02
중2 (2학기 기말고사)001
답 ⑴ 점 F ⑵ DFÓ ⑶ ∠B002
모든 원과 변의 개수가 같은 모든 정다각형끼리는 각각 항 상 닮음이다. 따라서 항상 닮은 도형인 것은 ㄱ, ㄷ, ㅂ이 다. 답 ②003
①의 두 정팔면체와 ⑤의 두 구는 항상 닮음인 입체도형이 다. ② 두 원뿔은 밑면의 반지름의 길 이의 비와 높이의 비가 서로 다 를 수 있으므로 항상 닮은 도형 이 아니다. ③ 두 원기둥은 밑면의 반지름의 길 이의 비와 높이의 비가 서로 다 를 수 있으므로 항상 닮은 도형 이 아니다. ④ 두 직육면체는 밑면의 가로의 길 이의 비와 세로의 길이의 비, 높 이의 비가 서로 다를 수 있으므로 항상 닮은 도형이 아니다. 답①, ⑤ 포인트 다음 도형은 항상 닮음이다. ⑴ 두 원 ⑵ 두 직각이등변삼각형 ⑶ 두 정 n각형(n¾3) ⑷ 중심각의 크기가 같은 두 부채꼴 ⑸ 두 구 ⑹ 면의 개수가 같은 두 정다면체004
③ 두 원뿔은 항상 닮은 도형이 아니다. ⑤ 두 직사각형은 가로의 길이의 비 와 세로의 길이의 비가 서로 다 를 수 있으므로 항상 닮은 도형 이 아니다. 답③, ⑤005
② " # $ % & ' ± ±± ± ± ± 위 그림과 같이 ∠B=∠D인 이등변삼각형 ABC와 이 등변삼각형 DEF는 닮은 도형이 아니다. ③ 중심각과 호의 길이가 같은 두 부채꼴은 합동이므로 닮 은 도형이다. ④ 두 직각삼각형에서 한 예각의 크기가 같으면 세 내각의1
도형의 닮음
본문 008~022쪽 크기가 각각 같으므로 닮은 도형이다. 답 ②006
⑴ ABÓ와 DEÓ는 대응하는 변이므로 ABÓ：DEÓ=9：6=3：2 ⑵ BCÓ와 EFÓ는 대응하는 변이므로 12：EFÓ=3：2 ∴ EFÓ=8`(cm) ⑶ ∠E와 ∠B는 대응하는 각이므로 ∠E=∠B=60ù 답 ⑴ 3：2 ⑵ 8`cm ⑶ 60ù007
ABÓ：AÕ'B'Ó=4：8=1：2이므로 ABCD와 A'B'C'D'의 닮음비는 1：2이다. 답 ②008
ACÓ：CEÓ=ABÓ：CDÓ=BCÓ：DEÓ=3：2이므로 △ABC와 △CDE의 닮음비는 3：2이다. 답 ②009
① 닮음비는 대응하는 변의 길이의 비이고, BCÓ에 대응하는 변은 BÕ'C'Ó이므로 BCÓ：BÕ'C'Ó=9：6=3：2 ② 닮음비가 3：2이므로 3：2=ABÓ：4, 2ABÓ=12 ∴ ABÓ=6`(cm) ③ 닮은 도형의 대응하는 각의 크기는 같으므로 ∠A'=∠A=72ù, ∠D=∠D'=85ù ④ ADÓ：AÕ'D'Ó=3：2에서 12：AÕ'D'Ó=3：2, 3AÕ'D'Ó=24 ∴ AÕ'D'Ó=8`(cm) ⑤ 닮음비가 3：2이므로 DCÓ：DÕ'C'Ó=3：2 답 ④010
BCÓ：BÕ'C'Ó=ABÓ：AÕ'B'Ó이므로 1500：3=ABÓ：7 3ABÓ=10500 ∴ ABÓ=3500`(cm) 따라서 실제 호수의 너비는 35`m이다. 답 ④011
⑴ BCÓ와 BÕ'C'Ó은 대응하는 변이므로 BCÓÓ：BÕ'C'Ó=8：6=4：3 ⑵ 면 B'E'F'C' ⑶ 12：x=4：3에서 4x=36 ∴ x=9` ∠A'B'C'과 ∠ABC는 대응하는 각이고 ∠ABC=50ù 이므로 y=50 답 ⑴ 4：3 ⑵ 면 B'E'F'C' ⑶ x=9, y=50012
두 직육면체의 닮음비가 8：16=1：2이므로 1：2=x：12, 2x=12 ∴ x=6 한편, 1：2=12：y ∴ y=24 ∴ x+y=6+24=30 답30013
큰 원뿔의 높이를 h`cm라 하면 중학2-2기말(01~09)해답1단원.indd 2 2020-10-22 11:46:321. 도형의 닮음
03
작은 원뿔과 큰 원뿔의 닮음비가 4：6=2：3이므로 2：3=7：h, 2h=21 ∴ h=:ª2Á:`(cm) 답 ⑤014
두 원기둥은 닮은 도형이므로 밑면의 반지름의 길이의 비와 높이의 비가 각각 같다. 3：4.5=5：x, 3x=22.5 ∴ x=7.5 답7.5015
물이 채워진 부분과 그릇은 닮은 도형이고 그릇의 높이의 ;3!;만큼 물을 채웠으므로 닮음비는 1：3 수면의 반지름의 길이가 x`cm이므로 1：3=x：6, 3x=6 ∴ x=2 답 ③ 포인트 닮은 두 원기둥, 원뿔의 닮음비 높이의 비 밑면의 반지름의 길이의 비 밑면의 둘레의 길이의 비016
① 닮은 도형은 대응하는 두 각의 크기가 서로 같으므로 ∠B=∠E=50ù이다. ② 닮음비는 대응하는 변의 길이의 비이므로 ABÓ：DEÓ=4：6=2：3 ③ 대응하는 변의 길이의 비는 일정하므로 ACÓ：DFÓ=2：3 ④ 닮음비가 2：3이므로 넓이의 비는 2Û`：3Û`=4：9 ⑤ ∠F=∠C=180ù-(60ù+50ù)=70ù 답 ④017
닮음비가 ACÓ：DFÓ=2：5이므로 넓이의 비는 △ABC：△DEF=2Û`：5Û`=4：25 ∴ △DEF=:ª4°:△ABC=:ª4°:_20=125`(cmÛ`) 답125`cmÛ`018
ABCD와 EFGH의 닮음비가 3：4이므로 두 직사각형의 넓이의 비는 3Û`：4Û`=9：16이다. 답 ③019
△ABC와 △DEF의 닮음비는 OAÓ：ODÓ와 같다. 따라서 닮음비가 2：3이므로 넓이의 비는 2Û`：3Û`=4：9 답 ③020
원 O의 둘레의 길이가 6p`cm이므로 반지름의 길이는 3`cm이다. 따라서 원 O의 넓이는 p_3Û`=9p`(cmÛ`) 원 O'의 넓이를 S라 하면 9p：S=3Û`：2Û`=9：4, 9S=36p ∴ S=4p`(cmÛ`) 답 ④021
두 정사각형은 항상 닮은 도형이므로 닮음비는 5：15=1：3 따라서 넓이의 비는 1Û`：3Û`=1：9 따라서 한 변의 길이가 15`cm인 종이를 칠하는 데 드는 물감의 양은 한 변의 길이가 5`cm인 종이를 칠하는 데 드 는 물감의 양의 9배의 물감이 필요하다. 답④022
물이 만드는 작은 원뿔과 원뿔 모양의 그릇의 큰 원뿔은 서로 닮은 도형이고, 닮음비는 10：20=1：2이므로 넓이 의 비는 1Û`：2Û`=1：4 따라서 수면의 넓이를 S라 하면 S：p_6Û`=1：4, 4S=36p ∴ S=9p`(cmÛ`) 답③023
전등부터 원판까지의 빛의 영역인 원뿔 모양과 전등부터 그림자까지의 빛의 영역인 원뿔 모양이 닮은 도형이므로 원뿔의 밑면인 원판과 그 그림자도 닮은 도형이다. 원뿔의 높이의 비가 1：2이므로 원판과 그림자의 닮음비도 1：2이고, 넓이의 비는 1Û`：2Û`=1：4이다. 따라서 (원판의 넓이)=p_4Û`=16p`(cmÛ`)이므로 1：4=16p：(그림자의 넓이) ∴ (그림자의 넓이)=64p`(cmÛ`) 답64p`cmÛ`024
두 원뿔 P, Q의 닮음비는 4：10=2：5이다. ① (밑넓이의 비)=2Û`：5Û`=4：25 ② (옆넓이의 비)=2Û`：5Û`=4：25 ③ (밑면의 둘레의 비)=2：5 ④ (모선의 길이의 비)=2：5 ⑤ (부피의 비)=2Ü`：5Ü`=8：125 답③025
A와 B의 닮음비는 3：4이므로 부피의 비는 3Ü`：4Ü`=27：64 B의 부피를 V라 하면 27：64=81：V, 27V=64_81 ∴ V=192`(cmÜ`) 답④026
두 원기둥의 닮음비가 2：5이므로 두 원기둥의 부피의 비는 2Ü`：5Ü`=8：125 큰 원기둥의 부피를 V라 하면 24：V=8：125, 8V=24_125 ∴ V=375`(cmÜ`) 답⑤027
두 입체도형 P, Q의 겉넓이의 비는 16：36=4：9=2Û`：3Û`이므로 두 입체도형 P, Q의 닮음비는 2：3이다. 따라서 두 입체도형의 부피의 비는 2Ü`：3Ü`=8：27 중학2-2기말(01~09)해답1단원.indd 3 2020-10-22 11:46:3704
중2 (2학기 기말고사) BCÓ：ACÓ=ACÓ：DCÓ이므로 6：3=3：x, 6x=9 ∴ x=;2#; 답 ②034
△ABC와 △AED에서 ∠ACB=∠ADE, ∠A는 공통이므로 △ABC»△AED (AA 닮음) 따라서 닮음비는 ACÓ：ADÓ=6：3=2：1 답 ②035
△ABD와 △ACB에서 ∠C=∠ABD, ∠A는 공통이므로 △ABD»△ACB (AA 닮음) 따라서 닮음비는 ADÓ：ABÓ=4：6=2：3이므로 넓이의 비는 2Û`：3Û`=4：9 ∴ △ABD：△DBC=4：(9-4)=4：5 답 ③036
⑴ AÕHÓ Û`=BHÓ_CHÓ이므로 36=x_9 ∴ x=4 ⑵ ABÓ Û`=BHÓ_BCÓ이므로 xÛ`=3_12, xÛ`=36 따라서 x>0이므로 x=6 답⑴ 4 ⑵ 6037
△BCE와 △ACD에서 ∠BEC=∠ADC=90ù, ∠C는 공통 ∴ △BCE»△ACD (AA 닮음) 따라서 BCÓ：ACÓ=CEÓ：CDÓ이므로 (10+5)：20=CEÓ：5, 3：4=CEÓ：5, 4CEÓ=15 ∴ CEÓ=:Á4°:`(cm) 답 ①038
△ABC와 △AED에서 ∠A는 공통, ∠C=∠ADE=90ù ∴ △ABC»△AED (AA 닮음) 따라서 ACÓ：ADÓ=BCÓ：EDÓ이므로 (5+x)：4=6：3, 3(5+x)=24, 5+x=8 ∴ x=3 답`3039
ABÓ Û`=BDÓ_BCÓ에서 36=4_(4+x) 36=16+4x, 4x=20 ∴ x=5`(cm) 답 ③040
△ABC와 △HBA에서 ∠A=∠AHB=90ù, ∠B는 공통 ∴ △ABC»△HBA (AA 닮음) 따라서 ABÓ Û`=BHÓ_BCÓ이므로 6Û`=3.6_BCÓ ∴ BCÓ=10`(cm) ∴ CHÓ=BCÓ-BHÓ=10-3.6=6.4`(cm) △ABC와 △HAC에서 ∠A=∠AHC=90ù, ∠C는 공통 ∴ △ABC»△HAC (AA 닮음) ∴ ACÓ Û`=CHÓ_BCÓ=6.4_10=64 P의 부피를 V라 하면 V：81=8：27, 27V=81_8 ∴ V=24`(cmÜ`) 답24`cmÜ`028
지름의 길이가 1`m=100`cm인 쇠공과 지름의 길이가 5`cm인 쇠공의 닮음비는 100：5=20：1이므로 부피의 비는 20Ü`：1Ü`=8000：1이다. 따라서 지름의 길이가 5`cm인 쇠공을 모두 8000개 만들 수 있다. 답 ③029
ㄱ과 ㅁ, 두 쌍의 대응하는 변의 길이의 비가 같고 그 끼인 각의 크기가 같다. (SAS 닮음) ㄴ과 ㅂ, 두 쌍의 대응하는 각의 크기가 각각 같다. (AA 닮음) ㄷ과 ㄹ, 세 쌍의 대응하는 변의 길이의 비가 같다. (SSS 닮음) 답 ㄱ과 ㅁ (SAS 닮음), ㄴ과 ㅂ (AA 닮음), ㄷ과 ㄹ (SSS 닮음)030
① ∠A=75ù, ∠B=45ù이면 ∠C=60ù이고, ∠D=45ù, ∠E=60ù이면 ∠F=75ù 즉, 대응하는 두 내각의 크기가 각각 같으므로 △ABC»△FDE (AA 닮음) 답 ① 포인트 삼각형이 닮음이기 위하여 추가될 조건 ⑴ 두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같을 때 나머지 한 쌍의 대응변의 길이의 비 또는 그 끼인각 의 크기가 같아야 한다. ⑵ 한 쌍의 대응각의 크기가 같을 때 다른 한 쌍의 대응각의 크기 또는 그 각을 끼인각으 로 하는 두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같아야 한다.031
△ABD와 △ACB에서 ∠A 는 공통 ∠ABD= ∠C 즉, 두 쌍의 대응각의 크기가 각각 같으므로 △ABD»△ACB ( AA 닮음) 답 ㈎: ∠A, ㈏: ∠ABD, ㈐: ∠C, ㈑: AA032
AFÓDCÓ이므로 ∠BFE=∠CDE (엇각) ADÓBCÓ이므로 ∠FBE=∠DCE (엇각) ∴ △BEF»△CED (AA 닮음) BEÓ：CEÓ=BFÓ：CDÓ이므로 3：5=x：5, 5x=15 ∴ x=3 답 3033
△ABC와 △DAC에서 ∠C는 공통, ∠B=∠CAD ∴ △ABC»△DAC (AA 닮음) 중학2-2기말(01~09)해답1단원.indd 4 2020-10-22 11:46:421. 도형의 닮음
05
따라서 ACÓ>0이므로 ACÓ=8`(cm) 답 ③041
ABCD와 EFGH의 닮음비가 2：3이므로 CDÓ：12=2：3, 3CDÓ=24 ∴ CDÓ=8`(cm) 즉, ABCD의 둘레의 길이는 6+8+8+4=26`(cm) yy 가 EFGH의 둘레의 길이를 x`cm라 하면 26：x=2：3, 2x=78 ∴ x=39`(cm) yy 나 답 39`cm 단계 채점 요소 배점 가 ABCD의 둘레의 길이 구하기 2점 나 답 구하기 2점042
처음 원뿔과 원뿔을 밑면에 평행한 평면으로 자를 때 생기 는 원뿔은 닮은 도형이고 닮음비는 (4+6)：4=10：4=5：2 처음 원뿔의 밑면의 반지름을 x`cm라 하면 x：2=5：2, 2x=10 ∴ x=5`(cm) yy 가 따라서 처음 원뿔의 밑면의 둘레의 길이는 2p_5=10p`(cm) yy 나 답10p`cm 단계 채점 요소 배점 가 x=5 구하기 2점 나 답 구하기 2점043
⑴ △ABC와 △DEF의 닮음비가 2：3이므로 둘레의 길이의 비는 2：3이다. 2：3=8：(△DEF의 둘레의 길이) ∴ (△DEF의 둘레의 길이)=12`(cm) yy 가 ⑵ △ABC와 △DEF의 닮음비가 2：3이므로 넓이의 비는 4：9이다. yy 나 4：9=3：△DEF, 4△DEF=27 ∴ △DEF=:ª4¦:`(cmÛ`) yy 다 답⑴ 12`cm ⑵ :ª4¦:`cmÛ` 단계 채점 요소 배점 가 △DEF의 둘레의 길이 구하기 2점 나 넓이의 비 구하기 2점 다 △DEF의 넓이 구하기 2점044
축척이 ;20¢00;=;50!0;이므로 닮음비는 1：500이고, 넓이의 비는 1Û`：500Û`=1：250000 yy 가 ∴ (구하는 실제 넓이) =12_250000=3000000`(cmÛ`) =300`(mÛ`) yy 나 답300`mÛ` 단계 채점 요소 배점 가 넓이의 비 구하기 3점 나 답 구하기 3점 포인트 서로 닮은 두 도형의 닮음비가 m`:`n일 때, 넓이의 비는 mÛ``:`nÛ`이다.045
두 원기둥 A와 B의 옆넓이의 비는 4：9=2Û`：3Û`이므로 닮음비는 2：3이다. yy 가 두 원기둥 A와 B의 부피의 비는 2Ü`：3Ü`=8`:`27이므로 yy 나 원기둥 B의 부피를 V라 하면 80：V=8：27, 8V=80_27 ∴ V=270`(cmÜ`) yy 다 답 270`cmÜ` 단계 채점 요소 배점 가 닮음비 구하기 2점 나 부피의 비 구하기 2점 다 답 구하기 2점046
그릇 전체와 물이 담긴 부분의 닮음비가 3：2이므로 부피 의 비는 3Ü`：2Ü`=27：8 그릇의 부피를 V라 하면 V：40=27：8, 8V=40_27 yy 가 ∴ V=135`(cmÜ`) yy 나 답 135`cmÜ` 단계 채점 요소 배점 가 부피의 비 구하기 3점 나 답 구하기 3점047
△ABC와 △EDC에서 ∠C는 공통, ∠A=∠DEC이므로△ABC»△EDC (AA 닮음) yy 가
따라서 ACÓ：ECÓ=BCÓ：DCÓ이므로
8：4=BCÓ：5, 2：1=BCÓ：5 yy 나
∴ BCÓ=10`(cm)
∴ BEÓ=BCÓ-ECÓ=10-4=6`(cm) yy 다
답 6`cm 단계 채점 요소 배점 가 △ABC»△EDC임을 보이기 2점 나 닮음비 구하기 2점 다 답 구하기 2점
048
△ABC와 △EBD에서 ABÓ：EBÓ=BCÓ：BDÓ=3：2, ∠B는 공통∴ △ABC»△EBD (SAS 닮음) yy 가
ACÓ：EDÓ=3：2이므로 x：4=3：2, 2x=12
06
중2 (2학기 기말고사) ∴ x=6 yy 나 답 6 단계 채점 요소 배점 가 △ABC»△EBD임을 보이기 3점 나 답 구하기 3점049
△ABE와 △BCD에서 ABÓDCÓ이므로 ∠ABE=∠CDB (엇각) AEÓBCÓ이므로 ∠AEB=∠CBD (엇각)∴ △ABE»△CDB (AA 닮음) yy 가
AEÓ：BCÓ=BEÓ：BDÓ이므로 3：BCÓ=6：8 yy 나 6BCÓ=24 ∴ BCÓ=4`(cm) yy 다 답4`cm 단계 채점 요소 배점 가 △ABE»△BCD임을 보이기 2점 나 닮음비 구하기 2점 다 답 구하기 2점
050
△AED와 △ABC에서 ∠ADE=∠ABC, ∠A는 공통이므로△AED»△ABC (AA 닮음) yy 가
닮음비가 2：3이므로 넓이의 비는 2Û`：3Û`=4：9 yy 나 12：△ABC=4：9에서 △ABC=27`(cmÛ`) ∴ BCDE=△ABC-△AED =27-12=15`(cmÛ`) yy 다 답15`cmÛ` 단계 채점 요소 배점 가 △ABC»△ADE임을 보이기 2점 나 넓이의 비 구하기 3점 다 답 구하기 3점
051
AÕDÓ Û`=BDÓ_CDÓ이므로 12Û`=x_16 ∴ x=9 yy 가 ACÓ Û`=CDÓ_BCÓ이므로 yÛ`=16_25=400 y>0이므로 y=20 yy 나 ∴ x+y=29 yy 다 답 29 단계 채점 요소 배점 가 x=9 구하기 1점 나 y=20 구하기 2점 다 답 구하기 1점052
△ABC와 △DBA에서 ∠A=∠ADB=90ù, ∠B는 공통이므로 △ABC»△DBA (AA 닮음)ABÓ Û`=BDÓ_BCÓ=144 yy ㉠ yy 가
△ABC와 △DAC에서
∠A=∠ADC=90ù, ∠C는 공통이므로
△ABC»△DAC (AA 닮음)
ACÓ Û`=DCÓ_BCÓ=25 yy ㉡ yy 나
따라서 ㉠, ㉡에서 BDÓ：DCÓ=BDÓ_BCÓ：DCÓ_BCÓ=144：25 yy 다 답144：25 단계 채점 요소 배점 가 ABÓÛ`=BDÓ_BCÓ 구하기 2점 나 ACÓÛ`=DCÓ_BCÓ 구하기 2점 다 답 구하기 4점
053
ㄱ. 닮음비는 ABÓ：AÕ'B'Ó=16：12=4：3 ∴ BCÓ：BÕ'C'Ó=4：3 (참)ㄴ. DEÓ：DÕ'E'Ó=4：3 ∴ DEÓ=;3$; DÕ'E'Ó (거짓) ㄷ. BEÓ：a=4：3 ∴ BEÓ=;3$;a`(cm) (거짓)
ㄹ. AEÓ：15=4：3, 3AEÓ=60 ∴ AEÓ=20`(cm) (참) ㅁ. ∠C=∠C'=130ù (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ, ㅁ이다. 답 ③
054
오른쪽 그림과 같이 세 원 A, B, C " 1 # $ 가 만나는 한 점을 P라 하면 PBÓ=2PAÓ,PCÓ=2PBÓ=4PAÓ 따라서 구하는 닮음비는 PAÓ：PBÓ：PCÓ=1：2：4 답 ②055
그릇 전체와 물이 채워진 부분의 닮음비가 4`:`3이므로 부피의 비는 4Ü``:`3Ü`=64`:`27 그릇의 부피가 ;3!;p_12Û`_40=1920p`(cmÜ`)이므로 물의 부피를 V라 하면 64`:`27=1920p`:`V, 64V=27_1920p ∴ V=810p`(cmÜ`) 답810p`cmÜ`056
두 원기둥 A와 B의 닮음비는 6：4=3：2이므로 두 원기 둥 A와 B의 부피를 각각 V, V'이라 하면 V：V'=3Ü`：2Ü`=27：8 ∴ V'=;2¥7;V V+V'=70p`(cmÜ`)이므로 V+;2¥7;V=70p, ;2#7%;V=70p ∴ V=54p`(cmÜ`) 원기둥 A의 부피가 54p`cmÜ`이므로 pxÛ`_6=54p, xÛ`=9 따라서 x>0이므로 x=3 답 3057
세 정육면체 A, B, C의 겉넓이의 비는 4：9：36=2Û`：3Û`：6Û`이므로 닮음비는 2：3：6 따라서 부피의 비는 2Ü`：3Ü`：6Ü`=8：27：216 답 ④ 중학2-2기말(01~09)해답1단원.indd 6 2020-10-22 11:46:531. 도형의 닮음
07
058
두 기름 탱크는 닮은 도형이고 닮음비는 1：2이다. 따라서 새 기름 탱크의 부피를 V라 하면 24：V=1Ü`：2Ü`=1：8 ∴ V=24_8=192`(mÜ`) 답 ②059
△ABC와 △EDA에서 ABÓDEÓ이므로 ∠BAC=∠DEA (엇각) ADÓBCÓ이므로 ∠ACB=∠EAD (엇각) ∴ △ABC»△EDA (AA 닮음) ACÓ：AEÓ=BCÓ：ADÓ이므로 (x+2)：x=8：6 6(x+2)=8x, 6x+12=8x, 2x=12 ∴ x=6 BCÓ：AÕDÓ=ABÓ：DEÓ이므로 8：6=6：y, 8y=36 ∴ y=;2(; ∴ x+y=6+;2(;=:ª2Á: 답 ①060
∠BAE=∠CBF=∠ACD이므로 ∠FDE=∠CAD+∠ACD =∠CAD+∠BAE=∠CAB ∠DEF=∠ABE+∠BAE =∠ABE+∠CBF=∠ABC △ABC와 △DEF에서 두 각의 크기가 같으므로 △ABC»△DEF (AA 닮음) ∴ DEÓ：EFÓ=ABÓ：BCÓ=4：6=2：3 답 ①061
△ABC와 △DEA에서 ABÓDEÓ이므로 ∠BAC=∠EDA (엇각) AEÓBCÓ이므로 ∠ACB=∠DAE (엇각) ∴ △ABC»△DEA (AA 닮음) 따라서 ABÓ：DEÓ=ACÓ：DÕAÓ이므로 5：2=8：DÕAÓ, 5DÕAÓ=16 ∴ DÕAÓ=:Á5¤:`(cm) ∴ CDÓ=ACÓ-DÕAÓ=8-:Á5¤:=:ª5¢:`(cm) 답 ②062
△ABC와 △HBA에서 ∠A=∠AHB=90ù, ∠B는 공통이므로 △ABC»△HBA (AA 닮음) 따라서 BCÓ：ABÓ=ABÓ：BHÓ이므로 (3+a)：5=5：3, 3(3+a)=25 ∴ a=:Á3¤: 또 △HAC»△HBA이므로 AÕHÓÓ Û`=BHÓ_HCÓ=3_:Á3¤:=16 AÕHÓ>0이므로 AÕHÓ=4`(cm) 마찬가지로 △ABC»△HAC (AA 닮음)이므로 BCÓ：ACÓ=ABÓ：AÕHÓ 즉, {3+:Á3¤:}：b=5：4에서 b=:ª3¼: ∴ a+b=:Á3¤:+:ª3¼:=12 답12063
△ABC»△HBA이므로 ABÓ Û`=BÕHÓ_BCÓ, 20Û`=16_(16+y) 16+y=25 ∴ y=9 △HBA»△HAC이므로 AHÓ Û`=BÕHÓ_CHÓ xÛ`=16_9=144 x>0이므로 x=12 ∴ x+y=12+9=21 답②064
△GBA»△GAC이므로 AGÓ Û`=BGÓ_CGÓ=4_1=4 AGÓ>0이므로 AÕGÓ=2`(cm) 점 M이 △ABC의 외심이므로 BÕMÓ=CÕMÓ=AÕMÓ ∴ AÕMÓ=;2!; BCÓ=;2%;`(cm) △GAM»△HAG이므로 AÕGÓ Û`=AÕHÓ_AÕMÓ 2Û`=AÕHÓ_;2%; ∴ AÕHÓ=4_;5@;=;5*;`(cm) 답③065
ㄱ. 도형 ㈏ 는 도형 ㈎ 를 확대하였으므로 두 도형 ㈎와 ㈏ 는 닮은 도형이다. (참) ㄴ. BCÓ：EÕHÓ=1：2이므로 닮음비는 1：2이다. (참) ㄷ. 점 B에 대응하는 점은 점 H이다. (거짓) ㄹ. ABÓ에 대응하는 변은 GHÓ이다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. 답ㄱ, ㄴ066
대응각의 크기는 같으므로 xù=∠C=180ù-(70ù+80ù)=30ù ∴ x=30 yy 가 △ABC»△DEF에서 ACÓ：DFÓ=BCÓ：EFÓ이므로3：y=5：10=1：2 ∴ y=6 yy 나
∴ x+y=36 yy 다 답36 단계 채점 요소 배점 가 x=30 구하기 1점 나 y=6 구하기 2점 다 답 구하기 1점
067
BCÓ：FGÓ=8：10=4：5이므로 ABÓ：EFÓ=4：5, a：EFÓ=4：5, 4EFÓ=5a ∴ EFÓ=;4%;a 답⑤ 중학2-2기말(01~09)해답1단원.indd 7 2020-10-22 11:47:0008
중2 (2학기 기말고사)068
두 사각뿔은 서로 닮은 도형이므로 닮음비는 CDÓ：CÕ'D'Ó=6：8=3：4 3：x=3：4 ∴ x=4 y：12=3：4 ∴ y=9 ∴ x+y=4+9=13 답 13069
넓이의 비가 36：25=6Û`：5Û`이므로 닮음비는 6：5이다. yy 가 A의 한 변의 길이를 x`cm라 하면 B의 한 변의 길이는 (x-2)`cm이므로 x：(x-2)=6：5, 5x=6(x-2) ∴ x=12`(cm) yy 나 따라서 정사각형 B의 한 변의 길이는 10`cm이므로 정사 각형 B의 넓이는 100`cmÛ`이다. yy 다 답100`cmÛ` 단계 채점 요소 배점 가 닮음비 구하기 2점 나 x=12 구하기 2점 다 답 구하기 2점070
축척이 1：1000이므로 넓이의 비는 1Û`：1000Û`=1：1000000 지도에서의 넓이를 x`mÛ`라 하면 x`:`3000=1`:`1000000 ∴ x=3000_;1000!000; =;10£00;`(mÛ`)=30`(cmÛ`) 답 ③071
가로와 세로의 길이가 각각 60`m, 40`m인 직사각형과 가 로와 세로의 길이가 각각 30`cm, 20`cm인 직사각형에서 60`m：30`cm=40`m：20`cm=200：1이므로 두 직사각형은 닮음이고, 닮음비는 200：1이다. 따라서 넓이의 비는 200Û`：1Û`=40000：1이므로 작은 태극기를 최대 4만 개까지 만들 수 있다. 답 ①072
두 직육면체의 겉넓이의 비는 9：25=3Û`：5Û`이므로 닮음 비는 3：5이다. 작은 직육면체의 부피를 V라 하면 V：500=3Ü`：5Ü`=27：125, 125V=500_27 ∴ V=108`(cmÜ`) 답 ② 포인트 서로 닮은 두 입체도형의 닮음비가 m`:`n일 때, 부 피의 비는 mÜ``:`nÜ`이다.073
나무토막과 상자의 한 변의 길이가 각각 5`cm, 25`cm이 므로 닮음비는 5：25=1：5이다. 닮음비가 1：5이므로 부피의 비는 1Ü`：5Ü`=1：125이다. 따라서 상자 안에는 최대 125개의 나무토막이 들어갈 수 있다. 답 ④074
10분 동안 넣은 물이 들어 있는 부분과 원뿔 모양의 그릇 의 닮음비가 1：2이므로 부피의 비는 1Ü`：2Ü`=1：8 일정한 속도로 물을 넣고 있으므로 물을 채우는 데 걸리는 시간과 채워지는 물의 양은 정비례한다. 그릇에 물을 가득 채울 때까지 더 걸리는 시간을 x분이라 하면 10：x=1：(8-1) ∴ x=70 따라서 그릇에 물을 가득 채우려면 70분 동안 물을 더 넣 어야 한다. 답 ③075
⑴ ABCD가 평행사변형이므로 BCÓ=12 ∴ BEÓ=12-8=4 yy 가 ⑵ △BFE»△CDE이고, 닮음비는 1：2이므로 1：2=x：12, 2x=12 ∴ x=6 yy 나또한, 1：2=y：7, 2y=7 ∴ y=;2&; yy 다
∴ x+2y=6+2_;2&;=13 yy 라
답⑴ 4 ⑵ 13 단계 채점 요소 배점 가 BEÓ=4 구하기 1점 나 x=6 구하기 2점 다 y=;2&; 구하기 2점 라 x+2y=13 구하기 1점
076
△ABC와 △CBD에서 ∠B는 공통, ∠A=∠BCD △ABC»△CBD (AA 닮음)이므로 ABÓ：CBÓ=ACÓ：CDÓ x：3=4：2, 2x=12 ∴ x=6 답 ③077
△ABD와 △ACB에서 ABÓ：ACÓ=ADÓ：ABÓ=1：2 ∠A는 공통 ∴ △ABD»△ACB (SAS 닮음) 따라서 BDÓ：BCÓ=1：2이므로 7：x=1：2 ∴ x=14 답 ④078
△ABC와 △EBD에서 ABÓ：EBÓ=BCÓ：BDÓ=3：1 ∠B는 공통 ∴ △ABC»△EBD (SAS 닮음) 따라서 ACÓ：EDÓ=3：1 이므로 6：x=3：1, 3x=6 ∴ x=2 답 ③079
△ABC와 △AED에서 ∠A는 공통, ∠B=∠AED이므로 중학2-2기말(01~09)해답1단원.indd 8 2020-10-22 11:47:062. 평행선과 선분의 길이의 비
09
001
답⑴ AEÓ, DEÓ ⑵ AEÓ ⑶ ECÓ002
⑴ 2`:`x=3`:`9, 3x=18 ∴ x=6 ⑵ 5`:`10=x`:`12, 10x=60 ∴ x=6 답⑴ 6 ⑵ 6003
BCÓÓDEÓ이므로 AEÓ`:`ACÓ=DEÓÓ`:`BCÓ 6`:`10=8`:`x, 6x=80 ∴ x=:¢3¼: 답④004
BCÓÓDEÓ이므로 ADÓ`:`ABÓ=AEÓÓ`:`ACÓ 6`:`10=(15-x)`:`15, 3`:`5=(15-x)`:`15 5(15-x)=45, 75-5x=45 5x=30 ∴ x=6 답①005
BCÓÓDEÓ이므로 ACÓ`:`AEÓ=ABÓ`:`ADÓ x`:`8=15`:`10, x`:`8=3`:`2 2x=24 ∴ x=12 또 BCÓ`:`DEÓ=ACÓ`:`AEÓÓ이므로 12`:`y=12`:`8, 12`:`y=3`:`2 3y=24 ∴ y=8 ∴ x+y=12+8=20 답⑤006
ABCD가 평행사변형이므로 ADÓÓBCÓ, CDÓÓ=BAÓÓ=3 FCÓ`:`FDÓÓ=CEÓ`:`DÕAÓ이므로 2`:`(2+3)=x`:`5, 5x=10 ∴ x=2 답②007
ABÓDEÓ이므로 ACÓ`:`CEÓ=ABÓÓ`:`DEÓÓ 4`:`6=2`:`x, 4x=12 ∴ x=3 답③008
BCÓDEÓ이므로 BCÓ`:`DEÓ=ABÓ`:`ADÓ 5`:`4=x`:`3, 4x=15 ∴ x=:Á4°: 또 BCÓ`:`DEÓ=ACÓ`:`AEÓ이므로 5`:`4=4`:`y, 5y=16 ∴ y=:Á5¤:` ∴ xy=:Á4°:_:Á5¤:=12 답③2
평행선과 선분의 길이의 비
본문 024~040쪽 △ABC»△AED (AA 닮음) 따라서 닮음비는 ADÓ：ACÓ=3：5이므로 넓이의 비는 △ADE：△ABC=3Û`：5Û`=9：25 답 ⑤080
△ABC와 △DAC에서 ∠C는 공통, ∠CAB=∠ADC=90ù이므로 △ABC»△DAC (AA 닮음) 따라서 ACÓ Û`=BCÓ_DCÓ이므로 yy 가 5Û`=(x+3)_3 x+3=:ª3°: ∴ x=:Á3¤: yy 나 답:Á3¤: 단계 채점 요소 배점 가 ACÓÛ`=BCÓ_DCÓ 구하기 2점 나 답 구하기 2점081
△ABD»△BCD이므로 BDÓÓ Û`=ADÓ_CDÓ 4Û`=2_CDÓ ∴ CDÓ=8`(cm) ∴ △ABC=;2!; ACÓ_BDÓ ∴ △ABC=;2!;_10_4=20`(cmÛ`) 답 ③082
△ADE와 △ABC에서 ∠ADE=∠ABC=90ù이고 ∠A는 공통이므로△ADE»△ABC (AA 닮음) yy 가
닮음비가 3：4이므로 넓이의 비는 △ADE：△ABC=3Û`：4Û`=9：16 yy 나 △ADE：DBCE=9：(16-9)=9：7이므로 18：DBCE=9：7 ∴ DBCE=14`(cmÛ`) yy 다 답14`cmÛ` 단계 채점 요소 배점 가 △ADE»△ABC임을 보이기 2점 나 넓이의 비 구하기 3점 다 답 구하기 3점 중학2-2기말해답(09~17)2단원-삼.indd 9 2020-10-22 11:47:14
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중2 (2학기 기말고사) ㄷ. CAÓ`:`AEÓ=4`:`12=1`:`3 BAÓ`:`ADÓ=6`:`8=3`:`4 ㄹ. ABÓ`:`BDÓ=6`:`2=3`:`1 ACÓ`:`CEÓ=12`:`4=3`:`1 이므로 BCÓDEÓ ㅁ. FAÓ`:`FCÓ=3`:`12=1`:`4 DAÓ`:`DBÓ=2`:`10=1`:`5 답 ㄱ, ㄴ, ㄹ015
BCÓDEÓ이려면 ABÓ`:`BDÓ=ACÓÓ`:`CEÓ이므로 3`:`6=x`:`4, 1`:`2=x`:`4 2x=4 ∴ x=2 답 ③016
ADÓ`:`DBÓ=CEÓ`:`EBÓ이면 DEÓFCÓ ADÓ`:`DBÓ=AFÓ`:`FCÓ이면 DFÓECÓ 따라서 두 쌍의 대변이 평행하므로 DECF는 평행사변 형이다. 답평행사변형017
①, ③ BEÓ`:`ECÓ, BDÓ`:`DÕAÓ에서 5`:`4+6`:`8 ②, ⑤ CEÓ`:`EBÓÓ, CFÓÓ`:`FAÓÓ에서 4`:`5+4.5`:`6 ④ ADÓ`:`DBÓ, AFÓ`:`FCÓ에서 8`:`6=6`:`4.5 ∴ DFÓBCÓ 답 ④018
DBCE가 사다리꼴이려면 한 쌍의 대변이 평행해야 한 다. 즉, BCÓDEÓ이어야 한다. ABÓ`:`ADÓ=ACÓ`:`AEÓ이면 BCÓDEÓ이므로 12`:`8=6`:`x, 3`:`2=6`:`x 3x=12 ∴ x=4 답 ③019
⑴ ∠BAD=50ù이므로 ∠CAD=50ù ADÓECÓ이므로 ∠CAD=∠ACE (∵ 엇각) 또 ∠BAD=∠AEC (∵ 동위각) ∴ ∠ACE=50ù, ∠AEC=50ù ⑵ △ACE는 ∠ACE=∠AEC이므로 이등변삼각형이다. ∴ AEÓ=ACÓ ⑶ △EBC에서 ADÓECÓ이므로 BAÓ`:`AEÓ=BDÓ`:`DCÓ 이때 ⑴에서 AEÓ=ACÓ이므로 BAÓ`:`ACÓ=BDÓ`:` DCÓ 답 ⑴ ∠ACE=50ù, ∠AEC=50ù ⑵ ACÓ ⑶ DCÓ020
⑴ x`:`12=6`:`8, 8x=72 ∴ x=9 ⑵ 12`:`16=(14-x)`:`x, 12x=224-16x 28x=224 ∴ x=8 답⑴ 9 ⑵ 8021
ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ이므로 6`:`4=(3+x)`:`x, 6x=12+4x 2x=12 ∴ x=6 답 ①009
BCÓÓDEÓ이므로 4`:`6=APÓ`:`AQÓÓ yy ㉠ APÓÓ`:`AQÓ=3`:`x yy ㉡ ㉠, ㉡에서 4`:`6=3`:`x, 2`:`3=3`:`x 2x=9 ∴ x=;2(; 답 ④010
△ABC에서 BCÓDEÓ이므로 ADÓ`:`DBÓ=AEÓ`:`ECÓ 12`:`6=AEÓ`:`9, 2`:`1=AEÓ`:`9 ∴ AEÓ=18`(cm) △ABE에서 BEÓÓDFÓÓ이므로 ADÓ`:`ABÓ=AFÓÓ`:`AEÓ 12`:`18=AFÓ`:`18, 2`:`3=AFÓ`:`18 3AFÓ=36 ∴ AFÓ=12`(cm) 답12`cm011
ABÓCDÓ이므로 ABÓ`:`CDÓ=BGÓÓ`:`CGÓ 8`:`20=6`:`x, 2`:`5=6`:`x 2x=30 ∴ x=15 FEÓCGÓ이므로 DFÓ`:`DCÓÓ=FEÓ`:`CGÓ 16`:`20=y`:`15, 4`:`5=y`:`15 5y=60 ∴ y=12 ∴ x+y=15+12=27 답 ②012
ADÓ`:`DFÓ=BCÓ`:`CEÓ이므로 6`:`4=BCÓ`:`3, 4BCÓ=18 ∴ BCÓ=;2(;`(cm) ∴ x=BCÓ+CEÓ=;2(;+3=:Á2°: CDÓEFÓ이므로 CDÓÓ`:`EFÓ=GDÓÓ`:`GFÓÓ y`:`6=2`:`(2+4), 6y=12 ∴ y=2 ∴ x+y=:Á2°:+2=:Á2»: 답 ④013
ADÓBCÓ이므로 △BPM과 △DPA에서 ∠BMP=∠DAP (∵ 엇각), ∠BPM=∠DPA (∵ 맞꽂지각) ∴ △BPM»△DPA (AA 닮음) ADÓBÕMÓ이므로 BPÓ`:`DPÓÓ=BÕMÓ`:`AÕDÓ BPÓ`:`DPÓ=2`:`4=1`:`2 ∴ BPÓ=;3!; BDÓ=;3!;_5=;3%; 답 ⑤014
ㄱ. ADÓ`:`DBÓ=12`:`3=4`:`1 AEÓ`:`ECÓ=8`:`2=4`:`1 이므로 BCÓDEÓ ㄴ. ADÓ`:`BDÓ=15`:`5=3`:`1 AEÓ`:`CEÓ=12`:`4=3`:`1 이므로 BCÓDEÓ 중학2-2기말해답(09~17)2단원-삼.indd 10 2020-10-22 11:47:192. 평행선과 선분의 길이의 비
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022
오른쪽 그림과 같이 ADÓ에 평행한 직선 CE를 그으면 △ACE는 ACÓ=AEÓ인 이등변삼각형이다. △BCE에서 ECÓAÕDÓ이므로 BAÓ`:`AEÓ=BDÓ`:`DCÓ 12`:`8=6`:`x, 3`:`2=6`:`x 3x=12 ∴ x=4 답 ④023
EAÓCDÓ이므로 ∠EAC=∠ACD (∵ 엇각) ∠BAE=∠ADC (∵ 동위각) ∠BAE=∠EAC이므로 ∠ACD=∠ADC ∴ ADÓ=ACÓ △DBC에서 EAÓCDÓ이므로 BAÓ`:`ADÓ=BEÓ`:`ECÓ ADÓ=ACÓ이므로 BAÓ`:`ACÓ=BEÓ`:`ECÓ 6`:`ACÓ=3`:`2, 3ACÓ=12 ∴ ACÓ=4`(cm) 답 ④024
△ABD와 △ACD는 같은 높이를 가지므로 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와 같다. ∴ SÁ`:`Sª=BDÓ`:`DCÓ=ABÓ`:`ACÓ (∵ ∠BAD=∠CAD) =6`:`4=3`:`2 답 ⑤ 포인트 두 삼각형의 높이가 같으면 넓이의 비는 밑변의 길 이의 비와 같다.025
오른쪽 그림과 같이 △ABC의 점 C를 지나고 ADÓ에 평행한 직선을 그어 BAÓ 의 연장선과 만나는 점을 E라 하면 ∠DAC=∠ACE (∵ 엇각), ∠BAD=∠AEC (∵ 동위각) 따라서 △ACE는 ACÓ=AEÓ인 이등변삼각형이다. △BAD와 △BEC에서 ∠BAD=∠AEC (∵ 동위각), ∠EBC는 공통이므로 △BAD»△BEC (AA 닮음) ∴ BAÓ`:`AEÓ=BDÓ`:`DCÓ 이때 ACÓ=AEÓ이므로 BAÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`DCÓ 10`:`6=BDÓ`:`(8-BDÓ), 6BDÓ=80-10BDÓ 16BDÓ=80 ∴ BDÓ=5`(cm) ∴ △ABD=;2!;_5_6=15`(cmÛ`) 답15`cmÛ`026
ACÓ`:`ABÓ=CDÓ`:`BDÓ이므로 3`:`ABÓ=(4+8)`:`8, 3`:`ABÓ=3`:`2 ∴ ABÓ=2`(cm) 답 2`cm027
⑴ AÕMÓ=MÕBÓ, ANÓ=NCÓ이므로 MÕNÓBCÓ ∴ ∠ANM=∠ACB=70ù (∵ 동위각) & " % # $ Y & " # % $ ADN ADN ADN ⑵ AÕMÓ=MÕBÓ, ANÓ=NCÓ이므로 MÕNÓ=;2!; BCÓ=;2!;_10=5`(cm) 답⑴ 70ù ⑵ 5`cm028
⑴ x=;2!; ACÓ=;2!;_12=6 ⑵ x=2MÕNÓ=2_7=14 답⑴ 6 ⑵ 14029
△DBC에서 두 점 P, Q가 각각 DBÓ, DCÓ의 중점이므로 BCÓ=2PQÓ=2_4=8`(cm) △ABC에서 두 점 M, N이 각각 ABÓ, ACÓ의 중점이므로 MÕNÓ=;2!; BCÓ=;2!;_8=4`(cm) 답②030
점 M이 ABÓÓ의 중점이므로 x=;2!;_13=:Á2£: MÕNÓBCÓ이므로 y=2_6=12 ∴ x+y=:Á2£:+12=:£2¦: 답②031
두 점 E, H가 각각 ABÓ, ACÓ의 중점이므로 EHÓBCÓ, EHÓÓ=;2!; BCÓ ∴ BCÓ=2EHÓ=2_3=6`(cm) 두 점 F, G가 각각 DBÓ, DCÓ의 중점이므로 FGÓÓBCÓ, FGÓ=;2!; BCÓ ∴ FGÓ=;2!;_6=3`(cm) 답③032
DEÓ=;2!; ACÓ, EFÓ=;2!; ABÓ, FDÓ=;2!; BCÓ이므로 △DEF의 둘레의 길이는 DEÓ+EFÓ+FDÓ=;2!; ACÓ+;2!; ABÓ+;2!; BCÓ =;2!;(ACÓ+ABÓ+BCÓ) =;2!;_(6+8+10) =;2!;_24=12`(cm) 답①033
ADÓ=DBÓ, DEÓBCÓ이므로 BCÓ=2DEÓ=2_6=12`(cm) DBFE는 평행사변형이므로 BFÓÓ=DEÓ=6`(cm) ∴ FCÓÓ=BCÓ-BFÓ=12-6=6`(cm) 답① 중학2-2기말해답(09~17)2단원-삼.indd 11 2020-10-22 15:41:1212
중2 (2학기 기말고사) MÕEÓ=EFÓ이므로 MÕEÓ=;2!; MÕFÓ=;2!;_4=2`(cm) 따라서 △ABD에서 ADÓ=2MÕEÓ=2_2=4`(cm) 답 ④040
⑴ lmn이므로 a`:`b=e`:` f ⑵ 평행한 세 직선 l, m, n과 평행한 두 직선 q, q'이 만나 서 생기는 사각형은 모두 평행사변형이므로 e= c , f= d ⑶ a`:`b=e`:`f= c `:`d 답⑴ f ⑵ c, d ⑶ c 포인트 a`:`b=e`:`f 이지만 세 직선 l, m, n이 평행하지 않을 수도 있다.041
x`:`12=20`:`16, x`:`12=5`:`4 4x=60 ∴ x=15 답 ④042
lm이므로 ADÓ`:`DBÓ=AEÓ`:`ECÓ 5`:`x=4`:`8, 5`:`x=1`:`2 ∴ x=10 또 AEÓ`:`ACÓ=DEÓ`:`BCÓ이므로 4`:`12=4`:`y, 1`:`3=4`:`y ∴ y=12 ∴ y-x=12-10=2 답 ②043
ACÓ`:`CFÓ=BDÓ`:`DEÓ이므로 (AFÓ-5)`:`5=2`:`8, (AFÓ-5)`:`5=1`:`4 4AFÓ-20=5, 4AFÓ=25 ∴ AFÓ=:ª4°: 답 ①044
5`:`3=7`:`x, 5x=21 ∴ x=:ª5Á: 3`:`5=4`:`y, 3y=20 ∴ y=:ª3¼: ∴ x+y=:ª5Á:+:ª3¼:=;1^5#;+:Á1¼5¼:=:Á1¤5£: 답:Á1¤5£:045
⑴ BHÓ=BCÓ-HCÓ=6-4=2`(cm) △ABH에서 EGÓ`:`2=2`:`6 ∴ EGÓ=;3@;`(cm) ∴ EFÓ=;3@;+4=:Á3¢:`(cm) ⑵ △ABC에서 EGÓ`:`6=2`:`6 6EGÓ=12 ∴ EGÓ=2`(cm) △ACD에서 GFÓ`:`4=4`:`6 6GFÓ=16 ∴ GFÓ=;3*;`(cm) ∴ EFÓ=EGÓ+GFÓ=2+;3*;=:Á3¢:`(cm) 답⑴ :Á3¢:`cm ⑵ :Á3¢:`cm " # ) ( $ % & ' ADN ADN ADN ADN ADN " ( # $ % & ' ADN ADN ADN ADN034
오른쪽 그림과 같이 점 D에서 BCÓ에 평행한 선분을 그어 ACÓ와 만나는 점 을 G라 하면 DGÓ=;2!; BCÓ=;2!;_6=3`(cm) △FDG와 △FEC에서 FDÓ=FEÓÓ이고 DGÓCEÓÓ이므로 ∠DFG=∠EFC (∵ 맞꼭지각) ∠FDG=∠FEC (∵ 엇각) 따라서 △FDGª△FEC (ASA 합동)이므로 CEÓ=DGÓÓ=3`(cm) ∴ BEÓ=BCÓ+CEÓ=6+3=9`(cm) 답 ④035
ADÓBCÓ인 사다리꼴 ABCD에서 AÕMÓ=MÕBÓ, DNÓ=NCÓ이면 ADÓMÕNÓBCÓ이다. ⑴ △ABC에서 AÕMÓ=MÕBÓ, MÕPÓBCÓ이므로 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의하여 MÕPÓ=;2!; BCÓ=;2!;_8=4`(cm) ⑵ △ACD에서 DNÓ=NCÓ, ADÓPNÓ이므로 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의하여 PNÓÓ=;2!;ADÓ=;2!;_4=2`(cm) ⑶ ⑴, ⑵에 의해 MÕNÓ=MÕPÓ+PNÓ=4+2=6`(cm) 답 ⑴ 4`cm ⑵ 2`cm ⑶ 6`cm036
사다리꼴의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의하여 MÕNÓ=;2!;(ADÓ+BCÓ), 10=;2!;_(8+x) 8+x=20 ∴ x=12 답 ②037
오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그어 MÕNÓ과 만나는 점을 P라 하면, △ABC에서 AÕMÓ=MÕBÓ, MÕPÓBCÓ이므로 APÓ=PCÓ △ACD에서 APÓ=PCÓ, PNÓADÓ이므로 DÕNÓ=NCÓ ∴ NCÓÓ=;2!; CDÓ=;2!;_9=;2(;`(cm) 답 ⑤038
AÕMÓ=MÕBÓ, DÕNÓÓ=NCÓ이므로 ADÓMÕNÓBCÓ △ABC에서 x=;2!; BCÓ=;2!;_10=5 △ACD에서 y=2PNÓ=2_3=6 ∴ x+y=5+6=11 답 ②039
AÕMÓ=MÕBÓ, DNÓ=NCÓ이므로 ADÓMÕNÓBCÓ △ABC에서 MÕFÓ=;2!; BCÓ=;2!;_8=4`(cm) " # $ % & ( ADN ' ADN " # $ % . 1 / 중학2-2기말해답(09~17)2단원-삼.indd 12 2020-10-22 11:47:382. 평행선과 선분의 길이의 비
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046
△ACD에서 AEÓ`:`ACÓ=EGÓ`:`CDÓ 10`:`14=x`:`18, 5`:`7=x`:`18 7x=90 ∴ x=:»7¼: △ADB에서 ADÓ`:`GDÓ=ABÓ`:`GFÓ 14`:`4=y`:`2, 7`:`2=y`:`2 2y=14 ∴ y=7 ∴ xy=:»7¼:_7=90 답 ④047
오른쪽 그림과 같이 ACÓ와 EFÓÓ의 교점 을 P라 하자. △ABC에서 AEÓ`:`ABÓ=EPÓ`:`BCÓ이므 로 3`:`5=EPÓ`:`9, 5EPÓ=27 ∴ EPÓ=:ª5¦:`(cm) △CAD에서 CFÓ`:`CDÓ=PFÓ`:`ADÓ 이므로 2`:`5=PFÓÓ`:`4, 5PFÓ=8 ∴ PFÓ=;5*;`(cm) ∴ EFÓ=EPÓÓ+PFÓ=:ª5¦:+;5*;=7`(cm) 답 ③ 포인트 AEÓ`:`ABÓ+EFÓ`:`BCÓ임에 주의한다.048
오른쪽 그림과 같이 ACÓ와 평행 한 DQÓÓ를 그으면 △DQF에서 DPÓ`:`DQÓ=PEÓÓÓÓ`:`QFÓÓ 20`:`(20+30)=6`:`QFÓÓ 20QFÓÓ=300 ∴ QFÓÓ=15`(cm) ∴ CFÓ=CQÓÓ+QFÓÓÓÓ =40+15=55`(cm) 답 ⑤049
오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BCÓ 에 내린 수선의 발을 H'이라 하면 AÕH'Ó=6`(cm) △AED와 △CEB에서 ∠DAE=∠BCE (∵ 엇각), ∠AED=∠BEC (∵ 맞꼭지각) 따라서 △AED»△CEB (AA 닮음)이므로 AEÓ`:`CEÓ=ADÓ`:`BCÓ=5`:`8 ∴ CEÓ`:`CAÓ=8`:`(5+8)=8`:`13 △AH'C에서 EHÓ`:`AÕH'Ó=CEÓ`:`CAÓ이므로 EHÓ`:`6=8`:`13, 13EHÓ=48 ∴ EHÓ=;1$3*;`(cm) 답 ③050
ABÓDCÓ이므로 △ABP와 △CDP에서 ∠BAP=∠DCP (∵ 엇각) ∠APB=∠CPD (∵ 맞꽂지각) 따라서 △ABP»△CDP (AA 닮음)이므로 ADN ADN # $ " & ' % 1 ADN ADN ADN ADN ADN ADN " # $ % & ' 1 2 # $ & ) ) " ADN % ADN ADN ADN BPÓ`:`PDÓ=ABÓ`:`CDÓ=4`:`6=2`:`3 ∴ BPÓ`:`BDÓ=2`:`(2+3)=2`:`5 △BCD에서 PHÓÓDCÓ이므로 BPÓ`:`BDÓ=PHÓ`:`DCÓ 2`:`5=PHÓ`:`6, 5PHÓ=12 ∴ PHÓ=:Á5ª:`(cm) 답②051
△ABP»△CDP (AA 닮음)이므로 ABÓ`:`CDÓ=APÓ`:`PCÓ=3`:`5 ∴ ACÓ`:`PCÓÓ=8`:`5 △ABC»△PHC (AA 닮음)이므로 ABÓ`:`PHÓ=ACÓ`:`PCÓ 3`:`x=8`:`5, 8x=15 ∴ x=:Á8°: 답④052
BCÓDEÓ이므로 ABÓ`:`BDÓ=ACÓ`:`CEÓ 8`:`x=6`:`3, 6x=24 ∴ x=4 또 ACÓ`:`AEÓ=BCÓ`:`DEÓ이므로 6`:`9=5`:`y, 6y=45 ∴ y=:Á2°: yy 가 ∴ x+y=4+:Á2°:=:ª2£: yy 나 답:ª2£: 단계 채점 요소 배점 가 x=4, y=:Á2°: 구하기 3점 나 답 구하기 1점053
EFÓDCÓ이므로 △DGC에서 GFÓ`:`GCÓ=EFÓ`:`DCÓ GFÓ`:`8=EFÓ`:`8 ∴ GFÓ=EFÓ ∴ CFÓ=8-EFÓ yy 가 ABÓEFÓ이므로 △ABC에서 CFÓ`:`CBÓ=EFÓ`:`ABÓ (8-EFÓ)`:`10=EFÓ`:`6, 10EFÓ=6(8-EFÓ) 10EFÓ=48-6EFÓ, 16EFÓ=48 ∴ EFÓ=3 yy 나 답3 단계 채점 요소 배점 가 CFÓ=8-EFÓ 구하기 3점 나 답 구하기 3점054
ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ이므로 yy 가6`:`4=x`:`3, 4x=18
∴ x=;2(; yy 나
14
중2 (2학기 기말고사) 답 ;2(; 단계 채점 요소 배점 가 알맞은 비례식 세우기 2점 나 답 구하기 2점055
ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ이므로4`:`3=BDÓ`:`CDÓ ∴BCÓ`:`CDÓ=1`:`3 yy가 ∴△ABC=32_;4!;=8`(cmÛ`) yy나 답 8`cmÛ` 단계 채점 요소 배점 가 BCÓ`:`CDÓ=1`:`3 구하기 3점 나 답 구하기 3점056
EGÓBCÓ이므로△ABC에서 EGÓ=;2!;BCÓ=;2!;_10=5∴EFÓ=EGÓ-FGÓ=5-2=3 yy가
ADÓEFÓ이므로△ABD에서 ADÓ=2EFÓ=2_3=6 yy나 답 6 단계 채점 요소 배점 가 EFÓ=3 구하기 2점 나 답 구하기 2점
057
△ADE에서GFÓDEÓ이므로AGÓ`:`ADÓ=GFÓ`:`DEÓ 1`:`2=GFÓ`:`DEÓ ∴DEÓ=2GFÓ yy가 △ABC에서BFÓDEÓ이므로DCÓ`:`BCÓ=DEÓ`:`BFÓ 1`:`2=2GFÓ`:`(6+GFÓ) 6+GFÓ=4GFÓ,3GFÓ=6 ∴GFÓ=2`(cm) yy나 답2`cm 단계 채점 요소 배점 가 DEÓ=2GFÓ 구하기 3점 나 답 구하기 3점058
△DBC에서삼각형의두변의중점을연결한선분의성질 에의하여 PFÓ=;2!;BCÓ=;2!;_10=5`(cm) EPÓ=EFÓ-PFÓ=8-5=3`(cm) yy가 FCÓ=;2!;DCÓ=;2!;_8=4`(cm) yy나 ∴△BPE=;2!;_3_4=6`(cmÛ`) yy다 답 6`cmÛ` 단계 채점 요소 배점 가 PFÓ=5`(cm), EPÓ=3`(cm) 구하기 2점 나 FCÓ=4`(cm) 구하기 2점 다 답 구하기 2점059
△ABF에서ADÓ=BDÓ,AEÓ=EFÓ이므로 DEÓBFÓ,DEÓ=;2!;BFÓ yy가 △CDE에서CFÓ=EFÓ,DEÓPFÓ이므로 PFÓ=;2!;DEÓ=;2!;_;2!;BFÓ=;4!;BFÓ =;4!;_12=3`(cm) yy나 ∴x=BFÓ-PFÓ=12-3=9 yy다 답 9 단계 채점 요소 배점 가 DEÓBFÓ, DEÓ=;2!; BFÓ 구하기 3점 나 PFÓ=3`(cm) 구하기 3점 다 답 구하기 2점060
⑴MÕPÓ=;2!;ADÓ=;2!;_10=5`(cm) yy가 ⑵MÕQÓ=;2!;BCÓ=;2!;_16=8`(cm) yy나 ⑶PQÓ=MÕQÓ-MÕPÓ=8-5=3`(cm) yy다 답⑴5`cm⑵8`cm⑶3`cm 단계 채점 요소 배점 가 MÕPÓ=5`(cm) 구하기 2점 나 MÕQÓ=8`(cm) 구하기 2점 다 PQÓ=3`(cm) 구하기 2점061
12`:`8=9`:`y,3`:`2=9`:`y3y=18 ∴y=6 yy가
또한,8`:`x=y`:`3,8`:`x=6`:`3 8`:`x=2`:`1,2x=8 ∴x=4 yy나 ∴x+y=4+6=10 yy다 답10 단계 채점 요소 배점 가 y=6 구하기 2점 나 x=4 구하기 2점 다 답 구하기 2점
062
AEÓ=;2#;EBÓ에서AEÓ`:`EBÓ=3`:`2 △ABC에서 3`:`5=EÕNÓ`:`20,5ENÓ=60 ∴EÕNÓ=12`(cm) yy가 △ABD에서 2`:`5=EÕMÓ`:`10,5EÕMÓ=20 중학2-2기말해답(09~17)2단원-삼.indd 14 2020-10-22 15:41:342. 평행선과 선분의 길이의 비
15
∴ EÕMÓ=4`(cm) yy 나 ∴ MÕNÓ=ENÓ-EÕMÓ=12-4=8`(cm) yy 다 답 8`cm 단계 채점 요소 배점 가 ENÓ=12`(cm) 구하기 2점 나 EÕMÓ=4`(cm) 구하기 2점 다 답 구하기 2점063
△ABC»△EFC (AA 닮음)이므로 ACÓ`:`ECÓ=ABÓ`:`EFÓ=12`:`8=3`:`2 ∴ AEÓ`:`ECÓ=1`:`2 yy 가 △ABE»△CDE (AA 닮음)이므로 AEÓ`:`ECÓ=ABÓ`:`CDÓ yy 나 1`:`2=12`:`x ∴ x=24 yy 다 답24 단계 채점 요소 배점 가 AEÓ`:`ECÓ=1`:`2 구하기 3점 나 알맞은 비례식 세우기 3점 다 답 구하기 2점064
ABCD가 평행사변형이므로 ABÓ=CDÓ=3`(cm) BEÓ=AEÓ-ABÓ=5-3=2`(cm) △EAD에서 ADÓBPÓ이므로 ABÓ`:`BEÓ=DPÓ`:`PEÓÓ=3`:`2 AEÓDFÓ이므로 △PAE와 △PFD에서 ∠AEP=∠FDP (∵ 엇각), ∠APE=∠DPF (∵ 맞꼭지각) ∴ △PAE»△PFD (AA 닮음) DPÓ`:`PEÓ=DFÓ`:`AEÓ, 3`:`2=(3+CFÓ)`:`5 2(3+CFÓ)=15, 6+2CFÓ=15, 2CFÓ=9 ∴ CFÓ=;2(;`(cm) 답 ;2(;`cm065
ADÓ`:`DBÓ=3`:`2이므로 ADÓ=;5#;ABÓ, DBÓ=;5@;ABÓ △ABC에서 DEÓBCÓ이므로 AEÓ`:`ECÓ=ADÓ`:`DBÓ=3`:`2 △AFC에서 BEÓFCÓ이므로 ABÓ`:`BFÓ=AEÓ`:`ECÓ=3`:`2 ∴ BFÓ=;3@;ABÓ ∴ ADÓ`:`DBÓ`:`BFÓ=;5#;ABÓ`:`;5@;ABÓ`:`;3@;ABÓ =;5#;`:`;5@;`:`;3@;=9`:`6`:`10 답 ⑤066
ㄱ. △ABC와 △ADE에서 ∠BAC는 공통,ABÓ`:`ADÓ=ACÓ`:`AEÓ=13`:`8이므로
△ABC»△ADE (SAS 닮음) (참)
ㄴ. BCÓ`:`DEÓ=ACÓ`:`AEÓ=13`:`8 (거짓) ㄷ. ABÓ`:`ADÓ=ACÓ`:`AEÓ이므로 BCÓDEÓ
즉, DBCE는 사다리꼴이다. (참)
ㄹ. ADÓ`:`DBÓ=AEÓ`:`ECÓ이므로 ADÓ`:`DBÓ=8`:`5 (참) ㅁ. ACÓ`:`AEÓ=BCÓ`:`DEÓ이므로 13`:`8=18`:`DEÓ
13DEÓ=144 ∴ DEÓ=:Á1¢3¢: (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다. 답ㄱ, ㄷ, ㄹ
067
ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ=16`:`14=8`:`7 ∴ △ABC`:`△ACD=BCÓ`:`CDÓ =(8-7)`:`7=1`:`7 답1`:`7068
△ABC와 △ACD에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의하여 PQÓ=;2!;ACÓ, SRÓ=;2!;ACÓ △ABD와 △BCD에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의하여 PSÓ=;2!; BDÓ, QRÓ=;2!; BDÓ ACÓ=BDÓ이므로 PQÓ=SRÓ=PSÓ=QRÓ=;2!;ACÓ=;2!;_6=3`(cm) ∴ (PQRS의 둘레의 길이)=3_4=12`(cm) 답②069
CDÓ=a라 하면 BDÓ`:`DCÓ=2`:`1이므로 BDÓ=2a, BCÓ=3a AEÓ=EBÓ, AFÓ=FCÓ이므로 EFÓBCÓ, EFÓ=;2!;BCÓ=;2#;a△CGD»△EGF (AA 닮음)이므로 CDÓ`:`EFÓ=a`:`;2#;a=2`:`3 따라서 CGÓ`:`EGÓ=2`:`3이므로 4`:`EGÓ=2`:`3, 2EGÓ=12 ∴ EGÓ=6`(cm) 답②
070
AÕMÓ=MÕBÓ, DÕNÓ=NCÓ이므로 ADÓMÕNÓBCÓ △ABD에서 MÕPÓ=;2!;ADÓ=;2!;_9=;2(;` MÕPÓ`:`PQÓ=3`:`2이므로 PQÓ=;3@; MÕPÓ=;3@;_;2(;=3` △ABC에서 BCÓ=2MÕQÓ=2(MÕPÓ+PQÓ)=2_{;2(;+3}=15 답⑤071
사다리꼴의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의하여 EGÓ=;2!;(ADÓ+BCÓ)=;2!;_(4+6)=5`(cm) 또한, EHÓFGÓ, EHÓ=FGÓ=;2!; BDÓ ……㉠ 중학2-2기말해답(09~17)2단원-삼.indd 15 2020-10-23 13:56:0016
중2 (2학기 기말고사) EFÓHGÓ, EFÓ=HGÓ=;2!;ACÓ ……㉡ 한편 등변사다리꼴 성질에서 ACÓ=BDÓ ……㉢ ㉠, ㉡, ㉢에서 EFGH는 마름모이다. ∴ EFGH=;2!;_EGÓ_HFÓ=;2!;_5_6=15`(cmÛ`) 답 ④072
y`:`6=8`:`4, y`:`6=2`:`1 ∴ y=12 x`:`(x+12)=3`:`11 11x=3x+36, 8x=36 ∴ x=4.5 3`:`12=2.5`:`z, 3z=30 ∴ z=10 ∴ x+y+z=4.5+12+10=26.5 답 ④073
ADÓBCÓ이므로 △AOD와 △COB에서 ∠DAO=∠BCO (∵ 엇각), ∠AOD=∠BOC (∵ 맞꼭지각) ∴ △AOD»△COB (AA 닮음) ∴ AOÓ`:`COÓ=ADÓ`:`BCÓ=6`:`9=2`:`3 EOÓBCÓ이므로 △AEO와 △ABC에서 ∠AOE=∠ACB (∵ 동위각), ∠BAC는 공통 ∴ △AEO»△ABC (AA 닮음) AOÓ`:`ACÓ=EOÓ`:`BCÓ=2`:`5 EOÓ`:`9=2`:`5, 5EOÓ=18 ∴ EOÓ=:Á5¥:`(cm) OFÓBCÓ이므로 △DOF와 △DBC에서 ∠DOF=∠DBC (∵ 동위각), ∠BDC는 공통 ∴ △DOF»△DBC (AA 닮음) OFÓ`:`BCÓ=DOÓ`:`DBÓ=2`:`5 OFÓ`:`9=2`:`5, 5OFÓ=18 ∴ OFÓ=:Á5¥:`(cm) ∴ EFÓ=EOÓ+OFÓ=:Á5¥:+:Á5¥:=:£5¤:`(cm) 답 ②074
DEÓ`:`EBÓ=AFÓ`:`FCÓ이므로 EFÓBCÓ EFÓ의 연장선과 ABÓ가 만나는 점을 G라 하면 △ABC에서 GFÓ`:`BCÓ=AFÓ`:`ACÓ, GFÓ`:`6=3`:`4 4GFÓ=18 ∴ GFÓ=;2(; △BDA에서 GEÓ`:`ADÓ=BEÓ`:`BDÓ, GEÓ`:`2=1`:`4 ( " # $ % & ' 4GEÓ=2 ∴ GEÓ=;2!; ∴ EFÓ=GFÓ-GEÓ=;2(;-;2!;=4 답 ④075
BEÓ`:`CEÓ=9`:`6=3`:`2이므로 BEÓ`:`BCÓ=EFÓ`:`CDÓ에서 3`:`5=EFÓ`:`6 ∴ EFÓ=:Á5¥:`(cm) ∴ △EBD=;2!;_15_:Á5¥:=27`(cmÛ`) 답27`cmÛ`076
ABÓ`:`ADÓ=BCÓ`:`DEÓ이므로 10`:`4=10`:`DEÓ, 10DEÓ=40 ∴ DEÓ=4 답 ②077
DEÓBCÓ이므로 ADÓ`:`DBÓ=AEÓ`:`ECÓ yy 가3`:`2=15`:`ECÓ, 3ECÓ=30 ∴ ECÓ=10`(cm) yy 나 답 10`cm 단계 채점 요소 배점 가 알맞은 비례식 세우기 2점 나 답 구하기 2점
078
36`:`72=40`:`x, 1`:`2=40`:`x ∴ x=80 답 ③079
BCÓFGÓ이므로 △ABC와 △AFG에서 ∠ABC=∠AFG (∵ 동위각), ∠FAG는 공통 ∴ △ABC»△AFG (AA 닮음) ABÓ`:`AFÓ=BCÓ`:`FGÓ 60`:`120=x`:`80 ∴ x=40 또 DEÓFGÓ이므로 △ADE와 △AFG에서 ∠ADE=∠AFG (∵ 동위각), ∠FAG는 공통 ∴ △ADE»△AFG (AA 닮음) ADÓ`:`AFÓ=DEÓ`:`FGÓ, 90`:`120=y`:`80 ∴ y=60 ∴ x+y=40+60=100 답100080
① 3`:`1.5+4`:`3 ② 5`:`3+6`:`4 ③ 5`:`20=3`:`12=1`:`4이므로 BCÓDEÓ ④ 8`:`12+6`:`10 ⑤ 4`:`6+3`:`5 답 ③ ADN ADN ADN ADN YADN ZADN " # $ % & ' ( 중학2-2기말해답(09~17)2단원-삼.indd 16 2020-10-22 11:47:502. 평행선과 선분의 길이의 비
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081
ㄱ. CEÓ`:`EAÓ+CFÓ`:`FBÓ이므로 ABÓ와 EFÓ는 평행하지 않다. (거짓) ㄴ. ADÓ`:`DBÓ=AEÓ`:`ECÓ=2`:`3이므로 BCÓDEÓ (참) ㄷ. BDÓ`:`DÕAÓ+BFÓ`:`FCÓ이므로 ACÓ와 DFÓ는 평행하지 않다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄴ이다. 답 ㄴ082
ABÓCEÓ이므로 △ABD와 △ECD에서 ∠BAD=∠CED (∵ 엇각), ∠ADB=∠EDC (∵ 맞꼭지각) ∴ △ABD»△ECD (AA 닮음)∴ ABÓ`:`ECÓ=BDÓ`:`CDÓ yy ㉠
또 △AEC에서 ∠CAE=∠BAD=∠CEA
이므로 △AEC는 이등변삼각형이다.
∴ ACÓ=ECÓ yy ㉡
따라서 ㉠, ㉡에서 ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`DCÓ 답 ④
083
⑴ 오른쪽 그림과 같이 BAÓ의 연장선 위에 점 E를 잡고, ADÓFCÓÓ가 되도록 직선 FC 를 그으면 ∠AFC=∠EAD (∵ 동위각), ∠ACF=∠CAD (∵ 엇각) 이므로 ∠AFC=∠ACF∴ AFÓ=ACÓ=3 yy 가
△ABD에서 ADÓFCÓ이므로 BFÓ`:`AFÓ=BCÓ`:`DCÓ 2`:`3=BCÓ`:`6, 3BCÓ=12 ∴ BCÓ=4 yy 나 ⑵ (△ABC의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+CAÓ=5+4+3=12 yy 다 답⑴ 4 ⑵ 12 단계 채점 요소 배점 가 AFÓ=ACÓ=3 구하기 1점 나 BCÓ=4 구하기 2점 다 △ABC의 둘레의 길이 구하기 1점
084
EHÓ=FGÓ=;2!;BDÓ=;2!;_8=4`(cm) yy 가EFÓ=HGÓ=;2!;ACÓ=;2!;_10=5`(cm) yy 나
따라서 EFGH의 둘레의 길이는 (4_2)+(5_2)=18`(cm) yy 다 답 18`cm 단계 채점 요소 배점 가 EHÓ=FGÓ=4`(cm) 구하기 2점 나 EFÓ=HGÓ=5`(cm) 구하기 2점 다 답 구하기 2점 & ' $ " # %
085
오른쪽 그림과 같이 BFÓDGÓ인 점 G 를 ACÓ 위에 잡으면 △CFB에서 CGÓ=GFÓ=9`(cm) △ADG에서 AEÓ=DEÓ, EFÓDGÓ이 므로 AFÓ=FGÓ ∴ AFÓ=9`(cm) 답⑤086
사다리꼴의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의하여 x=;2!;_(48+72)=;2!;_120=60 답③087
AÕMÓ=MÕBÓ, DÕNÓ=NCÓ이므로 ADÓMÕNÓBCÓ △ABC에서 MÕFÓ=;2!;BCÓ=;2!;_10=5 △ABD에서 MÕEÓ=;2!;ADÓ=;2!;_4=2 ∴ x=MÕFÓ-MÕEÓ=5-2=3 답④088
ACÓ`:`CFÓ=BDÓ`:`DEÓ이므로 12`:`x=9`:`6, 9x=72 ∴ x=8 답③089
△AOD와 △COB에서 ∠DAO=∠BCO (∵ 엇각), ∠AOD=∠COB (∵ 맞꼭지각) 이므로 △AOD»△COB (AA 닮음)∴ AOÓ`:`COÓ=ADÓ`:`CBÓ=9`:`15=3`:`5 yy 가
△ABC에서 EOÓ`:`BCÓ=AOÓ`:`ACÓ이므로 EOÓ`:`15=3`:`(3+5), 8EOÓ=45 ∴ EOÓ=:¢8°:`(cm) yy 나 △EGO와 △CGB에서 ∠GEO=∠GCB (∵ 엇각), ∠EGO=∠CGB (∵ 맞꼭지각) 이므로 △EGO»△CGB (AA 닮음)
∴ GEÓ`:`GCÓ=EOÓ`:`CBÓ=:¢8°:`:`15=3`:`8 yy 다
△CEO에서 GHÓ`:`EOÓ=CGÓ`:`CEÓ이므로 GHÓ`:`:¢8°:=8`:`(3+8), 11GHÓ=45 ∴ GHÓ=;1$1%;`(cm) yy 라 답;1$1%;`cm 단계 채점 요소 배점 가 AOÓ`:`COÓ=3`:`5 구하기 2점 나 EOÓ=:¢8°:`(cm) 구하기 2점 다 GEÓ`:`GCÓ=3`:`8 구하기 2점 라 답 구하기 2점 ADN " # % $ ' ( & 중학2-2기말해답(09~17)2단원-삼.indd 17 2020-10-22 11:47:52
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중2 (2학기 기말고사)001
⑴ ADÓ는 △ABC의 중선이고, 중선은 삼각형의 넓이를 이등분하므로 △ABD와 넓이가 같은 삼각형은 △ACD 이다. ⑵ PDÓ는 △PBC의 중선이므로 △PCD와 넓이가 같은 삼 각형은 △PBD이다. ⑶ △ABD=△ACD, △PBD=△PCD이므로 △APB=△ABD-△PBD =△ACD-△PCD =△APC 답⑴ △ACD ⑵ △PBD ⑶ △APC002
삼각형의 중선은 그 삼각형의 넓이를 이등분하므로 △ACD=;2!;△ABC=;2!;_16=8`(cmÛ`) 답8`cmÛ`003
CPÓÓ가 △AMC의 중선이므로 △AMC=2△ACP=2_4=8`(cmÛ`) 또 AÕMÓ이 △ABC의 중선이므로 △ABC=2△AMC=2_8=16`(cmÛ`) 답 ⑤004
BFÓÓ가 △ABC의 중선이므로 △ABF=△BCF=;2!;△ABC 두 점 D, E는 BCÓ의 삼등분점이므로 △ABD=;3!;△ABC ∴ △ABC=3△ABD=3_18=54`(cmÛ`) ∴ △ABF=;2!;△ABC=;2!;_54=27`(cmÛ`) 답 ②005
BQÓ`:`BCÓ=1`:`3이므로 △PBQ`:`△PBC=1`:`3 즉, 3`:`△PBC=1`:`3 ∴ △PBC=9`(cmÛ`) 따라서 BPÓ는 △ABC의 중선이므로 △ABC=2△PBC=2_9=18`(cmÛ`) 답 ③006
⑴ AÕGÓ:`GDÓ=2`:`1이므로 8`:`x=2`:`1, 2x=8 ∴ x=4 ⑵ BDÓ`:`BGÓ=3`:`2이므로 x:12=3:2, 2x=36 ∴ x=18 답⑴ 4 ⑵ 18007
점 G가 △ABC의 무게중심이므로 AÕGÓ:`GÕMÓ=2`:`13
삼각형의 무게중심
본문 042~054쪽090
대각선 AC와 EFÓ의 교점을 G라 하 면 △AEG와 △ABC에서 ∠AGE=∠ACB (∵ 동위각), ∠BAC는 공통이므로 △AEG»△ABC (AA 닮음) 6`:`8=EGÓ`:`12, 3`:`4=EGÓ`:`12 4EGÓ=36 ∴ EGÓ=9`(cm) 또 △CFG와 △CDA에서 ∠CGF=∠CAD (∵ 동위각), ∠ACD는 공통이므로 △CFG»△CDA (AA 닮음) 2`:`8=FGÓ`:`6, 1`:`4=FGÓ`:`6 4FGÓ=6 ∴ FGÓ=;2#;`(cm) ∴ EFÓ=EGÓ+FGÓ=9+;2#;=:ª2Á:`(cm) 답 :ª2Á:`cm091
오른쪽 그림과 같이 평행이동시 키면 △ABB'과 △ACC'에서 ∠AB'B=∠AC'C (∵ 동위각), ∠CAC'은 공통이므로△ABB'»△ACC' (AA 닮음) yy 가
ABÓ`:`ACÓ=BÕB'Ó`:`CÕC'Ó yy 나 2`:`8=4`:`(x-6) 1`:`4=4`:`(x-6), x-6=16 ∴ x=22 yy 다 답 22 단계 채점 요소 배점 가 △ABB'»△ACC'임을 구하기 2점 나 알맞은 비례식 세우기 2점 다 답 구하기 2점
092
ABÓDCÓ이므로 △ABP와 △CDP에서 ∠BAP=∠DCP (∵ 엇각), ∠APB=∠CPD (∵ 맞꼭지각) ∴ △ABP»△CDP (AA 닮음) ABÓ`:`CDÓ=APÓ`:`CPÓ=3`:`5 ∴ ACÓ`:`CPÓ=8`:`5 ABÓPQÓ이므로 △ABC와 △PQC에서 ∠ABC=∠PQC (∵ 동위각), ∠ACB는 공통 ∴ △ABC»△PQC (AA 닮음) 8`:`QCÓ=8`:`5, 8QCÓ=40 ∴ QCÓ=5 답 ③ ADN ADN ADN ADN ' " # $ % & ( Y " " # # $ $ M N O 중학2-2기말해답(18~25)3단원-삼.indd 18 2020-10-22 11:48:243. 삼각형의 무게중심
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∴ GÕMÓ=;3!;AÕMÓ=;3!;_18=6`(cm) 답 ①008
점 G가 △ABC의 무게중심이므로 x=;3@; ADÓ=;3@;_18=12 BDÓ=DCÓ이므로 y=7 ∴ x+y=12+7=19 답19009
BEÓ가 △ABC의 중선이므로 CEÓ=AEÓ ∴ x=;2!; ACÓ=;2!;_10=5 점 G가 △ABC의 무게중심이므로 y=;2!; BGÓ=;2!;_6=3 ∴ x-y=5-3=2 답 ②010
두 점 D, E는 각각 ABÓ, ACÓ의 중점이므로 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의하여 DEÓ=;2!; BCÓ=;2!;_14=7`(cm) 답 ③011
점 M은 직각삼각형 ABC의 빗변의 중점이므로 △ABC 의 외심이다. ∴ AÕMÓ=BÕMÓ=CÕMÓ=;2!; BCÓ =;2!;_12=6`(cm) 따라서 점 G가 △ABC의 무게중심이므로 AGÓ=;3@;AÕMÓ=;3@;_6=4`(cm) 답 ④012
점 G가 △ABC의 무게중심이므로 GDÓ=;3!;ADÓ=;3!;_9=3`(cm) 점 G'이 △GBC의 무게중심이므로 GÕ'DÓ=;3!; GDÓ=;3!;_3=1`(cm) 답 ①013
점 G'은 △GBC의 무게중심이므로 GÕ'DÓ=;2!; GÕG'Ó=;2!;_4=2`(cm) ∴ GDÓ=GÕG'Ó+GÕ'DÓ=4+2=6`(cm) 따라서 점 G가 △ABC의 무게중심이므로 ADÓ=3GDÓ=3_6=18`(cm) 답 18`cm014
DCÓ=;2!; BCÓ이므로 DCÓ=;2!;_12=6`(cm) 점 G가 △ABC의 무게중심이고 GHÓDCÓ이므로 GHÓ`:`DCÓ=AGÓ`:`ADÓ=2`:`3 GHÓ`:`6=2`:`3, 3GHÓ=12 ∴ GHÓ=4`(cm) 답 4`cm015
점 G가 △ABC의 무게중심이므로 x=;2!;AGÓ=;2!;_12=6 점 G가 △ABC의 무게중심이고, EGÓBDÓ이므로 △ABD에서 8`:`y=12`:`(12+6), 8`:`y=12`:`18 8`:`y=2`:`3, 2y=24 ∴ y=12 ∴ x+y=6+12=18 답18016
오른쪽 그림과 같이 AGÓ와 AÕG'Ó의 연장선과 BCÓ와의 교점을 각각 P, Q 라 하면 BPÓ=PDÓ, DQÓ=QCÓ ∴ PQÓ=;2!; BCÓ=;2!;_12=6`(cm) △APQ에서 AÕGÓ`:`APÓ=AÕG'Ó`:`GÕ'QÓ=2`:`3 이므로 GÕG'ÓPQÓ 따라서 GÕG'Ó`:`PQÓ=2`:`3이므로 GÕG'Ó`:`6=2`:`3, 3GÕG'Ó=12 ∴ GÕG'Ó=4`(cm) 답④017
△ABD에서 AEÓ=BEÓ, BFÓ=FDÓ이므로 EFÓADÓ ∴ ADÓ=2EFÓ=2_6=12`(cm) 점 G는 △ABC의 무게중심이므로 AGÓ=;3@;ADÓ=;3@;_12=8`(cm) 답④018
점 G가 △ABC의 무게중심이므로 AFÓ=BFÓ, AEÓ=CEÓ이고, FEÓBCÓ AÕHÓ`:`ADÓ=AFÓ`:`ABÓ=1`:`2이므로 AÕHÓ=;2!;ADÓ=;2!;_18=9`(cm) 점 G는 △ABC의 무게중심이므로 AGÓ=;3@;ADÓ=;3@;_18=12`(cm) ∴ HGÓ=AGÓ-AÕHÓ=12-9=3`(cm) 답②019
⑴ △ABD=;2!;△ABC=;2!;_120=60`(cmÛ`) ⑵ △AGB=;3!;△ABC=;3!;_120=40`(cmÛ`) 답⑴ 60`cmÛ` ⑵ 40`cmÛ`020
△ABG=;3!;△ABC=;3!;_27=9`(cmÛ`) 답9`cmÛ`021
△GBD=;6!;△ABC =;6!;_120=20`(cmÛ`) 답② " # $ % 2 1 ( ( 중학2-2기말해답(18~25)3단원-삼.indd 19 2020-10-22 11:48:2520
중2 (2학기 기말고사) 따라서 POÓ=;2!; BPÓ, QOÓ=;2!; DQÓ, BPÓ=DQÓ=4`cm이므로 BDÓ=BPÓ+POÓ+QOÓ+DQÓ =BPÓ+;2!; BPÓ+;2!; DQÓ+DQÓ =;2#; BPÓ+;2#; DQÓ =;2#;_4+;2#;_4=12`(cm) 답 12`cm028
△BCD에서 BÕMÓ=CÕMÓ, CNÓ=DÕNÓ이므로 BDÓMÕNÓ, BDÓ=2MÕNÓ=2_3=6`(cm) 오른쪽 그림과 같이 ACÓ와 BDÓ의 교 점을 O라 하면 BÕMÓ=CÕMÓ, AOÓ=COÓ이므로 점 P는 △ABC의 무게중심이다. ∴ POÓ=;3!; BOÓ CNÓ=DNÓ, AOÓ=COÓ이므로 점 Q는 △ACD의 무게중심 이다. ∴ QOÓ=;3!; DOÓ ABCD는 평행사변형이므로 BOÓ=DOÓ ∴ PQÓ=POÓ+QOÓ=;3!; BOÓ+;3!; DOÓ =;3@; BOÓ=;3!; BDÓ=;3!;_6=2`(cm) 답 2`cm029
ABCD가 평행사변형이므로 AOÓ=COÓ, BOÓ=DOÓ BOÓ=DOÓ, AÕMÓ=DÕMÓ이므로 점 P는 △ABD의 무게중심 이다. ∴ POÓ=;3!;AOÓ BOÓ=DOÓ, BNÓ=CNÓ이므로 점 Q는 △BCD의 무게중심 이다. ∴ QOÓ=;3!; COÓ ∴ PQÓ=POÓ+QOÓ=;3!;AOÓ+;3!; COÓ =;3@;AOÓ=;3!;ACÓ=;3!;_12=4`(cm) 답 ④030
AOÓ=OCÓ, BEÓ=ECÓ, CFÓ=FDÓ 이므로 두 점 P, Q는 각각 △ABC, △ACD의 무게중심이다. 오른쪽 그림과 같이 PCÓ, QCÓ를 그 으면 △ABP=;3!;△ABC=;3!;△ACD이므로 어두운 부분의 넓이는 △PEC+△PCO+△QOC+△QCF =;6!;△ABC+;6!;△ABC+;6!;△ACD+;6!;△ACD =;3!;△ABC+;3!;△ACD=2△ABP =2_8=16`(cmÛ`) 답16`cmÛ` ADN " % # 1 2 0 . $ / " % # 1 2 0 & $ '022
△GBD=;6!;△ABC이므로 △ABC=6△GBD ∴ △ABC=6△GBD=6_5=30`(cmÛ`) 답 ③023
AFÓ=BFÓ, AEÓ=CEÓ이므로 점 G는 △ABC의 무게중심이다. 오른쪽 그림과 같이 AGÓ를 그으면 AFGE=△AGE+△AGF =;6!;△ABC+;6!;△ABC =;3!;△ABC=;3!;_36 =12`(cmÛ`) 답 ②024
오른쪽 그림과 같이 AGÓ를 그으면 점 G가 △ABC의 무게중심이므로 △GAB=△GAC=;3!;△ABC=;3!;_21=7`(cmÛ`)
BEÓ=EGÓ, CFÓ=FGÓ이므로 어두운 부분의 넓이는 △GAE+△GAF=;2!;△GAB+;2!;△GAC
=;2!;_7+;2!;_7 =7`(cmÛ`) 답 ③
025
점 G가 △ABC의 무게중심이므로 ADÓ=BDÓ, AEÓ=CEÓ이고 DEÓBCÓ 따라서 ADÓ`:`ABÓ=DEÓ`:`BCÓ=1`:`2이므로 △DGE`:`△GBC=1`:`4 ∴ △DGE=;4!;△GBC=;4!;_;3!;△ABC =;1Á2;△ABC=;1Á2;_48=4`(cmÛ`) 답 ①026
AFÓ=EFÓ, BDÓ=EDÓ이므로 점 G는 △ABE의 무게중심 이다. ∴ △ABE=6△BDG=6_2=12`(cmÛ`) △ABC와 △ABE의 높이가 같으므로 넓이의 비는 밑변 의 길이의 비와 같다. △ABC`:`△ABE=3`:`2이므로 △ABC`:`12=3`:`2 2△ABC=36 ∴ △ABC=18`(cmÛ`) 답 ③027
ABCD는 평행사변형이므로 AOÓ=OCÓ AOÓ=OCÓ, BÕMÓ=MÕCÓ, CNÓ=NÕDÓ이므로 두 점 P, Q는 각각 △ABC, △ACD의 무게중심이다. " # ' & ( $ " # & ( ' $ 중학2-2기말해답(18~25)3단원-삼.indd 20 2020-10-22 11:48:293. 삼각형의 무게중심
21
031
BOÓ=ODÓ, BQÓ=QCÓ, APÓ=PDÓ이므로 두 점 M, N은 각 각 △ABD, △BCD의 무게중심이다. △NQC=;6!;△BCD이므로 △BCD=△ABD=6△NQC=6_6=36`(cmÛ`) ∴ PMND=PMOD+△OND =;3!;△ABD+;6!;△BCD =;3!;_36+;6!;_36=12+6=18`(cmÛ`) 답18`cmÛ`032
△ABN=;2!;△ABM=;2!;_;2!;△ABC yy 가=;4!;△ABC=;4!;_56=14`(cmÛ`) yy 나 답14`cmÛ` 단계 채점 요소 배점 가 △ABN=;2!;△ABM=;4!;△ABC임을 알고 식 세우기 2점 나 답 구하기 2점
033
△ABM=△ACM (∵BÕMÓ=MÕCÓ, 높이는 공통) yy 가 △DBE=;3!;△ABM {∵DEÓ=;3!;AÕMÓ, 높이 h는 공통} yy 나 ∴ △ABC=2△ABM=2_3△DBE =6_8=48`(cmÛ`) yy 다 답48`cmÛ` 단계 채점 요소 배점 가 △ABM=△ACM임을 구하기 2점 나 △DBE=;3!;△ABM임을 구하기 2점 다 답 구하기 2점034
점 G가 △ABC의 무게중심이므로 AÕGÓ`:`GDÓ=2`:`1 x`:`4=2`:`1 ∴ x=8 또 BGÓ`:`GEÓ=2`:`1, (y-5)`:`5=2`:`1 y-5=10 ∴ y=15 yy 가 ∴ x+y=8+15=23 yy 나 답23 단계 채점 요소 배점 가 x=8, y=15 구하기 3점 나 답 구하기 1점 " % I . # &035
점 G가 △ABC의 무게중심이므로 GDÓ=;3!;ADÓ=;3!;_27=9`(cm) yy 가 점 G'이 △GBC의 무게중심이므로 GÕG'Ó=;3@; GDÓ=;3@;_9=6`(cm) yy 나 답 6`cm 단계 채점 요소 배점 가 GDÓ=9`(cm) 구하기 3점 나 답 구하기 3점036
점 G'이 △AGC의 무게중심이므로△AGC=3△AG'C=3_3=9`(cmÛ`) yy 가
점 G가 △ABC의 무게중심이므로
△ABC=3△AGC=3_9=27`(cmÛ`) yy 나
답 27`cmÛ` 단계 채점 요소 배점 가 △AGC=9`(cmÛ`) 구하기 3점 나 답 구하기 3점
037
점 G는 △ABC의 무게중심이므로 DGÓ=;3!;ADÓ=;3!;_18=6`(cm) yy 가 또 EFÓBCÓ이고 △GFE와 △GDC에서 ∠EFG=∠CDG (∵ 엇각), ∠EGF=∠CGD (∵ 맞꼭지각) 따라서 △GFE»△GDC (AA 닮음)이므로 FGÓ`:`DGÓ=EGÓ`:`CGÓ=1`:`2 yy 나 ∴ FGÓ=;2!; DGÓ=;2!;_6=3`(cm) yy 다 답 3`cm 단계 채점 요소 배점 가 DGÓ=6`(cm) 구하기 2점 나 △GFE»△GDC임을 알고 알맞은 비례식 세우기 2점 다 답 구하기 2점038
점 G는 △ABC의 무게중심이므로 AEÓ=BEÓ이고 ADÓEFÓ이므로 BFÓ=DFÓ △ABD에서 AGÓ`:`GDÓ=2`:`1, AÕGÓ`:`4=2`:`1 ∴ AGÓ=8`(cm) yy 가 따라서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의 하여 EFÓ=;2!;ADÓ=;2!;(AGÓ+GDÓ) =;2!;_(8+4)=6`(cm) yy 나 답 6`cm 중학2-2기말해답(18~25)3단원-삼.indd 21 2020-10-22 11:48:3022
중2 (2학기 기말고사) 단계 채점 요소 배점 가 AGÓ=8`(cm) 구하기 3점 나 답 구하기 3점039
점 G는 △ABC의 무게중심이므로 △ABG=△BCG=14`cmÛ` yy 가 ∴ △BDG=;2!;△BCG=;2!;_14=7`(cmÛ`) yy 나 답 7`cmÛ` 단계 채점 요소 배점 가 △ABG=△BCG=14`cmÛ` 구하기 2점 나 답 구하기 2점040
2GDÓ=DCÓ에서 GDÓ`:`DCÓ=1`:`2이므로△AGD=;3!;△AGC=;3!;_;3!;△ABC yy 가
=;9!;_27=3`(cmÛ`) yy 나 답 3`cmÛ` 단계 채점 요소 배점 가 GDÓ`:`DCÓ=1`:`2임을 알고 알맞은 식 세우기 3점 나 답 구하기 3점
041
⑴ △ADF=3△GDF=3_4=12`(cmÛ`)이므로 △FDC=;2!;△ADF=;2!;_12=6`(cmÛ`) yy 가 ⑵ △ABC=2△ADC =2(△ADF+△FDC) =2_(12+6)=36`(cmÛ`) yy 나 답⑴ 6`cmÛ` ⑵ 36`cmÛ` 단계 채점 요소 배점 가 △FDC의 넓이 구하기 4점 나 △ABC의 넓이 구하기 4점042
평행사변형의 성질에 의하여 BOÓ=DOÓ이므로 DOÓ=;2!; BDÓ=;2!;_24=12`(cm) yy 가 △ACD에서 AOÓ=COÓ, CÕMÓ=DÕMÓ이므로 점 E는 △ACD의 무게중심이다. yy 나∴ EOÓ=;3!; DOÓ=;3!;_12=4`(cm) yy 다
답4`cm 단계 채점 요소 배점 가 DOÓ=12`(cm) 구하기 2점 나 점 E가 △ACD의 무게중심임을 알기 2점 다 답 구하기 2점
043
점 M이 BCÓ의 중점이고, AOÓ=COÓ이므로 점 P는 △ABC의 무게중심이다. yy 가 △ABC=2△ABO=2_(3△APO) =2_3_10=60`(cmÛ`) yy 나∴ ABCD=2△ABC=2_60=120`(cmÛ`) yy 다
답120`cmÛ` 단계 채점 요소 배점 가 점 P가 △ABC의 무게중심임을 알기 2점 나 △ABC=60`(cmÛ`) 구하기 3점 다 답 구하기 3점
