경우의 수
1
순열과 조합
10쪽1
⑴ 7 ⑵ 202
⑴ 24 ⑵ 15 21쪽 [지은]3 [서진] 같다.0
1
⑴ 1, 3, 3, a#+3a@b+3ab@+b# ⑵ 4C1, 4C3, 4C4, x$+4x#+6x@+4x+10
2
⑴ 16x$+32x#+24x@+8x+1 ⑵ 243a%-405a$b+270a#b@-90a@b#+15ab$-b%0
3
①-㉡-㉯, ②-㉢-㉮, ③-㉠-㉰ 24쪽1
같다.2
같다.3
예 {a+b}$0
4
1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 ⑴ a^+6a%b+15a$b@+20a#b#+15a@b$+6ab%+b^ ⑵ x&-7x^+21x%-35x$+35x#-21x@+7x-10
5
⑴ 이항정리에 의하여 {1+x}N=nC0+nC1x+nC2x@+y+nCnxN 이 식의 양변에 x=-1을 대입하면 0=nC0-nC1+nC2-y+{-1}NnCn ⑵ nC0+nC1+nC2+y+nCn=2N yy`① nC0-nC1+nC2-y-nCn=0 yy`② ①+②를 하면 2{nC0+nC2+nC4+y+nCn-1}=2N 즉, nC0+nC2+nC4+y+nCn-1=2N_! ①-②를 하면 2{nC1+nC3+nC5+y+nCn}=2N 즉, nC1+nC3+nC5+y+nCn=2N_! 따라서 주어진 등식이 성립한다. 예 [세민]r\nCr=n\n-1Cr-1이므로 nC1+2\nC2+3\nC3+y+n\nCn =n\n-1C0+n\n-1C1+n\n-1C2+y +n\n-1Cn-1 =n\{n-1C0+n-1C1+n-1C2+y+n-1Cn-1} =n\2N_! 수학 역량 기르기 25쪽0
2
이항정리
21~25쪽 11쪽1
서로 다른 배열이다.2
서로 같은 배열이다.0
1
⑴ 1440 ⑵ 7200
2
예 [문제] 원 모양의 케이크 위에 서로 다른 5개의 초를 원형으로 꽂는 모든 방법의 수를 구하시오. (단, 회 전하여 일치하는 경우는 모두 같은 것으로 본다.) [답]24 13쪽 1000000 스스로확인하기 ⑵ 3, 5, 2430
3
1250
4
20000
5
서로 다른 4개의 상자에서 중복을 허용하여 3개를 택하여 일렬로 배열하는 모든 방법의 수와 같으므로 4T3이다. 15쪽1
242
60
6
⑴ 20 ⑵ 2100
7
600
8
[태호] 6? 4?\2?=15 [윤아]6C4=15 [결과] 같다. 17쪽 4 스스로확인하기 ⑵ 4, 2, 5, 2, 100
9
1510
서로 다른 4개의 상자에서 중복을 허용하여 5개를 택 하는 모든 방법의 수와 같으므로 4H5이다.11
⑴ 21 ⑵ 10512
⑴ 36 ⑵ 150
1
여러 가지 순열과 중복조합
11~19쪽 [상윤]{2, 2, 5}, {2, 3, 4}, {2, 4, 3}, {2, 5, 2}, {3, 2, 4}, {3, 3, 3}, {3, 4, 2}, {4, 2, 3}, {4, 3, 2}, {5, 2, 2}이므로 구하는 모든 경우의 수는 10이다. [세민]x=X+2, y=Y+2, z=Z+2(X, Y, Z는 수학 역량 기르기 19쪽 음이 아닌 정수)로 놓고 정리하면 X+Y+Z=3 따라서 이 방정식의 음이 아닌 정수해의 개수를 구하 면 되므로 구하는 모든 경우의 수는 3H3=5C3=101
\2
\3
4
1
7202
323
504004
⑴ 16x$-32x#y+24x@y@-8xy#+y$ ⑵ x%+5x#+10x+10x+5 x#+ 1 x%5
⑴ 여자 3명을 1명으로 생각하면 4명이 원탁에 앉는 경우의 수는 {4-1}?=3? 그 각각에 대하여 여자 3명이 자리를 바꾸어 앉는 경우의 수는 3? 따라서 구하는 모든 경우의 수는 3?\3?=36 ⑵ 여자 3명이 원탁에 앉는 경우의 수는 {3-1}?=2? 여자 사이사이에 남자 3명이 각각 1명씩 앉는 경우 의 수는 3? 따라서 구하는 모든 경우의 수는 2?\3?=126
작은 원의 안쪽 4개의 영역을 칠하는 4가지 색을 고르 는 경우의 수는 8C4 고른 4가지 색으로 칠하는 경우의 수는 {4-1}?=3? 남은 4가지 색으로 나머지 4개의 영역을 칠하는 경우 의 수는 4? 따라서 구하는 모든 경우의 수는 8C4\3?\4?=100807
6명의 학생을 일렬로 배열하는 경우의 수는 6? 그 각각에 대하여 정삼각형 모양의 탁자와 직사각형 모양의 탁자에 둘러앉을 때, 서로 같은 경우가 각각 3 가지, 2가지씩 있으므로 구하는 모든 경우의 수는 각각 6? 3 =240, 6? 2 =3608
천의 자리에 올 수 있는 숫자는 1, 2로 2개 나머지 세 자리에 숫자를 배열하는 방법의 수는 3T3=27 따라서 구하는 네 자리의 자연수의 개수는 2\27=549
구하는 함수의 개수는 집합 Y의 5개의 원소에서 4개 를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 5T4=62510
문자 H는 왼쪽에서부터 1, 3, 5번째 자리에 올 수 있 으므로 그 경우의 수는 3 그 각각에 대하여 나머지 문자를 일렬로 배열하는 경 우의 수는 52? ?=60 따라서 구하는 모든 경우의 수는 3\60=18011
⑴ 3T4=81 ⑵ 3H4=6C4=15 26~28쪽12
각 색깔의 장미가 3송이씩 나오고, 5송이의 장미가 더 나오면 되므로 더 나오는 빨간 장미, 노란 장미, 흰 장 미의 수를 각각 x, y, z라고 하면 x+y+z=5를 만 족시키는 음이 아닌 정수해의 개수를 구하면 된다. 따라서 구하는 모든 경우의 수는 3H5=7C5=2113
{x-a}$의 전개식에서 각 항은 4Cr\x$_R\{-a}R 의 꼴로 나타낼 수 있다. x$_R=x@에서 r=2이므로 x@의 계수는 4C2\{-a}@=6a@ x$_R=x에서 r=3이므로 x의 계수는 4C3\{-a}#=-4a# 이때 6a@-4a#=0이므로 a=0 또는 a=32 그런데 a는 양수이므로 a=3 214
99Cr=99C99-r이므로 99C0+99C1+99C2+y+99C48+99C49 =99C99+99C98+99C97+y+99C51+99C50 99C0+99C1+99C2+y+99C99=2((이므로 99C0+99C1+99C2+y+99C48+99C49=12\2((=2(*15
오른쪽 그림의 지점 A에서 A B R Q P 세 지점 P, Q, R를 각각 거쳐 지점 B까지 가는 최단 경로의 수는 차례로 4? 2?\2?\ 4? 3?=24, 4? 3?\ 4? 2?\2?=24, 1\ 4? 3?=4 따라서 구하는 최단 경로의 수는 24+24+4=5216
서로 다른 3개의 상자에 서로 다른 5개의 공을 넣는 방법의 수는 3T5=243 합이 13 이상이 되는 상자가 있는 경우는 다음과 같다. ! 1, 3, 4, 5가 적힌 공을 한 상자에, 2가 적힌 공을 다른 두 상자에 넣는 방법의 수는 3P2=6 @ 2, 3, 4, 5가 적힌 공을 한 상자에, 1이 적힌 공을 다른 두 상자에 넣는 방법의 수는 3P2=6 # 1, 2, 3, 4, 5가 적힌 공을 한 상자에 넣는 방법의 수는 3 따라서 구하는 모든 방법의 수는 243-{6+6+3}=22817
x=2X+1, y=2Y+1, z=2Z+1(X, Y, Z는 음 이 아닌 정수)로 놓으면 x+y+z=15에서 {2X+1}+{2Y+1}+{2Z+1}=15 즉, X+Y+Z=6 따라서 구하는 홀수인 양의 정수해의 개수는 방정식 X+Y+Z=6을 만족시키는 음이 아닌 정수해의 개 수와 같으므로 3H6=8C6=281
1 3 10 35 1 2 6 20 70 1 3 10 35 1 4 15 56 1 5 21 1 6 28 1 7 1 8 1 1 1 4 15 56 1 5 21 1 6 28 1 7 1 8 1 12
1번째, 2번째, 3번째, 4번째, 5번째 행에 있는 모든 수의 제곱의 합은 각각 1번째, 3번째, 5번째, 7번째, 9번째 행의 가운데 있는 수와 같다. 따라서 7번째 행에 있는 모든 수의 제곱의 합은 13번 째 행의 가운데 있는 수 12C6으로 추측할 수 있다. 즉, {6C0}@+{6C1}@+{6C2}@+y+{6C6}@=12C63
{x+1}^{x+1}^의 전개식에서 x^의 계수는 6C0\6C6+6C1\6C5+6C2\6C4+y+6C6\6C0 =6C0\6C0+6C1\6C1+6C2\6C2+y+6C6\6C6 ={6C0}@+{6C1}@+{6C2}@+y+{6C6}@ =12C6 20 = 6C3 70 = 8C4 29쪽1
50402
선생님과 남학생 2명을 1명으로 생각하면 3명이 원탁 에 앉는 방법의 수는 2?, 그 각각에 대하여 남학생이 자리를 바꾸어 앉는 방법의 수는 2?이다. 따라서 구하는 모든 방법의 수는 2?\2?=43
644
깃발을 1번, 2번, 3번 들어 올려서 만들 수 있는 신호 의 개수는 각각 3T1=3, 3T2=9, 3T3=27 따라서 만들 수 있는 서로 다른 모든 신호의 개수는 3+9+27=395
a와 f의 순서가 정해져 있으므로 a와 f를 모두 x로 생 각하여 6개의 문자 x, b, c, d, e, x를 일렬로 나열한 다음, 앞의 x에 a, 뒤의 x에 f를 놓으면 된다. 따라서 구하는 모든 방법의 수는 62? ?=3606
형은 지점 A에서 지점 B까지, 동생은 지점 B에서 지 점 A까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 3?\36? ?\3?\36? ?=400 30~32쪽 ! 형과 동생이 지점 P에서 만나 A B S R Q P 는 경우의 수는 1\1=1 @ 형과 동생이 지점 Q에서 만나 는 경우의 수는 [ 32??\32??]\[ 32??\32??]=81 # 형과 동생이 지점 R에서 만나는 경우의 수는 81 $ 형과 동생이 지점 S에서 만나는 경우의 수는 1 따라서 구하는 모든 경우의 수는 400-{1+81+81+1}=2367
빵 A, B, C, D를 1개씩 고르고, 빵 6개를 더 고르면 되므로 4H6=848
문제의 식의 전개식에서 모든 항의 개수는 4H6 w를 포함하지 않는 서로 다른 항의 개수는 3H6 따라서 구하는 항의 개수는 4H6-3H6=56 그러므로 ④이다.9
nC0+nC1+nC2+y+nCn=2N yy`① nC0-nC1+nC2-y+nCn=0 yy`② ①+②를 하면 2{nC0+nC2+nC4+y+nCn}=2N 즉, nC0+nC2+nC4+y+nCn=2N_! ①-②를 하면 2{nC1+nC3+nC5+`y`+nCn-1}=2N 즉, nC1+nC3+nC5+y+nCn-1=2N_! 따라서 주어진 등식이 성립한다.10
n{B}=k(0<k<10, k는 정수)일 때, 집합 B의 개 수는 10Ck, 그 각각에 대하여 집합 A의 개수는 2K이므 로 두 집합 A, B를 정하는 경우의 수는 10Ck\2K이다. 그러므로 구하는 모든 경우의 수는 10C0\2)+10C1\2!+10C2\2@+y+10C10\2!) =10C0\1!)\2)+10C1\1(\2!+10C2\1*\2@ +y+10C10\1)\2!) ={1+2}!)=3!)11
7가지 색 중에서 6가지를 택하는 방법의 수는 7C6 ▶ 40 % 옆면을 칠하는 방법의 수는 {6-1}?=5? ▶ 40 % 따라서 구하는 모든 방법의 수는 7C6\5?=840 ▶ 20 %12
한 자리, 두 자리, 세 자리, 네 자리의 자연수의 개수 는 각각 5, 5\6T1=30, 5\6T2=180 5\6T3=1080 ▶ 70 % 따라서 10000보다 작은 자연수의 개수는 5+30+180+1080=1295 ▶ 20 % 그러므로 10000은 1296번째 수이다. ▶ 10 %13
4개의 가방을 a, b, c, d라고 하면 1개의 가방에 1개 의 리본과 1개의 인형을 달아야 하므로 a, a, b, b, c, c, d, d를 일렬로 배열한 다음 같은 문자에 대하여 첫 번째를 리본으로, 두 번째를 인형으로 생각하면 된다. ▶ 70 % 따라서 구하는 모든 경우의 수는 2 8? ?\2?\2?\2?=2520 ▶ 30 %14
⑴ 12개의 펜을 4명의 학생에게 중복을 허용하여 나누 어 줄 수 있으므로 구하는 모든 방법의 수는 4H12=15C12=455 ▶ 40 % ⑵ 각 학생에게 먼저 펜을 2개씩 나누어 주고, 나머지 4개의 펜을 4명의 학생에게 나누어 주면 된다. ▶ 30 % 따라서 구하는 모든 방법의 수는 4H4=7C4=35 ▶ 30 %15
x-2=X, y-3=Y, z-4=Z(X, Y, Z는 음이 아닌 정수)로 놓자. ▶ 20 % x+y+z=15에서 {X+2}+{Y+3}+{Z+4}=15 즉, X+Y+Z=6 ▶ 40 % 따라서 방정식 X+Y+Z=6을 만족시키는 음이 아 닌 정수해를 구하면 되므로 3H6=8C6=28 ▶ 40 %16
{1+x}%의 전개식에서 각 항은 5Cr\xR의 꼴로, {1+x@}N의 전개식에서 각 항은 nCs\x@S의 꼴로 나 타낼 수 있다. ▶ 20 % 따라서 {1+x}%{1+x@}N의 전개식에서 각 항은 5Cr\nCs\xR"@S의 꼴로 나타낼 수 있으므로 xR"@S=x@에서 r+2s=2 ▶ 30 % !r=0, s=1일 때, x@의 계수는 5C0\nC1=n @ r=2, s=0일 때, x@의 계수는 5C2\nC0=10 ▶ 40 % !, @에서 n+10=20이므로 n=10 ▶ 10 % 37쪽1
9(가위, 가위), (가위, 바위), (가위, 보), (바위, 가위), (바위, 바위), (바위, 보), (보, 가위), (보, 바위), (보, 보)02
9(가위, 가위), (바위, 바위), (보, 보)0 스스로확인하기 93, 600
1
⑴ 9(앞, 앞), (앞, 뒤), (뒤, 앞), (뒤, 뒤)0 ⑵ 9(앞, 앞), (뒤, 뒤)0 스스로확인하기 ⑴ Z ⑵ 91, 4, 6, 8, 9, 10, 1200
2
[서진] 배반사건이다. [지은]91, 2, 3, 5, 6, 70 [상윤]92, 60 39쪽1
공정하다.2
공정하지 않다.0
3
1 10 사과 맛 사탕 2개, 사과 맛 사탕 1개와 포도 맛 사탕 1 개, 포도 맛 사탕 2개가 나올 가능성이 같지 않은데 수 학적 확률을 적용했으므로 옳지 않다. 수학 역량 기르기 40쪽 41쪽1
예 n 50 100 200 400 1000 r 33 58 124 236 610 nR 0.66 0.58 0.62 0.59 0.612
0.6에 가까워진다. 스스로확인하기 0.6850
4
0.220
5
경로: 출발-㉠-㉣-도착 사건: 예 100점 만점인 시험에서 150점을 받는 사건0
1
확률의 뜻
37~43쪽1
확률의 뜻과 활용
36쪽1
⑴ 91, 2, 4, 60 ⑵ 91, 3, 5, 702
⑴ 60 ⑵ 6확률
44쪽1
3 102
7 100
1
1090
2
49 46쪽1
7 302
23 300
3
450
4
230
2
확률의 덧셈정리
44~47쪽1
2
3
\4
1
1012
353
154
785
A=93, 60, B=94, 120, C=93, 5, 7, 110이므로 서로 배반인 사건은 A와 B, B와 C6
만들 수 있는 다섯 자리의 자연수의 개수는 5?=120 홀수인 다섯 자리의 자연수의 개수는 3\4?=72 따라서 구하는 확률은 12072 =357
X에서 Y로의 함수의 개수는 4T3=64 일대일함수의 개수는 4P3=24 따라서 구하는 확률은 2464=3 88
8가지의 음식 중에서 4가지를 택하는 경우의 수는 8C4=70 라면과 떡볶이를 제외한 6가지의 음식 중에서 2가지 를 택하는 경우의 수는 6C2=15 따라서 구하는 확률은 1570=1439
8송이 중에서 4송이를 꺼내는 경우의 수는 8C4=70 ! 천일홍 4송이를 꺼내는 경우의 수는 4C4=1 @ 천일홍 3송이, 장미 1송이를 꺼내는 경우의 수는 4C3\4C1=16 !, @에서 천일홍을 장미보다 많이 꺼내는 경우의 수는 1+16=17 따라서 구하는 확률은 177010
임의로 한 명을 택할 때 그 사람이 20대인 사건을 A, 여자인 사건을 B라고 하면 P{A}=47, P{B}=35, P{A6B}= 57 따라서 구하는 확률은 P{A5B}=P{A}+P{B}-P{A6B}= 1635 48~50쪽11
눈의 수의 합이 5인 사건을 A, 눈의 수의 차가 5인 사 건을 B라고 하면 P{A}=19, P{B}=181 두 사건 A, B는 서로 배반사건이므로 구하는 확률은 P{A6B}=P{A}+P{B}= 1612
P{AC6BC}=P{{A5B}C}=1-P{A5B}= 34 즉, P{A5B}= 14 P{B5AC}=P{B}-P{A5B}= 15에서 P{B}-14=15, 즉 P{B}=209 따라서 P{BC}=1-P{B}=112013
택한 원두 중에서 적어도 1가지는 케냐산인 사건을 A 라고 하면 AC은 2가지 모두 에티오피아산인 사건이므 로 P{AC}=2C28C2=281 따라서 구하는 확률은 P{A}=1-P{AC}=272814
임의로 3개의 공을 꺼내는 경우의 수는 9C3=84 ! b=2일 때, a, c가 될 수 있는 경우의 수는 각각 1C1, 7C1이므로 {a, b, c}가 될 수 있는 경우의 수 는 1C1\7C1=7 @ b=3일 때, a, c가 될 수 있는 경우의 수는 각각 2C1, 6C1이므로 {a, b, c}가 될 수 있는 경우의 수 는 2C1\6C1=12 # b=4일 때, a, c가 될 수 있는 경우의 수는 각각 3C1, 5C1이므로 {a, b, c}가 될 수 있는 경우의 수 는 3C1\5C1=15 !, @, #에서 b<4인 경우의 수는 7+12+15=34 따라서 구하는 확률은 3484=174215
10x@-7nx+n@=0을 풀면 {2x-n}{5x-n}=0 에서 x=n2 또는 x=n5 이때 정수해가 존재하려면 n이 2의 배수 또는 5의 배 수이어야 한다. n이 2의 배수인 사건을 A, 5의 배수인 사건을 B라고 하면 A5B는 10의 배수인 사건이므로 P{A}=12, P{B}=15, P{A5B}= 110 따라서 구하는 확률은 P{A6B}=P{A}+P{B}-P{A5B}= 35 여사건의 확률을 이용하여 전체 확률 1에서 3명의 생 일이 모두 다를 확률을 빼면 되므로 1-3030P3T3 =22522 수학 역량 기르기 47쪽1
서로 공격하지 않는 종류끼리 함께 3개의 어항에 넣는 경우는 {ACE, BD}, {A, CE, BD}, {AC, E, BD}, {AC, BE, D}, {ACE, B, D}, {AE, C, BD}이 므로 A, C, E를 1개의 어항에 함께 넣을 확률은 26=1 32
서로 공격하지 않는 종류끼리 함께 4개의 어항에 넣는 경우는 3개의 어항에 넣는 경우와 {A, B, CE, D}, {A, BD, C, E}, {A, BE, C, D}, {AC, B, D, E}, {AE, B, C, D}이므로 B, D를 1개의 어항에 함께 넣을 확률은 5 11 51쪽2
조건부확률
52쪽1
1 62
3 5 53쪽 [상윤] 8 25 [세민] 3 100
1
340
2
5 140
3
⑴ 0.056 ⑵ 0.651 ⑶ 0.7070
1
조건부확률
53~56쪽 57쪽 ㈎ 4 7 ㈏ 1 20
2
사건의 독립과 종속
57~60쪽1
\2
3
1
232
6 353
144
P{AC|BC}=P{AC5BC} P{BC} = 1-P{A6B} 1-P{B} = 235
임의로 뽑은 1명이 1학년인 사건을 A, 남학생인 사건 을 B, 상담을 받은 1학년 학생을 x명이라고 하면 (단위: 명) 1학년 2학년 합계 남학생 0.4x 0.3{30-x} 0.1x+9 여학생 0.6x 0.7{30-x} -0.1x+21 합계 x 30-x 30 P{B}=0.1x+930 , P{A5B}= 0.4x30 이므로 P{A|B}=P{A5B} P{B} = 0.4x 30 0.1x+9 30 =2 5 따라서 x=10이므로 1학년 학생은 10명이다.6
오늘 비가 오는 사건을 A, 하루의 매출 목표액을 달 성하는 사건을 B라고 하면P{A}=0.6, P{B|A}=0.9, P{B|AC}=0.3 61~63쪽
0
1
독립 59쪽1
독립이다.2
××, ××, ××, ××, ××, ××0
2
512450
3
예 윷짝 1개를 던질 때 둥근 면이 나올 확률을 2 5라고 하면 도, 걸이 나올 확률은 각각 96 625, 216 625 A 팀이 3차전까지 2승을 했으므로 6차전까지 1승을 더 하고, 7차전에서 이기면 된다. 따라서 구하는 확률은 3C1\[ 12 ]!\[ 12 ]@\12=163 수학 역량 기르기 60쪽16
3개가 모두 팔찌인 사건을 A, 3개가 모두 노란색인 사건을 B라고 하면 P{A}=10C35C3=121 P{B}=10C36C3=16, P{A5B}=10C3 =3C3 1201 즉, P{A6B}=P{A}+P{B}-P{A5B}=12029 따라서 구하는 확률은 1-12029 =12091@ C가 1에 배정되고 결승에서 B와 만나서 C가 우승 할 확률은 13\[ 23\35 ]=152 # A가 1에 배정되고 결승에서 C가 우승할 확률은 13\[ 35\12 ]=101 $ B가 1에 배정되고 결승에서 C가 우승할 확률은 13\[ 12\35 ]=101 !~$에서 구하는 확률은 181 + 2 15+ 1 10+ 1 10= 7 18
14
8회의 시행을 한 후 검은 공이 나온 횟수를 x, 흰 공 이 나온 횟수를 y라고 하면x+y=8, 3x+y=12, 즉 x=2, y=6 8회의 시행을 한 후 12점을 얻을 확률은 8C2\[ 23 ]@\[ 13 ]^=112 3* 따라서 k=112 따라서 오늘 하루의 매출 목표액을 달성할 확률은 P{B}=P{A5B}+P{AC5B} =P{A}P{B|A}+P{AC}P{B|AC} =0.6\0.9+{1-0.6}\0.3=0.66
7
A가 첫 번째, 세 번째에 이길 확률은 각각 25, 35\24\23=1 5 따라서 구하는 확률은 25+15=358
17\35+67\25=3 79
병헌이와 지훈이가 모두 성공하지 못할 확률은 {1-0.8}\{1-0.6}=0.08 따라서 구하는 확률은 1-0.08=0.9210
원점 O에서 출발한 점 P가 점 Q에 도착하려면 주사 위 1개를 6번 던져서 4의 약수가 3번, 4의 약수가 아 닌 수가 3번 나와야 한다. 따라서 구하는 확률은 6C3\[ 12 ]#\[ 12 ]#= 51611
! A 봉투에서 빨간 카드 1장과 노란 카드 1장을 꺼 내는 경우, 그 확률은 5C1\3C18C2 =1528 @ A 봉투에서 노란 카드 2장을 꺼낸 후 다시 꺼낼 때 빨간 카드 1장과 노란 카드 1장을 꺼내는 경우, 그 확률은 3C28C2 \5C1\1C16C2 = 1 28 !, @에서 구하는 확률은 1528+281 =4712
보석이 진품인 사건을 A, 보석 감별사가 보석을 진품 으로 감별하는 사건을 B라고 하면P{A}=0.8, P{AC}=0.2, P{B|A}=0.98, P{B|AC}=0.03 보석을 진품으로 감별할 확률은 P{B} =P{A5B}+P{AC5B} =P{A}P{B|A}+P{AC}P{B|AC} =0.8\0.98+0.2\0.03=0.79 따라서 구하는 확률은 P{AC|B}=P{AC5B} P{B} = P{AC}P{B|AC} P{B} =0.2\0.030.79 =3953
13
오른쪽 그림과 같이 대진표의 각 1 자리를 1, , 라고 하자. ! C가 1에 배정되고 결승에서 A 와 만나서 C가 우승할 확률은 13\[ 13\12 ]=1811
B 조가 0을 외치고 A 조에서 1명만 일어나거나 2명 모 두 일어날 확률은 13\34=14 B 조가 1을 외치고 A 조에서 2명 모두 일어나거나 모 두 앉아 있을 확률은 13\12=16 B 조가 2를 외치고 A 조에서 1명만 일어나거나 2명 모두 앉아 있을 확률은 13\34=14 따라서 구하는 확률은 14+16+14=232
A 조가 승리할 확률은 3C3\[ 23 ]#\[ 13 ])=278 B 조가 승리할 확률은 1927이므로 B 조가 더 유리하다.3
14\78+14\58+14\58+14\78=34 64쪽1
20C2 =nC2 191 이므로 n@-n-20=0, n=5 66~68쪽2
11 603
대표 2명이 모두 1학년인 사건을 A, 모두 2학년인 사 건을 B라고 하면 P{A}=10C24C2=152 , P{B}=10C26C2=13 두 사건 A, B는 서로 배반사건이므로 구하는 확률은 P{A6B}=P{A}+P{B}= 7154
ㄴ. S=91, 2, 30, A=91, 20, B=910이면 P{A}+P{B}=1이지만 A5B=910이므로 A와 B는 서로 배반사건이 아니다. ㄷ. S=91, 2, 3, 40, A=91, 2, 30, B=93, 40이 면 A6B=S이지만 P{A}+P{B}=54이다. 따라서 항상 옳은 것은 ㄱ이다.5
12개의 점 중에서 2개를 택하여 연결한 선분의 길이가 유리수일 확률은 4\3C2+3\4C212C2 =115 따라서 구하는 확률은 1-115 =1166
140377
0.8\0.5+0.2\0.5=0.5이므로 ③이다.8
4C1\[ 16 ]!\[ 56 ]#=1253249
2개의 주사위를 1번 던져서 {6, 6}이 나오지 않을 확 률은 3536 2개의 주사위를 24번 던져서 {6, 6}이 1번도 나오지 않을 확률은 24C24\[ 3536 ]@$\[ 136 ])=0.509 따라서 구하는 확률은 1-0.509=0.49110
파란 공이 1개 나오는 사건을 A, 파란 공이 나오지 않는 사건을 B라고 하면 P{A}=5C1\4C39C4 =10 63, P{B}= 5C0\4C4 9C4 =1261 ▶ 60 % 두 사건 A, B는 서로 배반사건이므로 구하는 확률은 P{A6B}=P{A}+P{B}= 16 ▶ 40 %11
찾은 후기가 여자가 작성한 후기인 사건을 A, 남자가 작성한 후기인 사건을 AC, 단어 ‘제공’이 포함된 후기 인 사건을 B라고 하면P{A}=0.6, P{AC}=0.4, P{B|A}=0.6
P{B|AC}=0.5 ▶ 30 % 단어 ‘제공’이 포함된 후기를 찾을 확률은 P{B}=P{A5B}+P{AC5B} =P{A}P{B|A}+P{AC}P{B|AC} =0.6\0.6+0.4\0.5=0.56 ▶ 40 % 따라서 구하는 확률은 P{A|B}=P{A5B} P{B} = 0.36 0.56= 9 14 ▶ 30 %
12
점심 시간 중 도서관 이용 경험이 있는 여학생 수를 x 라고 하면 (단위: 명) 남학생 여학생 합계 이용 경험이 있음 30 x 30+x 이용 경험이 없음 20 10 30 합계 50 10+x 60+x ▶ 50 % 조사한 학생 중에서 임의로 택한 1명이 남학생인 사건 을 A, 도서관 이용 경험이 있는 학생인 사건을 B라 고 하면 P{A5B}=P{A}P{B}이므로 60+x30 = 50 60+x\ 30+x 60+x, x=15 ▶ 40 % 따라서 점심 시간 중 도서관 이용 경험이 있는 여학생 수는 15이다. ▶ 10 %13
주사위 1개를 던져서 홀수의 눈이 나오는 사건을 A, 동전의 앞면이 2번 나오는 사건을 H라고 하면 P{A}=12, P{AC}=12 P{H|A}=2C2\[ 12 ]@\[ 12 ])=14 P{H|AC}=4C2\[ 12 ]@\[ 12 ]@=38 ▶ 40 % 따라서 구하는 확률은 P{H}=P{A5H}+P{AC5H} =P{A}P{H|A}+P{AC}P{H|AC} =12\14+21\38=165 ▶ 60 %14
⑴ ! 9번째 게임에서 상금을 모두 갖는 경우 A가 8번째와 9번째 게임을 모두 이겨야 하므 로 그 확률은 2C2\[ 12 ]@\[ 12 ])=14 ▶ 20 % @ 10번째 게임에서 상금을 모두 갖는 경우 A가 9번째 게임까지 1승을 하고, 10번째 게임 에서 이기면 되므로 그 확률은 2C1\[ 12 ]!\[ 12 ]!\12=14 ▶ 20 %# 11번째 게임에서 상금을 모두 갖는 경우 A가 10번째 게임까지 1승을 하고, 11번째 게 임에서 이기면 되므로 그 확률은 3C1\[ 12 ]!\[ 12 ]@\12=163 ▶ 20 % !, @, #에서 구하는 확률은 14+1 4+ 3 16= 11 16 ▶ 10 % ⑵ A가 상금을 모두 가질 확률이 1116이므로 A와 B 는 상금을 1116`:`165 , 즉 11`:`5로 분배해야 공정하 다. ▶ 30 % 73쪽 2 HH S 앞면의 개수 HT TH TT 1 0
0
1
⑴ 연속확률변수 ⑵ 이산확률변수0
2
예 이산확률변수: 어느 지역에 한 달간 비가 온 날의 수 연속확률변수: 어느 고등학교 학생들의 등교 시간 75쪽 X가 가지는 값은 4, 5, 6이고, 각 값을 가질 확률은 X=4일 때 14, X=5일 때 12, X=6일 때 1 4이다.0
3
⑴ X 0 1 2 합계 P{X=x} 7 15 7 15 1 15 1 P{X=x}=7C2-x\3Cx10C2 {x=0, 1, 2} ⑵ 14150
1
확률변수와 확률분포
73~76쪽1
확률분포
72쪽1
평균: 50분, 표준편차: 5j2분2
38통계
77쪽 당첨 확률은 차례로 1 100, 1003 , 503 , 109 평균 금액은 13300원이다. 스스로확인하기 1 6, 12, 13, 1360
1
X 1 2 3 4 5 6 합계 P{X=x} 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 , 720
2
35.50
3
1, 95, 45, 2j550
4
V{X}= 665 324, r{X}= j665k18 스스로확인하기 3, 10, 140, 9, 900
5
⑴ E{2X+3}=23, V{2X+3}=20, r{2X+3}=2j5 ⑵ E{-X+1}=-9, V{-X+1}=5, r{-X+1}=j50
6
a=2, b=-40 [상민]E{T}=E[100+20[X-mr ]] =100+20\E{X}-mr =100 r{T}=r[100+20[ X-mr ]]= 20r\r{X}=20 따라서 표준 점수 T의 평균은 100점, 표준편차는 20점 이다. [세미] 주어진 식에 X=90, m=60, r=15를 대입하면 T=100+20\90-6015 =140 따라서 구하는 표준 점수는 140점이다. 수학 역량 기르기 82쪽0
2
이산확률변수의 기댓값과 표준편차
77~82쪽 83쪽1
3C1\0.9!\0.1@, 3C2\0.9@\0.1!, 3C3\0.9#\0.1)2
P{X=x}=3Cx\0.9X\0.1#_X{x=0, 1, 2, 3}0
1
P{X=x}=5Cx\0.3X\0.7%_X {x=0, 1, 2, 3, 4, 5}0
2
예 발아율이 60%인 어떤 식물의 씨앗 100개 중에서 발아하는 씨앗의 수0
3
이항분포
83~87쪽88쪽
1
같다.2
표에서 상대도수는 차례로 0.15, 0.1, 0.05 (계급의 크기) 는 차례로 (상대도수) 0.03, 0.02, 0.01, 0.2 0 5 10 15 20 253035 0.02 0.04 0.06 0.01 0.03 0.05 (상대도수) (계급의 크기)\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ 식사 시간(분) 넓이는 1이다.0
1
12 91쪽1
x=1752
키가 175`cm 이상 180`cm 미만인 학생의 비율이 키가 180`cm 이상 185`cm 미만인 학생의 비율보다 더 크다.0
2
⑴ ma<mb=mc ⑵ ra=rb<rc0
3
①-㉢-㉮, ②-㉡-㉰, ③-㉠-㉯0
4
⑴ 1.36 ⑵ 2.230
5
⑴ 100, 10, -1<Z<2, 0.8185 ⑵ 100, 10, Z>1.5, 0.06680
6
0.0668 수학 과목의 점수를 확률변수 X라고 하면 P{X>70}=P[Z>70-556 ] =P{Z>2.5}=0.0062 이므로 태호의 수학 과목의 점수는 상위 0.62 %이다. 영어 과목의 점수를 확률변수 Y라고 하면 P{Y>80}=P[Z>80-755 ] =P{Z>1}=0.1587 이므로 태호의 영어 과목의 점수는 상위 15.87 %이다. 따라서 수학 과목에서 태호보다 시험을 잘 본 학생의 비율이 작으므로 내신 등급은 수학 과목이 영어 과목 보다 더 높다. 수학 역량 기르기 96쪽0
7
⑴ 0.8185 ⑵ 0.15870
8
0.02280
4
정규분포
88~98쪽0
3
0.0210
4
E{X}=6, V{X}=4, r{X}=20
5
평균: 30장, 표준편차: 3j3장1
2
\3
4
\1
E{X}=2, V{X}=252
E{X}=25, V{X}=754 , r{X}= 5j323
14
⑴ 0.8413 ⑵ 0.97595
a1+a3+a5=1이므로 a=9 즉, P{X=x}=2x-19 {x=1, 2, 3}이므로 E{X}=1\19+2\13+3\59=229 V{X}=1@\19+2@\13+3@\59-[ 229 ]@=3881 따라서 r{X}= j38k96
점검 횟수를 확률변수 X라고 하면 P{X=1}=14, P{X=2}=34\13=14 P{X=3}=34\23\12=14 P{X=4}=34\23\12\1=14 즉, E{X}=1\14+2\14+3\14+4\14=52 V{X}=1@\14+2@\14+3@\14+4@\14-[ 52 ]@ =54 따라서 평균은 52, 분산은 54이다.7
E{Y}=aE{X}+b=50a+b=99 yy`① V{Y}=a@V{X}=30a@=120 yy`② ①, ②에서 a=2, b=-18
확률변수 X는 이항분포 B[300, 12 ]을 따르므로 E{X}=300\12=150 V{X}=300\12\12=759
빨간 공이 나오는 횟수를 확률변수 X라고 하면 X는 이항분포 B[10, 30 ]x 를 따른다. E{X}=10\30x=2에서 x=6 100~102쪽10
f{x}의 그래프와 x축 및 직선 x=3으로 둘러싸인 부 분의 넓이는 1이므로 12\1\k+12\2\2k=1, k=25 따라서 P{X<2}=2\[ 12\1\25 ]=2511
정규분포 N{m, r@}의 확률밀도함수의 그래프는 직 선 x=m에 대하여 대칭이고, P{X>48}=P{X<52}이므로 m=48+522 =5012
주스 한 잔의 양을 확률변수 X라고 하면 P{X<153}=P[Z< 153-150 3 ] =P{Z<1}=0.841313
문학 도서 수를 확률변수 X라고 하면 X는 이항분포 B[600, 25 ]를 따른다. 이때 np>5, nq>5이므로 n은 충분히 크고, np=240, npq=144이므로 X는 정규분포 N{240, 144}를 따 른다. 따라서 구하는 확률은 P{246<X<252} =P[ 246-24012 <Z< 252-24012 ] =P{0.5<Z<1}=0.149814
수학 과목의 점수를 확률변수 X라고 하면 X는 정규 분포 N{70, 100}을 따른다. 수학 과목에서 1등급을 받기 위한 최저 점수를 c점 {c>70}이라고 하면 P{X>c}=P[Z> c-7010 ]=0.04 즉, P[0<Z< c-7010 ]=0.46에서 c-7010 =1.75이 므로 c=87.5 따라서 1등급을 받기 위한 최저 점수는 87.5점이다.15
F{x+20}-F{x}=P{X<x+20}-P{X<x} =P{x<X<x+20} 오른쪽 그림에서 x 50 x+20 P{x<X<x+20} x P{x<X<x+20} 이 최대가 되려면 x+{x+20} 2 =50 즉, x=40 따라서 구하는 최댓값은 P{40<X<60}=P{-2<Z<2}=0.954416
B 학과의 합격자 중에서 등록을 하지 않은 학생 수를 확률변수 X라고 하면 X는 이항분포 B{100, 0.1}을 따른다. 이때 np>5, nq>5이므로 n은 충분히 크고, np=10, npq=9이므로 X는 정규분포 N{10, 9}를 따른다. 예린이가 이 학과에 합격하려면 합격자 중에서 등록 을 하지 않은 학생 수가 7명 이상이어야 하므로 구하 는 확률은 P{X>7}=P[Z> 7-103 ] =P{Z>-1}=0.84131
태어난 자녀의 성염색체 부 모 X Y X XX XY X' XX' X'Y 는 오른쪽 표와 같으므로 구하는 확률은 1 4이다.2
색각 이상자인 자녀의 수를 확률변수 X라고 하면 2 명 이상이 색각 이상자일 확률은 P{X>2} =1-P{X=0}-P{X=1} =1-4C0\[ 14 ])\[ 34 ]$-4C1\[ 14 ]!\[ 34 ]# =1- 81 256 -108 256= 67 2563
색각 이상자인 자녀의 수를 확률변수 X라고 하면 X 는 이항분포 B[192, 14 ]을 따른다. 이때 np>5, nq>5이므로 n은 충분히 크고, np=48, npq=36이므로 X는 정규분포 N{48, 36} 을 따른다. 따라서 색각 이상자가 42명 이하일 확률은 P{X<42}=P[Z< 42-486 ] =P{Z<-1}=0.1587 103쪽2
통계적 추정
104쪽1
E{X}=3, V{X}=2, r{X}=j22
⑴ 0.1587 ⑵ 0.6247 105쪽 합리적이지 않다.0
1
⑴, ⑵, ⑶ 표본조사, ⑷ 전수조사0
1
모집단과 표본
105~106쪽107쪽
1
X 1 3 5 합계 P{X=x} 1 3 1 3 1 3 1 P{X=x} x O 1 3 5 3!2
빈칸에 알맞은 수는 차례로 2, 3, 3, 4, 3, 4, 5 `확률은 130
1
평균: 15만 원, 표준편차: 25만 원0
2
모평균을 m, 표본평균을 XX라고 하면 [세민] XX와 m은 다를 수 있으므로 항상 옳은 것은 아 니다. [태호]E{XX}=m이므로 옳다.0
3
0.15870
2
표본평균의 분포
107~110쪽0
2
예 선거의 여론 조사0
3
예 우리 반 학생 35명을 번호 순으로 1부터 35까지 자 연수와 대응시킨 후, 5명을 이지통계를 이용하여 추출하였더니 12, 32, 2, 7, 20이었다. 그 결과는 서로 다르다. 111쪽 항상 옳은 것은 아니다.0
1
P{-2.58<Z<2.58}=0.99이므로 모평균 m에 대 한 신뢰도 99%의 신뢰구간은 xC-2.58jnrk<m<xC+2.58jnrk0
2
⑴ 50초 ⑵ 49.484<m<50.516 (단위: 초) ⑶ 49.484초 이상 50.516초 이하인 범위에 이 선수의 자유형 100`m 기록의 평균이 포함되어 있다는 추정 의 신뢰도가 99%이다.0
3
1070
3
모평균의 추정
111~114쪽 모평균 m에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰구간의 길이는 2\1.96\ r jnk yy`① [윤아] ①의 값은 모표준편차 r에 정비례한다. 따라서 r가 커지면 그 길이는 길어지므로 옳다. [태호] ①의 값은 xX에 영향을 받지 않지므로 옳지 않다. 수학 역량 기르기 114쪽1
2
\3
1
⑴, ⑵, ⑶ 표본조사, ⑷ 전수조사2
⑴ 10 ⑵ 4 ⑶ 23
46.08<m<53.924
⑴ XX 1 1.5 2 2.5 3 합계 P{XX=xX} 1 9 2 9 1 3 2 9 1 9 1 따라서 구하는 확률은 13 ⑵ XX 1.5 2 2.5 합계 P{XX=xX} 1 3 1 3 1 3 1 따라서 구하는 확률은 135
공 5개 중에서 1개를 꺼낼 때, 공에 적힌 숫자를 확률 변수 X라고 하면 확률질량함수는 P{X=x}=1 5 {x=1, 2, 3, 4, 5} 이므로 E{X}=1\15+2\15+3\15+4\15+5\15=3 V{X} =1@\15+2@\15+3@\51+4@\15+5@\15-3@ =2 따라서 E{XX}=3, V{XX}= 12이므로 E{XX@}=V{XX}+9E{XX}0@= 1926
2 jnk<0.01에서 n>40000 따라서 n의 최솟값은 40000이다.7
표본평균 XX는 정규분포 N[100, 100n ]을 따르고, P{98<XX<102}=0.9544이므로 P998-100 10 jnk <Z<102-100 10 jnk 0 =0.9544 P[- jnk5 <Z< jnk5 ]=0.9544 즉, P[0<Z< jnk5 ]=0.4772이고, P{0<Z<2}=0.4772이므로 jnk5 =2 따라서 n=100 115~117쪽8
표본평균 XX는 정규분포 N[m, r@n ]을 따르므로 P[XX>m+ 2 jnk ]=P9Z> [m+ 2jnk ]-m r jnk 0 =P[Z> 2 r ] 따라서 p1+p2=P{Z>1}+P{Z>0.5} =0.46729
승객 1명의 수화물 무게를 확률변수 X라고 하면 X는 정규분포 N{14, 4}를 따르므로 표본평균 XX는 정규 분포 N{14, 1}을 따른다. 따라서 구하는 확률은 P{XX>16}=P[Z> 16-141 ] =P{Z>2}=0.022810
n=100, xC=175, r=5이므로 m에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간은 175-1.96\ 5 j100l<m<175+1.96\ 5j100l 따라서 174.02<m<175.98 (단위: cm) 즉, 174.02cm 이상 175.98cm 이하인 범위에 이 고 등학교 학생들의 키의 평균이 포함되어 있다는 추정 의 신뢰도가 95%이다.11
2\2.58\ 1 j400l=0.25812
신뢰구간의 길이는 2\1.96\ 4 jnk=15.68jnk 이때 15.68jnk <1이므로 jnk>15.68, n>245.8624 따라서 n의 최솟값은 246이다.13
표본평균 XX는 정규분포 N[m, n ]9 를 따르고, P{|XX-m|<0.5}>0.99이어야 하므로 P{-0.5<XX-m<0.5}>0.99 P9-0.5 3 jnk <Z<0.5 3 jnk0 >0.99 P[- jnk6 <Z< jnk6 ]>0.99 즉, P[0<Z< jnk6 ]>0.495이므로 jnk6 >2.58에서 jnk>15.48, n>239.6304 따라서 n의 최솟값은 240이다.14
배터리 1개의 수명을 확률변수 X라고 하면 X는 정 규분포 N{20, 1}을 따른다. 배터리 4개의 수명을 각각 X1, X2, X3, X4라고 하 면 표본평균 XX는 XX= X1+X2+X3+X44 이때 표본평균 XX는 정규분포 N[20, 14 ]을 따르므로 구하는 확률은 P{X1+X2+X3+X4>86} =P{XX>21.5} =P[Z> 21.5-200.5 ] =P{Z>3} =0.001315
n=100, xC=65, r=10이므로 확률변수 Z가 표준정 규분포 N{0, 1}을 따를 때, P{|Z|<c}=100a 를 만족시키는 양수 c에 대하여 모평균 m에 대한 신뢰도 a%의 신뢰구간은 65-c\ 10 j100l<m<65+c\ 10j100l 즉, 65-c<m<65+c에서 c=2 따라서 P{|Z|<2}=2\P{0<Z<2}=0.96이므로 a=96 예 주제: 전교생 400명이 지난 1년 동안 본 영화의 수1
이지통계를 이용하여 학생 30명을 추출한 다음 정한 주제에 대한 표본 30개를 적었더니 13, 3, 7, 12, 5, 9, 6, 13, 14, 10, 9, 6, 15, 13, 8, 5, 7, 12, 15, 12, 9, 11, 14, 10, 7, 13, 3, 2, 3, 4 이었다.2
추정 과정 ①~③을 따라 표본평균과 표본표준편차를 구하면 표본평균은 9편, 표본표준편차는 4편이다. 전교생 400명이 지난 1년 동안 본 영화의 수의 평균 m에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간은 9-1.96\ 4 j400l<m<9+1.96\ 4j400l 따라서 8.608<m<9.392 (단위: 편) 즉, 8.608편 이상 9.392편 이하인 범위에 전교생 400 명이 지난 1년 동안 본 영화의 수의 평균이 포함되어 있다는 추정의 신뢰도가 95%이다. 118쪽1
①2
확률변수 X의 확률분포표는 다음과 같다. X -2 -1 0 2 합계 P{X=x} 1 6 1 6 1 2 1 6 1 따라서 P{X>0}=P{X=0}+P{X=2}=233
확률변수 X는 이항분포 B[50, 15 ]을 따르므로 E{X}=10, V{X}=84
100원짜리 동전 5개를 동시에 던져서 앞면이 나오는 동전의 개수를 확률변수 Y라고 하면 Y는 이항분포 B[5, 12 ]을 따르므로 E{Y}=52, V{Y}=54 X=100Y이므로 E{X}=E{100Y}=100E{Y}=250 V{X}=V{100Y}=100@V{Y}=125005
126
나무 1그루당 감귤의 수확량을 확률변수 X라고 하면 X는 정규분포 N{30, 2.25}를 따르므로 P{X>34.5}=P{Z>3}=0.0013 따라서 수확량이 34.5`kg 이상인 나무는 13그루이다.7
자율 학습을 하는 학생 수를 확률변수 X라고 하면 X 는 이항분포 B[150, 35 ]을 따른다. 이때 np>5, nq>5이므로 n은 충분히 크고, np=90, npq=36이므로 X는 정규분포 N{90, 36} 을 따른다. 따라서 구하는 확률은 P{84<X<102}=P{-1<Z<2} =0.81858
주머니에서 공 1개를 꺼냈을 때, 공에 적힌 숫자를 확 률변수 X라고 하면 X의 확률분포표는 다음과 같다. X 1 2 3 합계 P{X=x} 1 2 1 4 1 4 1 E{X}=74, V{X}=1116, r{X}= j11k4 이므로 E{XX}= 74, V{XX}= 11 32, r{XX}= j22k8 120~122쪽9
E{XX}=m, V{XX)=4이고, V{XX}=E{XX@}-9E{XX}0@이므로 E{XX@}=m@+4 따라서 m@+4=29이므로 m@=25 이때 m>0이므로 m=510
n=64, xC=25, r=2이므로 m에 대한 신뢰도 99% 의 신뢰구간은 25-2.58\ 2 j64k<m<25+2.58\ 2j64k 즉, 24.355<m<25.645 (단위: cm)11
⑴ a+a@+1 4=1이므로 4a@+4a-3=0 {2a-1}{2a+3}=0, a=12 또는 a=-32 그런데 a>0이므로 a=12 ▶ 40 % ⑵ E{X}=2\12+4\14+8\14=4 ▶ 30 % 따라서 V{X}=E{X@}-9E{X}0@ =2@\12+4@\14+8@\14-4@ =6 ▶ 30 %12
주사위 1개를 10번 던질 때, 홀수의 눈이 나오는 횟수 를 확률변수 Y라고 하면 Y는 이항분포 B[10, 12 ]을 따른다. ▶ 20 % 이때 짝수의 눈이 나오는 횟수는 10-Y이므로 X=3Y-2{10-Y}=5Y-20 ▶ 20 % E{Y}=10\12=5, V{Y}=10\12\12=52이 므로 E{X}=E{5Y-20}=5E{Y}-20 =5\5-20=5 ▶ 30 % V{X}=V{5Y-20}=25V{Y} =25\52=1252 ▶ 30 %13
동전 1개를 100번 던져서 앞면이 나오는 횟수를 확률 변수 X라고 하면 X는 이항분포 B[100, 12 ]을 따른 다. ▶ 20 % 이때 np>5, nq>5이므로 n은 충분히 크고, np=50, npq=25이므로 X는 정규분포 N{50, 25} 를 따른다. ▶ 30 % 이때 뒷면이 나오는 횟수는 100-X이므로 게임의 점 수는 4X-2{100-X}=6X-200 ▶ 20 % 따라서 구하는 확률은 P{6X-200>190} =P{X>65}=P[Z> 65-505 ] =P{Z>3)=0.0013 ▶ 30 %14
모집단의 확률분포가 정규분포 N[5, 2254 ]일 때, 표 본평균 XX는 정규분포 N[5, 14 ]을 따른다. ▶ 40 % 따라서 구하는 확률은 P{XX>6}=P9Z>6-5 1 2 0 =P{Z>2}=0.0228 ▶ 60 %15
모집단의 확률분포가 정규분포 N{17, 16}일 때, 표 본평균 XX는 정규분포 N[17, 16n ]을 따른다. ▶ 20 % P{16.6<XX<17.4}>0.95에서 P916.6-17 4 jnk <Z<17.4-17 4 jnk 0 >0.95 P[- jnk10<Z< jnk10 ]>0.95 즉, 2\P[0<Z< jnk10 ]>0.95이므로 P[0<Z< jnk10 ]>0.475 ▶ 40 % 이때 P{0<Z<1.96}=0.475이므로 jnk 10>1.96 즉, jnk>19.6, n>384.16 ▶ 30 % 따라서 n의 최솟값은 385이다. ▶ 10 %16
l=2\1.96\ r jn1k, 즉 l=3.92jn1kr ▶ 30 % 2l=2\1.96\ r jn2k, 즉 l=1.96jn2kr ▶ 30 % 위의 두 식에서 3.92 r jn1k=1.96jn2kr 이므로 jn1kjn2k=2, 즉 n1n2=4 ▶ 40 % 128~131쪽I
경우의 수
1
각 부부를 1명으로 생각하면 5명이 원탁에 앉는 경우 의 수는 4? 각 부부는 자리를 바꿀 수 있으므로 구하는 모든 경우 의 수는 4?\2?\2?\2?\2?\2?=7682
여학생 3명이 원형으로 앉는 경우의 수는 2? 여학생 사이사이에 남학생이 앉는 경우의 수는 3P2 따라서 구하는 모든 경우의 수는 2?\3P2=123
작은 원을 칠하는 방법의 수는 7 나머지 6가지 색으로 작은 원을 제외한 6칸을 칠하는 방법의 수는 5? 따라서 구하는 모든 방법의 수는 7\5?=840 그러므로 ③이다.4
8명을 일렬로 배열하는 경우의 수는 8? 그 각각에 대하여 서로 같은 경우가 4가지씩 있으므로 구하는 모든 경우의 수는 84?=10080 따라서 ④이다.5
④6
K가 세 자리, 네 자리의 자연수일 때, 만들 수 있는 자연수의 개수는 각각 2T3=8, 2T4=16 따라서 구하는 K의 개수는 8+16=24이므로 ③이다.7
2T2+2T3+2T4+2T5=608
C[A이고, B5C=Z을 만족시키는 집합 C는 집합 9n+1, n+2, y, m0의 부분집합이어야 하므로 그 개수는 2Tm-n 따라서 구하는 집합 C의 개수는 2Tm-2Tm-n=2M-2M_N9
3010
양 끝에 2개의 모음 E를 배열하고, 나머지 6개의 문 자 R, M, M, B, E, R를 배열하면 되므로 2?6\2? ?=180 따라서 ②이다.11
꼭짓점 A에서 꼭짓점 B까지 가려면 가로, 세로, 높이 의 방향으로 블록의 한 모서리의 길이만큼 각각 3번, 3번, 4번 이동해야 하므로 구하는 최단 경로의 수는 3 10? ?\3?\4?=420012
오른쪽으로 한 칸, 위로 한 칸, 대각선으로 한 칸 가는 것을 각각 a, b, c라고 하면 지점 A에서 지점 B까지 가는 모든 경로의 수는 다음과 같다. ! 대각선을 0번 이용하는 경우는 a, a, a, b, b, b를 배열하는 것과 같으므로 그 경우의 수는 3 6? ?\3?=20 @ 대각선을 1번 이용하는 경우는 a, a, b, b, c를 배 열하는 것과 같으므로 그 경우의 수는 2?5\2? ?=30 # 대각선을 2번 이용하는 경우는 a, b, c, c를 배열 하는 것과 같으므로 그 경우의 수는 42? ?=12 $ 대각선을 3번 이용하는 경우는 c, c, c를 배열하는 것과 같으므로 그 경우의 수는 1 !~$에서 구하는 모든 경로의 수는 20+30+12+1=6313
기명 투표를 할 때, 투표 결과의 모든 경우의 수는 중 복순열의 수와 같으므로 3T10=3!) 무기명 투표를 할 때, 투표 결과의 모든 경우의 수는 중복조합의 수와 같으므로 3H10=6614
땅콩 맛 아이스크림을 1개 고르고, 2개를 더 고르면 되므로 10H2=5515
딸기 맛 초콜릿을 2개 고르고, 바나나 맛, 감귤 맛 초 콜릿 중에서 8개를 더 고르면 되므로 2H8=916
x+y+z가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2, 3, 4이므로 구하는 음이 아닌 정수해의 개수는 3H0+3H1+3H2+3H3+3H4=3517
2H3\2H2=1218
1, 2, 3점이 표시된 곳에 맞은 화살의 수를 각각 x, y, z라고 하면 x+y+z=5 이 방정식을 만족시키는 음이 아닌 정수해의 개수는 3H5=21 이때 x+2y+3z<8을 만족시키는 {x, y, z}는 {5, 0, 0}, {4, 1, 0}, {4, 0, 1}, {3, 2, 0} 으로 4개이므로 구하는 모든 경우의 수는 21-4=1719
x1-1=W, -x2+1=X, x3-3=Y, -x4+2=Z (W, X, Y, Z는 음이 아닌 정수)로 놓으면 x1-x2+x3-x4=5에서 {W+1}+{X-1}+{Y+3}+{Z-2}=5 즉, W+X+Y+Z=4 따라서 방정식 W+X+Y+Z=4를 만족시키는 음 이 아닌 정수해를 구하면 되므로 4H4=3520
{2x-5y}^의 전개식에서 각 항은 6Cr\{2x}^_R\{-5y}R, 즉 6Cr\2^_R\{-5}R\x^_RyR 의 꼴로 나타낼 수 있으므로 x^_RyR=x$y@에서 6-r=4, r=2 따라서 x$y@의 계수는 6C2\2$\{-5}@=600021
{1+x}#의 전개식에서 각 항은 3Cr\xR의 꼴로, {2+x}$의 전개식에서 각 항은 4Cs\2$_S\xS의 꼴 로 나타낼 수 있다. 따라서 {1+x}#{2+x}$의 전개식에서 각 항은 3Cr\4Cs\2$_S\xR"S의 꼴로 나타낼 수 있으므로 xR"S=x@에서 r+s=2 ! r=0, s=2일 때, x@의 계수는 3C0\4C2\2@=24 @ r=1, s=1일 때, x@의 계수는 3C1\4C1\2#=96 # r=2, s=0일 때, x@의 계수는 3C2\4C0\2$=48 따라서 x@의 계수는 24+96+48=168이므로 ⑤이다.22
{1+x}#, {1+x}$, {1+x}%, y, {1+x}!)의 전개 식에서 x#의 계수는 각각 3C3, 4C3, 5C3, y, 10C3 문제의 전개식에서 x#의 계수는 3C3+4C3+5C3+6C3+7C3+8C3+9C3+10C3 이때 3C3을 4C4로 바꾸면 4C4+4C3+5C3+6C3+7C3+8C3+9C3+10C3 nCr=n-1Cr-1+n-1Cr를 이용하여 식을 정리하면 4C4+4C3+5C3+6C3+7C3+8C3+9C3+10C3 =5C4+5C3+6C3+7C3+8C3+9C3+10C3 =6C4+6C3+7C3+8C3+9C3+10C3 =7C4+7C3+8C3+9C3+10C3 =8C4+8C3+9C3+10C3 =9C4+9C3+10C3 =10C4+10C3=11C4=33023
nC0+nC2+nC4+y+nCn-1=2N_!이므로 1000<2N_!<2000 그런데 2!)=1024, 2!!=2048이므로 위의 부등식을 만족시키는 n의 값은 11이다.24
1\nC1-2\nC2+3\nC3-4\nC4+y+n\nCn =n\n-1C0-n\n-1C1+n\n-1C2-n\n-1C3 +y+n\n-1Cn-1 =n\{n-1C0-n-1C1+n-1C2-n-1C3+y+n-1Cn-1} =n\0=0 132~135쪽II
확률
1
5 422
4명을 일렬로 세우는 방법의 수는 4?=24 ! 키가 가장 큰 사람이 왼쪽에서부터 두 번째에 서 는 경우 나머지 3명을 일렬로 세우면 되므로 그 방법의 수 는 3?=6 @ 키가 두 번째로 큰 사람이 왼쪽에서부터 두 번째 에 서는 경우 키가 가장 큰 사람을 마지막에 세우고 나머지 2명 을 일렬로 세우면 되므로 그 방법의 수는 2?=2 !, @에서 6+2=8 따라서 구하는 확률은 248=1 33
6가지 색을 원판에 모두 칠하는 경우의 수는 5? 파란색 맞은편에 연두색을 칠하고, 나머지 4가지 색을 칠하는 경우의 수는 4? 따라서 구하는 확률은 45? ?= 1 5 그러므로 ②이다.4
학생 8명을 자리 8개에 배정하는 방법의 수는 8? 여학생 4명을 서로 이웃하지 않게 배정한 다음 남은 자리에 남학생 4명을 배정하는 방법의 수는 4?\4?\2 따라서 구하는 확률은 4?\48?\2 ? = 1 35 그러므로 ③이다.5
집합 A에서 집합 B로의 함수의 개수는 2T3=8 f{t}+f{u}+f{v}=16을 만족시키는 해를 {f{t}, f{u}, f{v}}로 나타내면 {5, 5, 6}, {5, 6, 5}, {6, 5, 5} 따라서 구하는 확률은 3 86
0.847
1698
임의로 학생 1명을 택할 때, 그 학생이 바다에 다녀온 사건을 A, 계곡에 다녀온 사건을 B라고 하면 P{A}=0.5, P{B}=0.7, P{A5B}=0.3 따라서 구하는 확률은 P{A6B}=P{A}+P{B}-P{A5B}=0.99
여학생이 2명 이상 뽑히는 사건을 A라고 하면 AC은 여 학생이 1명 뽑히거나 여학생이 뽑히지 않는 사건이다. ! 여학생이 1명 뽑힐 확률은 6C1\4C310C4 =354 @ 여학생이 뽑히지 않을 확률은 6C0\4C410C4 =2101 !, @에서 P{AC}=354 +2101 =425 따라서 구하는 확률은 P{A}=1-P{AC}=374210
8개의 점 중에서 3개의 점으로 만든 삼각형이 직각삼 각형일 확률은 4\68C3 =37 따라서 구하는 확률은 1-37=47 그러므로 ④이다.11
카드를 3장 이상 꺼내는 사건을 A라고 하면 AC은 카 드 1장에 적힌 수 또는 카드 2장에 적힌 수의 합이 6 의 배수가 되는 사건이다. ! 카드 1장에 적힌 수가 6의 배수인 경우는 6으로 1 가지이므로 그 확률은 1 8 @ 카드 2장에 적힌 수의 합이 6의 배수인 경우는 합 이 6인 경우 4가지, 합이 12인 경우 4가지이므로 그 확률은 568 =17 !, @에서 P{AC}=18+17=1556 따라서 구하는 확률은 P{A}=1-P{AC}=415612
임의로 택한 1명이 남자인 사건을 A, 40세 이상인 사 건을 B, 20대인 사건을 C라고 하자. 40세 이상이 차지하는 비율이 12%이므로 그 수는 300\0.12=36즉, {60-a}+b=36이므로 a-b=24 yy`① 또 P{C|A}=P{B|AC}이므로 P{A5C} P{A} = P{AC5B} P{AC} , a 300 200 300 = b 300 1-200300 즉, a=2b yy`② ①, ②에서 a=48, b=24 따라서 a+b=72이므로 ①이다.
13
6 16\ 515= 18이므로 ②이다.14
윤아가 당첨 제비를 뽑고 주원이도 당첨 제비를 뽑을 확률은 164 \ 3 15= 1 20 윤아가 당첨 제비를 뽑지 않고 주원이가 당첨 제비를 뽑을 확률은 1216\154 =15 따라서 구하는 확률은 201 +1 5= 1 415
A 상자를 택하는 사건을 A, B 상자를 택하는 사건을 B, 꺼낸 공 2개가 모두 흰 공인 사건을 W라고 하면 P{A}=1 2, P{B}= 1 2, P{W|A}= 3C2 7C2 =17 P{W|B}=4C26C2 =25 꺼낸 공 2개가 모두 흰 공일 확률은 P{W}=P{A5W}+P{B5W} =P{A}P{W|A}+P{B}P{W|B} =12\17+12\25=19 70 따라서 구하는 확률은 P{B|W}=P{B5W} P{W} = 14 1916
실제로 독감 환자인 사건을 A, 검사 결과가 독감인 환자인 사건을 B라고 하면 P{A}=0.001, P{AC}=0.999 P{B|A}=0.9, P{B|AC}=0.1 검사 결과가 독감인 환자일 확률은 P{B}=P{A5B}+P{AC5B} =P{A}P{B|A}+P{AC}P{B|AC} =0.001\0.9+0.999\0.1=0.1008 따라서 구하는 확률은 P{A|B}=P{A5B}P{B} =0.00090.1008=112117
제품이 해외 공장에서 생산된 제품인 사건을 A, 국내 공장에서 생산된 제품인 사건을 B, 불량품인 사건을 E라고 하면 P{A}=0.8, P{B}=0.2, P{E|A}=0.04 P{E|B}=0.01 불량품일 확률은 P{E}=P{A5E}+P{B5E} =P{A}P{E|A}+P{B}P{E|B} =0.8\0.04+0.2\0.01=0.034 따라서 구하는 확률은 P{A|E}=P{A5E} P{E} = 0.032 0.034= 16 1718
P{A}P{B}, P{B}, P{BC}19
ㄷ. P{A|B}=P{A}이고, P{B|A}=P{B}이므 로 주어진 식이 항상 성립하는 것은 아니다. 따라서 항상 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.20
임의로 1명을 뽑을 때 여자인 사건을 A, 설악산을 선 호하는 사람인 사건을 B라고 하면 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P{A5B}=P{A}P{B} 즉, 36d=12 36\ 15 36이므로 d=521
동전 1개를 6번 던져서 앞면이 나오는 횟수를 x, 뒷면 이 나오는 횟수를 y라고 하면x+y=6, 2x+y=10, 즉 x=4, y=2 따라서 구하는 확률은 6C4\[ 1
2 ]$\[ 12 ]@= 1564
136~139쪽
III
통계
1
a+b+14=1이므로 a+b=34 yy`①E{X}=94이므로 a+2b=54 yy`② ①, ②에서 a=14, b=12
