고1 2학기 중간고사 대비 수학 기출 (3)

1-2중간고사

수학의정상

M A T H P E A K

1. 1)집합 A    에 대하여 옳은 것은? [4.1점] ① ∈A ②  ⊂ A ③  ∉ A ④ ⊄ A ⑤ A    2. 2)두 집합 A



 은 자연수



B



 은 자연수



에 대하여 다음 중 집합 C     ∈A ∈B의 원소인 것은? [4.2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. 3)두 조건     ≤ ,     ≥ 에 대하여 명제 → ∼ 의 역이 참이 되도록 하는 정수 의 개수는? [4.3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 4)다음 중 거짓인 명제는? [4.4점] ① 가 정수일 때,   ≥ 이다. ② 가 실수일 때,      ≥ 이다. ③      일 때, _{ }_{ 이다.} ④          일 때,   ≥      이다. ⑤  가 실수일 때,   _{≥  }_이다.

5. 5)전체집합 U   는  이하의 자연수의 부분집합 A    는 의 배수 (는 자연수)라 하자. X  A∩X 



A∩A



∪X 를 만족시키는 집합 X 의 개수는? [4.4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6. 6)전체집합 U   는  이하의 자연수에 대하여 조건   는 소수 (素數, prime) 또는 의 약수이다. 일 때, 조건 ∼ 의 진리집합의 모든 원소의 합은? [4.5점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 7)A B C D 네 사람에게 자신이 좋아하는 분식 메뉴 중에서 각각 가지를 선택하라고 하였더니 떡볶이와 어 묵은 각각 명, 김밥은 명, 라면은 명, 순대는 명이 선택하였으며 다음은 선택한 결과의 일부이다. <조 건> (가) A 는 떡볶이와 김밥을 선택하였다. (나) B 는 라면을 선택하였다. (다) C 는 순대를 선택하였다. (라) D 는 떡볶이와 라면을 선택하였다. <보기>에서 항상 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, 한 사람이 한 가지 메뉴를 두 번 이상 선택할 수 없다.) [4.6점] <보 기> ㄱ. A 가 순대를 선택하였다면 D 는 김밥을 선택하였다. ㄴ. B 가 순대를 선택하였다면 C 는 김밥을 선택하였다. ㄷ. C 가 김밥을 선택하였다면 A 는 라면을 선택하고 D 는 순대를 선택하였다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

8. 8)그림은 전체집합 U 에서 세 조건   의 진리집합을 각각 P  Q  R 이라 할 때, 세 집합 P  Q  R 사이의 포 함관계를 벤 다이어그램으로 나타낸 것이다. <조 건> (1) 조건  의 진리집합을 P ∪Rc∩Q 라 할 때,  는 ∼ 이기 위한 (가) 조건이다. (2) 조건 의 진리집합을 P ∪Q ∩



Qc∩R



c 라 할 때, ∼ 는 ∼ 이기 위한 (나) 조건이다. (3) 조건 의 진리집합을



P 



Q  Pc



c



∪Q  P 라 할 때, 는 이기 위한 (다) 조건이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4.7점] (가) (나) (다) (가) (나) (다) ① 충분 충분 필요 ② 충분 충분 충분 ③ 충분 필요 충분 ④ 필요 충분 충분 ⑤ 필요 필요 필요 9. 9)두 양수  에 대하여 A    B     _이라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4.8 점] <보 기> ㄱ. A  B ≥  ㄴ. A  B 이면     이다. ㄷ. A B 중 적어도 하나는 보다 크거나 같다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ ,ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 10. 10)집합 A        의 공집합이 아닌 부분집합을 X 라 하고 집합 X 의 모든 원소의 합을 SX 라 하자. SX   를 만족시키는 집합 X 의 개수는? [4.9점] ①  ②  ③  ④  ⑤ 

11. 11)  AB   BC  인 직사각형 ABCD 에 대하여 선분 BC 위의 점을 P 라 할 때, BP   CP   라 하자. ∠AP Q   가 되도록 하는 선분 CD 위의 점 Q 에 대하여 AP P Q이 최솟값을 가질 때,  의 관계식으로 옳은 것은? [5.0점] ①    ②    ③    ④    ⑤    12. 12)전체집합 U   는  이하의 자연수의 부분집합 A   는 와 서로소인 자연수라 하자.  ≤    ≤ 인 두 자연수  에 대하여 



A∩A



의 최솟값은? [5.1점] ①  ②  ③  ④  ⑤  13. 13)중동고등학교 학년 학생 전체 명 중에서 등교할 때의 교통수단을 조사하였더니 버스를 이용하는 학생은 명, 지하철을 이용하는 학생은 명이다. 버스와 지하철을 모두 이용하는 학생 수의 최댓값을 M , 최솟값을 이라 할 때, M 의 값을 구하시오. [4점] 14. 14)



 가 유리수가 아님을 이용하여  



 도 유리수가 아님을 증명하시오. (단, 반드시 귀류법을 이용할 것) [5점]

15. 15)명제 『     이면 모든 실수 에 대하여 이차부등식       이다. 』에 대하여 물음에 답하시오. (단,   는 실수이다.) [총 5점] (1) 주어진 명제의 대우를 구하시오. [3점] (2) 주어진 명제의 참, 거짓을 판별하시오. [2점] 16. 16)부등식



_{   ≥}

_

_{ }

_

_{ 를 만족시키는 두 실수}  에 대하여       의 최솟값을 구하시오. [6점] 17. 17)두 이차식                   에 대하여 연립부등식



   ≤       의 해가    ≤ 이다. 명제 『    ≤  ≤   인 어떤 실수 에 대하여         이다. 』가 참이 되게 하는 정수 의 개수를 구하시오. (단,  는 상수이다.) [6점] 18. 18)두 양수  에 대하여     일 때, 



_{  }  



 



_    



 의 최솟값을 구하시오. [6점]

19. 19)두 양수   에 대하여 연립부등식



     ≥      ≥  의 해를 구하시오. [6점] 20. 20)정수 에 대하여 삼차방정식  _{ }_{      이 양의 유리수인 근 를} 가지면 는 자연수임을 증명하시오. [7점]

정답 (중동고) 1) ② 2) ③ 3) ① 4) ④ 5) ④ 6) ④ 7) ② 8) ① 9) ③ 10) ③ 11) ⑤　 12) ④ 13)  14) 무리수이다. 15) (1) 어떤 실수 에 대하여     ≤  이면 _{≥ 이다.} (2) 거짓 16)  17) 개 18)  19)   _   _ 20) 삼차방정식  _{ }_{      이} 양의 유리수인 근 를 가진다고 가정하면   _ (단,  는 서로소인 자연수)로 나타낼 수 있다. 대입하면 _   _   _ _       양변에 을 곱하여 정리하면  



 __{    }

_

은 의 배수이므로    (∵  는 서로소) 따라서 는 자연수이다.