I .
삼각비
...2
II .
원의 성질
...17
III .
통계
...33
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정답과 해설
중학 수학
3
-2
Ⅰ
.
삼각비
1
삼각비의 뜻
1 ⑴①;5$;②;5#;③;3$; ⑵①;1!7%;②;1¥7;③:Á8°: ⑶①;4#;② '4 ③7 3'77 ④'74 ⑤;4#;⑥'73 ⑷① '5 ②7 3'25 ③'¶146 ④3'25 ⑤'75 ⑥3'¶147 2 ⑴7,625,25 ①;2¦¶5;②;2@5$;③;2¶¦4;④;2@5$;⑤;2¦¶5;⑥:ª7¢: ⑵①;3@;② '3 ③5 2'55 ④'53 ⑤;3@;⑥'52 ⑶①;5@;② '¶215 ③2'¶2121 ④'¶215 ⑤;5@;⑥'¶212 A B C 17 8 15 p.8 ~ p.901
삼각비의 뜻1
⑴①sin A= BCÓ ABÓ=;5$; ⑴②cos A= ACÓ ABÓ=;5#; ⑴③tan A= BCÓ ACÓ=;3$; ⑵①sin B= ACÓ ABÓ=;1!7%; ⑴②cos B= BCÓ ABÓ=;1¥7; ⑴③tan B= ACÓ BCÓ=:Á8°: ⑶ ①sin A= BCÓ ABÓ=;4#; ②cos A= ACÓ ABÓ= ' 7 4 ③tan A= BCÓ ACÓ= 3 '7 ③tan A=3'77 ⑷ ④sin B= ACÓ ABÓ= '47 ⑤cos B= BCÓ ABÓ=;4#; ⑥tan B= ACÓ BCÓ= '37 A B C 3 4 7 기준각 A B C 4 3 7 기준각 ⑷ ①sin A= BCÓ ABÓ= ' 7 5 ②cos A= ACÓ ABÓ=3'25 ③tan A= BCÓ ACÓ= ' 7 3'2 ③tan A= '61§4 ⑷ ④sin B= ACÓ ABÓ= 3'2 5 ⑤cos B= BCÓ ABÓ= '57 ⑥tan B= ACÓ BCÓ = 3'2 '7 ③tan A=3'1§472
⑴ABÓ="Ã24Û`+ 7 Û`="Ã625 = 25 ⑷ ①sin A=;2¶¦5; ②cos A=;2@5$; ③tan A=;2¶¦4; ⑷ ④sin B=;2@5$; ⑤cos B=;2¶¦5; ⑥tan B=:ª7¢: ⑵ACÓ="Ã3Û`-2Û`='5이므로 ⑷ ①sin A=;3@; ②cos A= '3 5 ③tan A= 2 '5=2'55 ⑷ ④sin B= '35 ⑤cos B=;3@; ⑥tan B= '25 ⑶ACÓ="Ã5Û`-2Û`='¶21이므로 ⑷ ①sin A=;5@; ②cos A= '52§1 ③tan A= 2 '¶21=2'2§121 A B C 5 3 2 7 기준각 A B C 5 3 2 7 기준각 A B C 7 24 25 A B 7 C 24 25 A B C 3 2 5 A B C 2 3 5 A B C 2 5 211 ⑴6,6,2'7⑵x=8,y=6⑶x=2,y=3 ⑷x=2,y=4'2⑸x=3'5,y=6⑹x=6,y=2'1§3 2 ⑴2①2,'1§3② 2'¶1313 ⑵ ⑶ ① '4 ②7 3'77 ①2'23 ②2'2 ⑷ ⑸ ①2'67 ②2'65 ①2'55 ②'55 ⑹ ⑺ ①;3@;② '2 5 ① '3 ②3 '22 3 ⑴;5#;⑵2+3'5⑶0⑷;3@; A B C 4 3 A B C 1 3 A B C 7 5 A B C 1 2 5 A B C 3 6 A C B 3 p.10 ~ p.12
02
삼각비의 값1
⑵sin A=;1Ó0;=;5$;이므로x=8 ∴y="Ã10Û`-8Û`='3§6=6 ⑶tan A= x '5=2'55 이므로x=2 ∴y="Ã('5)Û`+2Û`='9=3 ⑷sin A=;6{;=;3!;이므로x=2 ∴y="Ã6Û`-2Û`='3§2=4'2 ⑸cos A=;9{;= '3 이므로x=3'55 ∴y="Ã9Û`-(3'5)Û`='3§6=6 ⑹tan A=;[$;=;3@;이므로x=6 ∴y="Ã6Û`+4Û`='5§2=2'1§32
⑴②sin A= BCÓ ABÓ= 2 '13=2'¶1313 ⑵주어진삼각비의값을만족하는가 A B C 4 3 장간단한직각삼각형ABC는오른 쪽그림과같다. ⑵이때ACÓ="Ã4Û`-3Û`='7이므로 ⑵①cos A= '47 ⑵②tan A= 3 '7=3'77 ⑶주어진삼각비의값을만족하는가장간단한 A B C 1 3 직각삼각형ABC는오른쪽그림과같다. ⑵이때BCÓ="Ã3Û`-1Û`=2'2이므로 ⑵①sin A=2'23 ⑵②tan A=2'2 ⑷주어진삼각비의값을만족하는가 A B C 7 5 장간단한직각삼각형ABC는오 른쪽그림과같다. ⑵이때BCÓ="Ã7Û`-5Û`=2'6이므로 ⑵①sin A=2'67 ⑵②tan A=2'65 ⑸주어진삼각비의값을만족하는가장간 A B C 1 2 단한직각삼각형ABC는오른쪽그림 과같다. ⑵이때ABÓ="Ã1Û`+2Û`='5이므로 ⑵①sin A= 2 '5=2'55 ⑵②cos A= 1 '5= '55 ⑹주어진 삼각비의 값을 만족하는 A B C 3 5 가장간단한직각삼각형ABC는 오른쪽그림과같다. ⑵이때 ACÓ="Ã3Û`-('5)Û`=2이므 로 ⑵①cos A=;3@; ⑵②tan A= '25 ⑷ ④sin B= '25§1 ⑤cos B=;5@; ⑥tan B= '22§1 A B C 2 5 21⑺주어진삼각비의값을만족하는 A C B 3 6 가장간단한직각삼각형ABC 는오른쪽그림과같다. ⑵이때BCÓ="Ã3Û`-('6)Û`='3이 므로 ⑵①sin A= '33 ⑵②tan A= '3 '6='21 = '22
3
⑴∠C=90ù,sin A=;5#;이므로오 A B C 3 5 ⑵른쪽그림과같이직각삼각형 ABC를그릴수있다. ⑵이때ACÓ="Ã5Û`-3Û`=4이므로 ⑵cos A=;5$;,tan A=;4#; ⑵∴cos A_tan A=;5$;_;4#;=;5#; ⑵∠C=90ù,tan A= '2 이므로오5 A B C 2 5 ⑵른쪽그림과같이직각삼각형ABC 를그릴수있다. ⑵이때ABÓ="Ã2Û`+('5)Û`=3이므로 ⑵sin A= '3 ,cos A=;3@;5⑵∴sin A+cos A=2+3'5 ⑶∠C=90ù,cos A=;7#;이므로오른쪽그 A B C 7 3 ⑵림과같이직각삼각형ABC를그릴수있 다. ⑵이때BCÓ="Ã7Û`-3Û`=2'1§0이므로 ⑵sin A=2'1§07 ,tan A=2'1§03
⑵∴7 sin A-3 tan A=7_2'1§07 -3_2'1§03 ⑵∴7 sin A+3 tan A=2'1§0-2'1§0=0 ⑷∠C=90ù,cos A=;3@;이므로오른쪽 A B C 2 3 ⑵그림과같이직각삼각형ABC를그릴 수있다. ⑵이때BCÓ="Ã3Û`-2Û`='5이므로 ⑵sin A= '3 ,tan A=5 '52 ⑵∴sin AÖtan A= '3 Ö5 '52 ⑵∴sin AÖtan A= '3 _5 2 '5=;3@; 1 ⑴2'6⑵ 2'7 ⑶;7%;⑷6 2'65 2 E,D⑴EDÓ,ABÓ⑵AEÓ,ACÓ⑶ADÓ,BCÓ 3 ⑴ABC⑵ABC⑶AEÓ,ACÓ⑷EDÓ,ABÓ⑸ADÓ,BCÓ 4 ⑴5⑵∠ACB⑶;5$;⑷;5#;⑸;3$; 5 ⑴①;1!3@;②;1°3;③:Á5ª:⑵;5#;⑶;1@7#;⑷;5!; 6 ⑴DBÓ,DCÓ⑵ABÓ,BCÓ⑶ABÓ,DBÓ,BDÓ 7 ⑴∠ACB⑵∠ABC⑶;1°3;⑷;1!3@;⑸;1°2;⑹;1!3@; ⑺;1°3;⑻:Á5ª: 8 ⑴;2@0&;⑵'3⑶;1@7#; 9 ⑴10⑵∠ADB⑶;5&; 10 ;5#; p.13 ~ p.15
03
직각삼각형의 닮음을 이용한 삼각비의 값1
⑴△
ABC에서 ⑴BCÓ="Ã7Û`-5Û`=2'6 ⑵△
DAE»△
BAC이므로 ⑴DEÓ ADÓ= BCÓABÓ= 2'6 7 ⑶AEÓADÓ= ACÓABÓ=;7%; ⑷DEÓ AEÓ= BCÓACÓ=2'65
4
⑴△
ABC에서 x A B C D E 3 4 ⑴BCÓ="Ã4Û`+3Û`=5 ⑵△
ABC와△
EBD에서 ⑴∠B는공통, ⑴∠BAC=∠BED=90ù이므로 ⑴△
ABC»△
EBD(AA닮음) ⑴∴∠ACB=∠EDB=∠x ⑶sin x=sin(∠ACB)= ABÓBCÓ=;5$; ⑷cos x=cos(∠ACB)= ACÓ
BCÓ =;5#; ⑸tan x=tan(∠ACB)= ABÓ
ACÓ=;3$;
5
⑴△
ABC»△
EBD(AA닮음) x A B E C D 12 5 ⑴이므로 ⑴∠BCA=∠BDE=∠x ⑴이때△
ABC에서 ⑴BCÓ="Ã12Û`+5Û`=13이므로⑴①sin x=sin(∠BCA)= ABÓ BCÓ =;1!3@; ⑴②cos x=cos(∠BCA)= ACÓ
BCÓ=;1°3; ⑴③tan x=tan(∠BCA)= ABÓ
ACÓ=:Á5ª: ⑵
△
ABC»△
EDC(AA닮음) x A B C D E 6 8 ⑴이므로 ⑴∠ABC=∠EDC=∠x ⑴이때△
ABC에서 ⑴BCÓ="Ã6Û`+8Û`=10이므로 ⑴cos x=cos(∠ABC)= ABÓ BCÓ=;1§¤0;=;5#; ⑶△
ABC»△
EDC(AA닮음) x A B C D E 8 17 ⑴이므로 ⑴∠ABC=∠EDC=∠x ⑴이때△
ABC에서 ⑴ACÓ="Ã17Û`-8Û`=15이므로 ⑴cos x= ABÓ BCÓ =;1¥7;,sinx= ACÓBCÓ=;1!7%; ⑴∴cos x+sin x=;1¥7;+;1!7%;=;1@7#; ⑷△
ABC»△
EBD(AA닮음)이 x C B A E D 9 15 므로 ⑴∠BDE=∠BCA=∠x ⑴이때△
EBD에서 ⑴BEÓ="Ã15Û`-9Û`=12이므로 ⑴sin x= BEÓ BDÓ=;1!5@;=;5$;, ⑴cos x= DEÓ BDÓ=;1»5;=;5#; ⑴∴sin x-cos x=;5$;-;5#;=;5!;7
⑴△
ABC와△
HBA에서 x y A B H C 5 12 13 ⑴∠B는공통, ⑴∠BAC=∠BHA=90ù ⑴이므로 ⑴△
ABC»△
HBA(AA닮음) ⑴∴∠ACB=∠HAB=∠x ⑵△
ABC와△
HAC에서 ⑴∠C는공통,∠BAC=∠AHC=90ù이므로 ⑴△
ABC»△
HAC(AA닮음) ⑴∴∠ABC=∠HAC=∠y ⑶sin x=sin(∠ACB)= ABÓBCÓ =;1°3; ⑷cos x=cos(∠ACB)= ACÓ
BCÓ=;1!3@;
⑸tan x=tan(∠ACB)= ABÓ ACÓ=;1°2; ⑹sin y=sin(∠ABC)= ACÓ
BCÓ =;1!3@; ⑺cos y=cos(∠ABC)= ABÓ
BCÓ =;1°3; ⑻tan y=tan(∠ABC)= ACÓ
ABÓ=:Á5ª:
8
⑴△
HBA»△
ABC(AA닮음) x y A H B C 5 3 ⑴이므로 ⑴∠ACB=∠HAB=∠x ⑴이때△
ABC에서 ⑴ACÓ="Ã5Û`-3Û`=4이므로 ⑴tan x= ABÓACÓ=;4#;,cos y= ABÓBCÓ =;5#; ⑴∴tan x+cos y=;4#;+;5#;=;2@0&; ⑵
△
ABH»△
CAH(AA닮음) 3 x y A B H C 1 ⑴이므로 ⑴∠ACH=∠BAH=∠x, ⑴∠ABH=∠CAH=∠y ⑴이때△
ABC에서 ⑴BCÓ="Ã1Û`+('3)Û`=2이므로 ⑴cos x= ACÓ BCÓ= ' 3 2 ,sin y=ACÓBCÓ= ' 3 2 ⑴∴cos x+sin y= '2 +3 '32 ='3 ⑶△
ABH»△
CAH(AA닮음) x y A B H C 15 17 ⑴이므로 ⑴∠ACH=∠BAH=∠x, ⑴∠ABH=∠CAH=∠y ⑴이때△
ABC에서 ⑴ABÓ="Ã17Û`-15Û`=8이므로 ⑴sin x= ABÓ BCÓ =;1¥7;,sin y= ACÓBCÓ =;1!7%; ⑴∴sin x+sin y=;1¥7;+;1!7%;=;1@7#;9
⑴ABCD에서 x A B H C D 8 6 ⑴BDÓ="Ã8Û`+6Û`=10 ⑵△
ABD»△
HBA(AA닮음) ⑴이므로 ⑴∠ADB=∠HAB=∠x ⑶sin x= ABÓ BDÓ=;1§¤0;=;5#;, ⑴cos x= ADÓ BDÓ =;1¥0;=;5$; ⑴∴sin x+cos x=;5#;+;5$;=;5&;1 ⑴AOÓ=2,BOÓ=8,ABÓ=2'1§7 ⑵4'1§717 ⑶'1§717 ⑷4 2 - '13 1§3 3 ⑴;2!;,2,;2!;⑵2 4 3 5 ;5!; p.16
04
직선의 방정식과 삼각비의 값1
⑴y=4x+8의그래프의x절편은-2,y절편은8이므로 ⑴AOÓ=2,BOÓ=8 ⑴△
BAO에서ABÓ="Ã2Û`+8Û`=2'1§7 ⑵sin a= BOÓ ABÓ= 8 2'1§7=4'1§717 ⑶cos a= AOÓ ABÓ= 2 2'1§7= '171§7 ⑷tan a= BOÓ AOÓ=;2*;=42
y=;3@;x+4의그래프의x절편은-6,y절편은4이므로 AOÓ=6,BOÓ=4△
BAO에서ABÓ="Ã6Û`+4Û`=2'1§3 즉sin a= 4 2'1§3=2'1§313 ,cos a=2'1§36 =3'1§313 ∴sin a-cos a=2'1§313 -3'1§313 =-'1§3133
⑵4x-2y+12=0에서y=2x+6 ⑵∴tan a=(기울기)=24
3x-y+4=0에서y=3x+4 ∴tan a=(기울기)=35
2x-10y+8=0에서y=;5!;x+;5$; ∴tan a=(기울기)=;5!; 1 2 ⑴1,'3, '3 3 ⑴ '3 3 ⑵'2,'3, '3 6 ⑵ '36 3 '3 6 4 5'¶2929 x H D F 1 3 2 x A E G 2 2 3 2 2 p.1705
입체도형에서 삼각비의 값2
⑴sin x= AEÓ AGÓ= 2 2'3= '33 ⑵cos x= EGÓ AGÓ= 2'2 2'3= '363
FHÓ="Ã5Û`+5Û`=5'2(cm) x B H F 5 cm cm 5 2 cm 5 3 BHÓ="Ã(5'2)Û`+5Û`=5'3(cm) ∴cos x= FHÓ BHÓ= 5'2 5'3= '364
EGÓ="Ã3Û`+4Û`=5`(cm) x A E G 2 cm 5 cm cm 29 AGÓ="Ã5Û`+2Û`='2§9`(cm) ∴cos x= EGÓ AGÓ= 5 '2§9 ∴cos x=5'2§929 1 ⑴2,'3⑵'2,1⑶2,'3 2 ⑴1+2'3⑵;2#;⑶0⑷1⑸;2#;⑹ 3'2 ⑺3 '24 ⑻ '2 ⑼;3!;⑽13 3 ⑴2'3⑵-2⑶2⑷1⑸- 3'4 ⑹1⑺3 3'34 ⑻;2!;⑼'2+1⑽3'24 4 ⑴60ù⑵60ù⑶30ù⑷45ù⑸45ù 5 ⑴20ù⑵60ù⑶20ù 6 sin x= '32 ,cos x=;2!; 삼각비A 30ù 45ù 60ù sin A ;2!; '22 '32 cos A '32 '22 ;2!; tan A '33 1 '3 p.18 ~ p.2006
30ù, 45ù, 60ù의 삼각비의 값 ⑴10
ABCD에서 x A B H C D 9 12 BDÓ="Ã9Û`+12Û`=15△
ABD»△
HBA(AA닮음) 이므로∠ADB=∠HAB=∠x ∴sinx= ABÓ BDÓ=;1»5;=;5#;2
⑴sin 30ù+cos 30ù=;2!;+ '2 =3 1+2'3 ⑵cos 60ù+tan 45ù=;2!;+1=;2#; ⑶cos 45ù-sin 45ù= '2 -2 '22 =0 ⑷sin 30ù+cos 60ù=;2!;+;2!;=1 ⑸cos 30ù_tan 60ù= '2 _'3=;2#;3 ⑹tan 60ù+sin 60ù='3+ '2 =3 3'32 ⑺sin 30ù_cos 45ù=;2!;_ '2 =2 '24 ⑻tan 45ù_cos 30ù=1_ '2 =3 '32 ⑼tan 30ùÖtan 60ù= '3 Ö'3=3 '33 _ 1 '3=;3!; ⑽cosÛ` 30ù+sinÛ` 30ù={ '2 }2`+{;2!;}2`=;4#;+;4!;=133
⑴(주어진식)='3+ '2 Ö;2!;='3+3 '32 _2 ⑴(주어진식)='3+'3=2'3 ⑵(주어진식)=2_;2!;-'3_1_'3=1-3=-2 ⑶(주어진식)=;2!;Ö '2 _'3+13 ⑵(주어진식)=;2!;_'32 _'3+1 ⑵(주어진식)=1+1=2 ⑷(주어진식)=;2!;_'3Ö '2 =;2!;_'3_3 '32 =1 ⑸(주어진식)={;2!;}2`_'3- '2 Ö{3 '22 }2` ⑵(주어진식)=;4!;_'3- '2 _23 ⑵(주어진식)= '4 -'3=-3 3'34 ⑹(주어진식)= '2 Ö3 '33 -'32 _'33 ⑵(주어진식)= '2 _3 3 '3- '2 _3 '33 ⑵(주어진식)=;2#;-;2!;=1 ⑺(주어진식)= '2 _1+3 '32 _;2!; ⑺(주어진식)= '2 +3 '34 =3'34 ⑻(주어진식)={ '2 +;2!;}Ö('3+1)3 ⑺(주어진식)= '3+12 _ 1 '3+1=;2!; ⑼(주어진식)=4_ '2 _;2!;+'3_2 '33 ='2+1 ⑽(주어진식)=2_ '2 _3 '22 _1_'32 =3'244
⑴sin 60ù= '2 ∴∠A=60ù3 ⑵cos 60ù=;2!; ∴∠A=60ù ⑶tan 30ù= '3 ∴∠A=30ù3 ⑷sin 45ù= '2 ∴∠A=45ù2 ⑸tan 45ù=1 ∴∠A=45ù5
⑵cos 60ù=;2!;이므로2x-60ù=60ù ⑵2x=120ù ∴x=60ù ⑶cos 30ù= '2 이므로2x-10ù=30ù3 ⑵2x=40ù ∴x=20ù6
tan 45ù=1이므로x-15ù=45ù,x=60ù ∴sin x=sin 60ù= '2 ,3 ∴cos x=cos 60ù=;2!; 1 ⑴x=8,y=4'3⑵x='3,y=2'3⑶x=5'2,y=5 ⑷x=3'2,y=3'2⑸x=20,y=10'3 ⑹x=6,y=6'3⑺x=5'3,y=5 ⑻x=7,y=7'2⑼x=6'3,y=3'3 2 ⑴➊2,2,2➋2,2,2'3 ⑵4'2⑶3'3⑷6+6'3 3 ⑴➊'3,'3,'3➋'3,2 ⑵8'33 ⑶6⑷'3 p.21 ~ p.2207
30ù, 45ù, 60ù의 삼각비의 값 ⑵1
⑴sin 30ù=;[$;에서;2!;=;[$; ⑴∴x=8 ⑴tan 30ù=;]$;에서 '3 =;]$;3 ⑴∴y=4'3⑴다른풀이x의값을구한후y의값은피타고라스정리를이 용하여구할수도있다. ⑴
△
ABC에서y="ÃxÛ`-4Û`="Ã8Û`-4Û`=4'3 ⑵tan 30ù=;3{;에서 '3 =;3{;3 ⑴∴x='3 ⑴cos 30ù=;]#;에서 '2 =;]#;3 ⑴∴y=2'3 ⑶cos 45ù=;[%;에서 '2 =;[%;2 ⑴∴x=5'2 ⑴tan 45ù=;5};에서1=;5}; ⑴∴y=5 ⑷sin 45ù=;6{;에서 '2 =;6{;2 ⑴∴x=3'2 ⑴cos 45ù=;6};에서 '2 =;6};2 ⑴∴y=3'2 ⑸cos 60ù=:Á[¼:에서;2!;=:Á[¼: ⑴∴x=20 ⑴tan 60ù=;1Õ0;에서'3=;1Õ0; ⑴∴y=10'3 ⑹cos 60ù=;1Ó2;에서;2!;=;1Ó2; ⑴∴x=6 ⑴sin 60ù=;1Õ2;에서 '2 =;1Õ2;3 ⑴∴y=6'3 ⑺cos 30ù=;1Ó0;에서 '2 =;1Ó0;3 ⑴∴x=5'3 ⑴sin 30ù=;1Õ0;에서;2!;=;1Õ0; ⑴∴y=5 ⑻tan 45ù=;[&;에서1=;[&; ⑴∴x=7⑴sin 45ù=;]&;에서 '2 =;]&;2
⑴∴y=7'2 ⑼sin 60ù=;[(;에서 '2 =;[(;3 ⑴∴x=6'3 ⑴tan 60ù=;](;에서'3=;](; ⑴∴y=3'3
2
⑴➊△
AHC에서tan 45ù= AHÓ 2 이므로 ⑴➊1=AHÓ 2 ∴AHÓ= 2 ⑴➋△
ABH에서tan 30ù= AHÓx = x2 이므로 ⑴➊'33 = x2 ∴x= 2'3 ⑵△
ABH에서 30∞ 45∞ A H B C x 4 ⑴sin 45ù= AHÓ4 이므로 ⑴'22 =AHÓ4 ∴AHÓ=2'2 ⑴△
AHC에서sin 30ù= AHÓx =2'2x 이므로 ⑴;2!;=2'2x ∴x=4'2 ⑶△
AHC에서 A H B 30∞ 45∞ C x 3 ⑴tan 45ù= AHÓ3 이므로 ⑴1=AHÓ3 ∴AHÓ=3 ⑴△
ABH에서 ⑴tan 30ù= AHÓx =;[#;이므로 ⑴'33 =;[#; ∴x=3'3 ⑷△
AHC에서 30∞ 45∞ A H B C 12 x ⑴cos 30ù= CHÓ12 이므로 ⑴'32 =CHÓ12 ∴CHÓ=6'3 ⑴sin 30ù= AHÓ12 이므로 ⑴;2!;= AHÓ12 ∴AHÓ=6 ⑴△
ABH에서tan 45ù= AHÓ BHÓ= 6BHÓ이므로 ⑴1= 6 BHÓ ∴BHÓ=6 ⑴∴x=BHÓ+CHÓ=6+6'33
⑴➊△
BCD에서tan 45ù= BCÓ '3 이므로 ⑴➊1=BCÓ '3 ∴BCÓ='3 ⑴➋△
ABC에서sin 60ù= BCÓx 이므로 ⑴➊'32 = '3x ∴x= 21 ⑴BCÓ⑵ABÓ⑶DEÓ⑷ABÓ⑸BCÓ⑹ABÓ⑺BCÓ 2 ⑴◯⑵×⑶◯⑷×⑸◯ 3 ⑴0.8480⑵0.5299⑶1.6003⑷0.5299⑸0.8480 4 ⑴①0.6018②0.7986③0.7536④0.7986 ⑵①0.7431②0.6691③1.1106④0.7431 5 ⑴◯⑵◯⑶×⑷× p.23 ~ p.24
08
예각의 삼각비의 값1
⑵cos x= ABÓACÓ= ABÓ1 =ABÓ ⑶tan x= DEÓ
ADÓ= DEÓ1 =DEÓ ⑵
△
BCD에서 4 2 x 45∞ 60∞ A B C D ⑴sin 45ù= BCÓ 4'2이므로 ⑴'22 =BCÓ 4'2 ∴BCÓ=4 ⑴△
ABC에서 ⑴sin 60ù= BCÓx =;[$;이므로 ⑴'32 =;[$; ∴x=8'33 ⑶△
ABC에서 2 3 45∞ 60∞ A B C D x ⑴tan 60ù= BCÓ 2'3이므로 ⑴'3= BCÓ 2'3 ∴BCÓ=6 ⑶△
BCD에서 ⑶tan 45ù= BCÓx =;[^;이므로 ⑶1=;[^; ∴x=6 ⑷△
BCD에서 45∞ 60∞ A B 3 C D x ⑶tan 45ù= BCÓ3 이므로 ⑶1=BCÓ3 ∴BCÓ=3 ⑶△
ABC에서 ⑶tan 60ù= BCÓx =;[#;이므로 ⑶'3=;[#; ∴x='3 ⑷sin y= ABÓACÓ= ABÓ1 =ABÓ ⑸cos y= BCÓ
ACÓ= BCÓ1 =BCÓ
⑹∠z=∠y이므로sin z=sin y=ABÓ ⑺∠z=∠y이므로cos z=cos y=BCÓ
2
⑵cos x= ABÓACÓ= ABÓ1 =ABÓ ⑷tan x= DEÓ
ADÓ= DEÓ1 =DEÓ ⑸∠z=∠y이므로cos z=cos y=BCÓ
3
⑵cos 58ù= OBÓ OAÓ= 0.52991 =0.5299 ⑶tan 58ù= CDÓ ODÓ= 1.60031 =1.6003 ⑷△
AOB에서 ⑷∠OAB=90ù-58ù=32ù ⑷∴sin 32ù= OBÓ OAÓ= 0.52991 =0.5299 ⑸cos 32ù= ABÓ OAÓ= 0.84801 =0.84804
⑴①sin 37ù= ABÓ OAÓ= 0.60181 =0.6018 ⑷②cos 37ù= OBÓ OAÓ= 0.79861 =0.7986 ⑷③tan 37ù= CDÓ ODÓ= 0.75361 =0.7536 ⑷④△
AOB에서 ⑷④∠OAB=90ù-37ù=53ù ⑷④∴sin 53ù= OBÓ OAÓ= 0.79861 =0.7986 ⑵①sin 48ù= ABÓ OAÓ= 0.74311 =0.7431 ⑷②cos 48ù= OBÓ OAÓ= 0.66911 =0.6691 ⑷③tan 48ù= CDÓ ODÓ= 1.11061 =1.1106 ⑷④△
AOB에서 ⑷④∠OAB=90ù-48ù=42ù ⑷④∴cos 42ù= ABÓ OAÓ= 0.74311 =0.74311 ⑴1⑵1⑶0⑷1⑸0⑹-;2!;⑺- '6 ⑻5-2'63 2 ⑴=⑵=⑶>⑷>⑸<⑹<⑺<⑻<⑼> 3 ⑴◯⑵×⑶◯⑷◯⑸× 4 ㉠,㉢,㉤,㉡,㉣ p.25 ~ p.26
09
0ù와 90ù의 삼각비의 값 1 ⑴0.7193⑵0.1908⑶0.9781⑷0.2079 ⑸1.0355⑹5.1446 2 ⑴14⑵16⑶17 3 80 p.2710
삼각비의 표1
⑴(주어진식)=1-0=1 ⑵(주어진식)=1+0=1 ⑶(주어진식)=(0+0)Ö1=0 ⑷(주어진식)=1_;2!;+1_;2!;=;2!;+;2!;=1 ⑸(주어진식)=0_ '2 -2 '22 _0=0 ⑹(주어진식)=0_1- '2 _3 '33 =-;2!; ⑺(주어진식)=1_ '3 -3 '32 _1=-'36 ⑻(주어진식)=1_{2_ '2 -'3}2`2 ⑻(주어진식)=('2-'3)Û`=5-2'62
⑴cos 30ù= '2 ,sin 60ù=3 '32 이므로cos 30ù=sin 60ù ⑵sin 45ù= '2 ,cos 45ù=2 '22 이므로sin 45ù=cos 45ù ⑶sin 90ù=1,cos 90ù=0이므로sin 90ù>cos 90ù ⑷0ùÉxÉ90ù인범위에서x의값이증가하면cos x의값은 감소하므로cos 25ù>cos 30ù ⑸0ùÉxÉ90ù인범위에서x의값이증가하면sin x의값은 증가하므로sin 50ù<sin 55ù ⑹0ùÉx<90ù인범위에서x의값이증가하면tan x의값은 증가하므로tan 20ù<tan 40ù ⑺0<cos 65ù<1,tan 45ù=1이므로cos 65ù<tan45ù ⑻sin 25ù<sin 45ù,cos 45ù<cos 25ù이고 ⑻sin 45ù=cos 45ù이므로sin 25ù<cos 25ù ⑼sin 45ù<sin 50ù,cos 50ù<cos 45ù이고 ⑻sin 45ù=cos 45ù이므로sin 50ù>cos 50ù1
2
⑴sin 14ù=0.2419 ∴x=14 ⑵tan 16ù=0.2867 ∴x=16 ⑶cos 17ù=0.9563 ∴x=173
sin 41ù=0.6561 ∴x=41 cos 39ù=0.7771 ∴y=39 ∴x+y=41+39=80각도 sin cos tan 39ù 0.6293 0.7771 0.8098
40ù 0.6428 0.7660 0.8391
41ù 0.6561 0.7547 0.8693
각도 sin cos tan 11ù 0.1908 0.9816 0.1944 12ù 0.2079 0.9781 0.2126 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 44ù 0.6947 0.7193 0.9657 45ù 0.7071 0.7071 1.0000 46ù 0.7193 0.6947 1.0355 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 78ù 0.9781 0.2079 4.7046 79ù 0.9816 0.1908 5.1446 ⑵ ⑶ ⑴ ⑸ ⑷ ⑹
각도 sin cos tan 14ù 0.2419 0.9703 0.2493 15ù 0.2588 0.9659 0.2679 16ù 0.2756 0.9613 0.2867 17ù 0.2924 0.9563 0.3057 ⑴ ⑵ ⑶
5
⑶tan 61ù= CDÓ ODÓ= CDÓ1 =CDÓ ⑷△
AOB에서 ⑷∠OAB=90ù-61ù=29ù ⑷∴cos 29ù= ABÓ OAÓ= 0.87461 =0.87463
⑵A의값이커지면cos A의값은작아진다. ⑸tan A의최댓값은알수없다.4
㉠sin 0ù=0㉡cos 0ù=1㉣tan 50ù>1(=tan 45ù) 0<㉢cos 80ù< '2 <㉤sin 80ù<12 따라서삼각비의값을작은것부터차례대로쓰면㉠,㉢,㉤, ㉡,㉣이다.1 ⑴①cos 35ù ②10 tan 35ù⑵5 tan 43ù,10 cos 43ù 5
⑶6 cos 55ù,6 sin 55ù⑷cos 32ù ,15 tan 32ù15 2 ⑴①0.28,28②0.96,96⑵3.9,9.2⑶19.4 3 2.7`m 4 80`m 5 ⑴1.7m⑵8.4m⑶10.1 6 3(6'3+1)`m 7 ⑴6.36m⑵10.2m⑶16.56 8 6'3m 9 ⑴503 m⑵50m⑶50{'3 '33 +1}m 10 20('3-1)`m p.30 ~ p.32
11
직각삼각형에서 변의 길이 구하기2
삼각비의 활용
1
⑵tan 43ù=;5{;이므로x=5 tan 43ù ⑵cos 43ù=;]%;이므로y=cos 43ù5⑶cos 55ù=;6{;이므로x=6 cos 55ù ⑵sin 55ù=;;6};이므로y=6 sin 55ù ⑷cos 32ù=:Á[°:이므로x= 15cos 32ù ⑵tan 32ù=;1Õ5;이므로y=15 tan 32ù
2
⑵sin 23ù=;1Ó0;이므로x=10 sin 23ù=10_0.39=3.9 ⑵cos 23ù=;1Õ0;이므로y=10 cos 23ù=10_0.92=9.2 ⑶tan 44ù=;2Ó0;이므로x=20 tan 44ù=20_0.97=19.43
ACÓ=3 sin 65ù=3_0.9=2.7`(m)4
BCÓ=200 sin 24ù=200_0.4=80`(m)5
⑴BHÓ=(대환이의눈높이)=1.7`m ⑵tan 40ù= CBÓ ABÓ= CBÓ10 이므로 ⑵CBÓ=10 tan 40ù=10_0.84=8.4`(m) ⑶(나무의높이)=CBÓ+BHÓ=8.4+1.7=10.1`(m)6
BHÓ=(등대의높이)=3`m tan 30ù= CBÓ ABÓ= CBÓ54 이므로 CBÓ=54 tan 30ù=54_ '33 =18'3`(m) ∴CHÓ=CBÓ+BHÓ=18'3+3 =3(6'3+1)`(m)7
⑴ABÓ=12 sin 32ù=12_0.53=6.36`(m) ⑵ACÓ=12 cos 32ù=12_0.85=10.2`(m) ⑶(쓰러지기전의나무의높이) ⑶=ABÓ+ACÓ=6.36+10.2=16.56`(m)8
ABÓ=6 tan 30ù=6_ '33 =2'3`(m) ACÓ=cos 30ù =6Ö6 '32 =4'3`(m) ∴(부러지기전의나무의높이) ∴=ABÓ+ACÓ=2'3+4'3=6'3`(m)9
⑴AHÓ=DCÓ=50`m이므로 30∞ 45∞ H A C B D 50 m ⑵△
ABH에서 ⑵BHÓ=50 tan 30ù=50_ '33 ⑵BHÓ= 50'3 `(m)3 ⑵△
ACH에서 ⑵CHÓ=50 tan 45ù=50_1=50`(m) ⑶(㉯건물의높이)=BCÓ=BHÓ+CHÓ ⑶(㉯건물의높이)= 50'3 +50=50{3 '33 +1}`(m)10
△
DBC에서 30∞ 15∞ A C B D 20 m BCÓ=tan 30ù =20Ö20 '33 BCÓ=20'3`(m)△
ABC에서 ACÓ=20'3tan45ù=20'3_1 BCÓ=20'3`(m) ∴ADÓ=ACÓ-DCÓ =20'3-20=20('3-1)`(m) 1 ⑴❶5,5'3,2'3❷2'3,5,BHÓ,'3§7 ⑵'2§1⑶5'2⑷2'1§3⑸'7 2 ⑴➊30,4'2➋30,4'2,8'2 ⑵4'3⑶5('2+'6)⑷10(1+'3)⑸4(1+'3) 3 20'1§0`m 4 5'2§1`m 5 28.2`m 6 50(1+'3)`m p.33 ~ p.3512
일반 삼각형에서 변의 길이 구하기1
⑴➊△
AHC에서 ⑴➊AHÓ=10 sin 30ù=10_;2!;= 5 ⑴➊CHÓ=10 cos 30ù=10_ '32 = 5'3 ⑴➊BHÓ=BCÓ-CHÓ=7'3-5'3= 2'3 ⑴➋△
ABH에서 ⑴➊x="ÃAHÓÛ`+ BHÓ Û`="Ã5Û`+(2'3)Û`= '¶37 ⑵오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A 60∞ A B H C x 5 4 에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라하면 ⑴△
ABH에서 ⑴AHÓ=4 sin 60ù=4_ '32 =2'3 ⑴BHÓ=4 cos 60ù=4_;2!;=2 ⑴이때CHÓ=BCÓ-BHÓ=5-2=3이므로 ⑴△
AHC에서 ⑴x="ÃAHÓ Û`+CHÓ Û`="Ã(2'3)Û`+3Û` ='21 ⑶오른쪽그림과같이꼭짓점A H 45∞ A B C x 6 7 2 에서BCÓ에내린수선의발을 H라하면△
ABH에서 ⑴AHÓ=6 sin 45ù ⑴AH=6_ '2 =3'22 ⑴BHÓ=6 cos 45ù=6_ '22 =3'2 ⑴이때CHÓ=BCÓ-BHÓ=7'2-3'2=4'2이므로 ⑴△
AHC에서 ⑴x="ÃAHÓ Û`+CHÓ Û`="Ã(3'2)Û``+(4'2)Û` ='50=5'2 ⑷오른쪽그림과같이꼭짓점B에서 H 60∞ A B C x 8 6 ACÓ에내린수선의발을H라하면 ⑴△
ABH에서 ⑴BHÓ=6 sin 60ù=6_ '32 =3'3 ⑴AHÓ=6 cos 60ù=6_;2!;=3 ⑴이때CHÓ=ACÓ-AHÓ=8-3=5이므로 ⑴△
BCH에서 ⑴x="ÃBHÓ Û`+CHÓ Û`="Ã(3'3)Û`+5Û` ='52=2'13 ⑸오른쪽그림과같이꼭짓 3 3 30∞ A H B C x 4 점A에서BCÓ에내린수 선의발을H라하면 ⑴△
ABH에서 ⑴AHÓ=4 sin 30ù=4_;2!;=2 ⑴BHÓ=4 cos 30ù=4_ '32 =2'3 ⑴이때CHÓ=BCÓ-BHÓ=3'3-2'3='3이므로 ⑴△
AHC에서 ⑴x="ÃAHÓ Û`+CHÓ Û`="Ã2Û`+('3)Û`='72
⑴➊△
ABC에서 ⑴➊∠A=180ù-(45ù+105ù)= 30 ù ⑴➊△
BCH에서 ⑴➊CHÓ=8 sin 45ù=8_ '22 = 4'2 ⑴➋△
AHC에서 ⑴➊x=sin 30ù =4'2Ö;2!;=4'2_2= 8'24'2 ⑵△
ABC에서 60∞ 45∞ 75∞ A B H C x 6 2 ⑴∠A=180ù-(45ù+75ù)=60ù ⑴오른쪽그림과같이꼭짓점C에 서ABÓ에내린수선의발을H라 하면 ⑴△
BCH에서 ⑴CHÓ=6'2 sin 45ù=6'2_ '2 =62 ⑴△
AHC에서 ⑴x=sin 60ù =6Ö6 '32 =6_'32 =4'3 ⑶△
ABC에서 H 30∞ A B 45∞ C 105∞ 10 2 x ⑴∠C=180ù-(30ù+105ù)=45ù ⑴오른쪽그림과같이꼭짓점A에 서BCÓ에내린수선의발을H라 하면 ⑴△
ABH에서 ⑴AHÓ=10'2 sin 30ù=10'2_;2!;=5'2 ⑴BHÓ=10'2 cos 30ù=10'2_ '2 =5'63 ⑴△
AHC에서⑴CHÓ= AHÓtan 45ù =AHÓ1 =5'2
⑴∴x=BHÓ+CHÓ=5'6+5'2=5('2+'6) ⑷
△
ABC에서 H 60∞ A B 45∞ C 75∞ 20 x ⑴∠B=180ù-(75ù+45ù)=60ù ⑴오른쪽그림과같이꼭짓점A에 서BCÓ에내린수선의발을H라 하면 ⑴△
ABH에서 ⑴AHÓ=20 sin 60ù=20_ '32 =10'3 ⑴BHÓ=20 cos 60ù=20_;2!;=10⑴
△
AHC에서⑴CHÓ= AHÓtan 45ù =AHÓ1 =10'3
⑴∴x=BHÓ+CHÓ=10+10'3=10(1+'3) ⑸
△
ABC에서 60∞ 75∞ A B C H 45∞ x 8 ⑴∠C=180ù-(60ù+75ù)=45ù ⑴오른쪽그림과같이꼭짓점B에서 ACÓ에내린수선의발을H라하면 ⑴△
ABH에서 ⑴BHÓ=8 sin 60ù=8_ '32 =4'3 ⑴AHÓ=8 cos 60ù=8_;2!;=4 ⑴△
BCH에서 ⑴CHÓ= BHÓtan 45ù =BHÓ1 =4'3 ⑴∴x=AHÓ+CHÓ=4+4'3=4(1+'3)3
오른쪽그림과같이꼭짓점 H 45∞ A B C 40 m m 60 2 C에서 ABÓ에 내린 수선의 발을H라하면△
AHC에서 CHÓ=40 sin 45ù CHÓ=40_ '2 =20'2`(m)2 AHÓ=40 cos 45ù=40_ '22 =20'2`(m) 이때BHÓ=60'2-20'2=40'2`(m)이므로△
CHB에서 BCÓ="Ã(20'2)Û`+(40'2)Û`='4Ä000=20'10`(m)4
오른쪽그림과같이꼭짓점A에서 A B 60∞ H C 20 m 25 m BCÓ에내린수선의발을H라하면△
ABH에서 AHÓ=20 sin 60ù AHÓ=20_ '2 =10'3`(m)3 BHÓ=20 cos 60ù=20_;2!;=10`(m) 이때CHÓ=25-10=15`(m)이므로△
AHC에서 ACÓ="Ã(10'3)Û`+15Û`='5¶25=5'2§1`(m)5
△
ABC에서 92∞ 45∞ 43∞ 20 m A B H C ∠B=180ù-(92ù+43ù) =45ù 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서BCÓ에내린수선의발 을H라하면△
AHC에서 CHÓ=20 cos 43ù=20_0.73Ó=14.6`(m) AHÓ=20 sin 43ù=20_0.68=13.6`(m)△
ABH에서BHÓ= AHÓtan 45ù =AHÓ1 =13.6`(m)
∴BCÓ=BHÓ+CHÓ=13.6+14.6=28.2`(m)
6
△
ABC에서 60∞ 45∞ 75∞ A B C H 100 m ∠A=180ù-(60ù+75ù)=45ù 오른쪽그림과같이꼭짓점C에서 ABÓ에내린수선의발을H라하면 CHÓ=100 sin 60ù CHÓ=100_ '2 =50'3`(m)3 BHÓ=100 cos 60ù=100_;2!;=50`(m)△
AHC에서 AHÓ= CHÓtan 45ù =CHÓ1 =50'3`(m) ∴ABÓ=BHÓ+AHÓ=50+50'3=50(1+'3)`(m) 1 ⑴➊55,20,tan 55ù,tan 20ù ➋tan 55ù,tan 20ù,tan 55ù,tan 20ù,tan 55ù+tan 20ù100 ⑵➊40,tan 40ù➋25,tan 25ù ➌tan 25ù,tan 40ù,tan 40ù,tan 25ù, tan 40ù-tan 25ù100 2 ⑴➊45,30,45,h,30, '3 h3 ➋h, '3 h,h,3 '33 h,30(3-'3) ⑵35(3-'3)⑶7('3-1) 3 15('3-1)m 4 90(3-'3)m 5 ⑴➊60,60,'3h➋45,45,h ➌h,'3h,'3h,h,25('3+1) ⑵30(3+'3)⑶10'3 6 5('3+1)`m 7 40m p.36 ~ p.3813
삼각형의 높이 구하기2
⑵△
ABH에서 70 45∞ 30∞ 45∞ 60∞ A H B C h ⑵∠BAH=90ù-45ù=45ù 이므로 ⑵BHÓ=h tan 45ù=h⑵
△
AHC에서 ⑵∠CAH=90ù-60ù=30ù이므로 ⑵CHÓ=h tan 30ù= '33 h ⑵이때BHÓ+CHÓ=BCÓ이므로 ⑵h+ '3 h=70,3 3+3'3h=70 ⑵∴h= 210 3+'3=(3+210(3-'3)(3-'3)'3) =35(3-'3) ⑶△
ABH에서 45∞45∞ 30∞ 60∞ A H B C h 14 ⑵∠BAH=90ù-45ù=45ù ⑵이므로 ⑵BHÓ=h tan 45ù=h ⑵△
AHC에서 ⑵∠CAH=90ù-30ù=60ù이므로 ⑵CHÓ=h tan 60ù='3h ⑵이때BHÓ+CHÓ=BCÓ이므로 ⑵h+'3h=14,(1+'3)h=14 ⑵∴h= 14 1+'3=('3+1)('3-1)14('3-1) =7('3-1)3
AHÓ=h`m라하면 45∞ 45∞ 30∞ 60∞ A H B C 30 m△
ABH에서 ∠BAH=45ù이므로 BHÓ=h tan 45ù=h`(m)△
AHC에서 ∠CAH=60ù이므로 CHÓ=h tan 60ù='3h`(m) 이때BHÓ+CHÓ=BCÓ이므로 h+'3h=30,(1+'3)h=30 ∴h= 30 1+'3=('3+1)('3-1)30('3-1) =15('3-1) 즉나무의높이는15('3-1)m이다.4
AHÓ=h`m라하면 45∞ 45∞ 30∞ 60∞ B H C A 180 m△
ABH에서 ∠BAH=30ù이므로 BHÓ=h tan 30ù= '33 h`(m)△
AHC에서 ∠CAH=45ù이므로 CHÓ=h tan 45ù=h`(m) 이때BHÓ+CHÓ=BCÓ이므로 '33 h+h=180,'3+33 h=180 ∴h= 540 3+'3=(3+540(3-'3)(3-'3)'3) =90(3-'3) 즉지면으로부터기구까지의높이는90(3-'3)`m이다.5
⑵△
ABH에서 45∞ 60∞ A B C H h 60 45∞ 30∞ ⑵∠BAH=90ù-45ù=45ù이므로 ⑵BHÓ=h tan 45ù=h ⑵△
ACH에서 ⑵∠CAH=90ù-60ù=30ù이므로 ⑵CHÓ=h tan 30ù= '33 h ⑵이때BHÓ-CHÓ=BCÓ이므로 ⑵h- '3 h=60,3 3-3'3h=60 ⑵∴h= 180 3-'3=(3-180(3+'3)(3+'3)'3) =30(3+'3) ⑶△
ABH에서 30∞ 60∞ 60∞ 30∞ A B C H h 20 ⑵∠BAH=90ù-30ù=60ù이 므로 ⑵BHÓ=htan60ù='3h ⑵△
ACH에서 ⑵∠CAH=90ù-60ù=30ù이므로 ⑵CHÓ=h tan 30ù= '33 h ⑵이때BHÓ-CHÓ=BCÓ이므로 ⑵'3h- '3 h=20,3 2'33 h=20 ⑵∴h=20_ 3 2'3=10'36
AHÓ=h`m라하면 30∞ 45∞ 45∞ 60∞ A B C H 10 m△
ABH에서 ∠BAH=60ù이므로 BHÓ=h tan 60ù='3h`(m)△
ACH에서 ∠CAH=45ù이므로 CHÓ=h tan 45ù=h`(m) 이때BHÓ-CHÓ=BCÓ이므로 '3h-h=10,('3-1)h=10 ∴h= 10 '3-1=('3-1)('3+1)10('3+1) =5('3+1) 즉나무의높이는5('3+1)`m이다.7
CHÓ=h`m라하면 45∞ 45∞ 50∞ 40∞ A B H C 8 m△
CAH에서 ∠ACH=50ù이므로 AHÓ=h tan 50ù=1.2h`(m)△
CBH에서 ∠BCH=45ù이므로 BHÓ=h tan 45ù=h`(m) 이때AHÓ-BHÓ=ABÓ이므로 1.2h-h=8,0.2h=8 ∴h=40 즉탑의높이는40`m이다.1 ⑴5⑵20'3⑶12'3⑷272 ⑸27⑹7'3'2 ⑺135,3'2⑻9'32 ⑼27⑽5'3⑾28⑿12'3 2 ⑴8⑵6'5⑶4⑷10⑸6⑹6 3 ⑴❶254 '3 ❷754 '3 ❸25'3⑵7'3`cmÛ`⑶49'3`cmÛ` ⑷85'3`cmÛ`⑸72'3`cmÛ` p.39 ~ p.41
14
삼각형의 넓이 구하기1
⑴△
ABC=;2!;_5_4_sin 30ù ⑴△
ABC=;2!;_5_4_;2!;=5 ⑵△
ABC=;2!;_8_10_sin 60ù ⑵△
ABC=;2!;_8_10_ '2 =20'33 ⑶△
ABC=;2!;_6_8_sin 60ù ⑵△
ABC=;2!;_6_8_ '2 =12'33 ⑷△
ABC=;2!;_6_9_sin 45ù ⑵△
ABC=;2!;_6_9_ '2 =2 272'2 ⑸△
ABC=;2!;_9_12_sin 30ù ⑵△ABC=;2!;_9_12_;2!;=27 ⑹△
ABC=;2!;_4_7_sin 60ù ⑵△ABC
=;2!;_4_7_ '2 =7'33 ⑻△
ABC=;2!;_3_6_sin(180ù-120ù) ⑻△
ABC=;2!;_3_6_ '2 =3 9'32 ⑼△
ABC=;2!;_9_12_sin(180ù-150ù) ⑻△ABC
=;2!;_9_12_;2!;=27 ⑽△
ABC=;2!;_4_5_sin(180ù-120ù) ⑽△
ABC=;2!;_4_5_ '2 =5'33 ⑾△
ABC=;2!;_7_8'2_sin(180ù-135ù) ⑽△
ABC=;2!;_7_8'2_ '2 =282 ⑿∠BCA=180ù-(25ù+35ù)=120ù이므로 ⑿△
ABC=;2!;_8_6_sin(180ù-120ù) ⑿∠BCA=;2!;_8_6_ '2 =12'332
⑴△
ABC=;2!;_10_x_sin(180ù-150ù)에서 ⑴20=;2!;_10_x_;2!; ⑴20=;2%;x ∴x=8 ⑵△
ABC=;2!;_8'5_x_sin 30ù에서 ⑴60=;2!;_8'5_x_;2!; ⑴60=2'5x ∴x=6'5 ⑶△
ABC=;2!;_x_6_sin(180ù-135ù)에서 ⑴6'2=;2!;_x_6_ '22 ⑴6'2=3'22 x ∴x=4 ⑷△
ABC=;2!;_x_12_sin 60ù에서 ⑴30'3=;2!;_x_12_ '23 ⑴30'3=3'3x ∴x=10 ⑸△
ABC=;2!;_x_10_sin(180ù-120ù)에서 ⑴15'3=;2!;_x_10_ '23 ⑴15'3=5'32 x ∴x=6 ⑹△
ABC=;2!;_x_16_sin(180ù-135ù)에서 ⑴24'2=;2!;_x_16_ '22 ⑴24'2=4'2x ∴x=63
⑵오른쪽그림과같이ACÓ 60∞ 150∞ A C B D 4 cm 2 cm 6 cm cm 2 3 를그으면 ⑴△
ABC ⑴=;2!;_4_6_sin 60ù ⑴=;2!;_4_6_ '23 ⑴=6'3`(cmÛ`) ⑴△
ACD=;2!;_2_2'3_sin(180ù-150ù) ⑴△
ACD=;2!;_2_2'3_;2!; ⑴△
ACD='3`(cmÛ`)⑴∴ABCD=
△
ABC+△
ACD ⑴∴ABCD=6'3+'3⑶오른쪽그림과같이BDÓ를 7 3cm cm 7 3 60∞ 120∞ 7 cm 7 cm A B C D 그으면 ⑴
△
ABD ⑴=;2!;_7'3_7'3_sin 60ù ⑴=;2!;_7'3_7'3_ '23 ⑴=1474'3`(cmÛ`) ⑴△
BCD=;2!;_7_7_sin(180ù-120ù) ⑴△
BCD=;2!;_7_7_ '2 =3 494 `(cmÛ`)'3 ⑴∴ABCD=△
ABD+△
BCD ⑴∴ABCD=1474'3+494'3 ⑴∴ABCD=1964'3=49'3`(cmÛ`) ⑷△
ABC에서 60∞ 30∞ A B C D 10 cm 20 cm 14 cm ⑷ACÓ=20_sin 60ù ⑷ACÓ=20_ '23 ⑷ACÓ=10'3`(cm) ⑷이므로 ⑷△
ABC=;2!;_ABÓ_ACÓ ⑷△ABC=;2!;_10_10'3=50'3`(cmÛ`) ⑷△
ACD=;2!;_10'3_14_sin 30ù ⑷△
ABC=;2!;_10'3_14_;2!;=35'3`(cmÛ`) ⑷∴ABCD=△
ABC+△
ACD⑷∴ABCD=50'3+35'3=85'3`(cmÛ`) ⑸
△
ABC에서 60∞ 45∞ A B C D 8 cm 16 cm cm 10 2 ⑷ACÓ=16_sin 60ù ⑷ACÓ=16_ '23 ⑷ACÓ=8'3(cm) ⑷이므로 ⑷△
ABC=;2!;_ABÓ_ACÓ ⑷△
ABC=;2!;_8_8'3=32'3`(cmÛ`) ⑷△
ACD=;2!;_8'3_10'2_sin 45ù ⑷△
ACD=;2!;_8'3_10'2_ '2 =40'3`(cmÛ`)2 ⑷∴ABCD=△
ABC+△
ACD⑷∴ABCD=32'3+40'3=72'3`(cmÛ`) 1 ;2!;ab sin x,ab sin x 2 ⑴40'3`cmÛ`⑵21'2`cmÛ`⑶36`cmÛ`⑷15'6`cmÛ` ⑸6`cmÛ`⑹2'3`cmÛ` 3 ;2!;ab sin x 4 ⑴14'2`cmÛ`⑵15'3`cmÛ`⑶18'3`cmÛ`⑷30'3`cmÛ` ⑸63'2`cmÛ`⑹52'3`cmÛ` p.42 ~ p.43
15
사각형의 넓이 구하기2
⑴ABCD=8_10_sin 60ù ⑴ABCD=8_10_ '2 =40'3`(cmÛ`)3 ⑵ABCD=6_7_sin 45ù ⑵ABCD=6_7_ '2 =21'2`(cmÛ`)2 ⑶ABCD=8_9_sin(180ù-150ù) ⑶ABCD=8_9_;2!;=36`(cmÛ`) ⑷ABCD=5_6'2_sin(180ù-120ù) ⑶ABCD=5_6'2_ '2 =15'6`(cmÛ`)3 ⑸ABCD=4_3_sin 30ù ⑸ABCD=4_3_;2!;=6`(cmÛ`) ⑹ABCD=2_2_sin(180ù-120ù) ⑶ABCD=2_2_ '2 =2'3`(cmÛ`)34
⑴ABCD=;2!;_8_7_sin45ù ⑴ABCD=;2!;_8_7_ '2 =14'2`(cmÛ`)2 ⑵ABCD=;2!;_10_6_sin 60ù ⑴ABCD=;2!;_10_6_ '2 =15'3`(cmÛ`)3 ⑶ABCD=;2!;_9_8_sin 60ù ⑴ABCD=;2!;_9_8_ '2 =18'3`(cmÛ`)3 ⑷ABCD=;2!;_12_10_sin(180ù-120ù) ⑴ABCD=;2!;_12_10_ '2 =30'3`(cmÛ`)3 ⑸ABCD=;2!;_14_18_sin(180ù-135ù) ⑴ABCD=;2!;_14_18_ '2 =63'2`(cmÛ`)2 ⑹ABCD=;2!;_13_16_sin(180ù-120ù) ⑴ABCD=;2!;_13_16_ '2 =52'3`(cmÛ`)3Ⅱ
.
원의 성질
1
원과 직선
1 ⑴ 68 ⑵ 9 ⑶ 70 ⑷ 11 ⑸ 55 ⑹ 5 ⑺ 160 ⑻ 4 ⑼ 45 2 ⑴ × ⑵ ◯ ⑶ × ⑷ × 3 ⑴ ◯ ⑵ ◯ ⑶ × ⑷ × 4 ⑴ 50, 50, 80, 80, 8 ⑵ 6 ⑶ 12 p.48 ~ p.4901
부채꼴의 중심각의 크기와 호, 현의 길이 사이의 관계1
⑴ µAB=µ CD이므로 ∠AOB=∠COD=68ù ∴ x=68 ⑵ ∠AOB=∠COD이므로 µ CD=µAB=9`cm ∴ x=9 ⑶ ABÓ=CDÓ이므로 ∠COD=∠AOB=70ù ∴ x=70 ⑷ ∠AOB=∠COD이므로 CDÓ=ABÓ=11 cm∴ x=11 ⑸ ABÓ=CDÓ이므로 ∠COD=∠AOB=55ù ∴ x=55 ⑹ ∠AOB:∠COD=µAB:µ CD이므로 ⑹ 30ù:90ù=x:15, 1:3=x:15 ⑹ 3x=15 ∴ x=5 ⑺ xù:40ù=8:2, x:40=4:1 ∴ x=160 ⑻ 45ù:135ù=x:12, 1:3=x:12 ⑹ 3x=12 ∴ x=4 ⑼ 120ù:xù=8:3에서 8x=360 ∴ x=45
2
⑴ 2∠AOB=∠COD이지만 중심각의 크기와 현의 길이는 정비례하지 않으므로 2ABÓ+CDÓ ⑶ ∠COD=60ù일 때만 성립한다. ⑷ 2∠AOB=∠COD이지만 중심각의 크기와 삼각형의 넓 이는 정비례하지 않으므로 2△
AOB+△
COD3
⑶ 중심각의 크기와 현의 길이는 정비례하지 않는다. ⑷ 중심각의 크기가 같으면 현의 길이는 같다.4
⑵ OCÓ∥BDÓ이므로 C 36∞ O 2 cm x cm A B D ⑹ ∠AOC=∠OBD=36ù ⑹ (동위각) ⑹ ODÓ를 그으면 ⑹△
OBD에서 ⑹ OBÓ=ODÓ이므로 ⑹ ∠ODB=∠OBD=36ù ⑹ ∴ ∠DOB=180ù-(36ù+36ù)=108ù ⑹ 이때 ∠AOC:∠DOB=µAC:µ BD이므로 ⑹ 36ù:108ù=2:x ⑹ 1:3=2:x ∴ x=6 1 ⑴ 3.5 ⑵ 4 ⑶ 5 2 ⑴ ➊ 2'5 ➋ 2'5, 2'5, 4'5, 4'5 ⑵ 16 ⑶ 8'2 ⑷ 3 ⑸ 4'5 3 ⑴ 4'3 ⑵ 4 ⑶ 10'3 4 ⑴ ➊ r-4, 8 ➋ r-4, 10, 10 ⑵ :Á2°: cm ⑶ 17 cm ⑷ 5 cm ⑸ :ª3°: cm ⑹ :Á2£: cm ⑺ :°4£: cm 5 ⑴ ➋ r-8 ➌ r-8, r-8, 13, 13 ⑵ 10 cm ⑶ ;1*0(; cm ⑷ 6 cm ⑸ 15`cm 6 ⑴ ➊ 10 ➋ 5 ➌ = ➍ 5, 5'3, 10'3, 10'3 ⑵ 4'3 ⑶ 2'3 p.50 ~ p.5302
원의 중심과 현의 수직이등분선1
⑴ OMÓ⊥ABÓ이므로 AMÓ=BMÓ=3.5 cm ⑵ ∴ x=3.5 ⑵ OMÓ⊥ABÓ이므로 ⑵ BMÓ=AMÓ=;2!; ABÓ=;2!;_8=4 (cm) ⑵ ∴ x=4 ⑶ OMÓ⊥ABÓ이므로 ⑵ ABÓ=2AMÓ=2_2.5=5 (cm) ⑵ ∴ x=52
⑵△
OAM에서 AMÓ="Ã10Û`-6Û`='6§4=8`(cm) ⑵ OMÓ⊥ABÓ이므로 ABÓ=2AMÓ=2_8=16 (cm) ⑵ ∴ x=16 ⑶△
OAM에서 AMÓ="Ã6Û`-2Û`='3§2=4'2`(cm) ⑵ OMÓ⊥ABÓ이므로 ABÓ=2AMÓ=2_4'2=8'2 (cm) ⑵ ∴ x=8'2 ⑶ ABÓ∥CDÓ이므로 O 45∞ A B D C 6 cm x cm ⑹ ∠ODC=∠DOB=45ù(엇각) ⑹ OCÓ를 그으면 ⑹△
ODC에서 ⑹ OCÓ=ODÓ이므로 ⑹ ∠OCD=∠ODC=45ù ⑹ ∴ ∠COD=180ù-(45ù+45ù)=90ù ⑹ 이때 ∠COD:∠DOB=µ CD:µ BD이므로 ⑹ 90ù:45ù=x:6 ⑹ 2:1=x:6 ∴ x=12⑷ OMÓ⊥ABÓ이므로 AMÓ=;2!; ABÓ=;2!;_8=4 (cm)
⑵
△
OAM에서 OMÓ="Ã5Û`-4Û`='9=3`(cm)⑵ ∴ x=3
⑸ OMÓ⊥ABÓ이므로 AMÓ=;2!; ABÓ=;2!;_16=8 (cm)
⑵
△
OAM에서 OAÓ="Ã4Û`+8Û`='8§0=4'5 (cm) ⑵ ∴ x=4'53
⑴ 오른쪽 그림과 같이 OAÓ를 그으면 O A M B C 4 cm 2 cm x cm 4 cm ⑵ OAÓ=OCÓ=4`cm ⑵△
OAM에서 ⑵ AMÓ="Ã4Û`-2Û`='12=2'3 (cm) ⑵ OMÓ⊥ABÓ이므로 ⑵ ABÓ=2AMÓ=2_2'3=4'3 (cm) ⑵ ∴ x=4'3 ⑵ 오른쪽 그림과 같이 OAÓ를 그으면 O A B M x cm 5 cm C 6 cm ⑵ OAÓ=OCÓ=5`cm ⑵ OMÓ⊥ABÓ이므로 ⑵ AMÓ=;2!;ABÓ=;2!;_6=3 (cm) ⑵△
OAM에서 ⑵ OMÓ="Ã5Û`-3Û`='1§6=4 (cm) ⑵ ∴ x=4 ⑶ 오른쪽 그림과 같이 OAÓ를 그으면 O A B C 10 cm x cm M ⑵ OAÓ=OCÓ=10`cm ⑵ OMÓ=;2!; OCÓ=;2!;_10=5`(cm) ⑵△
OAM에서 ⑵ AMÓ="Ã10Û`-5Û`='7§5=5'3`(cm) ⑵ OMÓ⊥ABÓ이므로 ⑵ ABÓ=2AMÓ=2_5'3=10'3 (cm) ⑵ ∴ x=10'34
⑵ OMÓ⊥ABÓ이므로 O A M B C 3 cm 6 cm ⑵ AMÓ=BMÓ=6`cm ⑵ 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면 ⑵ OAÓ=OCÓ=r`cm, ⑵ OMÓ=(r-3)`cm이므로 ⑵△
OAM에서 ⑵ rÛ`=6Û`+(r-3)Û`, rÛ`=36+rÛ`-6r+9 ⑵ 6r=45 ∴ r=:Á2°: ⑵ 따라서 원 O의 반지름의 길이는 :Á2°: cm이다. ⑶ OMÓ⊥ABÓ이므로 O A B M C 8 cm 2 cm ⑵ AMÓ=BMÓ=8 cm ⑵ 원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 ⑵ OAÓ=OCÓ=r cm, ⑵ OMÓ=(r-2) cm이므로 ⑵△
OAM에서 ⑵ rÛ`=8Û`+(r-2)Û` , rÛ`=64+rÛ`-4r+4 ⑵ 4r=68 ∴ r=17 ⑵ 따라서 원 O의 반지름의 길이는 17 cm이다. ⑷ OMÓ⊥ABÓ이므로 O A B M C 3 cm 1 cm ⑵ BMÓ=AMÓ=3 cm ⑵ 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면 ⑵ OBÓ=OCÓ=r cm, ⑵ OMÓ=(r-1) cm이므로 ⑵△
OMB에서 ⑵ rÛ`=(r-1)Û`+3Û` , rÛ`=rÛ`-2r+1+9 ⑵ 2r=10 ∴ r=5 ⑵ 따라서 원 O의 반지름의 길이는 5 cm이다. ⑸ OMÓ⊥ABÓ이므로 O A M B C 6 cm 16 cm ⑵ BMÓ=;2!;ABÓ=;2!;_16=8`(cm) ⑵ 원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 ⑵ OBÓ=OCÓ=r cm, ⑵ OMÓ=(r-6) cm이므로 ⑵△
OMB에서 ⑵ rÛ`=(r-6)Û`+8Û`, rÛ`=rÛ`-12r+36+64 ⑵ 12r=100 ∴ r=:ª3°: ⑵ 따라서 원 O의 반지름의 길이는 :ª3°:`cm이다. ⑹ OMÓ⊥ABÓ이므로 A M B C O 12 cm 4 cm ⑵ AMÓ=;2!; ABÓ=;2!;_12=6 (cm) ⑵ 오른쪽 그림과 같이 OAÓ를 긋고, ⑵ 원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 ⑵ OAÓ=OCÓ=r cm, ⑵ OMÓ=(r-4) cm이므로 ⑵△
OAM에서 ⑵ rÛ`=6Û`+(r-4)Û` , rÛ`=36+rÛ`-8r+16 ⑵ 8r=52 ∴ r=:Á2£: ⑵ 따라서 원 O의 반지름의 길이는 :Á2£: cm이다.1 ⑴ 6 ⑵ 4 ⑶ 8 ⑷ 6 ⑸ 3 ⑹ 3 ⑺ 5 ⑻ 6 ⑼ 5 2 ⑴ ➊ 6 ➋ 3 ➌ 3, 3'2, 3 ⑵ 2'1§3 ⑶ 8 ⑷ 2'7 ⑸ '1§9 ⑹ 5 ⑺ 2'5 3 ⑴ 55ù ⑵ 30ù ⑶ 50ù ⑷ 68ù 4 ⑴ ➊ 3'2, 3'2 ➋ 정, 3'2, 9'2 ⑵ 18 cm ⑶ 6'3 cm p.54 ~ p.56
03
원의 중심과 현의 길이 ⑺ OMÓ⊥ABÓ이므로 A M C B O 2 cm 14 cm ⑵ AMÓ=;2!;ABÓ=;2!;_14=7 (cm) ⑵ 오른쪽 그림과 같이 OAÓ를 긋고, ⑵ 원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 ⑵ 하면 ⑵ OAÓ=OCÓ=r`cm, ⑵ OMÓ=(r-2) cm이므로 ⑵△
OAM에서 ⑵ rÛ`=7Û`+(r-2)Û`, rÛ`=49+rÛ`-4r+4 ⑵ 4r=53 ∴ r=:°4£: ⑵ 따라서 원 O의 반지름의 길이는 :°4£: cm이다.5
⑵ CDÓ⊥ABÓ, ADÓ=BDÓ이므로 A B C D 6 cm 2 cm r cm (r-2) cm O CDÓ의 연장선은 원의 중심을 지난다. 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 을 O, 반지름의 길이를 r`cm 라 하면△
AOD에서 ⑵ rÛ`=6Û`+(r-2)Û` ⑵ rÛ`=36+rÛ`-4r+4 ⑵ 4r=40 ∴ r=10 ⑵ 따라서 원의 반지름의 길이는 10 cm이다. ⑶ CDÓ⊥ABÓ, ADÓ=BDÓ이므로 A B C D 5 cm 8 cm (r-5) cm O r cm ⑵ CDÓ의 연장선은 원의 중심을 지난다. 오른쪽 그림과 같이 원의 중 심을 O, 반지름의 길이를 r cm라 하면△
AOD에서 ⑵ rÛ`=8Û`+(r-5)Û` ⑵ rÛ`=64+rÛ`-10r+25 ⑵ 10r=89 ∴ r=;1*0(; ⑵ 따라서 원의 반지름의 길이는 ;1*0(; cm이다. ⑷ ADÓ=;2!; ABÓ=;2!;_6'3=3'3 (cm) ⑵ CDÓ⊥ABÓ, ADÓ=BDÓ이므로 A B C D 3 cm cm 6 3 O(r-3) cm r cm CDÓ의 연장선은 원의 중심을 지난다. ⑵ 오른쪽 그림과 같이 원의 중 심을 O, 반지름의 길이를 r`cm라 하면△
AOD에서 ⑵ rÛ`=(3'3)Û`+(r-3)Û` ⑵ rÛ`=27+rÛ`-6r+9 ⑵ 6r=36 ∴ r=6 ⑵ 따라서 원의 반지름의 길이는 6`cm이다. ⑸ ADÓ=;2!; ABÓ=;2!;_18=9 (cm) ⑵ CDÓ⊥ABÓ, ADÓ=BDÓ이므로 C A D B 18 cm (r-3) cm r cm 3 cm O CDÓ의 연장선은 원의 중심을 지난다. ⑵ 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 을 O, 반지름의 길이를 r`cm 라 하면△
AOD에서 ⑵ rÛ`=9Û`+(r-3)Û` ⑵ rÛ`=81+rÛ`-6r+9 ⑵ 6r=90 ∴ r=15 ⑵ 따라서 원의 반지름의 길이는 15 cm이다.6
⑵ 오른쪽 그림과 같이 점 O에서 O A B H C ABÓ에 내린 수선의 발을 H라 하 고 OHÓ의 연장선과 원 O가 만나 는 점을 C라 하면 ⑵ OCÓ=OAÓ=4`cm(반지름)이므로 ⑵ OHÓ=HCÓ=;2!; OCÓ ⑵ OHÓ=HCÓ=;2!;_4=2`(cm) ⑵ 이때 OHÓ⊥ABÓ이므로 AHÓ=BHÓ ⑵△
OAH에서 AHÓ="Ã4Û`-2Û`=2'3`(cm) ⑵ 즉 ABÓ=2AHÓ=2_2'3=4'3`(cm) ⑵ ∴ x=4'3 ⑶ 오른쪽 그림과 같이 점 O에서 ABÓ O A H B C 에 내린 수선의 발을 H라 하고 OHÓ의 연장선과 원 O가 만나는 점을 C라 하면 ⑵ OCÓ=OAÓ=x`cm(반지름)이므로 ⑵ OHÓ=HCÓ=;2!; OCÓ=;2!;x`(cm) ⑵ 이때 OHÓ⊥ABÓ이므로 ⑵ AHÓ=BHÓ=;2!; ABÓ=;2!;_6=3`(cm) ⑵△
OAH에서 xÛ`=3Û`+{;2!;x}2`이므로 ⑵ ;4#;xÛ`=9 ∴ x=2'3`(∵ x>0)1
⑴ OMÓ=ONÓ이므로 CDÓ=ABÓ=6 cm ⑶ ∴ x=6 ⑵ OMÓ=ONÓ이므로 ⑶ CDÓ=ABÓ=2AMÓ=2_2=4 (cm) ⑶ ∴ x=4 ⑶ OMÓ=ONÓ이므로 ⑶ CDÓ=ABÓ=2AMÓ=2_4=8`(cm) ⑶ ∴ x=8⑷ OMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=CDÓ=6 cm
⑶ ∴ x=6 ⑸ ABÓ=CDÓ이므로 OMÓ=ONÓ=3 cm ⑶ ∴ x=3 ⑹ ABÓ=CDÓ이므로 ONÓ=OMÓ=3 cm ⑶ ∴ x=3 ⑺ ABÓ=CDÓ이므로 OMÓ=ONÓ=5 cm ⑶ ∴ x=5 ⑻ CDÓ=2NDÓ=2_8=16`(cm)이므로 ABÓ=CDÓ ⑶ 따라서 OMÓ=ONÓ=6`cm이므로 x=6 ⑼ ABÓ=2MBÓ=2_12=24`(cm), CDÓ=2NDÓ=2_12=24`(cm)이므로 ⑶ ABÓ=CDÓ ⑶ 따라서 ONÓ=OMÓ=5`cm이므로 x=5
2
⑵△
OAM에서 AMÓ="Ã5Û`-(2'3)Û`='1§3 ⑶ OMÓ⊥ABÓ이므로 ABÓ=2AMÓ=2_'1§3=2'1§3 ⑶ OMÓ=ONÓ이므로 CDÓ=ABÓ=2'1§3 ⑶ ∴ x=2'1§3 ⑶△
OAM에서 AMÓ="Ã5Û`-3Û`='1§6=4 ⑶ OMÓ⊥ABÓ이므로 ABÓ=2AMÓ=2_4=8 ⑶ OMÓ=ONÓ이므로 CDÓ=ABÓ=8 ⑶ ∴ x=8 ⑷△
OBM에서 BMÓ="Ã4Û`-3Û`='7 ⑶ OMÓÓ⊥ABÓ이므로 ABÓ=2BMÓ=2_'7=2'7 ⑶ ONÓ=OMÓ이므로 CDÓ=ABÓ=2'7 ⑶ ∴ x=2'7 ⑸△
OAM에서 OMÓ="Ã10Û`-9Û`='1§9 ⑶ 이때 ABÓ=CDÓ=2_9=18이므로 ⑶ ONÓ=OMÓ='1§9 ∴ x='1§9⑹ OMÓ⊥ABÓ이므로 AMÓ=;2!; ABÓ=;2!;_12=6
⑶
△
OAM에서 OMÓ="Ã('6§1)Û`-6Û`='2§5=5⑶ ABÓ=CDÓ이므로 ONÓ=OMÓ=5
⑶ ∴ x=5
⑺ CDÓ=2DNÓ=8, 즉 CDÓ=ABÓ이므로 OMÓ=ONÓ=2
⑶ OMÓ⊥ABÓ이므로 AMÓ=;2!; ABÓ=;2!;_8=4 ⑶
△
OAM에서 OAÓ="Ã4Û`+2Û`='2§0=2'5 ⑶ ∴ x=2'5 1 ⑴ 60ù ⑵ 50ù ⑶ 70ù 2 ⑴ 145ù ⑵ 110ù ⑶ 45ù 3 ⑴ ➊ 90, 2'2§1 ➋ 2'2§1 ⑵ 2'1§5 ⑶ 13 ⑷ x ➊ 90, x ➋ 9 ⑸ 3'3 ⑹ 8 ⑺ 2 ⑻ 4 4 ⑴ x ➊ x, ;2!; ➋ 6 ⑵ 4'3 ⑶ 2 5 ⑴ ➊ 90, 2'7 ➋ =, 4'7 ⑵ 24`cm ⑶ 8`cm p.57 ~ p.5904
원의 접선과 반지름1
⑴ ∠PTO=90ù이므로△
PTO에서 ⑴ ∠x=180ù-(90ù+30ù)=60ù ⑵ ∠PTO=90ù이므로△
PTO에서 ⑴ ∠x=180ù-(90ù+40ù)=50ù ⑶ ∠PTO=90ù이므로△
PTO에서 ⑴ ∠x=180ù-(90ù+20ù)=70ù3
⑴ OMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=ACÓ⑶ 즉
△
ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로⑶ ∠x=;2!;_(180ù-70ù)=55ù ⑵ OMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=ACÓ
⑶ 즉
△
ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로⑶ ∠C=∠B=75ù
⑶ ∴ ∠x=180ù-(75ù+75ù)=30ù ⑶ OMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=ACÓ
⑶ 즉
△
ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로⑶ ∠C=∠B=65ù
⑶ ∴ ∠x=180ù-(65ù+65ù)=50ù ⑷ OMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=ACÓ
⑶ 즉
△
ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로⑶ ∠x=;2!;_(180ù-44ù)=68ù
4
⑵ ODÓ=OEÓ이므로 BCÓ=ABÓ=6 cm⑶ ODÓ=OFÓ이므로 ACÓ=ABÓ=6 cm
⑶ 따라서
△
ABC는 한 변의 길이가 6 cm인 정삼각형이 므로⑶ (
△
ABC의 둘레의 길이)=3_6=18 (cm) ⑶ ODÓ=OEÓ이므로 BCÓ=ABÓ=2'3 cm⑶ ODÓ=OFÓ이므로 ACÓ=ABÓ=2'3 cm
⑶ 따라서