_{-;3$;}Ö5={-;2#;}_{-;3$;}_;5!;=;5@; ③ 8_{-;3!;}Ö3=8_{-;3!;}_;3!;=-;9*; ④ {-;2#;}_6Ö{-;4(;}={-;2#;}_6_{-;9$;}=4 ⑤ (-1)Û`_(-1)¡`_(-1)Ü`=1_1_(-1)=-1 따라서 옳지 않은 것은 ①이다. ① 0430 ⑤ 0431 ㉣ → ㉢ → ㉤ → ㉡ → ㉠의 순서로 계산하므로 네 번째로 계산해야 할 곳은 ㉡이다. ㉡ 0432 ⑴ 3-{(-2)Û`-(-5+3)_2} =3-{4-(-2)_2} =3-{4-(-4)} =3-8=-5 ⑵ 4-[-1+{6_(-2)+5}_3]Ö(-2) =4-{-1+(-12+5)_3}Ö(-2) =4-{-1+(-21)}Ö(-2) =4-(-22)Ö(-2) =4-11=-7 ⑶ -16-{(-4)_5-2Û`-(-3)}Ö(-7) =-16-(-20-4+3)Ö(-7) =-16-(-21)Ö(-7) =-16-3=-19 ⑷ -3Û`-[5-18Ö{2-(-1)à`}_(-2)] =-9-[5-18Ö{2-(-1)}_(-2)] =-9-{5-18Ö3_(-2)} =-9-{5-(-12)} =-9-17=-26 ⑴ -5 ⑵ -7 ⑶ -19 ⑷ -26 0433 ;4#;_[(-1)+;3%;]_(-2)Û`-;5$;=;4#;_;3@;_4-;5$; =2-;5$;=;5^; ④ 0434 ④ 0435 ⑴ ;9@;_[{-;2#;}-{-;5#;}]+;1£0;=;9@;_{-;1»0;}+;1£0; =-;5!;+;1£0;=;1Á0; ⑵ 2_[;2!;-;5$;ÖÖ{-;1ª5;}+1]-1 =2_[;2!;-;5$;_{-:Á2°:}+1]-1 =2_[;2!;-(-6)+1]-1 =2_:Á2°:-1 =15-1=14 ⑶ -3Û`-[-2-;3!;_{3-;2#;}]Ö;2%; =-9-{-2-;3!;_;2#;}Ö;2%; =-9-{-2-;2!;}Ö;2%; =-9-{-;2%;}_;5@; =-9-(-1)=-8 ⑷ -6Ö[[(-2)_5-2Ü`_{-;2!;}]_;3@;] =-6Ö[[-10-8_{-;2!;}]_;3@;] =-6Ö[{-10-(-4)}_;3@;] =-6Ö[(-6)_;3@;] =-6Ö(-4)=;2#; ⑴ ;1Á0; ⑵ 14 ⑶ -8 ⑷ ;2#;
