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2020 개념원리 RPM 미적분 답지 정답

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Academic year: 2021

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(1)문제기본서. 미적분. 정답과 풀이.

(2) Ⅰ. 수열의 극한. 01. 수열의 극한. 주어진 수열의 일반항을 aÇ이라 0007 하면 aÇ=-2n+10. B‰  . 오른쪽 그림에서 n의 값이 한없이 커질. . 때 aÇ의 값이 음수이면서 그 절댓값이 한. 교과서 문제 정 복 하 기 /. /. /. 발산한다. 주어진 수열의 일반항을 aÇ이라 0001 하면 aÇ=. B‰. 1 n. 0. . . O.  O. . 주어진 수열의 일반항을 aÇ이라 0008. 때 aÇ의 값이 0에 한없이 가까워지므로 답0. 이 수열은 0에 수렴한다. 주어진 수열의 일반항을 aÇ이라 0002. B‰. B‰ . 하면 오른쪽 그림에서 n의 값이 한없이 커질 때 수열 {aÇ}은 수렴하지도 않고 양. . 의 무한대나 음의 무한대로 발산하지도. 0. . .  O. . 않으므로 진동한다. 즉, 발산한다.. . n+1 하면 aÇ= n. 답 발산. . 오른쪽 그림에서 n의 값이 한없이 커질. 0. . .  O. . 주어진 수열의 일반항을 aÇ이라 0009. 때 aÇ의 값이 1에 한없이 가까워지므로 답1. 이 수열은 1에 수렴한다. 주어진 수열의 일반항을 aÇ이라 0003. 하면 aÇ=. 1 3n-2. 때 aÇ의 값이 0에 한없이 가까워지므로. . 이 수열은 0에 수렴한다. . 오른쪽 그림에서 n의 값이 한없이 커질 0. 때 aÇ의 값이 2이므로 이 수열은 2에 수. . . B‰ . 오른쪽 그림에서 n의 값이 한없이 커질. B‰. 하면 aÇ=2. Å 0 . Å. . . O. 답 수렴, 0.  O. . 답2. 렴한다. 0004. 주어진 수열의 일반항을 aÇ이라 하면 aÇ=2n 오른쪽 그림에서 n의 값이 한없이 커질 때 aÇ 의 값이 한없이 커지므로 이 수열은 양의 무한.  . . 발산한다.. 0   . O. . O.    . B‰. 주어진 수열의 일반항을 aÇ이라 0011. B‰. 1 nÛ` 오른쪽 그림에서 n의 값이 한없이 커질 때. 0. 하면 aÇ=-. . . . aÇ의 값이 0에 한없이 가까워지므로 이 수 0. . .  O. . 답 수렴, 0. 열은 0에 수렴한다. . 답 수렴, 4. 이 수열은 4에 수렴한다. 주어진 수열의 일반항을 aÇ이라 0006 하면 aÇ={;5!;}. n-1. 오른쪽 그림에서 n의 값이 한없이 커질 때 aÇ의 값이 0에 한없이 가까워지므로. 정답과 풀이. 답 발산. O. 오른쪽 그림에서 n의 값이 한없이 커질. 이 수열은 0에 수렴한다.. . 값이 한없이 커지므로 이 수열은 양의 무한대로. . 때 aÇ의 값이 4에 한없이 가까워지므로. aÇ=5+3Ç` 오른쪽 그림에서 n의 값이 한없이 커질 때 aÇ의. . 1 n. B‰. . 0. 답 발산. 주어진 수열의 일반항을 aÇ이라 0005. B‰ . 주어진 수열의 일반항을 aÇ이라 하면 0010. . 대로 발산한다.. 002. 답 발산. . 0     . . 오른쪽 그림에서 n의 값이 한없이 커질. 하면 aÇ=4-. . 없이 커지므로 이 수열은 음의 무한대로. 본문 7쪽, 9쪽. 답 수렴, 0. B‰. 주어진 수열의 일반항을 aÇ이라 0012 하면 aÇ=1-{-;2!;}n``.  Å  . 오른쪽 그림에서 n의 값이 한없이 커질 0 . . . O. B‰ Å.  0. . . .  O. 때 aÇ의 값이 1에 한없이 가까워지므로 이 수열은 1에 수렴한다.. 답 수렴, 1.

(3) 주어진 수열의 일반항을 aÇ이라 0013. . 하면 aÇ=cos np 오른쪽 그림에서 n의 값이 한없이 커질 때 수열 {aÇ}은 수렴하지도 않고 양의. 3 1 + n 3n+1 0+0 nÛ` =lim 0021. =0 답 수렴, 0 lim 11133 = n`Ú¦ nÛ`+2n n`Ú¦ 1+0 2 1+ n. B‰. 0 . . . . . O. 무한대나 음의 무한대로 발산하지도 않 으므로 진동한다. 즉, 발산한다.. 5 2n+12nÛ`+n-5 n =lim 0022. lim 11111 =¦ n`Ú¦ n`Ú¦ 6n-1 1 6n. 답 발산. ⑴ lim (2-aÇ)=lim 2-lim aÇ=2-2=0 0014 n`Ú¦ n`Ú¦ n`Ú¦ ⑵ lim (aÇ+bÇ) =lim aÇ+lim bÇ=2+(-1)=1 n`Ú¦ n`Ú¦ n`Ú¦ ⑶ lim (3aÇ+4bÇ) =3 lim aÇ+4lim bÇ n`Ú¦ n`Ú¦ n`Ú¦. . =3_2+4_(-1)=2 ⑷ lim 3aÇbÇ=3 n`Ú¦ lim aÇ_lim bÇ=3_2_(-1)=-6 n`Ú¦ n`Ú¦. aÇ-lim 3 lim aÇ-3 2-3 n`Ú¦ n`Ú¦ = = =;6!; n`Ú¦ 6bÇ bÇ 6_(-1) 6lim n`Ú¦. 0015.  {2+ lim n`Ú¦. 2.  {- + lim 0016 n`Ú¦ n. 1 1 1. }=-2lim +lim n`Ú¦ n n`Ú¦ nÜ` nÜ` =-2_0+0=0. 1. 5. 1. 답 발산. ('Än+1-'§n)('Än+1+'§n) 'Än+1+'§n 1 =0 =lim n`Ú¦ 'Än+1+'§n. 0026. lim n`Ú¦. 답0. 5. =lim n`Ú¦. ;n!; 2+;n!;. n-1. =. ;n!; lim n`Ú¦ lim {2+;n!;}. "ÃnÛ`+3n+n ("ÃnÛ`+3n-n)("ÃnÛ`+3n+n). "ÃnÛ`+3n+n 3n 3 ®É1+ +1 n =lim 11111 =;3@;  n`Ú¦ 3. =lim n`Ú¦. 답 ;3@;. 답6. n+6. 에서 <aÇ< 0027 4n+5 4n+3 =;2);=0. 답0. n`Ú¦. 1-;n!;. 답0. 1 "ÃnÛ`+3n-n. n. lim 0018 n`Ú¦. 답 발산. =lim n`Ú¦. 답2.  {3- }{2+ }=n`Ú¦  {2+ } lim lim {3- }_lim 0017 n`Ú¦ n`Ú¦ n n n n =3_2=6. . ('Än+1-'§n) lim 0025 n`Ú¦. ⑵ 1 ⑶ 2 ⑷ -6 ⑸ -;5$; ⑹ ;6!;. 1 1 }=lim 2+lim =2+0=2 n`Ú¦ n`Ú¦ n n. 4. ⑹ lim. 답⑴0. 1 2 + -1}=-¦ n nÛ`. (5nÛ`-4n)=lim nÛ`{5- }=¦ lim 0024 n`Ú¦ n`Ú¦ n. 2 lim aÇ 2aÇ 2_2 n`Ú¦ ⑸ lim = = =-;5$; n`Ú¦ 5bÇ bÇ 5_(-1) 5lim n`Ú¦. (1+2n-nÛ`)=lim nÛ`{ lim 0023 n`Ú¦ n`Ú¦. 답 발산. 1-0. = =lim =;2!; lim 0019 n`Ú¦ 2n+3 n`Ú¦ 2+0 2+;n#;. 3 1 3- + n nÛ` 3nÛ`-3n+1 =lim lim 111114   0020 n`Ú¦ nÛ`+5n+1 n`Ú¦ 5 1 1+ + n nÛ` 3-0+0 = =3  1+0+0. 답 수렴, ;2!;. n 1 =lim 1123 =;4!;, 4n+5 n`Ú¦ 5 4+ n 6 1+ n+6 n =lim lim 1123 =;4!; n`Ú¦ 4n+3 n`Ú¦ 3 4+ n 이므로 수열의 극한의 대소 관계에 의하여 lim n`Ú¦. 답 ;4!;. lim aÇ=;4!; n`Ú¦. 주어진 등비수열의 공비는 ;2#;이고, ;2#;>1이므로 발산 0028  . 답 수렴, 3. 한다.. 답 발산. 주어진 등비수열의 공비는 -0.5이고, -1<-0.5<1 0029 이므로 0에 수렴한다.. 답 수렴 01. 수열의 극한. 003.

(4) 주어진 등비수열의 공비는 -;3$;이고, -;3$;<-1이므로 0030 발산한다. . 답 발산. 3Ç` ={;4#;}n` 에서 주어진 등비수열의 공비는 ;4#;이고, 4Ç`. 0031. -1<;4#;<1이므로 0에 수렴한다. . =;5#;_{;3%;}n` 에서 공비는 ;3%;이고, ;3%;>1이므로. 1-n. lim  {;5#;} n`Ú¦. 1-n. =¦ (발산) . /. /. 본문 10~18 쪽. 0039. ① 홀수 번째 항은 -;2!;, -;4#;, -;6%;, y에서 -1에 수 렴하고, 짝수 번째 항은 ;3@;, ;5$;, ;7^;, y에서 1에 수렴하므로 주어진 수열은 발산한다.. 답 수렴. 4Ç` 0032. =;3!;_{;3$;}n` 에서 공비는 ;3$;이고, ;3$;>1이므로 3n+1 4Ç` 답 발산 =¦ (발산) lim n`Ú¦ 3n+1. {;5#;} 0033. 유형 익 히 기. 답 발산. ② n의 값이 한없이 커지면. 므로 주어진 수열은 0에 수렴한다. ③ 주어진 수열은 진동한다. 즉, 발산한다. ④ 수열 2, ;2%;, ;;Á3¼;;, ;;Á4¦;;, y,. n. nÛ`+1 , y에서 n. 1+;1!;, 2+;2!;, 3+;3!;, 4+;4!;, y, n+ n의 값이 한없이 커지면 n+. 1 , y n. 1 의 값도 한없이 커지므로 주어 n. 진 수열은 양의 무한대로 발산한다. ⑤ n의 값이 한없이 커지면. 3-n={;3!;} 에서 공비는 ;3!;이고, -1<;3!;<1이므로 0034. 4 의 값은 0에 한없이 가까워지 2n-1. n 의 값도 한없이 커지므로 주어 1000. 진 수열은 양의 무한대로 발산한다. 답②. 따라서 수렴하는 것은 ②이다.. lim 3 =0 n`Ú¦ -n. 4-n={;4!;} 에서 공비는 ;4!;이고, -1<;4!;<1이므로 n. lim 4 =0 n`Ú¦ -n. ∴ lim (3-n+4-n)=0+0=0 (수렴) n`Ú¦. 답 수렴, 0. nÛ`-3 ① n=1, 2, 3, 4, y를 에 차례로 대입하면 0040 n+1 -1, ;3!;, ;2#;, ;;Á5£;;, y 이므로 수열 [. 수열 [{-;3!;} ]의 공비는 -;3!;이고, -1<-;3!;<1이 0035 n. 므로 lim  {-;3!;} =0 n`Ú¦. nÛ`-3 ]은 양의 무한대로 발산한다. n+1. ② n의 값이 한없이 커지면 2n-3의 값도 한없이 커지므로 수열 {2n-3}은 양의 무한대로 발산한다.. n. ③ n=1, 2, 3, 4, y를. ∴ lim [4+{-;3!;} ]=lim 4+lim  {-;3!;} n`Ú¦ n`Ú¦ n`Ú¦ n. n. =4+0=4 (수렴) . 답 수렴, 4. (-1)Ç` 에 차례로 대입하면 n. -1, ;2!;, -;3!;, ;4!;, y 이므로 수열 [. (-1)Ç` ]은 0에 수렴한다. n. ④ n의 값이 한없이 커지면 1-nÛ`의 값은 음수이면서 그 절댓값 공비가 3r이므로 주어진 등비수열이 수렴하려면 0036 -1<3rÉ1 ∴ -;3!;<rÉ;3!;. 답 -;3!;<rÉ;3!;. 이 한없이 커지므로 수열 {1-nÛ`}은 음의 무한대로 발산한다. np ⑤ n=1, 2, 3, 4, 5, y를 sin  에 차례로 대입하면 2 1, 0, -1, 0, 1, y. 공비가 -;2R;이므로 주어진 등비수열이 수렴하려면 0037 -1<-;2R;É1 ∴ -2Ér<2. 답 -2Ér<2. 공비가 2r-1이므로 주어진 등비수열이 수렴하려면 0038 -1<2r-1É1, 0<2rÉ2 ∴ 0<rÉ1. 004. 정답과 풀이. 답 0<rÉ1. np 이므로 수열 [sin  ]는 진동한다. 즉, 발산한다. 2 답③. 따라서 수렴하는 것은 ③이다.. '¶3n. ㄱ. n의 값이 한없이 커지면 의 값도 한없이 커지 0041 3 므로 수열 [. '¶3n ]은 양의 무한대로 발산한다. 3.

(5) ㄴ. n의 값이 한없이 커지면. 1 의 값은 0에 한없이 가까워지므 '§n. 1 ]은 0에 수렴한다. '§n np p ㄷ. n =1, 2, 3, 4, y를 tan { + }에 차례로 대입하면 2 4 로 수열 [. 이므로 수열 [tan {.  aÇ*ª=a lim n`Ú¦ lim n`Ú¦. aÇ*ª+5 a+5 =3 =3에서 3a-1 3aÇ-1. 9a-3=a+5, 8a=8 ∴ a=1. . -1, 1, -1, 1, y . 수열 {aÇ}이 수렴하므로 lim aÇ=a`(a는 실수)라 하면 0046 n`Ú¦. ∴ lim  aÇ=1 n`Ú¦. np p + }]는 진동한다. 즉, 발산한다. 2 4. 답③. 수열 {aÇ}이 0이 아닌 실수에 수렴하므로 0047. ㄹ. n=1, 2, 3, 4, y를 {-;2#;} 에 차례로 대입하면 n. aÇ=a`(a+0)라 하면 lim aÇ*Á=a lim n`Ú¦ n`Ú¦. -;2#;, ;4(;, -;;ª8¦;;, ;1*6!;, y. 4 4 =4-aÇ에서 lim =lim (4-aÇ)이므로 n`Ú¦ aÇ*Á n`Ú¦ aÇ*Á. 이므로 수열 [{-;2#;} ]은 진동한다. 즉, 발산한다.. 4 =4-a, aÛ`-4a+4=0 a. n. 이상에서 발산하는 수열은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다. . 답 ㄱ, ㄷ, ㄹ. (a-2)Û`=0 ∴ a=2 답2. ∴ lim an=2 n`Ú¦ 두 수열 {an}, {bn}이 각각 수렴하므로 0042. 3 5 2+ + n nÛ` 2nÛ`+3n+5 111115 =1 ① lim =lim 0048 n`Ú¦ n`Ú¦ 1 2nÛ`+1 2+ nÛ`. aÇ=a, lim bÇ=b (a, b는 실수)라 하면 lim n`Ú¦ n`Ú¦ (aÇ+bÇ)=6에서 a+b=6 lim n`Ú¦ lim aÇbÇ=3에서 ab=3. n`Ú¦. ∴ lim (aÇÛ`+bÇÛ`) =lim aÇÛ`+lim bÇÛ` n`Ú¦ n`Ú¦ n`Ú¦. =aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab. 답 30. =6Û`-2_3=30 lim(3aÇ-bÇ). 3aÇ-bÇ. n`Ú¦. = lim 0043 n`Ú¦ aÇbÇ+6 (aÇbÇ+6) lim n`Ú¦. =. 3lim aÇ-lim bÇ n`Ú¦ n`Ú¦ aÇ_lim bÇ+6 lim n`Ú¦ n`Ú¦. . 3_(-3)-3 =4 = (-3)_3+6. 답4. '§n 1 =lim 11125 =;3!; n`Ú¦ 5 'Ä9n+5 ®É9+ n n 1 1 ③ lim =lim 111114 = =;2!; n`Ú¦ "ÃnÛ`+1+n n`Ú¦ ®É1+ 1 +1 1+1 nÛ` (n+1)(2n+1) 2nÛ`+3n+1 =n`Ú¦ ④ lim lim n`Ú¦ nÛ` nÛ` 3 1 2+ + n nÛ` =lim 111114 =2 n`Ú¦ 1. ② lim n`Ú¦. ⑤ lim n`Ú¦. '§n 1 1 =;2!; =lim 111115 = 1+1 1 'Än+1+'§n n`Ú¦ ®É1+ +1 n. aÇ=lim {;n!;-2}=-2 lim 0044 n`Ú¦ n`Ú¦. 따라서 옳은 것은 ②이다. . lim bÇ=lim [3n`Ú¦. 0049. {logª(nÛ`-2n+3)-logª(2n+1)Û`} lim n`Ú¦. n`Ú¦. 2 ]=3 n(n+1). ∴ lim aÇ(2aÇ-3bÇ) =lim aÇ_lim (2aÇ-3bÇ) n`Ú¦ n`Ú¦ n`Ú¦. =lim aÇ_(2lim aÇ-3lim bÇ) n`Ú¦ n`Ú¦ n`Ú¦. =-2{2_(-2)-3_3}. =26. 답 26. aÇ=a, lim bÇ=b (a, b는 실수)라 하면 lim n`Ú¦ n`Ú¦. nÛ`-2n+3 nÛ`-2n+3 =lim logª =lim logª n`Ú¦ n`Ú¦ (2n+1)Û` 4nÛ`+4n+1 2 3 1- + n nÛ` logª111115 =lim n`Ú¦ 4 1 4+ + n nÛ`. 참고. (aÇ-bÇ)=3에서 a-b=3 lim n`Ú¦. yy ㉠. (4aÇ+3bÇ)=5에서 4a+3b=5 lim n`Ú¦. yy ㉡. ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=-1 bÇ lim bÇ b n`Ú¦ ∴ lim = = =-;2!; n`Ú¦ aÇ aÇ a lim n`Ú¦. 답②. =logª`;4!;=logª`2-2=-2 . 두 수열 {aÇ}, {bÇ}이 각각 수렴하므로 0045. 답 -;2!;. 답 -2. 로그의 성질. a>0, a+1, M>0, N>0일 때 ① loga`1=0, loga`a=1 ② loga`MN=loga`M+loga`N ③ loga`;nM;=loga`M-loga`N ④ loga`Mk=k`loga`M`(단, k는 실수) 01. 수열의 극한. 005.

(6) lim 0050 n`Ú¦. -2n+1 -2n+1 1 =n`Ú¦. _lim lim n`Ú¦ aÇ naÇ n =lim  {-2+ n`Ú¦. 1+2+3+`y`+n= 0053. lim n`Ú¦. 1 1. }_ n lim aÇ` n`Ú¦. =(-2)_7 =-14. 답 -14. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 0051. 8nÛ`-3n 8nÛ`-3n 16nÛ`-6n. =lim 11114 =lim 1+2+3+`y`+n n`Ú¦ n(n+1) n`Ú¦ nÛ`+n 1111 2 6 16n 답 16 =lim 11145 =16 n`Ú¦ 1 1+ n. 1 1 1 1 }{1- }{1- }`y`{1- }  2Û` 3Û` 4Û` nÛ` 2Û`-1 3Û`-1 4Û`-1 nÛ`-1. _ _ _`y`_ = 2Û` 3Û` 4Û` nÛ` 1_3 2_4 3_5 (n-1)(n+1). = _ _ _`y`_ 2_2 3_3 4_4 n_n. 0054. aÇ={1-. aÇ+bÇ=-2n, aÇbÇ=1 . ∴ aÇÛ`+bÇÛ`=(aÇ+bÇ)Û`-2aÇbÇ=4nÛ`-2 . f(n)=nÛ`+2n_n+1=3nÛ`+1이므로. =. . lim n`Ú¦. aÇÛ`+bÇÛ` 4nÛ`-2 =lim. n`Ú¦ 3nÛ`+1 f(n). 2 4nÛ` 1123 =;3$; =lim n`Ú¦ 1 3+ nÛ`. 채점요소. 1 `1+ ` n+1 n ∴ lim aÇ=lim =lim 11233 =;2!; n`Ú¦ n`Ú¦ 2n n`Ú¦ 2. 답 ;2!;. n+1. aÁ+aª+a£+`y`+aÇ. 답 ;3$; 단계. n+1 2n. 이므로 aÇ=log` 0055 n. . n(n+1) 이므로 2. =log`;1@;+log`;2#;+log`;3$;+`y`+log`. 배점. n+1 n. n+1 }=log (n+1) n. . aÇ+bÇ, aÇbÇ을 n에 대한 식으로 나타내기. 30 %. =log {;1@;_;2#;_;3$;_`y`_. . aÇÛ`+bÇÛ`을 n에 대한 식으로 나타내기. 20 %. ∴ 10aÁ+aª+a£+`y`+aÇ=10log`(n+1)=n+1. . f(n) 구하기. 20 %. . aÇÛ`+bÇÛ` 의 값 구하기 lim n`Ú¦ f(n). 30 %. 4 2+ 2n+4 n ∴ lim =lim =lim 11145 =2 n`Ú¦ 10aÁ+aª+a£+`y`+aÇ n`Ú¦ n+1 n`Ú¦ 1 1+ n 답② . aÇ=SÇ-Sn-1 0052 =(2nÛ`-3n)-{2(n-1)Û`-3(n-1)}. 2n+4. aÇÛ` (4n-5)Û` =lim. SÇ n`Ú¦ 2nÛ`-3n 16nÛ`-40n+25. 2nÛ`-3n 40 25 16- + n nÛ` =lim 1111115   n`Ú¦ 3 2n =lim n`Ú¦. =;;Á2¤;;=8  참고. 수열의 합 Sn과 일반항 an 사이의 관계. 수열 {an}의 첫째항부터 제n 항까지의 합을 Sn이라 하면 aÁ=SÁ, an=Sn-Sn-1 (n¾2). 006. 정답과 풀이. anÛ`+bn+7 =¦`(또는 -¦)이므로 2n-3. a=0. =4n-5 (n¾2) ∴ lim n`Ú¦. 0056. a+0이면 lim n`Ú¦. 7 b+ anÛ`+bn+7 bn+7 n =lim =lim lim 11145 =;2B; n`Ú¦ n`Ú¦ 2n-3 n`Ú¦ 2n-3 3 2n 따라서 ;2B;=3이므로 b=6.  . 답③. ∴ a+b=6 . 답④. 3 1 a- n nÛ` anÛ`-3n-1 =lim lim 111114 =;4A; 0057 n`Ú¦ n`Ú¦ 1 4nÛ`+n 4+ n 따라서 ;4A;=2이므로 a=8 . 답④.

(7) anÛ`-4n-1 =0이므로 b=0 bnÜ`-nÛ`+6 anÛ`-4n-1 anÛ`-4n-1 =lim. lim n`Ú¦ bnÜ`-nÛ`+6 n`Ú¦ -nÛ`+6 4 1 a- n nÛ ` =lim n`Ú¦ 111114   6 -1+ nÛ` =-a b+0이면 lim 0058 n`Ú¦. SÇ=1+2+3+`y`+n= 0062. ('¶SÇ-'ÄSÇÐÁ)('¶SÇ+'ÄSÇÐÁ). '¶SÇ+'ÄSÇÐÁ SÇ-SÇÐÁ aÇ. =lim =lim n`Ú¦ '¶SÇ+'ÄSÇÐÁ n`Ú¦ '¶SÇ+'ÄSÇÐÁ n =lim 111111111114 n`Ú¦ n(n+1) (n-1)n ¾¨ +¾¨ 2 2 1 1111111111115 =lim n`Ú¦ 1 1 1 1 ¾¨ {1+ }+¾¨ {1- } 2 n 2 n. ('¶SÇ-'ÄSÇÐÁ) =lim lim n`Ú¦ n`Ú¦.  . 따라서 -a=5이므로 a=-5 ∴ lim n`Ú¦. (an+b)Û` (-5n)Û` =lim. nÛ`-2n+7 n`Ú¦ nÛ`-2n+7 25nÛ`. =lim n`Ú¦ nÛ`-2n+7 25 =lim 111114   n`Ú¦ 2 7 1- + n nÛ` =25 . '2 1 = 111155 = 2 1 1 + '2 '2.   답 25. n(n+1) 이므로 2. 답. '2 2. (3n)Û`<9nÛ`+5n+1<(3n+1)Û`이므로 0063 3n<"Ã9nÛ`+5n+1<3n+1 따라서 "Ã9nÛ`+5n+1의 정수 부분이 3n이므로. n-6 "ÃnÛ`+3n-2+an 6 11 n. =lim 111111135 = n`Ú¦ 1+a 3 2 ®É1+ - +a n nÛ` 1 따라서 =;5!;이므로 a=4 1+a. aÇ="Ã9nÛ`+5n+1-3n. lim 0059 n`Ú¦. . ∴ lim aÇ=n`Ú¦ lim("Ã9nÛ`+5n+1-3n) n`Ú¦. ("Ã9nÛ`+5n+1-3n)("Ã9nÛ`+5n+1+3n) "Ã9nÛ`+5n+1+3n 1 5+ n 5n+1 =lim 111111135 =lim n`Ú¦ "Ã9nÛ`+5n+1+3n n`Ú¦ ®É9+ 5 + 1 +3 n nÛ` 5 = =;6%; 3+3 =lim n`Ú¦. 답②. ("Ã4nÛ`+3n+1-2n) lim 0060 n`Ú¦ ("Ã4nÛ`+3n+1-2n)("Ã4nÛ`+3n+1+2n). "Ã4nÛ`+3n+1+2n 3n+1 =lim n`Ú¦ "Ã4nÛ`+3n+1+2n 1 3+ n =lim 111111135 n`Ú¦ 3 1 ®É4+ + +2 n nÛ` 3 = =;4#; 2+2. . =lim n`Ú¦. 단계  . 답②. 채점요소. 50 %. lim aÇ의 값 구하기. 50 %. n`Ú¦. {'Ä1+2+3+`y`+n-'Ä1+2+3+`y`+(n-1)} lim 0064 n`Ú¦. =. '§n('Än+2-'§n)('Än+2+'§n). 'Än+2+'§n 2'§n =lim n`Ú¦ 'Än+2+'§n 2 111115 =lim n`Ú¦ 2 ®É1+ +1 n. 배점. aÇ 구하기. [®É =lim n`Ú¦. n(n+1) ®É (n-1)n ] 2 2. 1 lim("ÃnÛ`+n-"ÃnÛ`-n) '2 n`Ú¦. 1 ("ÃnÛ`+n-"ÃnÛ`-n)("ÃnÛ`+n+"ÃnÛ`-n). lim '2 n`Ú¦ "ÃnÛ`+n+"ÃnÛ`-n 1 2n = lim '2 n`Ú¦ "ÃnÛ`+n+"ÃnÛ`-n 1 2 = lim 111111115 '2 n`Ú¦ ®É1+ 1 +®É1- 1 n n '2 1 2 '2 답 _ = = 2 1+1 2 '2. =. =lim n`Ú¦. 2 =1 1+1. 답 ;6%;. 0061. '§n('Än+2-'§n) lim n`Ú¦. =. 답1. 01. 수열의 극한. 007.

(8) lim 0065 n`Ú¦. 이때 1-aÛ`+0이면 발산하므로. 1 "ÃnÛ`+2n-n. 1-aÛ`=0 ∴ a=1 (∵ a>0). "ÃnÛ`+2n+n. =lim n`Ú¦ ("ÃnÛ`+2n-n)("ÃnÛ`+2n+n). a=1을 ㉠에 대입하면 2+bÛ` 2(2-b)n 2(2-b) lim 11111111134 = =2-b n`Ú¦ 2 4 2 b ®É1+ - +1+ n nÛ` n 따라서 2-b=2이므로 b=0. "ÃnÛ`+2n+n. 2n 2 ®É1+  +1 n lim 111115 =n`Ú¦ 2 1+1 = =1 2. =lim n`Ú¦. ∴ aÛ`+bÛ`=1+0=1. ("ÃnÛ`+an-"ÃnÛ`+bn ) lim 0069 n`Ú¦. 'Än+3-'§n lim 0066 n`Ú¦ 'Än+2-'Än+1 =lim n`Ú¦. =lim n`Ú¦. ('Än+3-'§n)('Än+3+'§n)('Än+2+'Än+1). ('Än+2-'Än+1)('Än+2+'Än+1)('Än+3+'§n). =lim n`Ú¦. 2 1 3{®É1+ +®É1+  } n n =lim 11111111144 n`Ú¦ 3 ®É1+ +1 n 답3. lim 0070 n`Ú¦. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 0067 aÇ+bÇ=1, aÇbÇ=n-"ÃnÛ`+2n 1 1 aÇ+bÇ. ∴ lim  { + }=n`Ú¦ lim n`Ú¦ aÇ bÇ aÇbÇ. =lim n`Ú¦. 1. =lim n`Ú¦ n-"ÃnÛ`+2n. =lim n`Ú¦. =lim n`Ú¦. n+"ÃnÛ`+2n. -2n. =. 1+1 =-1 -2. "Ã9nÛ`+an+3n-a {"Ã9nÛ`+an-(3n-a)}{"Ã9nÛ`+an+(3n-a)} "Ã9nÛ`+an+3n-a 7an-aÛ`. 따라서. 2 1+®É1+ n =lim 111115   n`Ú¦ -2. 1 "Ã9nÛ`+an-3n+a. a a ®É9+ +36 n n =lim 11111113= n`Ú¦ 7a aÛ` 7an. n+"ÃnÛ`+2n =lim n`Ú¦ (n-"ÃnÛ`+2n)(n+"ÃnÛ`+2n). 6 =;7@;이므로 a=3 7a. 답3.   답 -1. 0068. aÉ0이면 lim {"ÃnÛ`+4n-2-(an+b)}=¦이므로 n`Ú¦ a>0 ∴ lim {"ÃnÛ`+4n-2-(an+b)} n`Ú¦ {"Ãn`Û +4n-2-(an+b)}{"Ãn`Û +4n-2+(an+b)}. "Ãn`Û +4n-2+(an+b) (1-aÛ`)nÛ`+2(2-ab)n-(2+bÛ`) =lim n`Ú¦ "ÃnÛ`+4n-2+(an+b) 2+bÛ` (1-aÛ`)n+2(2-ab)n =lim yy ㉠  111111111111444 n`Ú¦ 4 2 b ®É1+ - +a+ n nÛ` n 정답과 풀이. 답 20. a-b=20. 3(1+1) = =3 1+1. 008. ("ÃnÛ`+an-"ÃnÛ`+bn)("ÃnÛ`+an+"ÃnÛ`+bn). "ÃnÛ`+an+"ÃnÛ`+bn (a-b)n. "ÃnÛ`+an+"ÃnÛ`+bn a-b a-b. =lim 111111115 = n`Ú¦ 2 a b ®É1+ +®É1+ n n a-b 따라서 =10이므로 2. 3('Än+2+'Än+1). =lim n`Ú¦ 'Än+3+'§n. =lim n`Ú¦. 답①. 답⑤. k¾0이면 lim aÇ=¦이므로 k<0 0071 n`Ú¦ ∴ lim aÇ n`Ú¦. {'Ä(n-1)(n-2)+kn} =lim n`Ú¦. {'Ä(n-1)(n-2)+kn}{'Ä(n-1)(n-2)-kn} 'Ä(n-1)(n-2)-kn (1-kÛ`)nÛ`-3n+2 =lim n`Ú¦ "ÃnÛ`-3n+2-kn 2 (1-kÛ`)n-3+ n =lim yy ㉠ 111111123 n`Ú¦ 3 2 ®É1- + -k n nÛ` 이때 1-kÛ`+0이면 수열 {aÇ}이 발산하므로 =lim n`Ú¦. 1-kÛ`=0 ∴ k=-1 (∵ k<0) k=-1을 ㉠에 대입하면.

(9) nÛ`+n<(10nÛ`+3)aÇ<nÛ`+2n에서 0076. 2 -3+ n aÇ=lim 111111123=-;2#; lim n`Ú¦ n`Ú¦ 3 2 ®É1- + +1 n nÛ`. 답 -;2#;. 한의 대소 관계에 의하여. 3aÇ-2. =bÇ으로 놓으면 0072 aÇ+1 bÇ+2 3-bÇ. 답 ;1Á0;. 3nÛ`-n 3nÛ`+n =3, lim =3이므로 수열의 극한 n`Ú¦ nÛ`+1 nÛ`+1 의 대소 관계에 의하여 lim 0077 n`Ú¦. 이때 lim bÇ=2이므로 n`Ú¦ aÇ=lim lim n`Ú¦ n`Ú¦. 1. 10. aÇ= lim n`Ú¦. 3aÇ-2=aÇbÇ+bÇ, (3-bÇ)aÇ=bÇ+2 ∴ aÇ=. nÛ`+n nÛ`+2n <aÇ< 10nÛ`+3 10nÛ`+3 nÛ`+n 1 nÛ`+2n 1 이때 lim = , lim = 이므로 수열의 극 n`Ú¦ 10nÛ`+3 10 n`Ú¦ 10nÛ`+3 10. bÇ+2 2+2 = =4 3-bÇ 3-2. 답⑤. aÇ=3 lim n`Ú¦. 답⑤. (2nÛ`-3n)aÇ=bÇ으로 놓으면 0073 3n-3<naÇ<"Ã9nÛ`+5n에서 0078. bÇ 이고 lim bÇ=4 n`Ú¦ 2nÛ`-3n bÇ ∴ lim nÛ`aÇ=n`Ú¦ } lim {nÛ`_ n`Ú¦ 2nÛ`-3n nÛ` =lim _lim bÇ  n`Ú¦ 2nÛ`-3n n`Ú¦ aÇ=. 3n-3 "Ã9nÛ`+5n <aÇ< n n. 이때 lim n`Ú¦. 대소 관계에 의하여. =;2!;_4=2. 답④. aÇ=3 lim n`Ú¦ ∴ lim n`Ú¦. 0074. (nÛ`+2n)aÇ=cÇ으로 놓으면 aÇ= (3n-2)bÇ=dÇ으로 놓으면 bÇ=. cÇ nÛ`+2n. n. n(n+1)< Á aû<n(n+1)+n k=1. k=1. n. nÛ`+n< Á aû<nÛ`+2n k=1. n. 답4. k=1. nÛ`+n aÁ+aª+a£+`y`+aÇ nÛ`+2n ∴ < < 7nÛ`+10 7nÛ`+10 7nÛ`+10 . 이때 lim n`Ú¦. nÛ`+n 1 nÛ`+2n 1 = , lim = 이므로 수열의 극한 7nÛ`+10 7 n`Ú¦ 7nÛ`+10 7. 의 대소 관계에 의하여. aÇ=3bÇ+cÇ이고 lim cÇ=2 n`Ú¦. lim n`Ú¦. 1 =0 bÇ. aÁ+aª+a£+`y`+aÇ 1 = 7 7nÛ`+10 . bÇ-5 bÇ-5 =lim aÇ+5 n`Ú¦ 3bÇ+cÇ+5. 답 ;7!;. 5 1bÇ lim cÇ=2, lim bÇ=¦이므로 =lim 1111154 Û n`Ú¦ n`Ú¦ n`Ú¦ cÇ 5 cÇ 3+ + =0 lim bÇ bÇ n`Ú¦ bÇ =;3!;. n. k=1. aÇ-3bÇ=cÇ으로 놓으면 0075. ∴ lim n`Ú¦. 답③. Á 2k< Á aû< Á (2k+1) n. (4n+2)(3n-2) cÇ. _lim n`Ú¦ dÇ nÛ`+2n. 또, lim bÇ=¦이므로 lim n`Ú¦ n`Ú¦. 2n<aÇ<2n+1에서 0079. (4n+2)cÇ nÛ`+2n (4n+2)aÇ =lim 111114 lim n`Ú¦ n`Ú¦ bÇ dÇ 3n-2. =12_;6@;=4. (nÛ`+3n)aÇ nÛ`+3n =lim _lim aÇ n`Ú¦ 4nÛ`-2 n`Ú¦ 4nÛ`-2 1 3 = _3= 4 4. dÇ 3n-2. 이때 lim cÇ=2, lim dÇ=6이므로 n`Ú¦ n`Ú¦. =lim n`Ú¦. 3n-3 "Ã9nÛ`+5n =3, lim =3이므로 수열의 극한의 n`Ú¦ n n. 답 ;3!;. 단계  . 채점요소. 배점. aÁ+aª+a£+`y`+aÇ 의 값의 범위 구하기 7nÛ`+10. 50 %. aÁ+aª+a£+`y`+aÇ 의 값 구하기 7nÛ`+10. 50 %. lim. n`Ú¦. 01. 수열의 극한. 009.

(10) -1Ésin nhÉ1이므로 0080 -. ② [반례] {aÇ}: 0, 1, 0, 1, y. 1 sin nh 1 É É 2n+1 2n+1 2n+1. {bÇ}: 1, 0, 1, 0, y. 1 1 이때 lim }=0, lim =0이므로 수열의 극한 {n`Ú¦ n`Ú¦ 2n+1 2n+1. 이면 lim aÇbÇ=0이지만 lim aÇ+0, lim bÇ+0 n`Ú¦ n`Ú¦ n`Ú¦ ③ lim bÇ+¦라 가정하자. n`Ú¦ im bÇ=a (a는 실수)이면 lim Ú ln`Ú¦ (aÇ-bÇ)=¦가 되어 모 n`Ú¦. 의 대소 관계에 의하여 lim n`Ú¦. sin nh =0 2n+1. 순이다.. 3n-sin nh 3n sin nh =lim ∴ lim  { } n`Ú¦ n`Ú¦ 2n+1 2n+1 2n+1 3 3 = -0= 2 2. im bÇ=-¦이면 lim Û ln`Ú¦ (aÇ-bÇ)=¦가 되어 모순이다. n`Ú¦. . Ü 수열 {bÇ}이 진동하면 수열 {aÇ-bÇ}은 양의 무한대로 발 산하거나 진동하므로 모순이다.. 답④. Ú, Û, Ü에 의하여 lim bÇ=¦이다. n`Ú¦ ④ [반례] aÇ=(-1)Ç` , bÇ=(-1)n+1이면 두 수열 {aÇ}, {bÇ} 은 모두 발산(진동)하지만. ㄱ. [반례] aÇ=n, bÇ=nÛ`이면 0081. aÇbÇ=(-1)Ç` _(-1). aÇ=¦, lim bÇ=¦이지만 lim n`Ú¦ n`Ú¦ lim n`Ú¦. =-1. a2n=(-1)2n=1, a2n-1=(-1)2n-1=-1이므로. a2n=1, lim a2n-1=-1 lim n`Ú¦ n`Ú¦. 즉, 두 수열 {a2n}, {a2n-1}이 모두 수렴하지만 수열 {aÇ}은. 1 2 ㄷ. [반례] aÇ= , bÇ= 이면 n n. 발산(진동)한다. 따라서 옳은 것은 ③이다.. 모든 자연수 n에 대하여 aÇ<bÇ이지만 aÇ=lim bÇ=0 lim n`Ú¦ n`Ú¦ 답②. ㄱ. -|aÇ|ÉaÇÉ|aÇ|에서 0082. 3 1 { }Ç`4 2 =lim 1111115=-;2!; n`Ú¦ 1 3 Ç` _{ } +1 3 4. 에 의하여 lim aÇ=0 n`Ú¦. 답③. 1 3Ç`- _4Ç` 3n-22n-1 2 =lim 11111 lim 0084 n`Ú¦ 3n-1+22n n`Ú¦ 1 _3Ç`+4Ç` 3. (-|aÇ|)=lim |aÇ|=0이므로 수열의 극한의 대소 관계 lim n`Ú¦ n`Ú¦ ㄴ. lim bÇ=n`Ú¦ lim{(3aÇ+bÇ)-3aÇ} n`Ú¦. =(-1). ⑤ [반례] aÇ=(-1)Ç` 이면 . aÇ-bÇ bÇ bÇ =lim  {1- }=0 ∴ lim =1 n`Ú¦ n`Ú¦ aÇ aÇ aÇ. 이상에서 옳은 것은 ㄴ뿐이다.. 2n+1. 이므로 수열 {aÇbÇ}은 -1에 수렴한다.. aÇ n 1 =lim =lim =0 bÇ n`Ú¦ nÛ` n`Ú¦ n. ㄴ. lim aÇ=¦, lim (aÇ-bÇ)=a이므로 n`Ú¦ n`Ú¦ lim n`Ú¦. n+1. 답②. =lim (3aÇ+bÇ)-3 n`Ú¦ limaÇ=0-3_1=-3 n`Ú¦ ㄷ. [반례] aÇ=. ('Ä9Ç`-3Ç`-3Ç` ) lim 0085 n`Ú¦. 1 , bÇ=n이면 n. aÇ=0, lim aÇbÇ=lim lim n`Ú¦ n`Ú¦ n`Ú¦. ('Ä9Ç`-3Ç`-3Ç` )('Ä9Ç`-3Ç`+3Ç` ) 'Ä9Ç`-3Ç`+3Ç`  -3Ç`  =lim n`Ú¦ 'Ä9Ç`-3Ç`+3Ç`  1 -1 =lim 11111134 =- n n`Ú¦ 2 ®É1-{;3!;} +1 =lim n`Ú¦. n =1이지만 n. bÇ=lim `n=¦ lim n`Ú¦ n`Ú¦ ㄹ. [반례] aÇ=n-. 1 1 , bÇ=n+ , cÇ=n이면 n n. 모든 자연수 n에 대하여 aÇ<cÇ<bÇ이고 (bÇ-aÇ)=lim lim n`Ú¦ n`Ú¦. 2 =0이지만 lim  cÇ=lim  n=¦ n`Ú¦ n`Ú¦ n. 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.. 답①. 수열 {an}이 수렴하므로 lim aÇ=a (a는 실수)라 하면 0086 n`Ú¦ 3 n 5+{ } _an 5 +3 an 5 5 =lim 11111253 =lim n`Ú¦ 3n+1-5na n`Ú¦ a 3 n n 3_{ } -an 5 n+1. 1. ① [반례] aÇ=n, bÇ= 이면 0083 n aÇ=¦, lim bÇ=0이지만 lim n`Ú¦ n`Ú¦ aÇbÇ=lim  {n_ lim n`Ú¦ n`Ú¦. 010. 정답과 풀이. 1 }=lim 1=1 n`Ú¦ n. 답 -;2!;. 따라서 -. n. 5 5 =6이므로 a=a 6. 5 ∴ lim aÇ=- n`Ú¦ 6. 답 -;6%;.

(11) xÛ`-2x-1=0에서 x=1Ñ'2 0087. Ú, Û에서 -1<x<2. ∴ a=1+'2, b=1-'2 (∵ a>b). 따라서 정수 x는 0, 1의 2개이다.. b b <0이므로 lim { }Ç`=0 n`Ú¦ a a b n aÛ`+bÜ`_{ } n+2 n+3 a +b a ∴ lim =lim 1111112. n`Ú¦ aÇ`+bn+1 n`Ú¦ b n 1+b_{ } a. 답2. 이때 -1<. 첫째항은 x+2, 공비는 ;2{;이므로 주어진 등비수열이 수 0091. =aÛ`. 렴하려면 x+2=0 또는 -1<;2{;É1. 답①. 즉, x=-2 또는 -2<xÉ2이므로 -2ÉxÉ2. aÇ=SÇ-Sn-1 0088. 공비가 '2 cos x이므로 주어진 등비수열이 수렴하려면 0092. n. =n_3 -(n-1)_3n-1 n-1. =3. {3n-(n-1)}. 1 1 <cos xÉ '2 '2 Z 0Éx<p에서 y=cos`x의 그래프는. -1<'2 cos xÉ1 ∴ -. =(2n+1)3n-1 (n¾2) ∴ lim n`Ú¦. 답 -2ÉxÉ2. SÇ n_3n =n`Ú¦. lim aÇ (2n+1)3n-1. 오른쪽 그림과 같으므로 구하는 x의 값의 범위는. 3n 3 =lim = n`Ú¦ 2n+1 2. 답④. p 3 Éx< p 4 4.     0 w    . w ÄL. L. Y. ZDPT Y. 답 ;4Ò;Éx<;4#;p. aÁ='3=3;2!; 0089 aª="3'3=3;2!;_3;4!;=3;2!;+;4!;. 공비가 log£ x-2이므로 주어진 등비수열이 수렴하려면 0093. ⋮. 밑이 1보다 크므로 3<xÉ27. a£=¿¹3"3'3=3;2!;_3;4!;_3;8!;=3;2!;+;4!;+;8!;. -1<log£ x-2É1, 1<log£ xÉ3, log£ 3<log£ xÉlog£ 3Ü`. aÇ=3;2!;+;4!;+;8!;+ y +{;2!;}n`. ;2!;[1-{;2!;}n` ] ;2!;+;4!;+;8!;+ y +{;2!;}n`= 11111234=1-{;2!;}n`이므로 1-;2!; aÇ=lim 31-{;2!;}n`=3Ú`=3 lim n`Ú¦ n`Ú¦ 참고. 답3. 등비수열의 합. 첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열의 첫째항부터 제 n 항까지의 합을. 따라서 모든 자연수 x의 값의 합은 4+5+6+`y`+27= 참고. 24(4+27) =372 2. 답②. 등차수열의 합. 등차수열의 첫째항부터 제n 항까지의 합을 Sn이라 하면 n(a+c) ① 첫째항이 a, 제n 항이 c일 때 Sn= 2 n{2a+(n-1)d} ② 첫째항이 a, 공차가 d일 때 Sn= 2. Sn이라 하면 ① r+1일 때 Sn=. a(1-rn) a(rn-1) = 1-r r-1. Ú 등비수열 [{ 0094. ② r=1일 때 Sn=na. 렴하려면 -1<. 0090. 공비가 -1<. x-xÛ` 이므로 주어진 등비수열이 수렴하려면 2. 2<x-xÛ`, 즉 xÛ`-x-2<0에서 Ú (x+1)(x-2)<0 ∴ -1<x<2 -xÛ`É2, 즉 xÛ`-x+2¾0에서 Û x. 이므로 항상 성립한다.. 3x+1 É1, -2<3x+1É2 2. -3<3xÉ1 ∴ -1<xÉ;3!; . x-xÛ` É1 ∴ -2<x-xÛ`É2 2. 1 xÛ`-x+2={x- }2`+;4&;>0 2. 3x+1 n 3x+1 이므로 수 } ]의 공비가 2 2. Û 등비수열 {(x-3)(2x+1)Ç` }의 첫째항은 (x-3)(2x+1),. 공비는 2x+1이므로 수렴하려면 (x-3)(2x+1)=0 또는 -1<2x+1É1 (x-3)(2x+1)=0에서 x=-;2!; 또는 x=3. yy ㉠. -1<2x+1É1에서 -1<xÉ0. yy ㉡ 01. 수열의 극한. 011.

(12) Ú 0<r<1일 때, lim rÇ` =lim rn+1=0이므로 0098 n`Ú¦ n`Ú¦. ㉠, ㉡에서 x=3 또는 -1<xÉ0 . lim n`Ú¦. Ú, Û에서 -1<xÉ0. 따라서 r+2=;3*;이므로 r=;3@;.  답 -1<xÉ0. 단계 . 채점요소 등비수열 [{. 3x+1 Ç`  } ]이 수렴하도록 하는 x의 값의 범위 2. Û r=1일 때, lim rn=lim rn+1=1이므로 n`Ú¦ n`Ú¦. 배점. rn+1+r+2 1+1+2 =2 = 1+1 rn+1 따라서 주어진 조건을 만족시키지 않는다. lim n`Ú¦. 40 %. 구하기 . 등비수열 {(x-3)(2x+1)Ç` }이 수렴하도록 하는 x의 값의 범위 구하기. 40 %. . 두 등비수열이 모두 수렴하도록 하는 x의 값의 범위 구하기. 20 %. 등비수열 {rÇ` }이 수렴하므로 -1<rÉ1 0095. Ü r>1일 때, lim rn=lim rn+1=¦이므로 n`Ú¦ n`Ú¦ 1 2 r+ n-1 + n r r rn+1+r+2 =lim 1111112-=r lim n`Ú¦ n`Ú¦ 1 rn+1 1+ n r ∴ r=;3*;. yy ㉠. Ú, Û, Ü에서 구하는 합은. ㄱ. 공비가 -r이고 ㉠에서 -1É-r<1. ;3@;+;3*;=;;Á3¼;;. 이때 -r=-1, 즉 r=1이면 수렴하지 않는다. 1-r 1-r 이고 ㉠에서 0É ㄴ. 공비가 <1이므로 수렴한다. 2 2 ㄷ. 공비가 rÛ`이고 ㉠에서 0ÉrÛ`É1이므로 수렴한다. 이상에서 항상 수렴하는 수열은 ㄴ, ㄷ이다.. rn+1+r+2 =r+2 rn+1. 답 ;;Á3¼;;. Ú 0 <|r|<1일 때, lim r2n=lim r2n+1=0이므로 0099 n`Ú¦ n`Ú¦. 답 ㄴ, ㄷ. r2n+1-1 1 =r2n+rÛ` rÛ` r2n+1-1 1-1 =0 Û r =1일 때, lim = n`Ú¦ r2n+rÛ` 1+1 lim n`Ú¦. Ú |r|>1일 때, lim r2n=¦이므로 0096 n`Ú¦. Ü |r|>1일 때, lim r2n=¦이므로 n`Ú¦. r2n 1 a=lim =lim 1112=1 n`Ú¦ 1+r2n n`Ú¦ 1 +1 r2n Û | r|=1일 때, lim r2n=1이므로  n`Ú¦.  . 2n. b=lim n`Ú¦. r 1 =;2!; 2n = 1+1 1+r. Ü | r|<1일 때, lim r2n=0이므로 n`Ú¦. . 2n. r 0 c=lim = =0 n`Ú¦ 1+r2n 1+0 ∴ a+b-c=1+;2!;-0=;2#;. 1 r- 2n r r -1 =lim 11112=r lim n`Ú¦ r2n+rÛ` n`Ú¦ 1 1+ 2n-2 r r2n+1-1 -1-1 Ý r =-1일 때, lim =-1 = n`Ú¦ r2n+rÛ` 1+1 2n+1. 1 ( - (0<|r|<1) È rÛ` r -1 ∴ lim ={ 0 (r=1) n`Ú¦ r2n+rÛ` È r (|r|>1) 9 -1 (r=-1) 2n+1. 답 ;2#;. 그런데 0<|r|<1이면 0<rÛ`<1. 1 1 >1 ∴ - <-1 rÛ` rÛ` r2n+1-1 즉, lim =a (a는 실수)라 하면 n`Ú¦ r2n+rÛ` |a|>1 또는 a=0 또는 a=-1. 0097. ㄱ. r>1일 때, lim rÇ` =¦이므로 n`Ú¦ 2 -1 rÇ` 2-rÇ` =lim =-1 11234 lim n`Ú¦ 2+rÇ` n`Ú¦ 2 +1 rÇ`. 따라서 극한값이 될 수 없는 것은 ②이다.. ㄴ. r=1일 때, lim rÇ` =1이므로 n`Ú¦ lim n`Ú¦. 2-rÇ` 2-1 1 = = 2+rÇ` 2+1 3. 2n 2 {;3!;} -2_;3!; 3 f {;3!;}=lim = 113=-;3!; 1111113 0100 2n+2 n`Ú¦ 2 {;3!;} +2. ㄷ. -1<r<1일 때, lim rÇ` =0이므로 n`Ú¦ 2-rÇ` 2-0 = =1 2+rÇ` 2+0 이상에서 옳은 것은 ㄷ뿐이다. lim n`Ú¦. 012. 정답과 풀이. 답ㄷ. f(1)=lim n`Ú¦. 12n-2_1 1-2 =-;3!; = 1+2 12n+2+2. 답②.

(13) 4 1- ` 4Ç` 22n-2_2 =lim f(2)=lim 1114=;4!; n`Ú¦ 22n+2+2 n`Ú¦ 2 4+ n ` 4 1 ∴ f { }+f(1)+f(2) =-;3!;+{-;3!;}+;4!; 3. 유형. 답 -;1°2;. =-;1°2;. 본문 19쪽. PÇ(2n, '¶2n), QÇ(2n, 0)이므로 0103 OPÇÓ="Ã(2n)Û`+('¶2n)Û`="Ã4nÛ`+2n. OQÇÓ=2n. ∴ lim (OPÇÓ-OQÇÓ) n`Ú¦ ("Ã4nÛ`+2n-2n) =lim n`Ú¦ ("Ã4nÛ`+2n-2n)("Ã4nÛ`+2n+2n) "Ã4nÛ`+2n+2n 2n =lim n`Ú¦ "Ã4nÛ`+2n+2n 2 2 =lim =;2!; 111114= n`Ú¦ 2+2 2 ®É4+ +2 n. =lim n`Ú¦. Ú -1<x<1일 때, lim xÇ` =0이므로 0101 n`Ú¦  f(x)=lim n`Ú¦. 1-xÇ` =1 1+xÇ`. Û x=1일 때, lim xÇ` =1이므로 n`Ú¦ 1-xÇ` 1-1  f(x)=lim =0 = n`Ú¦ 1+xÇ` 1+1. 답 ;2!;. Ü x>1일 때, lim xÇ` =¦이므로 n`Ú¦ 1 -1 xn 1-xÇ` =lim  f(x)=lim =-1 1113 n`Ú¦ 1+xÇ` n`Ú¦ 1 n +1 x Ú, Û, Ü에서 함수 y=f(x)의 그래프는 ①이다. . f(x)=3xÛ`이므로 P(n, 3nÛ`), Q(n+1, 3(n+1)Û`) 0104 ∴ aÇ=PQÓ="Ã1Û`+{3(n+1)Û`-3nÛ`}Û` ="Ã1+(6n+3)Û`. aÇ "Ã36nÛ`+36n+10 =lim. n n`Ú¦ n =lim ®É36+ n`Ú¦. Ú |x|<1일 때, lim x2n=lim x2n+4=0이므로 0102 n`Ú¦ n`Ú¦. . Û x=1일 때, lim x =lim x n`Ú¦ n`Ú¦ 2n+4.  f(x)=lim n`Ú¦. x. 36 10 + n nÛ`. 답6. ='¶36=6. x2n+4+ax2+b =axÛ`+b x2n+1 2n. ="Ã36nÛ`+36n+10. 답①. ∴ lim n`Ú¦.  f(x)=lim n`Ú¦. n. x에서 x= y= 0105 3n+1. 2n+4. =1이므로. 2. +ax +b 1+a+b = 2 x2n+1. 3n+1 y n. yy ㉠. 점 PÇ의 y좌표를 구하기 위해 ㉠을 2x+3y=8에 대입하면 . Ü |x|>1일 때, lim x2n=lim x2n+4=¦이므로 n`Ú¦ n`Ú¦. 2_. 3n+1 9n+2 y+3y=8, y=8 n n. ∴ y=. x2n+4+ax2+b.  f(x) =lim n`Ú¦ x2n+1 a b xÝ`+ 2n-2 + 2n x x =lim 11111112=xÝ` n`Ú¦ 1 1+ 2n x. 8n 9n+2 . A(4, 0)이므로 1 SÇ= _OAÓ_|(점 PÇ의 y좌표)| 2. 1 8n 16n = _4_ = 2 9n+2 9n+2. . Ý x=-1일 때, lim x2n=lim x2n+4=1이므로 n`Ú¦ n`Ú¦. . x2n+4+ax2+b 1+a+b  f(x)=lim = n`Ú¦ 2 x2n+1. ∴ lim SÇ=lim n`Ú¦ n`Ú¦. 16n 16 = 9n+2 9. . 단계. 답 풀이 참조 채점요소.  답 ;;Á9¤;;. 배점 단계. 채점요소. 배점. . |x|<1일 때, f(x)를 다항함수로 나타내기. 25 %. . x=1일 때, f(x)를 다항함수로 나타내기. 25 %. . 점 PÇ의 y좌표 구하기. 40 %. SÇ 구하기. 40 %. lim SÇ의 값 구하기. 20 %. . |x|>1일 때, f(x)를 다항함수로 나타내기. 25 %. . . x=-1일 때, f(x)를 다항함수로 나타내기. 25 %. . n`Ú¦. 01. 수열의 극한. 013.

(14) {;2!;} 0106. n-1. (x-1)=3x(x-1)에서. (x-1)[3x-{;2!;}. 시험에. ]=0. 꼭 나오는 문제. 본문 20~23쪽. n-1. 1 의 값은 0에 한없이 가까 7Ç` 워지므로 주어진 수열은 0에 수렴한다.. ㄱ. n의 값이 한없이 커지면 0109. ∴ x=1 또는 x=;3!; _{;2!;}. n-1. 따라서 점 PÇ의 좌표는 {;3!; _{;2!;}. ,  {;2!;}. n-1. [;3!; _{;2!;}. n-1. 즉, HÇ{;3!; _{;2!;}. ㄴ. n의 값이 한없이 커지면. n-1. -1]}. 지므로 주어진 수열은 2에 수렴한다.. n-1. PÇHÇÓ=-{;2!;}. , 0}이므로. [;3!; _{;2!;}. n-1. ㄷ. 홀 수 번째 항은 1, 짝수 번째 항은 0이므로 주어진 수열은 진 동한다. 즉, 발산한다.. n-1. -1]. ㄹ. n 의 값이 한없이 커지면. OHÇÓ=;3!; _{;2!;}. n-1. -{;2!;} [;3!; _{;2!;} -1] PÇHÇÓ ∴ lim =lim 111111111111. n-1 n`Ú¦ OHÇÓ n`Ú¦ ;3!; _{;2!;} n-1. nÛ`+3 의 값은 한없이 커지므로 주 2n+1. 어진 수열은 양의 무한대로 발산한다.. n-1. -[;3!; _{;2!;} -1] =lim =3 111111111 n`Ú¦ ;3!;. 이상에서 수렴하는 수열은 ㄱ, ㄴ이다.. 0110. (aÇ-3)=1에서 lim aÇ=4 lim n`Ú¦ n`Ú¦ 답3. ∴ lim (aÇÛ`-2aÇ+2) =lim aÇ_lim aÇ-2 n`Ú¦ lim aÇ+lim 2 n`Ú¦ n`Ú¦ n`Ú¦ n`Ú¦ =4Û`-2_4+2=10. 0107. n=1, 2, 3, y일 때, 한 변의 길이가 1인 정사각형의 개수는 1, 4, 9, y이므로 aÇ=nÛ` 또, 한 변의 길이가 1인 모든 정사각형의 꼭짓점의 개수는 전체 꼭짓점의 개수와 같으므로 bÇ=(n+1)Û`=nÛ`+2n+1 bÇ-aÇ 2n+1 =lim =2 n`Ú¦ n n. 답①. n-1. ∴ lim n`Ú¦. 2n-1 의 값은 2에 한없이 가까워 n+3. 답2. 답 10. 5Ç` aÇ =bÇ이라 하면 5Ç` aÇ=(3Ç` +1)bÇ 3Ç` +1 3Ç` +1 3n+1+1 ∴ aÇ= bÇ, an+1= n+1 bn+1 5Ç` 5 0111. 이때 lim bÇ=a (a+0인 상수)라 하면 lim bn+1=a n`Ú¦ n`Ú¦ 3n+1 bÇ 5n aÇ ∴ lim =lim 1111124. n`Ú¦ an+1 n`Ú¦ 3n+1+1 b n+1 5n+1 n 5(3 +1)bÇ =lim n`Ú¦ (3n+1+1)b n+1 5[1+{;3!;} ]bÇ. =lim 11111112 n`Ú¦ n [3+{;3!;} ]bn+1 n. 0108. OCÇÓ=ABÇÓ=n, BÇCÇÓ=OAÓ=30이므로 ACÇÓ=¿¹OAÓ Û`+OCÇÓ Û`="Ã30Û`+nÛ`="Ã900+nÛ` 또, △ABÁDÇ»△ABÇCÇ이므로. =. ABÁÓ : ABÇÓ=BÁDÇÓ : BÇCÇÓ에서 1 : n=BÁDÇÓ : 30 ∴ BÁDÇÓ= ∴ lim n`Ú¦. 30 n. ACÇÓ-OCÇÓ "Ã900+nÛ`-n =lim 1111122 n`Ú¦ 30 BÁDÇÓ n. =lim n`Ú¦. n("Ã900+nÛ`-n)("Ã900+nÛ`+n) 30("Ã900+nÛ`+n). =lim n`Ú¦. 30n. "Ã900+nÛ`+n. 30 1111115=15 =lim n`Ú¦ 900 ®É +1+1 nÛ` 참고. ABnÓ=n이므로. ABÁÓ=1, ABªÓ=2, AB£Ó=3, y. 014. 정답과 풀이. 0112. 답 15. ② lim n`Ú¦. 5a 5 = 3a 3. 1 1+ n+1 n ① lim =lim 111=;2!; n`Ú¦ 2n-3 n`Ú¦ 3 2n 1 =0 nÜ`-1. 4 1nÛ`(n-4) nÜ`-4nÛ` n ③ lim =lim =lim 1114=1 n`Ú¦ n`Ú¦ nÜ`+1 n`Ú¦ 1 nÜ`+1 1+ nÜ` 1 1+ n(n+1) nÛ`+n n ④ lim =lim =lim 1114=;3!; n`Ú¦ 3nÛ`-5n n`Ú¦ 3nÛ`-5n n`Ú¦ 5 3n. 답③.

(15) ⑤ lim n`Ú¦. ∴ lim aÇ=n`Ú¦ lim ("ÃnÛ`+6n-n) n`Ú¦. (n-1)(3n-1) 3nÛ`-4n+1 =lim n`Ú¦ 4nÛ`-5n 4nÛ`-5n 4 1 3- + n nÛ` =lim 111113=;4#; n`Ú¦ 5 4n. 따라서 극한값이 가장 큰 것은 ③이다.. ("ÃnÛ`+6n-n)("ÃnÛ`+6n+n) "ÃnÛ`+6n+n 6n =lim n`Ú¦ "ÃnÛ`+6n+n 6. =lim 111115 n`Ú¦ 6 ®É1+ +1 n =lim n`Ú¦. 답③. {logª`(2n-1)+logª`(8n+1)-2 logª`(n+1)} lim 0113 n`Ú¦. =. {logª`(2n-1)(8n+1)-logª`(n+1)Û`} =lim n`Ú¦ (2n-1)(8n+1) (n+1)Û` 16nÛ`-6n-1  logª` =lim n`Ú¦ nÛ`+2n+1 6 1 16- n nÛ`  logª` 1111124 =lim n`Ú¦ 2 1 1+ + n nÛ` =logª 16. 6 =3 1+1. 답3. =lim  logª` n`Ú¦. =logª 2Ý`=4. lim 0117 n`Ú¦ =lim n`Ú¦. 답③. anÛ`+bn+2 에서 c+0이면 0에 수렴하므로 c=0 cnÜ`+3n-2 anÛ`+bn+2 또, lim 에서 a+0이면 발산하므로 a=0 n`Ú¦ 3n-2 bn+2 b = =3이므로 3n-2 3. n+"ÃnÛ`+2 2(2n+"Ã4nÛ`+1) 2 1+®É1+ nÛ` =lim 1111111 n`Ú¦ 1 2{2+®É4+ } nÛ` 1+1 =;4!; = 2(2+2). 답①. ("ÃnÛ`+an+1-"ÃbnÛ`-3n+2) lim 0118 n`Ú¦. b=9 ∴ a+b+c=9. (2n-"Ã4nÛ`+1)(2n+"Ã4nÛ`+1)(n+"ÃnÛ`+2) (n-"ÃnÛ`+2)(n+"ÃnÛ`+2)(2n+"Ã4nÛ`+1). =lim n`Ú¦. lim 0114 n`Ú¦. 즉, lim n`Ú¦. 2n-"Ã4nÛ`+1 n-"ÃnÛ`+2. 답⑤. =lim n`Ú¦. ("ÃnÛ`+an+1-"ÃbnÛ`-3n+2)("ÃnÛ`+an+1+"ÃbnÛ`-3n+2) "ÃnÛ`+an+1+"ÃbnÛ`-3n+2. (1-b)nÛ`+(a+3)n-1 "ÃnÛ`+an+1+"ÃbnÛ`-3n+2 1 (1-b)n+(a+3)n =lim 11111111111124 n`Ú¦ a 1 3 2 ®É1+ + +®Éb- + n nÛ` n nÛ` 극한값이 10이므로 =lim n`Ú¦. (2n)Û`<4nÛ`+3n+1<(2n+1)Û`이므로 0115 2n<"Ã4nÛ`+3n+1<2n+1 ∴ aÇ=2n, bÇ="Ã4nÛ`+3n+1-2n ∴ lim n`Ú¦. aÇbÇ n. =lim n`Ú¦. a+3 =10 ∴ a=17, b=1 1+'b ∴ a+b=18. 2n("Ã4nÛ`+3n+1-2n) n. 1-b=0,. 2("Ã4nÛ`+3n+1-2n)("Ã4nÛ`+3n+1+2n) "Ã4nÛ`+3n+1+2n 2(3n+1) =lim n`Ú¦ "Ã4nÛ`+3n+1+2n =lim n`Ú¦. 2{3+;n!;} 2_3 = =lim =;2#; 111111144 n`Ú¦ 2+2 3 1 ®É4+ + +2 n nÛ`. 답 ;2#;. 0119. aÇ=. -2aÇ+1 =bÇ으로 놓으면 5aÇ-3. 3bÇ+1 이고 lim bÇ=-1 n`Ú¦ 2+5bÇ. ∴ lim aÇ=lim n`Ú¦ n`Ú¦ 이차방정식 xÛ`+2nx-6n=0에서 0116 x=-nÑ"nÛ`+6n 이때 aÇ이 양의 실근이므로 aÇ="ÃnÛ`+6n-n. 답⑤. ∴ lim. n`Ú¦. 3bÇ+1 3_(-1)+1 = =;3@; 2+5bÇ 2+5_(-1). aÇ+1 ;3@;+1 = 1123=-5 aÇ-1 ;3@;-1. 답②. 01. 수열의 극한. 015.

(16) 곡선 y=xÛ`-(n+1)x+aÇ은 x축과 만나므로 0120 이차방정식 xÛ`-(n+1)x+aÇ=0의 판별식을 DÁ이라 하면 DÁ=(n+1)Û`-4aǾ0에서 aÇÉ. (n+1)Û`. 4. yy ㉠. 또, 곡선 y=xÛ`-nx+aÇ은 x축과 만나지 않으므로 이차방정식 xÛ`-nx+aÇ=0의 판별식을 Dª라 하면 Dª=nÛ`-4aÇ<0에서 aÇ> ㉠, ㉡에서. nÛ`. 4. yy ㉡. nÛ` (n+1)Û` <aÇÉ 4 4. 2Ç`+(-3)Ç`_aÇ =bÇ으로 놓으면 2Ç`_aÇ-(-3)Ç` (-3)Ç`_bÇ+2Ç` 이고 lim aÇ= bÇ=-6 n`Ú¦ 2Ç`_bÇ-(-3)Ç` (-3)Ç`_bÇ+2Ç`. ∴ lim aÇ=n`Ú¦ lim n`Ú¦ 2Ç`_bÇ-(-3)Ç` 2 n bÇ+{- } 3. =lim 1111111 n`Ú¦ 2 n {- } _bÇ-1 3 0124. =. 양변을 nÛ`으로 나누면 1 aÇ (n+1)Û` < É 4 nÛ` 4nÛ`. -6 =6 -1. 답6. 첫째항이 1, 공비가 r인 등비수열 {aÇ}의 일반항 aÇ은 0125. 1 1 (n+1)Û` 1 이때 lim   = , lim = 이므로 수열의 극한의 대소 n`Ú¦ 4 4 n`Ú¦ 4nÛ` 4 aÇ 1 관계에 의하여 lim = n`Ú¦ nÛ` 4. 답⑤. {16-;n!;}=lim {16+;n!;}=16, lim n`Ú¦ n`Ú¦ {10-;n!;}=lim {10+;n!;}=10 lim n`Ú¦ n`Ú¦. SÇ= Á ak= Á rk-1= n. n. k=1. k=1. rÇ`-1 r-1. rn-1 aÇ rÇ`-rn-1 =lim 1123. =lim n n`Ú¦ SÇ n`Ú¦ r -1 n`Ú¦ rÇ`-1 r-1 1 1r =lim 11242=1-;r!; (∵ r>1) n`Ú¦ 1 1- n r. cÇ=16, lim dÇ=10 lim n`Ú¦ n`Ú¦. 답⑤. ∴ r=7 cÇ+dÇ 이므로 2. 공비가 0126. cÇ+lim dÇ 16+10 cÇ+dÇ lim n`Ú¦ n`Ú¦ = =13 = 2 2 2. -1< 답 13. xÛ`+2x 이므로 주어진 등비수열이 수렴하려면 3. xÛ`+2x É1 ∴ -3<xÛ`+2xÉ3 3. 3<xÛ`+2x, 즉 xÛ`+2x+3>0에서 Ú xÛ`+2x+3=(x+1)Û`+2¾2. ㄱ. aÇ-bÇ=cÇ이라 하면 bÇ=aÇ-cÇ이고 lim cÇ=0 0122 n`Ú¦ n. ㄴ. [반례] aÇ=(-1) 이면 lim aÇÛ`=1이지만 lim aÇ은 발산(진 n`Ú¦ n`Ú¦ 동)한다. ㄷ. [반례] aÇ=(-1)n이면 a2n=(-1)2n=1이므로 lim a2n=1 n`Ú¦ 이지만 lim aÇ은 발산(진동)한다. n`Ú¦ 이상에서 옳은 것은 ㄱ뿐이다.. 3 3+ 2Ç` 3_4Ç` +3_2Ç` 0123. 4 ◈2=lim =lim 1114=3 n`Ú¦ n`Ú¦ 1 4Ç` +2Ç`  1+ 2Ç` 7_3Ç` +2_6Ç`  ∴ (4 ◈2) ◈6 =3 ◈6=lim n`Ú¦ 3Ç` +6Ç`  7 +2 2Ç` =lim =2  1114 n`Ú¦ 1 +1 2Ç` 정답과 풀이. 이므로 모든 실수 x에 대하여 항상 성립한다. Û`+2xÉ3, 즉 xÛ`+2x-3É0에서 Û x. ∴ lim bÇ=n`Ú¦ lim (aÇ-cÇ)=lim aÇ-lim cÇ=a-0=a n`Ú¦ n`Ú¦ n`Ú¦. 016. 따라서 1-;r!;=;7^;이므로 ;r!;=;7!;. 이므로 수열의 극한의 대소 관계에 의하여. cÇ=aÇ+bÇ, dÇ=aÇ-bÇ에서 aÇ=. aÇ=rn-1이므로. ∴ lim. 조건 ㈎, ㈏에서 aÇ+bÇ=cÇ, aÇ-bÇ=dÇ이라 하면 0121. aÇ=lim lim n`Ú¦ n`Ú¦. (x+3)(x-1)É0 ∴ -3ÉxÉ1 Ú, Û에서 -3ÉxÉ1이므로 a=-3, b=1 답②. ∴ a+b=-2 {-;2!;} -6_{-;2!;}+2 0127. f {-;2!;}=n`Ú¦ lim 111111111113 n {-;2!;} +1 n+2. 답①. = f(4) =lim n`Ú¦. 0+3+2 =5 0+1. 4n+2-6_4+2 4n+2-22 =lim n n`Ú¦ 4 +1 4n+1. 4Û`-22_{;4!;} =lim =16 11111113 n n`Ú¦ 1+{;4!;} n. 답②. ∴ f {-;2!;}+f(4)=5+16=21. 답 21.

(17) 직선 y=g(x)는 원점과 점 (3, 3)을 지나므로 0128. 2. aÇ={1-;3@;}{1-;4@;}{1-;5@;}`y`{1}  0131 n+2. g(x)=x. =;3!;_;4@;_;5#;_`y`_.  f(2)=4,`g(2)=2이므로 { f(2)}n+1+5{ g(2)}Ç` 4n+1+5_2n =lim h(2) =lim n`Ú¦ n`Ú¦ { f(2)}Ç`+{ g(2)}Ç` 4Ç`+2Ç`. =. 4+5_{;2!;} =4 =lim 1111133 n n`Ú¦ 1+{;2!;} n. n-1 n. _ n+1 n+2. 2 (n+1)(n+2) . n(n+1) bÇ=1+2+3+`y`+n= 2.  f(3)=3, g(3)=3이므로 h(3) =lim n`Ú¦ =. . n+1. n+1. ∴ lim aÇbÇ=lim [ n`Ú¦ n`Ú¦. n. { f(3)} +5{ g(3)}Ç` 3 +5_3 =lim n`Ú¦ { f(3)}Ç`+{ g(3)}Ç` 3Ç`+3Ç`. 3+5 =4 1+1. =lim n`Ú¦ 답③. ∴ h(2)+h(3)=4+4=8. 2 n(n+1) _ ] (n+1)(n+2) 2. n 1 =lim 111=1 n+2 n`Ú¦ 2 1+ n  답1. 단계. 0129. 점의 개수는 2씩 늘어나므로 aÇ은 첫째항이 4, 공차가 2 인 등차수열이다. ∴ aÇ=4+2(n-1)=2n+2. 채점요소. 배점. . aÇ 간단히 하기. 30 %. . bÇ 간단히 하기. 20 %. . lim aÇbÇ의 값 구하기. 50 %. 길이가 1인 선분의 개수는 3씩 늘어나므로 bÇ은 첫째항이 4, 공차. n`Ú¦. 가 3인 등차수열이다. ∴ bÇ=4+3(n-1)=3n+1 ∴ lim n`Ú¦. 첫째항이 3이고 공차가 2인 등차수열 {aÇ}에 대하여 0132. 6(aÇ+bÇ)Û` 6(2n+2+3n+1)Û` =lim n`Ú¦ (2n+2)(3n+1) aÇbÇ 6(5n+3)Û`. 6nÛ`+8n+2 6_25 = =25 6. =lim n`Ú¦. aÇ=3+(n-1)_2=2n+1 . SÇ= 답⑤. n{2_3+(n-1)_2} =n(n+2) 2 . ∴ lim ('ÄSn+1-'¶Sn) n`Ú¦ ('ÄSn+1-'¶Sn)('ÄSn+1+'¶Sn) 'ÄSn+1+'¶Sn an+1 Û Sn+1-Sn=an+1 =lim n`Ú¦ 'ÄS n+1+'¶Sn 2(n+1)+1 =lim n`Ú¦ 'Ä (n+1)(n+3)+'Än(n+2) 2n+3 =lim n`Ú¦ "ÃnÛ`+4n+3+"ÃnÛ`+2n 3 2+ n =lim 11111111112 n`Ú¦ 4 3 2 ®É1+ + +®É1+ n nÛ` n 2 =1 = 1+1 =lim n`Ú¦. 0130. 두 수열 {aÇ}, {bÇ}이 각각 수렴하므로 aÇ=a, lim bÇ=b (a, b는 실수)라 하면 lim n`Ú¦ n`Ú¦ (2aÇ+bÇ)=6에서 2a+b=6 lim n`Ú¦. yy ㉠. (3aÇ-2bÇ)=2에서 3a-2b=2 lim n`Ú¦. yy ㉡. ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=2 ∴ lim aÇ=2, lim bÇ=2 n`Ú¦ n`Ú¦. ∴ lim. n`Ú¦. 3 lim bÇ-lim aÇ n`Ú¦ n`Ú¦. 3bÇ-aÇ. = lim bÇ 2aÇ+3bÇ 2 n`Ú¦ lim aÇ+3 n`Ú¦ =. . 3_2-2 =;5@; 2_2+3_2. .  답 ;5@;. . 단계. 채점요소. 배점. 배점. . aÇ 구하기. 30 %. lim aÇ, lim bÇ의 값 구하기 n`Ú¦. 70 %. . SÇ 구하기. 30 %. 주어진 극한값 구하기. 30 %. . lim ('ÄSn+1-'¶SÇ)의 값 구하기. 40 %. 단계 . 답1. 채점요소 n`Ú¦. n`Ú¦. 01. 수열의 극한. 017.

(18) 5. ∴ aÇ =-n+(-n+1)+ y +0+1+2+ y +(n-1)+n . Ú |r|>5일 때, lim { } =0이므로 0133 n`Ú¦ r n. =(n+1)+(n+2)+ y +8n . . r n Û |r|<5일 때, lim { } =0이므로 n`Ú¦ 5 r n { } +1 rn+5n 5 =-1 lim n n =lim 11115 n`Ú¦ r -5 n`Ú¦ r n { } -1 5 따라서 극한값이 -1이 되도록 하는 r의 값의 범위는 |r|<5이 므로 정수 r는 -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4의 9개이다.  답9 단계. 채점요소. 배점. rÇ`+5Ç` 의 값 구하기 n`Ú¦ rÇ`-5Ç`. 40 %. |r|<5일 때, lim. rÇ`+5Ç` 의 값 구하기 n`Ú¦ rÇ`-5Ç`. 40 %. 조건을 만족시키는 정수 r의 개수 구하기. 20 %. . |r|>5일 때, lim.  . =. 7n{(n+1)+8n} 2. =. 7n(9n+1) 2. aÇ 7n(9n+1) 7_9 ∴ lim =;;¤2£;;   =lim   = n`Ú¦ nÛ` n`Ú¦ 2 2nÛ`. . +(n+1)+(n+2)+ y +8n. 5 n 1+{ } n n r +5 r =1 lim n n =lim 11115 n`Ú¦ r -5 n`Ú¦ 5 n 1-{ } r. 답 ;;¤2£;;. 두 점 PÇ, QÇ은 곡선 y=xÛ`-{4+;n!;}x+;n$;와 직선 0136 y=;n!; x+1의 교점이므로 두 실수 a, b에 대하여 a b PÇ{a, +1}, QÇ{b, +1}로 놓을 수 있다. n n 이때 a, b는 이차방정식 xÛ`-{4+;n!;}x+;n$;=;n!;x+1, 즉 xÛ`-{4+;n@;}x+;n$;-1=0 의 두 근이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=4+;n@; . yy ㉠. 한편, aÇ은 삼각형 OPÇQÇ의 무게중심의 y좌표이므로 aÇ=;3!;[0+{ =;3!;{. 주어진 수열의 일반항을 aÇ이라 하면 0134 an+1=1+. 1 (n=1, 2, 3, y) 1+aÇ. ∴ lim an+1=lim {1+ n`Ú¦ n`Ú¦. =;3!;{. 1 , a(1+a)=1+a+1 1+a. 4 2 + +2} n nÛ`. =30_;3!;_2=20. 그런데 a>0이므로 a='2 답②. g(t)는 log t의 소수 부분이므로 0Ég(t)<1 0135 -;5#;Ég(t)-;5#;<;5@; 0É[g(t)-;5#;]Û`É;2»5; 0É25n[g(t)-;5#;]Û`É9n -nÉ25n[g(t)-;5#;]Û`-nÉ8n ∴ -nÉf(t)É8n 이때 f(t)는 정수이므로 f(t)가 될 수 있는 값은 -n, -n+1, y, 0, 1, 2, y, n-1, n, n+1, n+2, y, 8n 정답과 풀이. 1 4 2 ∴ 30 lim aÇ=30 n`Ú¦ lim { + +2} n`Ú¦ 3 n nÛ`. aÛ`=2 ∴ a=Ñ'2. 018. . . 2 4+ ¼ n =;3!;  1122+2 (∵ ㉠) n. 1 } 1+aÇ. 따라서 주어진 수열의 극한값은 '2이다.. a+b +2} n. ». lim aÇ=a (a는 실수)라 하면 lim an+1=a이므로 n`Ú¦ n`Ú¦ a=1+. a b +1}+{ +1}] n n.  답 20.

(19) Ⅰ. 수열의 극한. 02. 급수. n`Ú¦. /. 0137 Á aÇ=lim  SÇ=lim ¦. n`Ú¦. n`Ú¦. 1 }=1 n+1 답 수렴, 1. 따라서 주어진 급수는 수렴하고, 그 합은 1이다.. 교과서 문제 정 복 하 기 n=1. ∴ lim  SÇ=lim  {1-. n`Ú¦. /. /. 본문 25 쪽. n =;2!; 2n+1. 답 ;2!;. 0143 주어진 급수는 첫째항이 -2, 공차가 3인 등차수열의 합 이므로 제 n 항을 aÇ이라 하면 aÇ=-2+(n-1)_3=3n-5 ∴ lim  aÇ=lim (3n-5)=¦+0 n`Ú¦. 1 Á aÇ=lim  SÇ=lim  [2-{ }Ç` ]=2 0138 n=1 n`Ú¦ n`Ú¦ 3 ¦. 답2. n`Ú¦. 따라서 주어진 급수는 발산한다.. 답 풀이 참조. 0144 주어진 급수는 첫째항이 3, 공비가 3인 등비수열의 합이. 0139 제 n 항까지의 부분합을 SÇ이라 하면 SÇ= Á  k=. 므로 제 n 항을 aÇ이라 하면. n(n+1) 2 k=1 n(n+1) ∴ lim  SÇ=lim =¦ n`Ú¦ n`Ú¦ 2 n. aÇ=3_3n-1=3Ç ∴ lim  aÇ=lim  3Ç`=¦+0 n`Ú¦. n`Ú¦. 따라서 주어진 급수는 발산한다.. 따라서 주어진 급수는 발산한다.. 답 풀이 참조. 답 발산. 0145 주어진 급수의 제 n 항을 aÇ이라 하면 aÇ=5. 0140 제 n 항까지의 부분합을 SÇ이라 하면 SÇ= Á. n 1 1 } = Á  ;2!; {;2Ák;2k+2 k=1 2k(2k+2) k=1. ∴ lim  aÇ=5+0. n. n`Ú¦. 따라서 주어진 급수는 발산한다.. 답 풀이 참조. =;2!;[{;2!;-;4!;}+{;4!;-;6!;}+{;6!;-;8!;}. +`y`+{;2Án;-.  =;2!;{;2!;-. 1 } 2n+2. ∴ lim  SÇ=lim  ;2!; {;2!;n`Ú¦. 1 }] 2n+2. n`Ú¦. n+1 0146 aÇ= 4n-1 로 놓으면 lim  aÇ=lim. n`Ú¦. 1 }=;4!; 2n+2. 따라서 주어진 급수는 수렴하고, 그 합은. n`Ú¦. n+1 =;4!;+0 4n-1. 따라서 주어진 급수는 발산한다. 1 이다. 4. 답 풀이 참조. 답 수렴, ;4!;. 0147 aÇ=1-{;4!;}Ç`으로 놓으면 0141 제 n 항까지의 부분합을 SÇ이라 하면 SÇ= Á (''Äk+1-''k ). lim  aÇ= lim [1-{;4!;}Ç` ]=1+0. n`Ú¦. n. k=1. =(''2-''1)+(''3-''2)+(''4-''3). =''Än+1-1. +`y`+('Än+1-'§n ). 답 발산. 0142 제 n 항까지의 부분합을 SÇ이라 하면. ={1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+`y`+{;n!;-. =1-. 1 n+1. Á (aÇ+2bÇ)= Á  aÇ+2 Á  bÇ 0148 n=1 n=1 n=1 ¦. n`Ú¦. 따라서 주어진 급수는 발산한다.. n n 1 1 SÇ= Á   = Á  {;k!;} k=1 k(k+1) k=1 k+1. 답 풀이 참조. ∴ lim  SÇ=lim (''Än+1-1)=¦ n`Ú¦. n`Ú¦. 따라서 주어진 급수는 발산한다..  . ¦. =3+2_(-2) =-1. 답 -1. Á { - }=;3!; Á aÇ-;2!; Á bÇ 0149 n=1 3 2 n=1 n=1 ¦. 1 } n+1. ¦. aÇ. bÇ. ¦. ¦.  . . =;3!;_3-;2!;_(-2). . =1+1. . =2. 답2 02. 급수. 019.

(20) 0150 첫째항이 1, 공비가 ;3!;이고, -1<;3!;<1이므로 주어진 등비급수는 수렴한다. 따라서 그 합은 1. 1-;3!;. 0159 0.H8=0.8+0.08+0.008+ y =. 답 수렴, ;2#;. =;2#;. 0.8 0.8 = =;9*; 1-0.1 0.9. 0160 1.H3H6=1+0.36+0.0036+0.000036+`y. 0151 첫째항이 0.1, 공비가 0.1이고, -1<0.1<1이므로 주 0.1 =;9!; 1-0.1. =1+. =:Á9£9°:=;1!1%;. '5. '5. 수는 발산한다. . 유형 익 히 기 /. 답 발산. Á {-;2!;} 0153 n=1 ¦. n-1. 에서 첫째항이 1, 공비가 -;2!;이고,. 답 수렴, ;3@;. =;3@;. ¦. 2 1 } =2{;n!;n+1 n(n+1) 이때 제 n 항까지의 부분합을 SÇ이라 하면 =. SÇ= Á aû=2 Á {;k!;n. n. k=1. k=1. n-1. 에서 공비가 ;3%;이고, ;3%;>1이므로 주어 답 발산. =2{1-. 1 } n+1. lim  SÇ=lim  2{1-. n. 0156 Á { ¦. n=1. ;4#;. 1-;4#;. 1 }n-1= 1+'3. 답3. =3. 1 }] n+1. 따라서 주어진 급수의 합은 n`Ú¦. ¦. 1 } k+1. =2[{1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+`y`+{;n!;-. 진 등비급수는 발산한다.. Á {;4#;} = 0155 n=1. 본문 26~34 쪽. 1 1 = 1+2+3+`y`+n n(n+1) 2. aÇ=. 합은. Á 2_{;3%;} 0154 n=1. /. 0161 주어진 급수의 제 n 항을 aÇ이라 하면. -1<-;2!;<1이므로 주어진 등비급수는 수렴한다. 따라서 그. 1-{-;2!;}. 답 ;1!1%;. 답 수렴, ;9!;. 0152 공비가 - 2 이고, - 2 <-1이므로 주어진 등비급. 1. 0.36 0.36 =1+ 1-0.01 0.99. 어진 등비급수는 수렴한다. 따라서 그 합은. . 답 ;9*;. n`Ú¦. 1 }=2 n+1. 답2. 0162 주어진 급수의 제 n 항을 aÇ이라 하면 1 1 1 } =;2!; { n+1 n+2 2(n+1)(n+2) 이때 제 n 항까지의 부분합을 SÇ이라 하면 aÇ=. 1 1 11+'3. =. SÇ= Á  ;2!; {. 1 '3 1+'3. 1+'3 3+'3. = = 3 '3. n. k=1. 3+'3 답 3. 1 1 } k+1 k+2. =;2!;[{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+`y`+{ =;2!; {;2!;-. ∴ Á. 1 1 }] n+1 n+2. 1 } n+2. 1 1 }=;4!; =lim  SÇ=lim  ;2!; {;2!;n`Ú¦ n+2 2(n+1)(n+2) n`Ú¦ 답③ 따라서 a=4, b=1이므로 a+b=5 ¦. 0157 주어진 등비급수의 공비가 x이므로 수렴하려면 -1<x<1. 답 -1<x<1. n=1. 0163 주어진 급수의 제 n 항을 aÇ이라 하면 0158 주어진 등비급수의 공비가 -2x이므로 수렴하려면 -1<-2x<1 ∴ -;2!;<x<;2!;. 020. 정답과 풀이. 답 -;2!;<x<;2!;. 2 2 1 1 = = 2n-1 2n+1 4nÛ`-1 (2n-1)(2n+1) 이때 제 n 항까지의 부분합을 SÇ이라 하면 aÇ=.

(21) SÇ= Á { n. k=1. 1 1 } 2k-1 2k+1. 0166 급수의 제 n 항까지의 부분합을 SÇ이라 하면 SÇ= Á `log£`aû n. 1 1 ={1-;3!;}+{;3!;-;5!;}+`y`+{ } 2n-1 2n+1 =1-. k=1. =log£`aÁ+log£`aª+log£`a£+`y`+log£`aÇ. 1 2n+1. =log£`(aÁaªa£`y`aÇ)=log£`. 따라서 주어진 급수의 합은 답1. 0164 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 . 이때 급수의 제 n 항까지의 부분합을 SÇ이라 하면. ∴ Á { ¦. n=1. 1 } k+1 1 }] n+1.  답 -2 채점요소 aÇ+bÇ, aÇ«bÇ 구하기. 배점 20 %. . 1 1 구하기 + aÇ bÇ. 20 %. . 부분합 SÇ 구하기. 40 %. 1 1 Á  { + }의 합 구하기 aÇ bÇ n=1 ¦. = Á `log`. n=1. ¦. 1 } nÛ`+2n. nÛ`+2n+1 nÛ`+2n. ¦. =lim [log` n`Ú¦. 1 1 1 1 }+{ } log`2 log`3 log`3 log`4. n`Ú¦. . +`y`+{. 1 1 }] log`n log (n+1). 1 1 1. ]= log`2 log`2 log (n+1). 답⑤. lim  S2n-1=2. n`Ú¦. S2n=(2-2)+(2-2)+ y +(2-2)=0이므로 lim  S2n=0. n`Ú¦. 따라서 lim  S2n-1+lim  S2n이므로 주어진 급수는 발산한다. n`Ú¦. (n+1)Û`` 2Û` 3Û` +log` +`y`+log` ] 1_3 2_4 n(n+2). (n+1)Û`` 2Û` _ 3Û` _ 4Û` _`y`_ =lim `log [ ] n`Ú¦ 1_3 2_4 3_5 n(n+2) 2(n+1)` 답④ =lim `log` =log`2 n`Ú¦ n+2. n`Ú¦. ㄴ. SÇ=0+0+ y +0=0이므로 lim  SÇ=0 n`Ú¦. 따라서 주어진 급수는 0에 수렴한다.. ㄷ. SÇ={;3!;-;4!;}+{;4!;-;5!;}+{;5!;-. 1 } 6. + y +{. 20 %. (n+1)Û`` = Á `log` n=1 n(n+2) n (k+1)Û`` =lim  Á `log` n`Ú¦ k=1 k(k+2) n=1. 1 1 ] log`k log (k+1). ㄱ. S2n-1=2+(-2+2)+ y +(-2+2)=2이므로. 1 1 1 + }=lim  SÇ=lim [-2{1}]=-2 n`Ú¦ n`Ú¦ aÇ bÇ n+1. ¦. n. 0168 급수의 제 n 항까지의 부분합을 SÇ이라 하면 . 0165 Á `log`{1+. 답②. 1 1 1 ] ← logŒ`b= logº`a log`n log (n+1). =lim [{. n`Ú¦. 1 } n+1. 단계. . ¦. =lim [. . . =Á[. n`Ú¦ k=2. . =-2{1-. n+5 9n-2. Á  (logn`10-logn+1`10) 0167 n=2 =lim  Á [. aÇ+bÇ 1 1 2 + = =aÇ bÇ aÇbÇ nÛ`+n 2 1 . } ==-2{;n!;n+1 n(n+1). =-2[{1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+`y`+{;n!;-. n`Ú¦. =log£`;9!;=-2. n=2. ∴. k=1. n`Ú¦. n=1. ¦. aÇ+bÇ=2, aÇbÇ=-(nÛ`+n). n. ∴ Á `log£`aÇ=lim  SÇ=lim `log£` ¦. 1 lim  SÇ=lim  {1}=1 n`Ú¦ n`Ú¦ 2n+1. SÇ=-2 Á {;k!;-. n+5 9n-2. =;3!;-. . 1 n+3. ∴ lim  SÇ=lim {;3!;-. 따라서 주어진 급수는. n`Ú¦. 1 1 } n+2 n+3. n`Ú¦. 1 }=;3!; n+3. 1 에 수렴한다. 3 답⑤. 이상에서 수렴하는 것은 ㄴ, ㄷ이다.. 0169 급수의 제 n 항까지의 부분합을 SÇ이라 하면 SÇ={;2!;-;3@;}+{;3@;-;4#;}+`y`+{ =;2!;-. n n+1 } n+1 n+2. n+1 n+2. 따라서 주어진 급수의 합은 lim  SÇ=lim  {;2!;-. n`Ú¦. n`Ú¦. n+1 }=;2!;-1=-;2!; n+2. 답 -;2!; 02. 급수. 021.

(22) 0170 급수의 제 n 항까지의 부분합을 SÇ이라 하면. 5aÇ-6=(2aÇ+5)bÇ, (5-2bÇ)aÇ=5bÇ+6. ㄱ. SÁ=1, Sª=-2, S£=3, S¢=-4, S°=5, S¤=-6, y. ∴ aÇ=. 이므로 S2n-1=2n-1, S2n=-2n. ∴ lim  S2n-1=¦, lim  S2n=-¦. 따라서 주어진 급수는 발산한다.. n`Ú¦. 이때 lim  bÇ=0이므로 n`Ú¦. n`Ú¦. lim  aÇ=lim. n`Ú¦. n+1 n+2 } n n+1. ㄴ. SÇ={2-;2#;}+{;2#;-;3$;}+`y`+{. n+2 ∴ lim  SÇ= lim {2} n`Ú¦ n`Ú¦ n+1. . 따라서 주어진 급수는 1에 수렴한다.. ㄷ. S2n-1=1+{-;2!;+;2!;}+{-;3!;+;3!;}+`y`+{-;n!;+;n!;} =1. 이므로 lim  S2n-1=1. S2n={1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+`y`+{;n!;-. 5bÇ+6 5_0+6 =;5^; = 5-2_0 5-2bÇ. ㄴ. Á. 1 (2n-1)(2n+1) n 1 =lim  Á n`Ú¦ k=1 (2k-1)(2k+1) n 1 1 }] =lim [;2!; Á { n`Ú¦ 2k+1 k=1 2k-1 ¦. n=1. =lim  ;2!;[{1-;3!;}+{;3!;-;5!;}. n`Ú¦. +`y`+{. n`Ú¦. =1-. 1 } n+1. 따라서 주어진 급수는 1에 수렴한다.. n`Ú¦. n. n`Ú¦ k=1.  =lim {(''2-''1 )+(''3-''2 )+`y`+('Än+1-'§n )} n`Ú¦. 1+1=2.  =lim ('Än+1-1)=¦ n`Ú¦. 답②. Á  aÇ=3이므로 0171 n=1. lim  aÇ=0, Á  aÇ=lim  Á  aû=lim  SÇ=3 ¦. >1+;2!;+{;4!;+;4!;}+{;8!;+;8!;+;8!;+;8!;}+`y. n. n`Ú¦ k=1. n`Ú¦. 2SÇ+3aÇ 2_3+3_0 =3 = 3-1 SÇ-1. 답3. =1+;2!;+;2!;+;2!;+`y`=¦ ②. Á  aÇ이 수렴하므로 lim  aÇ=0 0172 n=1 n`Ú¦ ¦. Á (aÇ-2)가 수렴하므로 0173 n=1. =Á. ¦ 1 1 } = Á {;n!;n+1 n(n+1) n=1 n 1  =lim  Á {;k!;} n`Ú¦ k=1 k+1 n=1.  =lim [{1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+ y +{;n!;n`Ú¦.  =lim {1-. ④ 급수의 제 n 항까지의 부분합을 SÇ이라 하면. n`Ú¦. ∴ lim (3aÇ-3)=3 lim  aÇ-3=3_2-3=3 n`Ú¦. Á 이 수렴하므로 lim =0 0174 n=1 n`Ú¦ 2aÇ+5 2aÇ+5 5aÇ-6. 5aÇ-6 =bÇ으로 놓으면 2aÇ+5. 022. 정답과 풀이. 1 }=1 n+1. ③ lim. lim (aÇ-2)=0 ∴ lim  aÇ=2. ¦. 1 }] n+1. ¦ n n 은 발산한다. =1+0이므로 Á n`Ú¦ n-1 n=1 n-1 n`Ú¦. ¦. n`Ú¦. 1 1 1 1 + + + +`y 1_2 2_3 3_4 4_5 ¦. 3aÇ -6-;n%; 3aÇ-6n-5 ∴ lim = 0-6-0 = lim n 0+3+0 n`Ú¦ 4aÇ+3n+1 n`Ú¦ 4aÇ 1 +3+ n n 답 -2 . =-2. n`Ú¦. 답②. 이상에서 수렴하는 것은 ㄴ뿐이다.. 0176 ① 1+;2!;+;3!;+;4!;+;5!;+;6!;+;7!;+;8!;+`y. ¦. n`Ú¦. n`Ú¦.  =lim  Á  (''Äk+1-''k ). 이상에서 수렴하는 급수의 합을 모두 더한 값은. ∴ lim. 1 }=;2!;  2n+1. Á  ('Än+1-'§n ) ㄷ. n=1. 1 }=1 n+1. 이므로 lim  S2n=lim  {1-. n=1. 1 1 }] 2n-1 2n+1. ¦. n`Ú¦. =lim  ;2!; {1-. 1 n+1. n`Ú¦. 답 ;5^;. 3n 3n 은 발산한다. =;2#;+0이므로 Á 0175 ㄱ. lim n`Ú¦ 2n+1 n=1 2n+1. =2-1=1. n`Ú¦. ¦. n+2 =2n+1. 5bÇ+6 5-2bÇ. 5aÇ-6. 답3.  S2n-1=-1+(1-1)+`y`+(1-1)=-1,  S2n=(-1+1)+(-1+1)+`y`+(-1+1)=0 따라서 lim S2n-1+lim S2n이므로 주어진 급수는 발산한다.. ⑤ lim (2n+1)=¦+0이므로 Á (2n+1)은 발산한다. n`Ú¦. n`Ú¦. ¦. n`Ú¦. n=1. 답②.

참조

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