전기회로 7장 자료

에너지 저장 소자

Ø

에너지 저장소자 : 커패시터와 인덕터의 이해

Ø

커패시터와 인덕터의 전압과 전류 관계 이해

Ø

커패시터, 인덕터에 저장되는 에너지 양 계산하는 법 이해

학습목표

목 차

7.1 커패시터

7.2 커패시터의 에너지 저장

7.3 인덕터

7.3 인덕터

7.4 인덕터의 에너지 저장

7.5 인덕터와 커패시터의 직병렬연결

Section 7.1

커패시터

q 커패시터의 심볼과 전류, 전압의 참조 방향

Section 7.1

커패시터

q 커패시터에서의 전류-전압 관계식 [미분]

• 전하량

q

와 전압

v

간의 관계는

q

=

Cv

이때 상수 C는 커패시턴스라 하고, 단위는 [F] 또는 Farad로 표현한다. •

q

=

Cv

식 양변을 미분하면, • 위 식의 좌변은 전류

i

가 되므로 다음과 같은 미분의 관계식을 나타낸다.

à v

_c

(t)는 연속

컨덴서의 용량, 내압, 오차 읽는법

세라믹

콘덴서

세라믹

콘덴서

콘덴서

마일러

콘덴서

컨덴서의 용량, 내압, 오차 읽는법

q예) 2H223K à 500V 0.022mF ±10%

3C474J à 1600V 0.47mF ±5%

A B C P D E F V G W H J K 0 1.0 0.25 1.6 1.8 2.0 2.5 3.15 3.5 4.0 4.5 5.0 6.3 8.0

• 내압 읽는 방법

0 1.0 0.25 1.6 1.8 2.0 2.5 3.15 3.5 4.0 4.5 5.0 6.3 8.0 1 10 12.5 16 18 20 25 31.5 35 40 45 50 63 80 2 100 125 160 180 200 250 315 350 400 450 500 630 800 3 1000 1250 1600 1800 2000 2500 3150 3500 4000 4500 5000 6300 8000

• 오차 읽는 방법

A B C D F G J K M N V X 허용 오차 ±0.05 ±0.1 ±0.25 ±0.5 ±1 ±2 ±5 ±10 ±20 ±30 +20 -10 +40 -10

Section 7.1

커패시터

q [ 참고 7-1 ] DC 전압이 입력으로 들어왔을 때의 커패시터

• DC 전압 값은 상수이므로

dv

/

dt

= 0,

i

= 0이 되므로 커패시터는 개방회로로 작용한다. • 예 : 트랜지스터 회로 - 비선형소자인 트랜지스터 회로는 입력되는 교류신호(AC)를 증폭시키는 데 사용된다. 교류신호(AC)를 증폭시키는 데 사용된다. - 이때 불필요한 직류전압신호(DC)가 함께 인입되면 증폭기로서의 트랜지스터 역할을 하지 못하게 만들기 때문에 회로 앞단에 커 패시터를 설치하는 것이다. [그림 7-3]

Section 7.1

커패시터

q 커패시터에서의 전류-전압 관계식 (적분)

•

초기시간

t

₀

의 무한시간 이전의 함수 값은 측정이 불가능한 함수로

가정

•

따라서 결과 함수는 초기값

v

(

t

₀+

_{)와 그 이후의 함수 값으로 표현}

•

커패시터의 회로해석을 위하여 커패시터에 걸리는 초기 전압 값을

아는 것이 반드시 필요

Section 7.1

커패시터

q 커패시터 전압의 계산

다음 회로에서

I

_s (

t

)는 [그림 7-4]와 같이 주어지고, 초기값

v

_c (0) = 0[V]일 때,

t

> 0 때의

v

_c (

t

) 값을 구하라.

예제 7-1

v_c(t) A/C

ò

ò

=

+

=

+

=

£

<

_{C C} t _C t

t

C

A

Adt

C

dt

i

C

v

t

v

t

0 0

1

0

1

)

0

(

)

(

:

1

0

C

A

Adt

C

v

t

v

t

>

1

:

_C

(

)

=

_C

(

0

)

+

1

_ò

1

+

0

=

0 0 1 A/C

Section 7.1

커패시터

q [유의점] 커패시터회로에서 초기값

v

_c

(

t

₀

)

•

커패시터 회로해석에서는 초기값으로

커패시터 전류

i

_c

(

t

₀

)보다 전압

v

_c

(

t

₀

)를 사용하는 것이 좋다.

•

그 이유는 임의의 시간

t

₀

에서

•

그 이유는 임의의 시간

t

₀

에서

커패시터 전압은 항상

v

_c

(

t

₀-

_{) =}

_v

c

(

t

0+

)이지만

커패시터 전류는

i

_c

(

t

₀-

_{) ≠}

_i

c

(

t

0+

)

이 될 수도 있기 때문이다.

Section 7.2

커패시터의 에너지 저장

q 커패시터의 저장 에너지

• 커패시터가 발산하는 전력

P

_c (

t

)는 아래와 같은 공식으로 구할 수 있다.

• 이때 양변을 적분하면 전력은 에너지 w가 되고 우변은 다음과 같이 변한다.

Section 7.2

커패시터의 에너지 저장

q 부분적분의 해

• 일반적으로 부분적분의 해는 이므로, • 식 (7.4)에서

C

를 제외하고

u

와

v

를 같은 경우로 생각하면 다음과 같다. • 이때 구하려고 하는 함수 를

X

로 두면, •

X

=

v

2₍

_t

_{) –}

_X

_{가 되어 결국 다음과 같다.}

Section 7.3

인덕터

q 인덕터의 심볼과 전류, 전압의 참조 방향

q 인덕터의 구조

• 인덕터는 코일이라고도 하며, 철심과 같은 자성체에 코일을 감은 구조를

Section 7.3

인덕터

q 자속(magnetic flux) Φ

• 코일에 전류가 흐르면, 이 전류에 의하여 자속 Φ가 생긴다. • 자속 Φ의 크기는 코일을 감은 회수

N

과 전류

I

의 크기에 비례(즉 Φ =

kNi

) • 따라서 총 자속 λ =

N

Φ는 다음과 같은 수식으로 구할 수 있다. • 이때

L

은 인덕턴스라고 하고, 단위는 [H] 또는 Henry다.

Section 7.3

인덕터

q 인덕터에서의 전류-전압 관계식 (미분)

• 식 (7.6) 양변을 미분하면 • 패러데이 법칙에 의하여 전압

v

(

t

) =

d

λ /

dt

로 바꾸면 다음과 같은 전압과 전류의 미분관계식을 얻을 수 있다.

q [참고 7-2] DC 전류가 입력되었을 때의 인덕터 전류

• DC 전류가 인덕터의 입력이 되면 식 (7.7)에 의해

di

/

dt

= 0이 된다. • 이것은 곧

v

= 0을 뜻하므로, 인덕터는 단락회로로 작용한다.

인덕터 읽는 방법

q 코일(Coil)

권선형 적층형

•

Chip Inductor :

1R2 à 1.2mH, R22à0.22 mH, 22N=22nH

150 à15´10

0

_{mH=15 mH, 152K à15´10}

2

_{mH=1500 mH=1.5mH±10%}

색 검정 갈색 빨강 주황 노랑 초록 파랑 보라 회색 흰색 금색 은색 1, 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 - -3 (승수) 0 1 2 3 4 - - - -1 -2 4(오차,%) ±10(M) ±5(J) ±10(K) 권선형

Section 7.3

인덕터

q 인덕터에서의 전류-전압 관계식 (적분)

• 식 (7.7)의 관계를 전압에 의한 전류의 관계로 표현하면 다음과 같은 적분의 관계로 표현된다. • 이때 결과 함수는

t

₀ 이후의 함수에 대해서만 계산하므로 식 (7.8)은 다음과 • 이때 결과 함수는

t

₀ 이후의 함수에 대해서만 계산하므로 식 (7.8)은 다음과 같이 초기값

i

(

t

₀+_{)와 이후의 함수 값으로 표현할 수 있다.} • 그러므로 인덕터가 있는 회로해석을 하려면 인덕터에 걸리는 초기 전류 값을 반드시 알아야 한다.

Section 7.3

인덕터

q [유의점] 인덕터회로의 초기값

i

_L

(

t

₀

)

•

인덕터 회로해석에서는 초기값으로

인덕터 전압

v

_L

(

t

₀

)보다 전류

i

_L

(

t

₀

)를 사용하는 것이 좋다.

•

그 이유는 인덕터의 경우 언제나 임의의 시간

t

₀

에서

•

그 이유는 인덕터의 경우 언제나 임의의 시간

t

₀

에서

인덕터 전류는

i

_L

(

t

₀-

_{) =}

_i

L

(

t

0+

)이지만

인덕터전압은

v

_L

(

t

₀-

_{) ≠}

_v

L

(

t

0+

)

이 될 수도 있기 때문이다.

Section 7.3

인덕터

q 인덕터 전류의 계산

[그림 7-8]과 같이 인덕터 회로가 주어지고 입력전압전원

v

_L (

t

)가 주어졌을 때,

t

₀ = 0+_{의 초기값}

_i

L (0+)의 값과

t

>0일 때의

i

L (

t

) 함수를 구하라.

예제 7-2

ò

ò

ò

ò

=

+

=

+

=

+ ¥ -¥ -t t L t t t t L

v

d

L

t

i

d

v

L

d

v

L

d

v

L

t

i

0 0 0

)

(

1

)

(

)

(

1

)

(

1

)

(

1

)

(

t

t

t

t

t

t

₀

t

t

[ ]

[ ]

t

(

t

)

t L

e

L

L

e

L

e

L

d

e

L

d

e

L

t

i

- _-¥ - -¥ -

+

=

-

=

+

-=

1

_ò

1

_ò

1

1

1

1

1

)

(

0 ₀ 0 0 t t t t

t

t

Section 7.4

인덕터의 에너지 저장

q 인덕터의 저장 에너지

• 인덕터가 발산하는 전력

P

_L (

t

)는 아래와 같이 구할 수 있다.

• 이때 양변을 적분하면 전력은 에너지

v

가 되고, 우변은 다음과 같이 변한다.

Section 7.4

인덕터의 에너지 저장

q 일정 시간 동안에 저장, 소비되는 에너지 값을 계산할 경우

Section 7.5

인덕터와 커패시터의 직병렬연결

7.5

7.5.1

.1 인덕터의

인덕터의 직렬연결

직렬연결

q 인덕터의 직렬연결 회로

• 인덕터 3개가 연결되었을 떄 전체 인덕턴스 값

L

_Total • KVL에 의하여 전체전압

v

_L =

v

_L1 +

v

_L2 +

v

_L3, 전체전류

i

_L=

i

_L1 =

i

_L2 =

i

_L3

Section 7.5

인덕터와 커패시터의 직병렬연결

• 이때 각 인덕터에 걸리는 전압을 식 (7.7)으로 각 전류에 의한 식으로 변환하면 다음과 같이 표현할 수 있다. • 즉 인덕터의 직렬연결로 얻은 전체 인덕턴스의 값은 다음과 같다. • 결론적으로 인덕터의 직렬연결에 의한 전체 인덕턴스 값은 저항의 직렬연결과 같이 생각하여 구할 수 있다.

Section 7.5

인덕터와 커패시터의 직병렬연결

7.5

7.5.2

.2 인덕터의

인덕터의 병렬연결

병렬연결

q 인덕터의 병렬연결 회로

• 각각의 인덕터에 걸리는 전압은 전체 인덕터에 걸리는 전압과 같고, • 반면 전체 전류는 KCL에 의하여 각각의 인덕터에 흐르는 전류의 합과 같다.

Section 7.5

인덕터와 커패시터의 직병렬연결

• 이때 전류에 관계되는 식의 양변을 미분하고, 식 (7.7)을 대입하면 다음과 같다. • 그러므로 [그림 7-10]의 전체 인덕턴스 값과 비교해 보면 다음과 같은 식을 얻는다. • 그러므로 인덕터의 병렬연결에 의한 전체 인덕턴스 값은 저항의 병렬연결과 같이 생각하여 구할 수 있다.

Section 7.5

인덕터와 커패시터의 직병렬연결

q 인덕터의 직병렬연결

[그림 7-11] 회로에서 전체 인덕턴스

L

_total 을 구하라.

예제 7-3

Section 7.5

인덕터와 커패시터의 직병렬연결

7.5

7.5.3

.3 커패시터의

커패시터의 직렬연결

직렬연결

q 커패시터의 직렬연결 회로

• 커패시터 직렬 회로에서 전류와 전압의 관계를 KVL로 유도하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

Section 7.5

인덕터와 커패시터의 직병렬연결

• 또한 전압에 관련된 식의 양변을 각각 미분하고, 커패시터의 전류와 전압의 관계식 (7.1)을 대입하면 다음과 같다. • 따라서 괄호 안의 값을 전체 커패시턴스

C

_Total 값과 비교하면 다음과 같다. • 그러므로 커패시터의 직렬연결에 의한 전체 커패시터 값의 계산은 저항의 병렬연결처럼 생각하여 구할 수 있다.

Section 7.5

인덕터와 커패시터의 직병렬연결

7.5

7.5.4

.4 커패시터의

커패시터의 병렬연결

병렬연결

q 커패시터의 직렬연결 회로

• 각각의 커패시터에 걸리는 전압은 전체 커패시터에 걸리는 전압과 같고, • 반면 전체 전류는 KCL에 의하여 각각의 커패시터에 흐르는 전류의 합과 같다는 것을 알 수 있다.

Section 7.5

인덕터와 커패시터의 직병렬연결

• 이때 전류에 관계되는 식의 우변에 전류와 전압의 관계식 (7.1)을 대입하면 다음과 같은 식을 얻는다. • 그러므로 [그림 7-13]의 전체 커패시턴스 값과 비교해 보면 다음과 같다. • 그러므로 커패시터의 병렬연결에 의한 전체 커패시턴스 값은 저항의 직렬연결처럼 생각하여 구할 수 있다.

Section 7.5

인덕터와 커패시터의 직병렬연결

q 커패시터의 직병렬 회로

[그림 7-14]와 같은 커패시터 회로를 통합하여 하나의 커패시턴스

C

_total 로

표현하라.

예제 7-4