유
형
중학
2
-
2
정답과 풀이
Ⅰ. 삼각형의 성질
1
삼각형의 성질
개념
콕콕
본문 | 7 쪽000
1
⑴ ∠x= 12_(180ù-50ù)=65ù ⑵ ∠x=180ù-2_55ù=70ù ⑶ ∠ACB=180ù-105ù=75ù이므로 ∠x=180ù-2_75ù=30ù ⑷ ∠ACB= 12_(180ù-68ù)=56ù이므로 ∠x=180ù-56ù=124ù ⑴ 65ù ⑵ 70ù ⑶ 30ù ⑷ 124ù000
2
⑴ BCÓ=2 BDÓ=2_6=12(cm)이므로 x=12ADÓ⊥BCÓ이므로 ∠ADC=90ù ∴ y=90
⑵ CDÓ=BDÓ= 12 BCÓ=12 _8=4(cm)이므로 x=4 ADÓ⊥BCÓ이므로 ∠ADC=90ù ∠C=∠B=50ù이므로 △ADC에서 ∠DAC=180ù-(90ù+50ù)=40ù ∴ y=40 ⑴ x=12, y=90 ⑵ x=4, y=40
000
3
⑴ ∠B=∠C이므로 △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이다. ∴ x=9 ⑵ ∠C=180ù-(40ù+70ù)=70ù이므로 ∠A=∠C 따라서 △ABC는 BAÓ=BCÓ인 이등변삼각형이므로 x=6 ⑴ 9 ⑵ 6000
4
⑴△ABC에서 ∠C=180ù-(30ù+90ù)=60ù △ABC와 △EFD에서 ACÓ=EDÓ, ∠B=∠F=90ù, ∠C=∠D이므로△ABCª△EFD (RHA 합동)
⑵ DFÓ=CBÓ=4(cm)
⑴ △ABCª△EFD, RHA 합동 ⑵ 4`cm
000
5
⑴△ABC와 △FDE에서
ABÓ=FDÓ, ∠C=∠E=90ù, BCÓ=DEÓ이므로
△ABCª△FDE (RHS 합동)
⑵ ACÓ=FEÓ=12(cm)
⑴ △ABCª△FDE, RHS 합동 ⑵ 12`cm
000
6
△AOP와 △BOP에서
∠OAP=∠OBP=90ù, ∠AOP=∠BOP, OPÓ는 공통이므로
△AOPª△BOP (RHA 합동)
따라서 APÓ=BPÓ=3(cm), OBÓ=OAÓ=5(cm)이므로
x=3, y=5 x=3, y=5
000
7
△AOP와 △BOP에서
∠OAP=∠OBP=90ù, PAÓ=PBÓ, OPÓ는 공통이므로
△AOPª△BOP (RHS 합동) ∴ ∠BOP=∠AOP=24ù 따라서 △POB에서 ∠x=180ù-(24ù+90ù)=66ù 66ù
000
8
42ù000
9
49ù00
10
①, ④00
11
③00
12
45ù00
13
48ù00
14
34ù00
15
①00
16
④00
17
60`cmÛ`00
18
㈎ ∠CAD ㈏ ADÓÓ ㈐ SAS ㈑ ∠ADC ㈒ 9000
19
②, ⑤00
20
14`cm00
21
⑤00
22
④00
23
②00
24
110ù00
25
36ù00
26
④00
27
⑤00
28
②00
29
29ù00
30
43ù00
31
㈎ △ACD ㈏ ∠CAD ㈐ ∠ADB ㈑ ASA ㈒ ACÓ00
32
②00
33
6`cm00
34
15`cm00
35
8`cm00
36
6`cm00
37
64`cmÛ`00
38
5`cm00
39
20`cm00
40
②00
41
22`cm00
42
④00
43
58ù00
44
5000
45
ㄱ과 ㅂ, ㄷ과 ㅁ00
46
㈎ DEÓ ㈏ ∠B ㈐ ∠D ㈑ ASA00
47
⑤00
48
④00
49
⑤00
50
72`cmÛ`00
51
㈎ 90 ㈏ CMÓ ㈐ ∠B ㈑ RHA00
52
9`cm00
53
4`cm00
54
68`cmÛ`00
55
②00
56
40`cmÛ`00
57
56ù00
58
④00
59
63ù00
60
24`cm00
61
②00
62
⑤00
63
25ù00
64
3`cm00
65
30ù00
66
5`cm00
67
50`cmÛ` 본문 | 8 ~ 16 쪽유형
콕콕
1. 삼각형의 성질 △ABC에서 ∠ABC=∠C= 12 _(180ù-32ù)=74ù △BCD에서 ∠BDC=∠C=74ù이므로 ∠DBC=180ù-(74ù+74ù)=32ù ∴ ∠x=74ù-32ù=42ù 42ù
000
9
∠ABC=180ù-98ù=82ù △ABC에서 ∠C= 12 _(180ù-82ù)=49ù 49ù00
10
① ACÓ ④ SAS ①, ④00
11
△ABC에서 ∠C= 12 _(180ù-48ù)=66ù 이때 ADÓBCÓ이므로 ∠DAC=∠C=66ù (엇각) ③00
12
△ABC에서 ∠ABC=∠C= 12_(180ù-30ù)=75ù △ABD에서 ∠ABD=∠A=30ù ∴ ∠DBC=75ù-30ù=45ù 45ù00
13
△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ACB= 12_(180ù-54ù)=63ù 40% △DCE에서 DCÓ=DEÓ이므로 ∠DCE= 12_(180ù-42ù)=69ù 40% ∴ ∠ACD=180ù-(63ù+69ù)=48ù 20% 48ù00
14
△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠B=∠C= 12_(180ù-112ù)=34ù △BED에서 BDÓ=BEÓ이므로 ∠BED= 12_(180ù-34ù)=73ù 또, △CFE에서 CEÓ=CFÓ이므로 ∠CEF= 12_(180ù-34ù)=73ù ∴ ∠x=180ù-(73ù+73ù)=34ù 34ù ∠BAD=∠CAD= 12_72ù=36ù △ABD에서 ∠ADB=90ù이므로 ∠B=180ù-(36ù+90ù)=54ù ∴ x=54 CDÓ=BDÓ=4(cm)이므로 y=4 ∴ x+y=54+4=58 ①00
16
① ∠B=∠C=52ù ② △ABD에서 ∠BAD=180ù-(52ù+90ù)=38ù③ ADÓ가 ∠A의 이등분선이므로 ADÓ⊥BCÓ ∴ ∠ADB=90ù
④ ADÓ=BDÓ인지는 알 수 없다.
⑤ BDÓ=CDÓ= 12 BCÓ
따라서 옳지 않은 것은 ④이다. ④
00
17
ADÓ가 ∠A의 이등분선이므로 ADÓ⊥BCÓ이다. 따라서 ADÓ는 △ABC의 높이이므로
△ABC= 12 _15_8=60(cmÛ`) 60`cmÛ`
00
18
㈎ ∠CAD ㈏ ADÓÓ ㈐ SAS ㈑ ∠ADC ㈒ 90
00
19
①, ② ∠B=∠C= 12_(180ù-84ù)=48ù
③ ADÓ는 ∠A의 이등분선이므로 ADÓ⊥BCÓ ∴ ∠ADC=90ù
④ BDÓ= 12 BCÓ=12 _16=8(cm)
⑤ ADÓ의 길이는 알 수 없다. ②, ⑤
00
20
△ABC에서 ADÓ가 ∠A의 이등분선이므로 ADÓ⊥BCÓ, BDÓ=CDÓ
△ABP와 △ACP에서
ABÓ=ACÓ, ∠BAP=∠CAP, APÓ는 공통이므로
△ABPª△ACP (SAS 합동) ∴ PBÓ=PCÓ
이때 △PBC는 직각이등변삼각형이므로 ∠PBC=∠PCB=45ù △PBD에서 ∠BPD=180ù-(45ù+90ù)=45ù △PDC에서 ∠DPC=180ù-(45ù+90ù)=45ù 따라서 △PBD와 △PDC는 직각이등변삼각형이므로 BDÓ=DCÓ=PDÓ=7(cm) ∴ BCÓ=BDÓ+DCÓ=7+7=14(cm) 14`cm
00
21
△ABC에서 ∠B= 12 _(180ù-100ù)=40ù △ACD에서 ∠D=∠CAD=180ù-100ù=80ù 따라서 △BCD에서 ∠DCE=∠B+∠D=40ù+80ù=120ù ⑤00
22
△ADC에서 ∠DAC=∠C=52ù ∴ ∠BDA=52ù+52ù=104ù 따라서 △ABD에서 ∠x= 12 _(180ù-104ù)=38ù ④00
23
△ABC에서 ∠ACB=∠B=32ù ∴ ∠CAD=32ù+32ù=64ù △ACD에서 ∠CDA=∠CAD=64ù 따라서 △BCD에서 ∠DCE=32ù+64ù=96ù ②00
24
∠B=∠x라고 하면 △ABC에서 ∠ACB=∠B=∠x ∴ ∠CAD=∠x+∠x=2∠x 30% △ACD에서 ∠D=∠CAD=2∠x 20% △BCD에서 ∠x+2∠x=105ù이므로 3∠x=105ù ∴ ∠x=35ù 30% 따라서 △ABC에서 ∠BAC=180ù-2_35ù=110ù 20% 110ù00
25
∠A=∠x라고 하면 △ABD에서 ∠ABD=∠A=∠x ∴ ∠BDC=∠x+∠x=2∠x △BCD에서 ∠C=∠BDC=2∠x 이때 △ABC는 이등변삼각형이므로 ∠ABC=∠C=2∠x 따라서 ∠x+2∠x+2∠x=180ù이므로 5∠x=180ù ∴ ∠x=36ù 36ù00
26
△ACB에서 ∠BCA=∠A=20ù ∴ ∠CBD=20ù+20ù=40ù △BCD에서 ∠CDB=∠CBD=40ù △ACD에서 ∠DCE=20ù+40ù=60ù △DCE에서 ∠DEC=∠DCE=60ù 따라서 △AED에서 ∠FDE=20ù+60ù=80ù ④00
27
∠A=∠x라고 하면 △AED에서 ∠DEA=∠A=∠x ∴ ∠EDC=∠x+∠x=2∠x △DEC에서 ∠ECD=∠EDC=2∠x △AEC에서 ∠CEB=∠x+2∠x=3∠x △CEB에서 ∠B=∠CEB=3∠x 따라서 30ù+3∠x+3∠x=180ù이므로 6∠x=150ù ∴ ∠x=25ù ⑤00
28
△ABC에서 ∠ABC=∠ACB= 12 _(180ù-40ù)=70ù ∴ ∠DBC= 12∠ABC=12 _70ù=35ù ∠ACE=180ù-70ù=110ù이므로 ∠DCE= 12∠ACE=12 _110ù=55ù 따라서 △BCD에서 35ù+∠x=55ù ∴ ∠x=20ù ②00
29
△ABC에서 ∠ABC=∠ACB=12_(180ù-52ù)=64ù 20% ∴ ∠DCE=12 ∠ACE=12_(180ù-64ù)=58ù 30% △BCD에서 CBÓ=CDÓ이므로 ∠CBD=∠CDB=∠x 20% 따라서 ∠x+∠x=58ù이므로 ∠x=29ù 30% 29ù00
30
△ABC에서 ∠ABC=∠ACB= 12 _(180ù-48ù)=66ù ∴ ∠DBC= 12∠ABC=12 _66ù=33ù∠ACE=180ù-66ù=114ù이고 ∠ACD= 12∠DCE이므로 ∠ACD= 13∠ACE=13 _114ù=38ù
따라서 △BCD에서 ∠x=180ù-(33ù+66ù+38ù)=43ù
43ù
00
31
㈎ △ACD ㈏ ∠CAD ㈐ ∠ADB ㈑ ASA ㈒ ACÓ
00
32
1. 삼각형의 성질 △ABC에서 ∠B=∠ACB= 12_(180ù-36ù)=72ù ∴ ∠ACD=∠DCB=12 ∠ACB=12_72ù=36ù 즉 △ADC는 DAÓ=DCÓ인 이등변삼각형이다. 또, △BCD에서 ∠BDC=180ù-(72ù+36ù)=72ù이므로 △BCD는 CBÓ=CDÓ인 이등변삼각형이다. ∴ ADÓ=CDÓ=BCÓ=6(cm) 6`cm
00
34
△ABC에서 ∠C=180ù-(63ù+54ù)=63ù이므로 ∠A=∠C 따라서 △ABC는 이등변삼각형이므로 BCÓ=ABÓ=15(cm) 15`cm00
35
∠B=∠C이므로 △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이다.(△ABC의 둘레의 길이)=ABÓ+7+ACÓ=2 ABÓ+7이므로
2 ABÓ+7=23, 2 ABÓ=16 ∴ ABÓ=8(cm) 8`cm
00
36
△ABC에서 ∠ABC=∠ACB이고 ∠DBC= 12∠ABC, ∠DCB=12 ∠ACB이므로 ∠DBC=∠DCB 따라서 △DBC는 이등변삼각형이므로 BDÓ=CDÓ=6(cm) 6`cm00
37
△ABC는 직각이등변삼각형이므로 ∠B=∠C=45ù 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 D라고 하면 BDÓ=CDÓ= 12 BCÓ=12 _16=8(cm) △ABD에서 ∠BAD=180ù-(45ù+90ù)=45ù이므로 ∠B=∠BAD 따라서 △ABD는 이등변삼각형이므로 ADÓ=BDÓ=8(cm) ∴ △ABC= 12 _16_8=64(cmÛ`) 64`cmÛ`00
38
△BCD에서 ∠DCB=76ù-38ù=38ù 즉 △BCD는 이등변삼각형이므로 DCÓ=DBÓ=5(cm) 또, △ABC에서 ∠A=180ù-(38ù+66ù)=76ù이므로 △ADC는 이등변삼각형이다. ∴ ACÓ=DCÓ=5(cm) 5`cm # " $ % DN △ABC에서 ∠C=180ù-(30ù+90ù)=60ù △BCD에서 DBÓ=DCÓ이므로 ∠DBC=∠C=60ù 따라서 ∠BDC=180ù-(60ù+60ù)=60ù이므로 △BCD는 정삼각형이다. ∴ DCÓ=BDÓ=BCÓ=10(cm) 50% 한편, ∠ABD=90ù-60ù=30ù이므로 ∠A=∠ABD 따라서 △ABD는 이등변삼각형이므로 ADÓ=BDÓ=10(cm) 30% ∴ ACÓ=ADÓ+DCÓ=10+10=20(cm) 20% 20`cm00
40
△ABC에서 ∠B=∠C이므로 ACÓ=ABÓ=12(cm) 오른쪽 그림과 같이 APÓ를 그으면△ABC=△ABP+△ACP이므로
60= 12_12_PQÓ+12 _12_PRÓ 60=6(PQÓ+PRÓ) ∴ PQÓ+PRÓ=10(cm) ②
00
41
∠GFC=∠EFG (접은 각), ∠GFC=∠EGF (엇각)이므로 ∠EFG=∠EGF 즉, △EFG는 이등변삼각형이므로 EGÓ=EFÓ=8(cm) ∴ (△EFG의 둘레의 길이) =EFÓ+FGÓ+GEÓ =8+6+8=22(cm) 22`cm00
42
∠DEG=∠FEG (접은 각) (②), ∠DEG=∠FGE (엇각) (①)이므로 ∠FEG=∠FGE (③) 따라서 △EFG는 FEÓ=FGÓ (⑤)인 이등변삼각형이다. ④00
43
∠DEG=∠FEG (접은 각), ∠DEG=∠FGE (엇각)이므로 ∠FEG=∠FGE 따라서 △EFG는 FEÓ=FGÓ인 이등변삼 각형이므로 ∠x= 12_(180ù-64ù)=58ù 58ù DN # $ 3 1 2 " DN # ' $ % " & ( DN " # & $ % ( ' " # ' ( $ % & Y ±00
44
∠ABC=∠CBD=70ù (접은 각), ∠ACB=∠CBD=70ù (엇각)이므로 ∠ABC=∠ACB=70ù 따라서 △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼 각형이다. 40% ∠BAC=180ù-2_70ù=40ù이므로 x=40 25% ABÓ=ACÓ=10(cm)이므로 y=10 25% ∴ x+y=40+10=50 10% 5000
45
ㄱ과 ㅂ : RHA 합동, ㄷ과 ㅁ : RHS 합동 ㄱ과 ㅂ, ㄷ과 ㅁ00
46
㈎ DEÓ ㈏ ∠B ㈐ ∠D ㈑ ASA00
47
① SAS 합동 ② RHS 합동 ③ ASA 합동 ④ RHA 합동
⑤
00
48
④ ∠EDF ④00
49
ㄱ. RHS 합동 ㄷ. SAS 합동 ㄹ. ASA 합동 ㅂ. ∠B=∠E이면 ∠A=90ù-∠B=90ù-∠E=∠D ∴ ASA 합동 ⑤00
50
△ABD와 △CAE에서 ABÓ=CAÓ, ∠BDA=∠AEC=90ù,∠DBA+∠DAB=90ù, ∠DAB+∠EAC=90ù이므로
∠DBA=∠EAC
따라서 △ABDª△CAE (RHA 합동)이므로 ADÓ=CEÓ=7(cm), AEÓ=BDÓ=5(cm) ∴ (사다리꼴 DBCE의 넓이) =12 _(5+7)_(7+5) =72(cmÛ`) 72`cmÛ`
00
51
㈎ 90 ㈏ CMÓ ㈐ ∠B ㈑ RHA00
52
△ABD와 △CAE에서∠BDA=∠AEC=90ù, ABÓ=CAÓ
Y± DN # % $ " ZDN ±
∠DBA+∠DAB=90ù, ∠DAB+∠EAC=90ù이므로
∠DBA=∠EAC
∴ △ABDª△CAE (RHA 합동) 60%
따라서 ADÓ=CEÓ=3(cm), AEÓ=BDÓ=6(cm)이므로
DEÓ=ADÓ+AEÓ=3+6=9(cm) 40% 9`cm
00
53
△ABD와 △CAE에서 ABÓ=CAÓ, ∠BDA=∠AEC=90ù ∠ABD=90ù-∠BAD=∠CAE따라서 △ABDª△CAE (RHA 합동)이므로 ADÓ=CEÓ=7(cm), AEÓ=BDÓ=3(cm) ∴ DEÓ=7-3=4(cm) 4`cm
00
54
△ADB와 △BEC에서 ABÓ=BCÓ, ∠ADB=∠BEC=90ù ∠DAB=90ù-∠ABD=∠EBC따라서 △ADBª△BEC (RHA 합동)이므로 BEÓ=ADÓ=6(cm), CEÓ=BDÓ=16-6=10(cm) ∴ △ABC =(사다리꼴 ADEC의 넓이)-2△ADB
= 12_(6+10)_16-2_{12 _6_10} =68(cmÛ`) 68`cmÛ`
00
55
△ABD와 △CAE에서 ABÓ=CAÓ, ∠ADB=∠CEA=90ù ∠DBA=90ù-∠DAB=∠EAC∴ △ABDª△CAE (RHA 합동) (③) 따라서 ∠DAB=∠ECA (①)이고 DAÓ=ECÓ=3, AEÓ=BDÓ=5 ∴ DEÓ=3+5=8 (④) ∴ (사다리꼴 DBCE의 넓이)=12 _(3+5)_8=32 (⑤) ② ∠DBA+∠EAC=90ù인지는 알 수 없다. ②
00
56
△BDM과 △CEM에서 BMÓ=CMÓ, ∠BDM=∠CEM=90ù ∠BMD=∠CME (맞꼭지각) 따라서 △BDMª△CEM (RHA 합동)이므로 BDÓ=CEÓ=5(cm)∴ △ABC =△ABM+△AMC
1. 삼각형의 성질
△ABD와 △AED에서
∠B=∠AED=90ù, ADÓ는 공통, ABÓ=AEÓ
따라서 △ABDª△AED (RHS 합동)이므로 ∠ADE=∠ADB=90ù-ù28ù=62ù
∴ ∠x=180ù-2_62ù=56ù 56ù
00
58
△BCE와 △BDE에서
∠BCE=∠BDE=90ù, BEÓ는 공통, BCÓ=BDÓ
따라서 △BCEª△BDE (RHS 합동) (③)
∠CBE=∠DBE (①), ∠CEB=∠DEB (②)
DEÓ=CEÓ (⑤) ④ ADÓ=DEÓ인지는 알 수 없다. ④
00
59
△BMD와 △CME에서 BMÓ=CMÓ, ∠BDM=∠CEM=90ù, MDÓ=MEÓ 따라서 △BMDª△CME (RHS 합동)이므로 ∠B=∠C ∴ ∠B= 12_(180ù-54ù)=63ù 63ù00
60
△AED와 △ACD에서∠AED=∠ACD=90ù, ADÓ는 공통, AEÓ=ACÓ이므로
△AEDª△ACD (RHS 합동) 30% 따라서 EDÓ=CDÓ, BEÓ=ABÓ-AEÓ=ABÓ-ACÓ=20-12=8(cm) 30% (△BDE의 둘레의 길이) =BDÓ+DEÓ+BEÓ =(BDÓ+DCÓ)+BEÓ =BCÓ+BEÓ =16+8=24(cm) 40% 24`cm
00
61
오른쪽 그림과 같이 점 D에서 ACÓ에 내린 수선의 발을 E라고 하면 △ABD와 △AED에서∠ABD=∠AED=90ù, ADÓ는 공통,
∠BAD=∠EAD
따라서 △ABDª△AED (RHA 합동) 이므로 DEÓ=DBÓ=3(cm) ∴ △ADC= 12 _10_3=15(cmÛ`) ②
00
62
⑤ RHS ⑤ # % $ " & DN DN △AOP와 △BOP에서APÓ=BPÓ, ∠OAP=∠OBP=90ù, OPÓ는 공통 따라서 △AOPª△BOP (RHS 합동)이므로 ∠OPB=∠OPA= 12_130ù=ù65ù
따라서 △POB에서 ∠POB=180ù-(90ù+65ù)=25ù 25ù
00
64
△ABD와 △AED에서
∠ABD=∠AED=90ù, ADÓ는 공통,
∠BAD=∠EAD
따라서 △ABDª△AED (RHA 합동)이므로 AEÓ=ABÓ=4(cm)
∴ ECÓ=7-4=3(cm) 3`cm
00
65
△ADE와 △ACE에서
DEÓ=CEÓ, ∠ADE=∠ACE=90ù, AEÓ는 공통이므로
△ADEª△ACE (RHS 합동) ∴ ∠DAE=∠CAE
△ADE와 △BDE에서
ADÓ=BDÓ, ∠ADE=∠BDE=90ù, DEÓ는 공통이므로
△ADEª△BDE (SAS 합동) ∴ ∠DAE=∠DBE 따라서 ∠B=∠DAE=∠CAE이므로 ∠B= 13_90ù=30ù 30ù
00
66
오른쪽 그림과 같이 점 D에서 ABÓ에 내린 수선 의 발을 E라고 하면 △AED와 △ACD에서 ∠AED=∠ACD=90ù, ADÓ는 공통, ∠EAD=∠CAD이므로△AEDª△ACD (RHA 합동) 50%
△ABD= 12_18_DEÓ=45이므로 DEÓ=5(cm) 30%
∴ CDÓ=EDÓ=5(cm) 20%
5`cm
00
67
△ABD와 △AED에서
∠ABD=∠AED=90ù, ADÓ는 공통,
∠BAD=∠EAD
따라서 △ABDª△AED (RHA 합동)이므로 EDÓ=BDÓ=10(cm) △EDC에서 ∠C=45ù이므로 ∠EDC=180ù-(90ù+45ù)=45ù 즉, △EDC는 직각이등변삼각형이므로 ECÓ=EDÓ=10(cm) ∴ △EDC= 12 _10_10=50(cmÛ`) 50`cmÛ` & DN " $ # %
00
73
ADÓ가 ∠A의 이등분선이므로 ADÓ⊥BCÓ이고 BDÓ=CDÓ이다.
△ADC= 12 _ACÓ_DEÓ= 12 _DCÓ_ADÓ이므로
1 2 _25_12=12 _DCÓ_20 ∴ DCÓ=15(cm) ∴ BCÓ=2DCÓ=2_15=30(cm) 30`cm
00
74
∠A=∠x라고 하면 △ACB에서 ∠BCA=∠A=∠x ∴ ∠CBD=∠x+∠x=2∠x △BCD에서 ∠CDB=∠CBD=2∠x △DAC에서 ∠DCE=∠x+2∠x=3∠x △DCE에서 ∠DEC=∠DCE=3∠x 따라서 △DAE에서 ∠x+3∠x=100ù이므로 4∠x=100ù ∴ ∠x=25ù 25ù00
75
△ABC에서 ∠ABC=∠C= 12 _(180ù-40ù)=70ù ∴ ∠DBC= 12∠ABC=12 _70ù=35ù 따라서 △BCD에서 ∠x=180ù-(35ù+70ù)=75ù 75ù00
76
∠ACD=∠x라고 하면 ∠BCD=∠ACD=∠x △DBC에서 ∠ADC=∠x+33ù △ADC에서 ∠A=∠ADC=∠x+33ù 따라서 (∠x+33ù)+(∠x+33ù)+∠x=180ù이므로 3∠x=114ù ∴ ∠x=38ù ∴ ∠A=∠x+33ù=38ù+33ù=71ù 71ù00
77
ABÓ=ACÓ이므로 ADÓ=DBÓ=AEÓ=ECÓ (①) △BCDª△CBE (SAS 합동)이므로 BEÓ=CDÓ (②), ∠DCB=∠EBC (④) 따라서 △OBC는 이등변삼각형이다. (⑤) ③00
78
△ABD는 이등변삼각형이므로 DBÓ=DAÓ=6(cm) ∠DBC=90ù-28ù=62ù △ABC에서 ∠ACB=180ù-(28ù+90ù)=62ù 따라서 △DBC는 이등변삼각형이므로 DCÓ=DBÓ=6(cm) 6`cm00
68
54ù00
69
③00
70
③00
71
102ù00
72
③00
73
30`cm00
74
25ù00
75
75ù00
76
71ù00
77
③00
78
6`cm00
79
5`cm00
80
9`cmÛ`00
81
44ù00
82
⑤00
83
2`cm00
84
53`cmÛ`00
85
6`cmÛ`00
86
④00
87
8`cmÛ`00
88
①00
89
12`cm00
90
149 본문 | 17 ~ 19 쪽실력
콕콕
00
68
△ABC에서 ∠C=∠B=∠x+36ù 2∠x+(∠x+36ù)+(∠x+36ù)=180ù이므로 4∠x=108ù ∴ ∠x=27ù ∴ ∠A=2∠x=2_27ù=54ù 54ù00
69
AEÓBCÓ이므로 ∠B=∠DAE=55ù (동위각) 따라서 △ABC에서 ∠C=∠B=55ù이므로 ∠x=180ù-2_55ù=70ù ③00
70
∠BDE=∠CDE=∠x라고 하면 △BED에서 ∠DBE=∠BDE=∠x △BCD에서 ∠x+2∠x+90ù=180ù, 3∠x=90ù ∴ ∠x=30ù 따라서 △DEC에서 ∠DEC=180ù-(30ù+90ù)=60ù ③00
71
∠BAD=∠x라고 하면 ∠BAC=3∠BAD=3∠x, ∠DAC=2∠BAD=2∠x △AEC에서 ∠ACE=180ù-(2∠x+90ù)=90ù-2∠x ∴ ∠ACD=(90ù-2∠x)+17ù=107ù-2∠x △ABC에서 ∠B=∠ACD=107ù-2∠x 3∠x+(107ù-2∠x)+(107ù-2∠x)=180ù이므로 214ù-∠x=180ù ∴ ∠x=34ù ∴ ∠BAC=3∠x=3_34ù=102ù 102ù00
72
ADÓ가 ∠A의 이등분선이므로 ADÓ⊥BCÓ이다. BDÓ= 12 BCÓ=12 _10=5(cm)
1. 삼각형의 성질
△ABC에서 ∠B=∠C이므로 두 직각삼각형 DBE와 FEC에서
∠D=90ù-∠B=90ù-∠C=∠CFE
이때 ∠AFD=∠CFE (맞꼭지각)이므로 ∠D=∠AFD
따라서 △AFD는 이등변삼각형이므로 ADÓ=AFÓ= 12 ACÓ=12 _10=5(cm) 5`cm
00
80
∠DEG=∠FEG (접은 각), ∠DEG=∠FGE (엇각)이므로 ∠FEG=∠FGE 따라서 △EFG는 FEÓÓ=FGÓ인 이등변삼각형이므로 FGÓ=FEÓ=6(cm) ∴ △EFG= 12 _FGÓ_ABÓ= 12 _6_3=9(cmÛ`) 9`cmÛ`00
81
∠A=∠x라고 하면 ∠DCE=∠A=∠x (접은 각) △ABC에서 ∠B=∠ACB=∠x+24ù 따라서 ∠x+(∠x+24ù)+(∠x+24ù)=180ù이므로 3∠x=132ù ∴ ∠x=44ù 44ù00
82
① RHS 합동 ② SAS 합동 ③ RHA 합동 ④ ASA 합동
⑤
00
83
△BMD와 △CME에서 BMÓ=CMÓ, ∠BDM=∠CEM=90ù, ∠B=∠C 따라서 △BMDª△CME (RHA 합동)이므로 EMÓ=DMÓ=2(cm) 2`cm00
84
△ADB와 △CEA에서 ABÓ=CAÓ, ∠ADB=∠CEA=90ù, ∠DBA=90ù-∠DAB=∠EAC따라서 △ADBª△CEA (RHA 합동)이므로 AEÓ=BDÓ=5(cm), ADÓ=CEÓ=9(cm)
∴ △ABC =(사다리꼴 DBCE의 넓이)-2△ADB
= 12_(5+9)_(9+5)-2_{12 _5_9}=53(cmÛ`) 53`cmÛ` " # ' ( $ % & DN DN △ABF와 △BCG에서 ABÓ=BCÓ, ∠AFB=∠BGC=90ù, ∠ABF=90ù-∠GBC=∠BCG 따라서 △ABFª△BCG (RHA 합동)이므로 BFÓ=CGÓ=4(cm), BGÓ=AFÓ=6(cm) 즉, FGÓ=BGÓ-BFÓ=6-4=2(cm)이므로 △AFG= 12 _2_6=6(cmÛ`) 6`cmÛ`
00
86
△AED와 △ACD에서AEÓ=ACÓ, ∠AED=∠ACD=90ù, ADÓ는 공통 따라서 △AEDª△ACD (RHS 합동)이므로
∠DAE=∠DAC=26ù
따라서 △ABC에서 ∠B=180ù-(90ù+26ù+26ù)=38ù ④
00
87
△ADE와 △ACE에서
ADÓ=ACÓ, ∠ADE=∠ACE=90ù, AEÓ는 공통 따라서 △ADEª△ACE (RHS 합동)이므로 DEÓ=CEÓ=4(cm) △BED에서 ∠B=45ù이므로 ∠BED=180ù-(90ù+45ù)=45ù 즉, △BED는 직각이등변삼각형이므로 BDÓ=EDÓ=4(cm) ∴ △BED= 12 _4_4=8(cmÛ`) 8`cmÛ`
00
88
△POA와 △POB에서∠PAO=∠PBO=90ù (⑤), OPÓ는 공통 (②),
PAÓ=PBÓ (④)이므로
△POAª△POB (RHS 합동) (③)
∴ ∠POA=∠POB ①
00
89
△AED와 △ACD에서
∠AED=∠ACD=90ù, ADÓ는 공통
∠EAD=∠CAD
따라서 △AEDª△ACD (RHA 합동)이므로 AEÓ=ACÓ=6(cm) ∴ BEÓÓ=10-6=4(cm) 이때 DEÓ=DCÓ이므로 (△BDE의 둘레의 길이) =BDÓ+DEÓ+BEÓ =(BDÓ+DCÓ)+BEÓ =BCÓ+BEÓ =8+4=12(cm) 12`cm
00
93
단계 1 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠B=∠C= 12_(180ù-40ù)=70ù 단계 2 △BED와 △CFE에서 BDÓ=CEÓ, ∠B=∠C, BEÓ=CFÓ이므로 △BEDª△CFE (SAS 합동) 단계 3 ∠x =180ù-(∠BED+∠CEF) =180ù-(∠BED+∠BDE) =∠B=70ù 70ù00
94
△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠B=∠C= 12_(180ù-56ù)=62ù 20% △BED와 △CFE에서 BDÓ=CEÓ, ∠B=∠C, BEÓ=CFÓ이므로 △BEDª△CFE (SAS 합동) 40% ∴ ∠x =180ù-(∠BED+∠CEF) =180ù-(∠BED+∠BDE) =∠B=62ù 40% 62ù00
95
단계 1 △ACB에서 BAÓ=BCÓ이므로 ∠BCA=∠A=∠x ∴ ∠CBD=∠x+∠x=2∠x 단계 2 △BCD에서 CBÓ=CDÓ이므로 ∠CDB=∠CBD=2∠x △ACD에서 ∠DCE=∠x+2∠x=3∠x 단계 3 △DCE에서 DCÓ=DEÓ이므로 ∠DEC=∠DCE=3∠x 따라서 3∠x=54ù이므로 ∠x=18ù ∴ ∠A=18ù 18ù00
96
∠A=∠x라고 하면 △ACB에서 BAÓ=BCÓ이므로 ∠BCA=∠A=∠x ∴ ∠CBD=∠x+∠x=2∠x 30% △BCD에서 CBÓ=CDÓ이므로 ∠CDB=∠CBD=2∠x △ACD에서 ∠DCE=∠x+2∠x=3∠x 30% △DCE에서 DCÓ=DEÓ이므로 ∠DEC=∠DCE=3∠x 따라서 3∠x=45ù이므로 ∠x=15ù ∴ ∠A=15ù 40% 15ù00
90
△ADE에서 ∠ADE=∠AED= 12 _(180ù-36ù)=72ù ∴ x=72 △GEC에서 ∠GEC=∠GCE= 12 _(180ù-108ù)=36ù ∴ ∠AEG=180ù-(72ù+36ù)=72ù ∴ y=72 이때 ∠AGE=180ù-108ù=72ù이므로 ∠AEG=∠AGE 따라서 △AEG는 AEÓ=AGÓ인 이등변삼각형이므로 AGÓ=AEÓ=5(m) ∴ z=5 ∴ x+y+z=72+72+5=149 14900
91
24ù00
92
15ù00
93
70ù00
94
62ù00
95
18ù00
96
15ù00
97
18`cm00
98
23`cm00
99
6`cm0
100
8`cm0
101
24`cmÛ`0
102
45`cmÛ` 본문 | 20 ~ 21 쪽서술형
콕콕
00
91
단계 1 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=∠C=68ù 단계 2 △BCD에서 BCÓ=BDÓ이므로 ∠BDC=∠C=68ù ∴ ∠DBC=180ù-2_68ù=44ù 단계 3 ∠x=68ù-44ù=24ù 24ù00
92
△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ACB=∠B=65ù 30% △BCD에서 BCÓ=DCÓ이므로 ∠CDB=∠B=65ù ∴ ∠DCB=180ù-2_65ù=50ù 50% ∴ ∠x=65ù-50ù=15ù 20% 15ù1. 삼각형의 성질 단계 1 ∠DEG=∠FEG (접은 각), ∠DEG=∠FGE (엇각)이므로 ∠FEG=∠FGE 따라서 △EFG는 이등변삼각형이 므로 FGÓ=EFÓ=5(cm) 단계 2 (△EFG의 둘레의 길이) =EFÓ+FGÓ+GEÓ =5+5+8=18(cm) 18`cm
00
98
∠FGB=∠FGE (접은 각), ∠FGB=∠EFG (엇각)이므로 ∠FGE=∠EFG 따라서 △EFG는 이등변삼각형이므로 EFÓ=EGÓ=7(cm) 80% ∴ (△EFG의 둘레의 길이) =EFÓ+FGÓ+GEÓ =7+9+7=23(cm) 20% 23`cm00
99
단계 1 △ABD와 △CAE에서∠BDA=∠AEC=90ù, ABÓ=CAÓ,
∠BAD=90ù-∠CAE=∠ACE
∴ △ABDª△CAE (RHA 합동)
단계 2 ADÓ=CEÓ=4(cm), AEÓ=BDÓ=10(cm) 단계 3 DEÓ=10-4=6(cm)
6`cm
0
100
△ABD와 △BCE에서
∠BDA=∠CEB=90ù, ABÓ=BCÓ,
∠ABD=90ù-∠EBC=∠BCE
∴ △ABDª△BCE (RHA 합동) 40%
따라서 BDÓ=CEÓ=5(cm), BEÓ=ADÓ=13(cm)이므로 40% DEÓ=13-5=8(cm) 20% 8`cm
0
101
단계 1 △AED와 △ACD에서∠AED=∠ACD=90ù, ADÓ는 공통,
∠EAD=∠CAD
∴ △AEDª△ACD (RHA 합동)
단계 2 DEÓ=DCÓ=4(cm)이므로 △ABD= 12 _12_4=24(cmÛ`) 24`cmÛ` ' # " & ( $ % DN DN ( $ % & " ' # DN DN " DN DN % # $ & 오른쪽 그림과 같이 점 D에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 E라고 하면 △BAD와 △BED에서 ∠BAD=∠BED=90ù, BDÓ는 공통, ∠ABD=∠EBD
∴ △BADª△BED (RHA 합동) 60%
따라서 DEÓ=DAÓ=6(cm)이므로 △BCD= 12 _15_6=45(cmÛ`) 40% 45`cmÛ` " # $ % DN DN &
Ⅰ. 삼각형의 성질
2
삼각형의 외심과 내심
개념
콕콕
본문 | 23 쪽0
103
⑴ 삼각형의 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같으므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ ⑵ 삼각형의 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이므로 BDÓ=ADÓ, BEÓ=CEÓ ⑶ ∠OCE=∠OBE, ∠OCF=∠OAF ⑷ △OBE와 △OCE에서OEÓ는 공통, ∠OEB=∠OEC=90ù, BEÓ=CEÓ이므로
△OBEª△OCE (SAS 합동)
⑴ ◯ ⑵ _ ⑶ _ ⑷ ◯
0
104
⑴ BDÓ=CDÓ=4(cm)이므로 x=4 ⑵ ∠OAB= 12_(180ù-110ù)=35ù이므로 x=35 ⑴ 4 ⑵ 350
105
⑴15ù+25ù+∠x=90ù이므로 ∠x=50ù ⑵ 20ù+∠x+34ù=90ù이므로 ∠x=36ù ⑶ ∠x=2_50ù=100ù ⑷ ∠x= 12_110ù=55ù ⑴ 50ù ⑵ 36ù ⑶ 100ù ⑷ 55ù0
106
⑵ 삼각형의 내심에서 세 변에 이르는 거리는 같으므로 IDÓ=IEÓ=IFÓ⑶ ∠IBE=∠IBD, ∠ICE=∠ICF
⑷ △IAD와 △IAF에서
IAÓ는 공통, ∠IDA=∠IFA=90ù, ∠IAD=∠IAF이므로
△IADª△IAF (RHA 합동)
⑴ _ ⑵ ◯ ⑶ _ ⑷ ◯
0
107
⑴ IFÓ=IEÓ=3(cm)이므로 x=3 ⑵ ∠IAC=∠IAB=22ù이므로 x=22 ⑴ 3 ⑵ 220
108
⑴ ∠x+24ù+30ù=90ù이므로 ∠x=36ù ⑵ ∠x=90ù+ 12_50ù=115ù ⑴ 36ù ⑵ 115ù0
109
⑴ AFÓ=ADÓ=9-5=4(cm)이므로 x=4 ⑵ AFÓ=ADÓ=7(cm)이므로 CFÓ=15-7=8(cm) 따라서 CEÓ=CFÓ=8(cm)이므로 x=8 ⑴ 4 ⑵ 80
110
③0
011
㈎ OBÓ ㈏ OCÓ ㈐ ∠OFC ㈑ RHS ㈒ CFÓ0
112
42`cm0
113
③0
114
36p`cmÛ`0
115
③0
116
10p`cm0
117
③0
118
15`cmÛ`0
119
12`cm0
120
130ù0
121
31ù0
122
③0
123
64ù0
124
132ù0
125
57ù0
126
192ù0
127
60ù0
128
②0
129
③0
130
①0
131
④0
132
25ù0
133
64ù0
134
24ù0
135
58ù0
136
7ù0
137
12ù0
138
195ù0
139
38ù0
140
130ù0
141
③0
142
2`cm0
143
36`cm0
144
1`cm0
145
24`cmÛ`0
146
5`cm0
147
36`cm0
148
8`cm0
149
11`cm0
150
23`cm0
151
5`cm0
152
12`cm0
153
25`cm0
154
27ù0
155
115ù0
156
36ù0
157
15ù0
158
28p`cm0
159
④0
160
24`cmÛ` 본문 | 24 ~ 30 쪽유형
콕콕
0
110
오른쪽 그림과 같이 OBÓ를 그으면 ∠OBA=∠OAB=45ù이므로 ∠OCB=∠OBC=70ù-45ù=25ù ③0
111
㈎ OBÓ ㈏ OCÓ ㈐ ∠OFC ㈑ RHS ㈒ CFÓ
0
112
(△ABC의 둘레의 길이)=2_(7+8+6)=42(cm) 42`cm "
# ± 0 $
2. 삼각형의 외심과 내심
③ OEÓ=OFÓ인지는 알 수 없다. ③
0
114
점 O가 △ABC의 외심이므로 OBÓ=OCÓ 20%
△OBC의 둘레의 길이가 20`cm이므로 OBÓ+BCÓ+OCÓ=20, 2 OBÓ+8=20 ∴ OBÓ=6(cm) 50% 따라서 △ABC의 외접원의 반지름의 길이는 6`cm이므로 (외접원의 넓이)=p_6Û`=36p(cmÛ`) 30% 36p`cmÛ`
0
115
∠OBC=∠x라고 하면 ∠OCB=∠OBC=∠x ∠OAB=∠OBA=∠x+45ù ∠OAC=∠OCA=∠x+15ù 따라서 △ABC에서 (∠x+45ù)+(∠x+15ù)+45ù+15ù=180ù 2∠x=60ù ∴ ∠x=30ù ③0
116
직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 (△ABC의 외접원의 반지름의 길이)= 12 ABÓ=12 _10=5(cm) ∴ (△ABC의 외접원의 둘레의 길이)=2p_5=10p(cm) 10p`cm0
117
점 O가 직각삼각형 ABC의 외심이므로 OAÓ= 12 BCÓ=12 _8=4(cm) ③0
118
점 O가 직각삼각형 ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ 40%
∴ △OBC = 12△ABC = 12_{12 _12_5}=15(cmÛ`) 60% 15`cmÛ`
0
119
오른쪽 그림과 같이 OBÓ를 긋고 직각삼각 형 ABC의 외심을 O라고 하면 OAÓ=OBÓ=OCÓ △OAB에서 ∠OBA =∠A=180ù-(90ù+30ù)=60ù ∴ ∠AOB=180ù-2_60ù=60ù 따라서 △OAB는 정삼각형이므로 OAÓ=OBÓ=ABÓ=6(cm) ± $ # " DN 0 ACÓ=OAÓ+OCÓ=6+6=12(cm) 12`cm0
120
30ù+∠OBC+35ù=90ù이므로 ∠OBC=25ù △OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 ∠BOC=180ù-2_25ù=130ù 130ù0
121
32ù+∠x+27ù=90ù이므로 ∠x=31ù 31ù0
122
33ù+∠OCD+25ù=90ù이므로 ∠OCD=32ù 따라서 △ODC에서 ∠x=180ù-(90ù+32ù)=58ù ③0
123
오른쪽 그림과 같이 OBÓ를 그으면 28ù+∠OBC+26ù=90ù이므로 ∠OBC=36ù △OAB에서 ∠OBA=∠OAB=28ù이므로 ∠B=28ù+36ù=64ù 64ù0
124
∠OAC=∠OCA=36ù이므로 ∠BAC=30ù+36ù=66ù
∴ ∠x=2∠BAC=2_66ù=132ù 132ù
0
125
△OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 ∠OCB=∠OBC=33ù ∠BOC=180ù-2_33ù=114ù ∴ ∠A= 12∠BOC=12 _114ù=57ù 57ù
0
126
오른쪽 그림과 같이 OBÓ를 그으면 ∠OBA=∠OAB=24ù, ∠OBC=∠OCB=40ù이므로 ∠x=24ù+40ù=64ù ∠y=2∠x=2_64ù=128ù ∴ ∠x+∠y=64ù+128ù=192ù 192ù0
127
∠BOC=360ù_5+4+3 =1204 ù 50% ∴ ∠BAC= 12∠BOC=12 _120ù=60ù 50% 60ù $ # " 0 ± ± Z $ # " 0 ± ± Y0
128
② BEÓ=CEÓ인지는 알 수 없다. ②0
129
삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선의 교점이다. ③0
130
IFÓ=IDÓ=3(cm)이므로 x=3 ∠ICE=∠ICF=28ù이므로 y=28∴ x+y=3+28=31 ①
0
131
④ RHS ④
0
132
∠IAB=∠IAC=∠x, ∠IBA=∠IBC=30ù
따라서 △IAB에서 ∠x=180ù-(125ù+30ù)=25ù 25ù
0
133
∠ABC=2∠IBC=2_28ù=56ù ∠ACB=2∠ICA=2_30ù=60ù 따라서 △ABC에서 ∠A=180ù-(56ù+60ù)=64ù 64ù0
134
오른쪽 그림과 같이 IAÓ를 그으면 ∠IAB= 12∠A=12 _68ù=34ù 따라서 34ù+∠x+32ù=90ù이므로 ∠x=24ù 24ù0
135
∠IBA+33ù+28ù=90ù이므로 ∠IBA=29ù ∴ ∠ABC=2∠IBA=2_29ù=58ù 58ù0
136
∠x=∠IAC=26ù 40% 26ù+∠y+∠31ù=90ù이므로 ∠y=33ù 40% ∴ ∠y-∠x=33ù-26ù=7ù 20% 7ù0
137
∠IAC+20ù+32ù=90ù이므로 ∠IAC=38ù ∠ICB=∠ICA=32ù이므로 △ADC에서 ∠DAC=180ù-(32ù+32ù+90ù)=26ù ∴ ∠IAD=38ù-26ù=12ù 12ù # $ " ± * ± Y0
138
∠IBC=∠IBA=32ù, ∠ICB=∠ICA=23ù
△IBC에서 ∠y=180ù-(32ù+23ù)=125ù 125ù=90ù+ 12∠x이므로 ∠x=70ù ∴ ∠x+∠y=70ù+125ù=195ù 195ù
0
139
128ù=90ù+ 12∠ABC이므로 ∠ABC=76ù ∴ ∠x= 12∠ABC=12 _76ù=38ù 38ù0
140
∠C=180ù_3+2+4 =804 ù이므로 ∠AIB=90ù+ 12∠C=90ù+12 _80ù=130ù 130ù0
141
△ABC에서 ∠BIC=90ù+ 12 ∠A=90ù+12 _40ù=110ù
△IBC에서 ∠BI'C=90ù+ 12 ∠BIC=90ù+12 _110ù=145ù
③
0
142
△ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 1 2 _r_(12+13+5)=30 ∴ r=2 따라서 △ABC의 내접원의 반지름의 길이는 2`cm이다. 2`cm0
143
1 2 _3_(ABÓ+BCÓ+CAÓ)=54이므로 ABÓ+BCÓ+CAÓ=36(cm) 따라서 △ABC의 둘레의 길이는 36`cm이다. 36`cm0
144
△ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 1 2 _r_(5+4+3)=12 _4_3 ∴ r=1 따라서 △ABC의 내접원의 반지름의 길이는 1`cm이다. 1`cm0
145
△ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 △ABC= 12 _r_(12+16+20)=24r(cmÛ`) 40% 이때 △ABC= 12 _16_12=96(cmÛ`)이므로 24r=962. 삼각형의 외심과 내심 ∴ △IAB= 12 _12_4=24(cmÛ`) 20% 24`cmÛ`
0
146
BDÓ=x`cm라고 하면 BEÓ=BDÓ=x(cm) AFÓ=ADÓ=9-x(cm), CFÓ=CEÓ=11-x(cm) 따라서 10=(9-x)+(11-x)이므로 2x=10 ∴ x=5 ∴ BDÓ=5(cm) 5`cm0
147
CFÓ=CEÓ=9(cm)이므로 ADÓ=AFÓ=12-9=3(cm) BDÓ=BEÓ=6(cm)이므로 ABÓ=3+6=9(cm) ∴ (△ABC의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+CAÓ =9+15+12=36(cm) 36`cm0
148
오른쪽 그림과 같이 직각삼각형 ABC의 내접원과 세 변 AB, BC, CA의 접점을 각각 D, E, F라고 하면 사각형 IECF는 정사각형이므로 CEÓ=CFÓ=IEÓ=2(cm) 40% ADÓ=AFÓ=6-2=4(cm)이므로 BEÓ=BDÓ=10-4=6(cm) 40% ∴ BCÓÓ=6+2=8(cm) 20% 8`cm0
149
(△ABC의 둘레의 길이) =2(ADÓ+BDÓ+CFÓ) =2(ABÓ+9)=40 따라서 ABÓ+9=20이므로 ABÓ=11(cm) 11`cm0
150
점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠DBI=∠IBC DEÓBCÓ이므로 ∠DIB=∠IBC (엇각)
따라서 ∠DBI=∠DIB이므로 △DBI는 DBÓ=DIÓ인 이등변삼각형 이다.
마찬가지 방법으로 △EIC는 ECÓ=EIÓ인 이등변삼각형이다.
∴ (△ADE의 둘레의 길이) =ADÓ+DEÓ+EAÓ =ADÓ+(DIÓ+IEÓ)+EAÓ =ADÓ+(DBÓ+ECÓ)+EAÓ =(ADÓ+DBÓ)+(ECÓ+EAÓ) =ABÓ+ACÓ =13+10=23(cm) 23`cm DN DN DN # $ " % ' & *
점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠DBI=∠IBC DEÓBCÓ이므로 ∠DIB=∠IBC (엇각)
따라서 ∠DBI=∠DIB이므로 △DBI는 DBÓ=DIÓ인 이등변삼각형
이다.
마찬가지 방법으로 △EIC는 ECÓ=EIÓ인 이등변삼각형이다. 따라서 DIÓ=DBÓ=8-6=2(cm), EIÓ=ECÓ=3(cm)이므로
DEÓ=2+3=5(cm) 5`cm
0
152
오른쪽 그림과 같이 BIÓ, CIÓ를 그으면 점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠DBI=∠IBC
DEÓBCÓ이므로 ∠DIB=∠IBC (엇각) 따라서 ∠DBI=∠DIB이므로 △DBI는
DBÓ=DIÓ인 이등변삼각형이다.
마찬가지 방법으로 △EIC는 ECÓ=EIÓ인 이등변삼각형이다.
∴ (△ADE의 둘레의 길이) =ADÓ+DEÓ+EAÓ =ADÓ+(DIÓ+IEÓ)+EAÓ =ADÓ+(DBÓ+ECÓ)+EAÓ =(ADÓ+DBÓ)+(ECÓ+EAÓ) =ABÓ+ACÓ=2ACÓ 따라서 2ACÓ=24이므로 ACÓ=12(cm) 12`cm
0
153
오른쪽 그림과 같이 BIÓ, CIÓ를 그으면 점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠DBI=∠IBC
DEÓBCÓ이므로 ∠DIB=∠IBC (엇각) 따라서 ∠DBI=∠DIB이므로 △DBI는
DBÓ=DIÓ인 이등변삼각형이다.
마찬가지 방법으로 △EIC는 ECÓ=EIÓ인 이등변
삼각형이다. ∴ (△ABC의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+CAÓ =(ADÓ+DBÓ)+BCÓ+(AEÓ+ECÓ) =ADÓ+DIÓ+BCÓ+AEÓ+EIÓ =ADÓ+(DIÓ+EIÓ)+BCÓ+AEÓ =(ADÓ+DEÓ+AEÓ)+BCÓ =18+7=25(cm) 25`cm
0
154
∠BOC=2∠A=2_42ù=84ù ∠BIC=90ù+ 12∠A=90ù+12 _42ù=111ù ∴ ∠BIC-∠BOC=111ù-84ù=27ù 27ù0
155
∠BOC=2∠A이므로 100ù=2∠A ∴ ∠A=50ù
∴ ∠BIC=90ù+ 12∠A=90ù+12 _50ù=115ù 115ù # $ " & % * # % & " $ * DN
0
156
117ù=90ù+ 12∠A이므로 ∠A=54ù 30%
∠BOC=2∠A=2_54ù=108ù 30%
이때 점 O는 △ABC의 외심이므로 OBÓ=OCÓ 따라서 △OBC에서 ∠OBC= 12_(180ù-108ù)=36ù 40% 36ù
0
157
∠BOC=2∠A=2_40ù=80ù △OBC에서 ∠OBC= 12 _(180ù-80ù)=50ù △ABC에서 ∠ABC= 12 _(180ù-40ù)=70ù이므로 ∠IBC= 12∠ABC=12 _70ù=35ù ∴ ∠x=50ù-35ù=15ù 15ù0
158
△ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R`cm라고 하면 R= 12 ACÓ=12 _20=10 즉, △ABC의 외접원의 둘레의 길이는 2p_10=20p(cm) △ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 1 2 _r_(12+16+20)=12 _16_12 ∴ r=4 즉, △ABC의 내접원의 둘레의 길이는 2p_4=8p(cm) 따라서 구하는 합은 20p+8p=28p(cm) 28p`cm0
159
△ABC의 외접원 O의 반지름의 길이를 R`cm라고 하면 R= 12 BCÓ=12 _10=5 즉, △ABC의 외접원 O의 넓이는 p_5Û`=25p(cmÛ`) △ABC의 내접원 I의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 1 2 _r_(8+10+6)=12 _6_8 ∴ r=2 즉, △ABC의 내접원 I의 넓이는 p_2Û`=4p(cmÛ`) ∴ (색칠한 부분의 넓이) =25p-4p=21p(cmÛ`) ④0
160
오른쪽 그림과 같이 △ABC의 세 변 AB, BC, CA와 내접원 I의 접점을 각각 D, E, F라 하고 BCÓ=x`cm, ACÓ=y`cm라고 하면 사각형 IECF는 정사각형이므로 CEÓ=CFÓ=IEÓ=2(cm) ∴ BDÓ=BEÓ=x-2(cm), ADÓ=AFÓ=y-2(cm) $ # " 0 % * ' & DN DN 이때 ABÓ=2 OBÓ=2_5=10(cm)이므로 (x-2)+(y-2)=10 ∴ x+y=14 ∴ △ABC = 12_2_(10+x+y) = 12_2_24=24(cmÛ`) 24`cmÛ`0
161
ㄱ, ㄹ0
162
8`cm0
163
100ù0
164
58ù0
165
18ù0
166
20ù0
167
70ù0
168
27p`cmÛ`0
169
③0
170
100ù0
171
②0
172
122ù0
173
192ù0
174
③0
175
84ù0
176
④0
177
9p`cmÛ`0
178
(4-p)`cmÛ`0
179
3`cm0
180
③0
181
4`cm0
182
116ù0
183
116p`cmÛ`0
184
② 본문 | 31 ~ 33 쪽실력
콕콕
0
161
ㄱ. ODÓ=OEÓ=OFÓ인지는 알 수 없다.ㄹ. ∠OCE=∠OBE, ∠OCF=∠OAF이지만
∠OCE=∠OCF인지는 알 수 없다. ㄱ, ㄹ
0
162
△ABC의 외접원의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 2pr=10p ∴ r=5 ∴ OAÓ=OBÓ=OCÓ=5(cm) △OBC의 둘레의 길이가 18`cm이므로 OBÓ+BCÓ+OCÓ=18 5+BCÓ+5=18 ∴ BCÓ=8(cm) 8`cm0
163
∠OAB=∠OBA=35ù+10ù=45ù ∠BAC=∠x라고 하면 ∠OCA=∠OAC=∠x-45ù △ABC에서 ∠x+35ù+(∠x-45ù-10ù)=180ù 2∠x=200ù ∴ ∠x=100ù 100ù0
164
점 M은 직각삼각형 ABC의 외심이므로 AMÓ=BMÓ=CMÓ ∠B= 12_(180ù-116ù)=32ù 따라서 △ABC에서 ∠A=180ù-(90ù+32ù)=58ù 58ù2. 삼각형의 외심과 내심 점 M은 직각삼각형 ABC의 외심이므로 MAÓ=MBÓ=MCÓ ∴ ∠MAC=∠C=36ù △AMC에서 ∠AMH=36ù+36ù=72ù 따라서 △AHM에서 ∠x=180ù-(90ù+72ù)=18ù 18ù
0
166
△OBC에서 ∠OCB= 12 _(180ù-106ù)=37ù 따라서 33ù+37ù+∠x=90ù이므로 ∠x=20ù 20ù0
167
∠OAB+∠OBC+∠OCA=90ù이므로 ∠OAB=90ù_4+3+2 =404 ù, ∠OBC=90ù_4+3+2 =303 ù △OAB에서 ∠OBA=∠OAB=40ù ∴ ∠ABC=40ù+30ù=70ù 70ù0
168
∠BOC=2∠A=2_60ù=120ù ∴ (부채꼴 BOC의 넓이) =p_9Û`_120360 =27p(cmÛ`) 27p`cmÛ`0
169
∠OBA=∠OAB=12ù이므로 ∠ABC=12ù+40ù=52ù
∴ ∠x=2∠ABC=2_52ù=104ù ③
0
170
△ABC의 외심 O가 BCÓ의 중점이므로 ∠BAC=90ù
△ABO에서 ∠OAB=∠B=40ù이므로 ∠OAC=90ù-40ù=50ù ∴ ∠x=2∠OAC=2_50ù=100ù 100ù
0
171
② 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이고, 둔각삼각형의 외심은 삼 각형의 외부에 있다. ②0
172
∠IBC=∠IBA=38ù, ∠ICB=∠ICA=20ù
따라서 △IBC에서
∠BIC=180ù-(38ù+20ù)=122ù 122ù
0
173
△BCE에서 ∠x= 12 ∠ABC+68ù
△ADC에서 ∠y= 12 ∠BAC+68ù
∠x+∠y ={ 12∠ABC+68ù}+{12 ∠BAC+68ù} = 12(∠BAC+∠ABC)+136ù
= 12_112ù+136ù=192ù 192ù
0
174
점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠IBA=∠IBC=20ù
∴ ∠x =90ù+ 12_40ù=110ù ③
0
175
∠BIC=360ù_9+11+10 =13211 ù이므로
132ù=90ù+ 12∠BAC ∴ ∠BAC=84ù 84ù
0
176
∠BI'C=90ù+ 12∠BIC이므로 148ù=90ù+12 ∠BIC ∴ ∠BIC=116ù ∠BIC=90ù+ 12∠A이므로 116ù=90ù+12 ∠x ∴ ∠x=52ù ④
0
177
△ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 1 2 _r_40=60 ∴ r=3 ∴ (내접원의 넓이)=p_3Û`=9p(cmÛ`) 9p`cmÛ`0
178
△ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 △ABC= 12 _r_(10+6+8)=12r(cmÛ`) 이때 △ABC= 12 _6_8=24(cmÛ`)이므로 12r=24 ∴ r=2 ∴ (색칠한 부분의 넓이)=2_2-p_2Û`_360 =4-p(90 cmÛ`) (4-p)`cmÛ`0
179
AFÓ=x`cm라고 하면 ADÓ=AFÓ=x(cm) BEÓ=BDÓ=9-x(cm), CEÓ=CFÓ=8-x(cm) 따라서 11=(9-x)+(8-x)이므로 2x=6 ∴ x=3 ∴ AFÓ=3(cm) 3`cm0
180
점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠DBI=∠IBC DEÓBCÓ이므로 ∠DIB=∠IBC (엇각) ∴ ∠DBI=∠DIB
따라서 △DBI는 DBÓ=DIÓ (①)인 이등변삼각형이다. 또, ∠ECI=∠ICB (④), ∠EIC=∠ICB (엇각)이므로
∠ECI=∠EIC (⑤) 따라서 △EIC는 EIÓ=ECÓ (②)인 이등변삼각형이다. ③ ∠IBC=∠ICB인지는 알 수 없다. ③
0
181
△ABC가 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로 ∠B=∠C이고, 점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠DBI=∠IBC=∠ECI=∠ICB즉, ∠IBC=∠ICB이므로 △IBC는 IBÓ=ICÓ인 이등변삼각형이다.
DEÓBCÓ이므로
∠DIB=∠IBC (엇각), ∠EIC=∠ICB (엇각)
따라서 △DBIª△ECI (ASA 합동)이므로 ECÓ=DBÓ=8-6=2(cm) ∴ DEÓ=DIÓ+EIÓ=DBÓ+ECÓ=2+2=4(cm) 4`cm
0
182
△OBC에서 ∠BOC=180ù-2_38ù=104ù ∠A= 12∠BOC=12 _104ù=52ù ∴ ∠BIC=90ù+ 12∠A=90ù+12 _52ù=116ù 116ù0
183
△ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R`cm라고 하면 R= 12 ABÓ=12 _20=10 즉, △ABC의 외접원의 넓이는 p_10Û`=100p(cmÛ`) △ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 1 2 _r_(20+12+16)=12 _12_16 ∴ r=4 즉, △ABC의 내접원의 넓이는 p_4Û`=16p(cmÛ`) 따라서 구하는 합은 100p+16p=116p(cmÛ`) 116p`cmÛ`0
184
원의 중심은 원 위의 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 외심이다. ② DN DN * $ & % # "0
185
80ù0
186
72ù0
187
58ù0
188
50ù0
189
210ù0
190
216ù0
191
8`cm0
192
10`cm0
193
12`cm0
194
8`cm0
195
150ù0
196
120ù 본문 | 34 ~ 35 쪽서술형
콕콕
0
185
단계 1 ∠BAM=90ù_ 55+4 =50ù 단계 2 점 M은 △ABC의 외심이므로 MAÓ=MBÓ=MCÓ 즉, △ABM은 MAÓ=MBÓ인 이등변삼각형이므로 ∠ABM=∠BAM=50ù 단계 3 △ABM에서 ∠AMB=180ù-2_50ù=80ù 80ù0
186
∠MCA=90ù_ 33+2 =54ù 30% 점 M은 △ABC의 외심이므로 MAÓ=MBÓ=MCÓ 즉, △AMC는 MAÓ=MCÓ인 이등변삼각형이므로 ∠MAC=∠MCA=54ù 40% 따라서 △AMC에서 ∠AMC=180ù-2_54ù=72ù 30% 72ù0
187
단계 1 ∠OAB+32ù+16ù=90ù이므로 ∠OAB=42ù 단계 2 △OCA에서 ∠OAC=∠OCA=16ù 단계 3 ∠BAC=42ù+16ù=58ù 58ù0
188
40ù+∠OCB+22ù=90ù이므로 ∠OCB=28ù 40% △OCA에서 ∠OCA=∠OAC=22ù 30% ∴ ∠ACB=28ù+22ù=50ù 30% 50ù0
189
단계 1 ∠IBC=∠IBA=24ù이므로 △IBC에서 ∠y=180ù-(24ù+26ù)=130ù 단계 2 130ù=90ù+ 12∠x이므로 ∠x=80ù 단계 3 ∠x+∠y=80ù+130ù=210ù 210ù0
190
∠IBA=∠IBC=28ù이므로 △IAB에서 ∠y=180ù-(20ù+28ù)=132ù 40% 132ù=90ù+ 12 ∠x이므로 ∠x=84ù 40% ∴ ∠x+∠y=84ù+132ù=216ù 20% 216ù2. 삼각형의 외심과 내심 단계 1 AFÓ=ADÓ=ABÓ-BDÓ=13-7=6(cm) 단계 2 BEÓ=BDÓ=7(cm)이므로 CFÓ=CEÓ=BCÓ-BEÓ=9-7=2(cm) 단계 3 ACÓ=AFÓ+CFÓ=6+2=8(cm) 8`cm
0
192
CEÓ=CFÓ=ACÓ-AFÓ=10-4=6(cm) 40% ADÓ=AFÓ=4(cm)이므로 BEÓ=BDÓ=ABÓ-ADÓ=8-4=4(cm) 40% ∴ BCÓ=BEÓ+CEÓ=4+6=10(cm) 20% 10`cm0
193
단계 1 오른쪽 그림과 같이 IFÓ를 그으 면 사각형 IECF는 정사각형이 므로 CEÓ=CFÓ=IEÓ=2(cm) 단계 2 ADÓ =AFÓ=ACÓ-CFÓ =5-2=3(cm)이므로 BEÓ=BDÓ=ABÓ-ADÓ=13-3=10(cm) 단계 3 BCÓ=BEÓ+CEÓ=10+2=12(cm) 12`cm0
194
오른쪽 그림과 같이 IFÓ를 그으면 사각 형 ADIF는 정사각형이므로 ADÓ=AFÓ=IDÓ=3(cm) 40% CEÓ =CFÓ=ACÓ-AFÓ =15-3=12(cm)이므로 BDÓ=BEÓ=BCÓ-CEÓ=17-12=5(cm) 40% ∴ ABÓ=ADÓ+BDÓ=3+5=8(cm) 20% 8`cm0
195
단계 1 △ABC에서 ∠ACB=180ù-(70ù+90ù)=20ù 점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠ICB= 12∠ACB=12 _20ù=10ù단계 2 점 O가 △ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ 즉, △OBC는 OBÓ=OCÓ인 이등변삼각형이므로 ∠OBC=∠OCB=20ù 단계 3 △PBC에서 ∠BPC=180ù-(20ù+10ù)=150ù 150ù DN DN % " $ ' & * # DN & # $ ' " % * DN DN DN △ABC에서 ∠ABC=180ù-(50ù+90ù)=40ù 점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠IBC= 12∠ABC=12 _40ù=20ù 40%
점 O가 △ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ 즉, △OBC는 OBÓ=OCÓ인 이등변삼각형이므로
∠OCB=∠OBC=40ù 40%
따라서 △PBC에서
∠BPC=180ù-(20ù+40ù)=120ù 20%
Ⅱ. 사각형의 성질
1
사각형의 성질
개념
콕콕
본문 | 39 쪽0
197
⑴ ADÓBCÓ이므로 ∠x=∠ADB=30ù (엇각), ∠y=∠DAC=50ù (엇각) ⑵ ∠x=∠D=75ù, ∠y=180ù-75ù=105ù ⑶ ∠x=180ù-110ù=70ù, ∠y=∠A=110ù ⑷ ADÓBCÓ이므로 ∠x=∠ADB=26ù (엇각) △ABD에서 ∠A=∠C=120ù이므로 ∠y=180ù-(120ù+26ù)=34ù ⑴ ∠x=30ù, ∠y=50ù ⑵ ∠x=75ù, ∠y=105ù ⑶ ∠x=70ù, ∠y=110ù ⑷ ∠x=26ù, ∠y=34ù0
198
⑴ ADÓ=BCÓ=7(cm), CDÓ=ABÓ=5(cm) ∴ x=7, y=5⑵ OAÓ=;2!; ACÓ=;2!;_6=3(cm), ODÓ=OBÓ=4(cm) ∴ x=3, y=4
⑴ x=7, y=5 ⑵ x=3, y=4
0
199
⑶ ∠ABD와 ∠ADB의 크기가 같은지는 알 수 없다.
⑸△OAB와 △OCD에서
OAÓ=OCÓ, OBÓ=ODÓ, ∠AOB=∠COD (맞꼭지각)
∴ △OABª△OCD (SAS 합동)
⑴ _ ⑵ ◯ ⑶ _ ⑷ ◯ ⑸ ◯
0
200
⑴ DCÓ, BCÓ ⑵ DCÓ, BCÓ ⑶ ∠BAD, ∠ABC ⑷ OCÓ, ODÓ ⑸ ABÓ, ABÓ ⑹ ADÓ, ADÓ
0
201
⑴△BCD=;2!; ABCD=4(cmÛ`) ⑵△ABO=;4!; ABCD=2(cmÛ`) ⑶△PDA+△PBC=;2!; ABCD=4(cmÛ`) ⑷△PAB+△PCD=;2!; ABCD=4(cmÛ`) ⑴ 4`cmÛ` ⑵ 2`cmÛ` ⑶ 4`cmÛ` ⑷ 4`cmÛ`0
202
⑴△ABO=△AOD=3(cmÛ`) ⑵△BCD=2△AOD=2_3=6(cmÛ`) ⑶ ABCD=4△AOD=4_3=12(cmÛ`) ⑴ 3`cmÛ` ⑵ 6`cmÛ` ⑶ 12`cmÛ`0
203
④0
204
③0
205
④0
206
②0
207
㈎ ∠D ㈏ ∠B ㈐ ∠C0
208
④, ⑤0
209
x=10, y=1000
210
85ù0
211
③0
212
140
213
②0
214
⑤0
215
80
216
2`cm0
217
⑤0
218
20`cm0
219
④0
220
90ù0
221
130ù0
222
125ù0
223
③0
224
45ù0
225
②0
226
120ù0
227
④0
228
②0
229
⑤0
230
㈎ CDÓ ㈏ ACÓ ㈐ SSS ㈑ ∠DCA ㈒ DCÓ0
231
㈎ 360 ㈏ 180 ㈐ ∠B ㈑ ADÓ0
232
③0
233
③0
234
⑤0
235
⑤0
236
100
237
∠x=45ù, ∠y=70ù0
238
60
239
②0
240
⑤0
241
㈎ DFÓ ㈏ ABÓ ㈐ DCÓ0
242
③0
243
④0
244
⑴ ㄹ ⑵ ㅁ ⑶ ㅁ0
245
②0
246
④0
247
28`cm0
248
②0
249
21`cm0
250
9`cmÛ`0
251
20`cmÛ`0
252
52`cmÛ`0
253
12`cmÛ`0
254
44`cmÛ`0
255
7`cmÛ`0
256
8`cmÛ`0
257
8`cmÛ` 본문 | 40 ~ 48 쪽유형
콕콕
0
203
ABÓDCÓ이므로 ∠ABD=∠BDC=28ù (엇각) △ABO에서 ∠x=28ù+65ù=93ù ④0
204
55ù+∠A=180ù이므로 ∠A=125ù △AED에서 ∠x=180ù-(125ù+25ù)=30ù ③0
205
ABÓDCÓ이므로 ∠ABD=∠BDC=46ù (엇각) △ABC에서 ∠x+(46ù+28ù)+∠y=180ù ∴ ∠x+∠y=106ù ④1. 사각형의 성질 ② ∠DAC ②
0
207
㈎ ∠D ㈏ ∠B ㈐ ∠C0
208
① ABÓ=DCÓ=7(cm) ② OBÓ=;2!; BDÓ=;2!;_12=6(cm) ③ ∠BAD=∠BCD=120ù ④ ∠ABC+∠BCD=180ù이므로 ∠ABC=180ù-120ù=60ù ⑤ △ABO와 △BCO는 합동이 아니다.△ABO와 △CDO에서 OAÓ=OCÓ, OBÓ=ODÓ, ∠AOB=∠COD (맞꼭지각)이므로
△ABOª△CDO (SAS 합동) 마찬가지 방법으로
△BCOª△DAO (SAS 합동) ④, ⑤
0
209
BCÓ=ADÓ=10(cm) ∴ x=10
∠C=∠A=100ù ∴ y=100 x=10, y=100
0
210
△ACD에서 ∠D=180ù-(35ù+60ù)=85ù ∴ ∠B=∠D=85ù 85ù0
211
ADÓ=BCÓ이므로 x+2=4x-4, -3x=-6 ∴ x=2 ∴ ABÓ=DCÓ=3x-1=3_2-1=5 ③0
212
ABÓ=DCÓ이므로 3x-8=x+4, 2x=12 ∴ x=6 40% OCÓ=2x-5=2_6-5=7 20% ∴ ACÓ=2 OCÓ=2_7=14 40% 140
213
ABÓ=DCÓ, ADÓ=BCÓ이므로 ( ABCD의 둘레의 길이) =2(ABÓ+ADÓ)=2(5+ADÓ) =10+2ADÓ=24 2ADÓ=14 ∴ ADÓ=7(cm) ②0
214
⑤ ∠BAD=∠BCD, ∠ABC=∠ADC ⑤ OAÓ=OCÓ이므로 2x+1=9 2x=8 ∴ x=4 ODÓ=;2!; BDÓ=;2!;_24=12이므로 3y=12 ∴ y=4 ∴ x+y=4+4=8 80
216
ABÓECÓ이므로 ∠CEB=∠ABE (엇각) ∴ ∠CEB=∠CBE △CEB는 이등변삼각형이므로 CEÓ=CBÓ=6(cm) DCÓ=ABÓ=4(cm)이므로 DEÓ=CEÓ-DCÓ=6-4=2(cm) 2`cm0
217
△ABE와 △FCE에서 ABÓDFÓ이므로 ∠ABE=∠FCE (엇각) ∠AEB=∠FEC (맞꼭지각), BEÓ=CEÓ∴ △ABEª△FCE (ASA 합동) ∴ FCÓ=ABÓ=6(cm) 또, DCÓ=ABÓ=6(cm)이므로 DFÓ=DCÓ+CFÓ=6+6=12(cm) ⑤
0
218
ABÓEFÓ이므로 ∠DEA=∠BAE (엇각) ∴ ∠DAE=∠DEA △DAE는 이등변삼각형이므로 DEÓ=DAÓ=14(cm) ABÓEFÓ이므로 ∠CFB=∠ABF (엇각) ∴ ∠CFB=∠CBF △CFB는 이등변삼각형이므로 CFÓ=CBÓ=14(cm) 따라서 DCÓ=ABÓ=8(cm)이므로 EFÓ=DEÓ+CFÓ-DCÓ=14+14-8=20(cm) 20`cm0
219
∠A+∠B=180ù이고 ∠A`:`∠B=7`:`5이므로 ∠B=180ù_ 5 12 =75ù ∴ ∠D=∠B=75ù ④0
220
∠A+∠B=180ù이므로 ∠x=180ù-65ù=115ù ∠C=∠x=115ù이므로 △DEC에서 ∠y=180ù-(40ù+115ù)=25ù ∴ ∠x-∠y=115ù-25ù=90ù 90ù0
221
∠DAB+∠B=180ù이고 ∠DAB`:`∠B=5`:`4이므로 ∠B=180ù_ 4 9 =80ù 40% △ABE에서 ∠AEB= 1 2 _(180ù-80ù)=50ù 30% ∴ ∠AEC=180ù-50ù=130ù 30% 130ù0
222
∠DAB=∠C=110ù이므로 ∠DAE= 1 2 ∠DAB= 1 2 _110ù=55ù ADÓBCÓ이므로 ∠AEB=∠DAE=55ù (엇각) ∴ ∠AEC=180ù-55ù=125ù 125ù0
223
∠ADC=∠B=54ù이고 ∠ADE`:`∠EDC=2`:`1이므로 ∠ADE=54ù_ 2 3 =36ù ADÓBCÓ이므로 ∠DEC=∠ADE=36ù (엇각) ∴ ∠AEB=180ù-(70ù+36ù)=74ù ③0
224
ADÓBEÓ이므로 ∠DAE=∠E=30ù (엇각) 20% ∴ ∠DAC=2∠DAE=2_30ù=60ù 30% 이때 ∠D=∠B=75ù이므로 20% △ACD에서 ∠ACD=180ù-(60ù+75ù)=45ù 30% 45ù0
225
∠A+∠ABC=180ù이므로 ∠ABC=180ù-118ù=62ù
∴ ∠FBC= 1 2 ∠ABC= 1 2 _62ù=31ù △FBC에서 ∠FCB=180ù-(90ù+31ù)=59ù 이때 ∠BCD=∠A=118ù이므로 ∠FCE=118ù-59ù=59ù ②
0
226
ADÓBCÓ이므로 ∠FBE=∠AFB=180ù-150ù=30ù (엇각) ∴ ∠ABC=2∠FBE=2_30ù=60ù∠DAB+∠ABC=180ù이므로 ∠DAB=180ù-60ù=120ù
∴ ∠BAE= 1 2 ∠DAB= 1 2 _120ù=60ù 따라서 △ABE에서 ∠AEC=60ù+60ù=120ù 120ù
0
227
OBÓÓ= 1 2 BDÓ= 1 2 _20=10(cm) OCÓ= 1 2ACÓ= 1 2 _22=11(cm) ∴ (△OBC의 둘레의 길이) =OBÓ+BCÓ+COÓ =10+18+11=39(cm) ④0
228
△AOP와 △COQ에서 OAÓ=OCÓ (①), ∠PAO=∠QCO (엇각), ∠AOP=∠COQ (맞꼭지각)이므로△AOPª△COQ (ASA 합동) (④)
∴ OPÓ=OQÓ (③), APÓ=CQÓ (⑤) ②
0
229
△EOD와 △FOB에서
ADÓBCÓ이므로 ∠EDO=∠FBO (엇각) ∠EOD=∠FOB (맞꼭지각), ODÓ=OBÓ=9(cm)
∴ △EODª△FOB`(ASA 합동)
OEÓ=OFÓ= 1 2 EFÓ= 1 2_12=6(cm), EDÓ=FBÓ=7(cm) ∴ (△ODE의 둘레의 길이) =ODÓ+DEÓ+EOÓ =9+7+6=22(cm) ⑤
0
230
㈎ CDÓ ㈏ ACÓ ㈐ SSS ㈑ ∠DCA ㈒ DCÓ0
231
㈎ 360 ㈏ 180 ㈐ ∠B ㈑ ADÓ0
232
③ ∠OCD ③0
233
③0
234
① ∠BAD=∠BCD, ∠ABC=∠ADC이므로 평행사변형이다.② OAÓ=OCÓ, OBÓ=ODÓ이므로 평행사변형이다.
③ ∠BAD+∠ABC=180ù이므로 ADÓBCÓ이고 ABÓDCÓ이므로 평행사변형이다. ④ ABÓDCÓ, ABÓ=DCÓ이므로 평행사변형이다. ⑤
0
235
① ABÓ=DCÓ, ADÓ=BCÓ이므로 평행사변형이다. ② ∠A=∠C, ∠B=∠D이므로 평행사변형이다.③ OAÓ=OCÓ, OBÓ=ODÓ이므로 평행사변형이다.
④ ∠C+∠D=180ù이므로 ADÓBCÓ이고