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2021 숨마쿰라우데 개념기본서 중1-2 답지 정답

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Academic year: 2021

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(1)

•개념 BOOK 002 •테스트 BOOK 057

본문해설 5+1~15 2018.3.30 6:52 PM 페이지1

(2)

기본 도형

V

1. 기본 도형

01. 점, 선, 면

개념

CHECK

026쪽 ⑴ 교점, 교선 ⑵ 중점 0115

02ABÍ=BCÍ, AB≥=AC≥, BC”=CB”, CA≥=CB≥ 03⑴ 12 cm ⑵ 9 cm 04⑴ 2 cm ⑵ 4 cm

0

1

a=6, b=9이므로 a+b=15

0

4

⑴ MB”=AM”=2NM”=2 cm ⑵ AB”=2AM”=4 cm 유형 ①, ③ 1-11-2 ⑤ 유형 18 2-1 13 2-2 14 유형 ④ 3-13-2 ③ 유형 12 cm 4-1 5 cm 4-2 9 cm 4-3 4 cm

유형

EXERCISES

027~028쪽 2 1 4 3 유형`` ① 시작점과 방향이 모두 다르므로 AB≥+BA≥ ③ 시작점이 다르므로 DB≥+CB≥

1

-1 AB≥와 같은 반직선은 시작점과 뻗은 방향이 모두 같은 ① AD≥이다.

1

-2 ① BD≥와` AB≥의 공통부분은 BD≥(=BC≥)이다. ② BD≥와` BC≥의 공통부분은 BD≥(=BC≥)이다. ③ BD≥와` CD≥의 공통부분은 CD≥이다. ④ BD≥와` CA≥의 공통부분은 BC”이다. ⑤ BD≥와` DA≥의 공통부분은 BD”이다.

1

유형`` ③ NB”=NM”+MB”=;2!;AM”+;2!;AB” ③ NB”=NM”+MB”=;4!;AB”+;2!;AB”=;4#;AB” ④ AB”=2AM”=2_2AN”=4AN” ⑤ NM”=;2!;AM”=;2!;_;2!;AB”=;4!;AB”

3

-1 두 점 M, N은 AB”의 삼등분점이므로 AM”=MN”=NB” ④ 3MB”=3_2NB”=2_3NB”=2AB” ⑤ AB”=3AM”=3_;2!;AN”=;2#;AN”

3

S U M M A C U M L A U D E 정 답 및 풀 이

>

개념

BOOK

>

>

>

유형`` a= =6, b=4_3=12 ∴ a+b=6+12=18 ■ 다른 풀이 ■

직선은 ABÍ, ACÍ, ADÍ, BCÍ, BDÍ, CDÍ의 6개이므로 a=6 (반직선의 개수)=(직선의 개수)_2=6_2=12 ∴ b=12 ∴ a+b=6+12=18

2

-1 네 점이 한 직선 위에 있으므로 직선은 1개이다. ∴ a=1

반직선은 AD≥, BD≥, CD≥, DA≥, CA≥, BA≥로 6개이다. ∴ b=6

선분은 AB”, AC”, AD”, BC”, BD”, CD”로 6개이다. ∴ c=6 ∴ a+b+c=13

2

-2 세 점 A, B, C에 의하여 결정되는 직선 l과 DAÍ, DBÍ, DCÍ의 3개가 있으므로 직선은 4개이다. ∴ a=4 세 점 A, B, C에 의하여 결정되는 반직선은 AB≥, BA≥, BC≥, CA≥이고 점 D를 지나는 반직선은 DA≥, DB≥, DC≥, AD≥, BD≥, CD≥이므로 반직선은 모두 10개이다. ∴ b=10 ∴ a+b=14 4_3 44444444542

2

본문해설 5+1~15 2018.3.30 6:52 PM 페이지002

(3)

개념 BOOK Ⅴ. 기본 도형

003

3

-2 ③ AN”=2AM”=2_2PM”=4PM” ④ PB”=PM”+MB”=PM”+4PM”=5PM” 유형`` AM”=MB”, BN”=NC”이고, MN”=6 cm이므로 AC”=AB”+BC”=2MB”+2BN”=2MN”=12(cm)

4

-1 MN”=MP”+PN”=;2!;AP”+;2!;PB”=;2!;AB” MN=;2!;_10=5(cm)

4

-2 AM”=MN”=NB”이므로 AM”=;2!;AN”=;2!;_6=3(cm) ∴ AB”=3AM”=3_3=9(cm)

4

-3 AC”=2CD”이므로 AC”=;3@;AD”=;3@;_18=12(cm) AB”=2BC”이므로 BC”=;3!;AC”=;3!;_12=4(cm)

0

1

⑴ ∠a=45˘ (맞꼭지각) 30˘+∠b+45˘=180˘ ∴ ∠b=105˘ ⑵ ∠a=90˘ (맞꼭지각) 25˘+∠b=90˘ ∴ ∠b=65˘

0

2

ㄴ. CD”는 AB”의 수직이등분선이다. ㄹ. 점 D에서 ABÍ에 내린 수선의 발은 점 H이다.

0

3

⑴ (점 A와 BC” 사이의 거리)=CD”=2 cm ⑵ (점 P와 CD” 사이의 거리)=BC”=4 cm

4

02. 각

개념

CHECK

033쪽 ⑴ 각 AOB ⑵ 평각, 직각, 예각, 둔각 01⑴ ∠AOB ⑵ ∠AOP, ∠POB

⑶ ∠POQ, ∠QOB ⑷ ∠AOQ

02⑴ 예각 ⑵ 직각 ⑶ 예각 ⑷ 둔각 ⑸ 평각 ⑹ 둔각 0340˘ 0450˘

0

3

40˘+3∠x+20˘=180˘, 3∠x=120˘ ∴ ∠x=40˘

0

4

∠x+90˘+40˘=180˘ ∴ ∠x=50˘ 03. 맞꼭지각

개념

CHECK

039쪽 ⑴ 맞꼭지각 ⑵ 직교 ⑶ 수선 01⑴ ∠a=45˘, ∠b=105˘ ⑵ ∠a=90˘, ∠b=65˘ 02ㄱ, ㄷ 03⑴ 2 cm ⑵ 4 cm 유형 35˘ 1-1 54˘ 1-2 10˘ 1-3 120˘ 유형 100˘ 2-1 45˘ 2-2 90˘ 2-3 60˘ 유형 40˘ 3-1 30˘ 3-2 25˘ 3-3 6쌍 유형 ⑤ 4-14-2 ;;¡5™;; cm

유형

EXERCISES

040~041쪽 2 3 1 4 유형`` 2∠x-7˘+∠x+3∠x-23˘=180˘이므로 6∠x-30˘=180˘, 6∠x=210˘ ∴ ∠x=35˘

1

-1 90˘+6∠x+9∠x=180˘이므로 90˘+15∠x=180˘ 15∠x=90˘ ∴ ∠x=6˘ ∴ ∠COD=9∠x=54˘

1

-2 ∠y+40˘=90˘ ∴ ∠y=50˘ ∠x+∠y=∠x+50˘=90˘ ∴ ∠x=40˘ ∴ ∠y-∠x=50˘-40˘=10˘

1

-3 ∠BOC+30˘=90˘ ∴ ∠BOC=60˘ ∠AOB+∠BOC=∠AOB+60˘=180˘ ∴ ∠AOB=120˘

1

유형`` ∠z=180˘_ =100˘

2

-1 ∠AOB=∠x라고 하면 ∠BOC=3∠x ∠x+3∠x=180˘이므로 ∠x=45˘ ∴ ∠AOB=45˘ 5 1112441+3+5

2

본문해설 5+1~15 2018.3.30 6:52 PM 페이지003

(4)

2

-2 OB”와 OD”가 각각 ∠AOC와 ∠COE의 이등분선이므로 ∠AOB=∠BOC, ∠COD=∠DOE ∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOE=180˘에서 2∠BOC+2∠COD=180˘ ∠BOC+∠COD=90˘ ∴ ∠BOD=90˘

2

-3 ∠BOC=∠x, ∠COD=∠y라고 하면 ∠AOB=2∠x, ∠DOE=2∠y이므로 ∠x+2∠x+∠y+2∠y=180˘ 3∠x+3∠y=180˘ ∴ ∠x+∠y=60˘ ∴ ∠BOD=60˘ 유형`` ⑤ 점 D와 직선 AB 사이의 거리는 OD”의 길이이다.

4

-1 ① 점 A와 BCÍ 사이의 거리는 5 cm이다. ② ADÍ와 수직으로 만나는 선분은 AB”이다. ③ 점 B와 CDÍ 사이의 거리는 알 수 없다. ④ ADÍ와 한 점에서 만나는 직선은 ABÍ, CDÍ이다.

4

-2 점 A에서 BC” 사이의 거리는 AD”의 길이이다. 그런데 삼각형의 넓이에서 ;2!;_AB”_AC”=;2!;_AD”_BC”이므로 4_3=AD”_5 ∴ AD”=;;¡5™;;(cm)

4

04. 위치 관계

개념

CHECK

051쪽 ⑴ 평행, ∥ ⑵ 꼬인 위치 01⑴ 점 A, 점 B ⑵ 점 B, 점 C 02⑴ 직선 DE ⑵ 직선 AB, 직선 CD, 직선 DE, 직선 FA 03⑴ 평행하다. ⑵ 수직이다. ⑶ 꼬인 위치에 있다. 04⑴ CF” ⑵ 면 ABC, 면 DEF 0510

0

5

면 ABCD에 수직인 면은 면 ABFE, 면 BFGC, 면 CGHD, 면 AEHD로 4개이므로 x=4 BD”와 꼬인 위치에 있는 모서리는 AE”, CG”, EF” FG”, GH”, EH”로 6개이므로 y=6 ∴ x+y=10 유형 6 1-11-2

유형 7 2-1 ㄱ, ㄷ 2-2 AD”, DH”, EH”, AE”, EF” 유형 6 3-1 6 3-2 ① 유형 4 4-1 면 BFGC, 면 AEHD, 면 ABCD, 면 EFGH 4-2 ⑴ 4 ⑵ 면 ABEN, 면 BCDE, 면 MFGL, 면 KLIJ

유형

EXERCISES

052~053쪽 2 3 1 4 유형`` DEÍ와 한 점에서 만나는 직선은 평행한 직선을 제외한 ABÍ, BCÍ, CDÍ, EFÍ, FGÍ, GHÍ로 모두 6개이다.

1

-1 ③ ADÍ∥BCÍ

1

-2 ④ 점 B와 ADÍ 사이의 거리는 CD”의 길이와 같다.

1

유형``

BI”와 꼬인 위치에 있는 모서리는 AE”, DH”, CG”, EF”, FG”, GH”, HE”로 모두 7개이다.

2

유형`` 맞꼭지각의 크기는 같으므로 3∠x-10˘+∠x+2∠x+10˘=180˘ 6∠x=180˘ ∴ ∠x=30˘ ∠y=2∠x+10˘=70˘이므로 ∠y-∠x=70˘-30˘=40˘

3

-1 맞꼭지각의 크기는 같으므로 90˘+∠x+60˘=180˘ ∴ ∠x=30˘

3

-2 맞꼭지각의 크기는 같으므로 3∠x-5˘+2∠x+3∠x-15˘ =180˘ 8∠x-20˘=180˘, 8∠x=200˘ ∴ ∠x=25˘

3

-3 직선 l과 m, m과 n, n과 l로 만들어지는 맞꼭지각이 각 각 2쌍이므로 2_3=6(쌍) 3x-5æ 3x-15æ 2x 2x

3

본문해설 5+1~15 2018.3.30 6:52 PM 페이지004

(5)

개념 BOOK Ⅴ. 기본 도형

005

2

-1 ㄴ. 모서리 AD와 모서리 CG는 꼬인 위치에 있다. ㄹ. 모서리 CD와 꼬인 위치에 있는 모서리는 AE”, BF”, FG”, EH”로 4개이다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

2

-2 모서리 BG와 만나지도 않고, 평행하지도 않은 모서리는 AD”, DH”, EH”, AE”, EF”이다.

유형``

면 ABCDE와 평행한 모서리는 GH”, HI”, IJ”, JF”, FG”로 5개이므로 a=5

모서리 AE와 평행한 면은 면 FGHIJ로 1개이므로 b=1 ∴ a+b=5+1=6

3

-1 모서리 CG와 수직인 면은 면 ABCD, 면 EFGH로 2개이므로 a=2

면 ABCD와 평행한 모서리는 EF”, FG”, GH”, HE”로 4개이므로 b=4 ∴ a+b=2+4=6

3

-2 주어진 전개도로 만든 삼각기둥은 오른쪽 그림과 같다. ① 모서리 IJ와 수직인 모서리는 ①JC”, AB”, HI”로 3개이다. ② 면 HEFG와 평행한 모서리는 ①JC”로 1개이다.

③ 모서리 IJ와 꼬인 위치에 있는 모서리는 CE”, DE”, HE”로 3개이다.

④ 면 IJH와 수직인 모서리는 JC”, ID”, HE”로 3개이다. ⑤ 면 CDE와 평행한 모서리는 JI”, IH”, HJ”로 3개이다.

I{A,`G} D{B,`F} H J C E

3

유형``

면 BEFC와 수직인 면은 면 ABC, 면 DEF, 면 ADEB로 3개이므로 a=3 면 ABC와 평행한 면은 면 DEF로 1개이므로 b=1 ∴ a+b=4

4

-1 면 CGHD와 수직인 면은 옆면인 면 BFGC, 면 AEHD 와 밑면인 면 ABCD, 면 EFGH이다.

4

-2 주어진 전개도로 정육면체를 만들면 오른쪽 그림과 같다. ⑴ 면 NEFM과 평행한 모서리는 HG”(=BC”), GL”, IL”, HI”(=AB”)로 4개이다. ⑵ 면 NEFM과 수직인 면은 평행한 면인 면 LGHI를 제외한 면으로 면 ABEN, 면 BCDE, 면 MFGL, 면 KLIJ이다. I{A} H{B} M{K} F{D} G{C} N{J} E L

4

05. 평행선의 성질

개념

CHECK

061쪽 ⑴ 동위각, 엇각 ⑵ 평행, 평행 01⑴ ∠d ⑵ ∠h, ∠k ⑶ ∠a, ∠h 02∠x=140˘, ∠y=65˘ 03⑴, ⑵ 04⑴ 50˘ ⑵ 80˘

0

2

∠y=65˘ (엇각) ∠x=180˘-40˘=140˘ (동위각)

0

3

⑴ 엇각의 크기가 같으므로 l∥m ⑵ 동위각의 크기가 같으므로 l∥m ⑶ 동측내각의 크기의 합이 180

˘

가 아니므로 l, `m은 서로 평행하지 않다.

0

4

⑴ 오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m 에 평행한 직선을 그으면 ⑴20˘+∠x=70˘∴ ∠x=50˘ ⑵ 오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m 에 평행한 직선을 그으면 ∠x=60˘+20˘=80˘ 70æ l m 60æ60æ 20æ 20æ 70æ 20æ x x l m 20æ 유형 ⑤ 1-1 ⑴ 60˘ ⑵ 65˘ 1-2 ④ 유형 ⑤ 2-1 ∠x=20˘,∠y=80˘2-2 ④ 유형 70˘ 3-1 80˘ 3-2 43˘ 3-3 140˘ 3-4 40˘ 3-5 50˘ 3-6 60˘

유형

EXERCISES

062~063쪽 2 1 3 본문해설 5+1~15 2018.3.30 6:52 PM 페이지005

(6)

유형`` ① ∠a=45˘ (동위각) ② ∠b는 ∠a의 맞꼭지각이므로 ∠b=45˘ ③ ∠c=75˘ (동위각) ④ ∠d는 ∠b의 동위각이므로 ∠d=45˘ ⑤ ∠c+∠d+∠e=180˘이므로 75˘+45˘+∠e=180˘ ∴ ∠e=60˘

2

-1 l∥m이므로 ∠y=4∠x (동위각) 2∠x+60˘+4∠x=180˘ 6∠x=120˘ ∴ ∠x=20˘ ∴ ∠y=4∠x=80˘

2

-2 ④ 엇각의 크기가 같지 않으므로 두 직선 l, m은 평행하 지 않다.

2

유형`` 오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m에 평행한 직선을 그으면 ∠x=30˘+40˘=70˘

3

-1 오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m에 평행한 직선을 그으면 ∠x+20˘=100˘ ∴ ∠x=80˘ 20æ x n x 20æ m l 40æ 40æ30æ 30æ m l n

3

-2 오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m에 평행한 직선을 그으면 75˘=32˘+∠x ∴ ∠x=43˘ ■ 다른 풀이 ■ 삼각형의 세 각의 크기의 합은 180˘ 이므로 105˘+32˘+∠x=180˘ ∴ ∠x=43˘

3

-3 오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m에 평행한 직선을 2개 그으면 ∠x-25˘+65˘=180˘ ∴ ∠x=140˘

3

-4 오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m 에 평행한 직선을 2개 그으면 ∠x-60˘=∠y-20˘ ∴ ∠x-∠y=40˘

3

-5 오른쪽 그림에서 평각은 180˘ 이므로 2∠x+80˘=180˘ ∴ ∠x=50˘ ■ 다른 풀이 ■ 삼각형의 세 각의 크기의 합은 180˘ 이므로 2∠x+80˘=180˘ ∴ ∠x=50˘

3

-6 삼각형의 세 각의 크기의 합은 180˘이므로 ∠x+60˘+60˘=180˘ ∴ ∠x=60˘ 120æ x 60æ 60æ 60æ x 80æ 80æ xx x 80æ x 80æ 60æ x 60æ 20æ m l 20æ x-60æ y-20æ 25æ 25æ 65æ 55æ 55æ m l x-25æ 75æ 32æ m x l 105æ 105æ x n 75æ 32æ m x l

3

유형`` ③ ∠c의 동위각은 ∠f이므로 ∠f=180˘-85˘=95˘ ④ ∠d의 동위각은 ∠a이므로 ∠a=180˘-110˘=70˘ ⑤ ∠f의 엇각의 크기는 110˘이다.

1

-1 ⑵ ∠b의 엇각은 ∠x이므로 ∠x=180˘-115˘=65˘ ⑵⑵⑵⑵

1

-2 ∠x의 동위각은 ∠a, ∠b이므로 ∠a=180˘-70˘=110˘ ∠b=180˘-60˘=120˘ ∴ ∠a+∠b=110˘+120˘=230˘ x 60æ 70æ a b 60æ 115æ a b x

1

본문해설 5+1~15 2018.3.30 6:52 PM 페이지006

(7)

개념 BOOK Ⅴ. 기본 도형

007

0

1

교점이 12개이므로 a=12 교선이 18개이므로 b=18 ∴ b-a=18-12=6

0

2

② BD≥=BC≥

0

3

⑤ BN”=;2!;AM”

0

4

AC”=AB”+BC”, BD”=BC”+CD”이고 AC”=BD”이므로 AB”=CD” ∴ CD”=3 cm

0

5

∠x+90˘=150˘ (맞꼭지각) ∴ ∠x=150˘-90˘=60˘

0

6

∠a=180˘_ =80˘ ∠c=180˘_ =40˘ ∴ ∠a+∠c=80˘+40˘=120˘

0

7

맞꼭지각의 크기는 같으므로 ∠x+30˘+4∠x-20˘+20˘=180˘ 5∠x=150˘ ∴ ∠x=30˘

0

8

④ ∠EOG는 직선 EF와 직선 GH에 의해 만들어진 각이 므로 크기가 같은 각은 맞꼭지각인 ∠FOH이다.

0

9

l∥m∥n이고 l⊥p, m⊥q인 직선을 그리면 오른쪽 그림과 같다. ③` p⊥n ⑴⑴⑴ l m n q p 2 42522222444+3+2 4 42522222444+3+2

10

모서리 AB와 수직인 모서리는 AG”, BH”로 2개이고, 모서리 AB와 평행한 모서리는 ED”, GH”, KJ”로 3개이다. 따라서 합은 2+3=5이다.

11

① 모서리 AB와 모서리 BF는 점 B에서 만난다. ② 모서리 AB와 모서리 CG는 꼬인 위치에 있다. ③ 면 ABCD와 면 EFGH는 평행하다. ④ 모서리 AB와 모서리 GH는 평행하다.

12

① 면 DGH에 수직인 면은 면 ABD, 면 AEHD, 면 EFGH, 면 BFG로 4개이다. ② 면 AEHD와 평행한 모서리는 BF”, FG”, BG”로 3개이다. ④ BD”와 평행한 모서리는 없다. ⑤ EF”와 평행한 면은 면 ABD, 면 DGH로 2개이다.

13

면 ABGH에 수직인 면은 BG”를 포함하는 면 BFGC, AH” 를 포함하는 면 AEHD이다.

14

면 JEHI와 마주 보는 면 NCDK 에 포함된 모서리가 면 JEHI와 평행하다. ① 수직이다. ② 수직이다. ③ 평행하다. ④ 수직이다. ⑤ 수직이다.

15

① l∥P이고 m∥P이면 l과 m은 평행하거나 만나거나 꼬인 위치에 있다. ② l∥P이고 m⊥P이면 l과 m은 수직이거나 꼬인 위치 에 있다. ③ l⊥P이고 l⊥Q이면 두 평면 P, Q는 평행하다. ⑤ l⊥P이고 l⊥m이면 m과 P는 평행하거나 m이 P에 포함된다.

16

l∥m이므로 ∠x=80˘ (엇각) 30˘+80˘+∠y=180˘에서 ∠y=70˘ ∠z=180˘-∠y=110˘ ∴ ∠x+∠y-∠z=80˘+70˘-110˘ =40˘ z y x l m y 80æ 80æ 30æ 150æ A{M,I} B{H} C{G} D{F} L{J} K E N ⑤ ① ② ③ ④ 010203043 cm 0560˘ 06120˘ 0730˘ 080910111213면 BFGC, 면 AEHD 14151617∠x=70˘, ∠y=70˘ 18192015˘ 217개 2218 cm 2336˘ 24①, ② 252630˘

중단원

EXERCISES

064~067쪽 본문해설 5+1~15 2018.3.30 6:52 PM 페이지007

(8)

∴ ∠BOC=18˘ ∠DOE+∠COD=90˘-∠BOC이므로 4∠COD=72˘ ∴ ∠COD=18˘ ∴ ∠BOD=∠BOC+∠COD =18˘+18˘=36˘

24

① 공간에서 l∥m, m⊥n이면 l과 n은 수직이거나 꼬인 위치에 있다. ② 공간에서 만나지 않는 두 직선은 평행하거나 꼬인 위치 에 있다.

25

오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m 에 평행한 두 직선 n, p를 그으면 동위각의 크기가 같으므로 ∠a+∠b+∠c=90˘ 또, ∠d+∠e=90˘이므로 ∠a+∠b+∠c+∠d+∠e=180˘

26

오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m에 평행한 두 직선 n, p를 그으면 ∠x+50˘=80˘ (엇각) ∴ ∠x=30˘ l n p m 70æ 110æ 50æ 60æ 70æ 50æ 80æ x n p l m b a a c a+b d e

17

두 직선 k, m이 한 직선과 만날 때 동위각의 크기가 60˘로 같으므 로 k∥m이다. 110˘+∠x=180˘ ∴ ∠x=70˘ 또, 두 직선 l, n이 한 직선과 만날 때 동위각의 크기가 60˘로 같으므로 l∥n이다. 110˘+∠y=180˘ ∴ ∠y=70˘

18

① 엇각의 크기가 같으므로 l∥m ② 동측내각의 크기의 합이 180˘이므로 l∥m ④ l∥m이면 동위각의 크기가 같다. ⑤ l∥m이면 엇각의 크기가 같다.

19

∠AQB=∠BQP이고 삼각형 BPQ에서 ∠BPQ=90˘이므로 ∠BQP=180˘-(35˘+90˘)=55˘ ∴ ∠x=180˘-(55˘+55˘)=70˘

20

점 B를 지나고 두 직선 l, m에 평행한 직선을 그으면 평행선에 서의 엇각의 성질에 의해 ∠ABD=∠x ∠DBC=45˘ 그런데 정삼각형의 한 각의 크기는 60˘이므로 ∠x+45˘=60˘ ∴ x=15˘

21

점 E 또는 점 D를 지나는 직선은` EDÍ, ECÍ, EBÍ, EAÍ, DCÍ, DBÍ, DAÍ로 7개 따라서 E나 D 도시를 지나는 고속도로는 7개 건설해야 한 다.

22

AB”=3BC”이므로 AM”=MB”=3BN” MB”=;4#; MN”=;4#;_12=9(cm) ∴ AB”=2MB”=2_9=18(cm)

23

∠AOC-∠BOC=90˘이므로 6∠BOC-∠BOC=90˘, 5∠BOC=90˘ 45æ l m A B C x x 45æ D x 35æ A Q B D C P l n y 110æ 60æ 120æ 110æ k m x 110æ 60æ 120æ 110æ 본문해설 5+1~15 2018.3.30 6:52 PM 페이지008

(9)

개념 BOOK Ⅴ. 기본 도형

009

1

-1 ㄱ. 길이가 같은 선분, 크기가 같은 각의 작도가 이용된 다. ㄷ. QA”=QB”=PC”=PD”이고, AB”=CD”이다. 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다. 01. 삼각형의 작도

개념

CHECK

077쪽 ⑴ 작도 ⑵ 작다 ⑶ 끼인각, 양 끝 각 01⑴ ㉡-㉠-㉢ 027 0304①, ③

0

2

⁄ 가장 긴 변의 길이가 x일 때 x<4+6 ∴ x<10 ¤ 가장 긴 변의 길이가 6일 때 x+4>6 ∴ x>2 ⁄, ¤에서 2<x<10 따라서 자연수 x의 값은 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9의 7개이다.

0

4

① 세 변의 길이가 주어진 경우 ③ 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어진 경우

2. 작도와 합동

유형 ⑴ ㉡-㉤-㉠-㉣-㉢ ⑵ OD”, PR”, PS” ⑶ RS” 1-1 ㄴ, ㄹ 유형 ① 2-12-2 ① 유형 ⑤ 3-1 ② 유형 ①, ④ 4-14-2

유형

EXERCISES

078~079쪽 2 3 1 4 유형`` ① 3+7<11 ② 4+5>6 ③ 5+12>13 ④ 8+2>8 ⑤ 10+15>20

2

-1 ⁄ 가장 긴 변의 길이가 a cm일 때 a<5+9 ∴ a<14 ¤ 가장 긴 변의 길이가 9일 때 9<a+5 ∴ 4<a ⁄, ¤에서 4<a<14

2

-2 a>0이어야 하므로 가장 긴 변의 길이는 (a+5) cm이다. a+(a+3)>a+5 ∴ a>2

2

유형`` ⑤ ∠A를 작도한 후 AB”를 작도하고 ∠B를 작도해야 한다.

3

유형`` ① 3+4=7이므로 삼각형이 만들어지지 않는다. ④ 주어진 세 각의 크기를 만족하는 삼각형은 무수히 많이 그릴 수 있다.

4

-1 ㄱ. 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어진 경우이 므로 삼각형이 하나로 정해진다. ㄴ. 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어진 경우와 같으므로 삼각형이 하나로 정해진다. ㄷ. 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어진 경우이므 로 삼각형이 하나로 정해진다. ㄹ. ∠A가 끼인각이 되지 않으므로 △ABC가 하나로 정 해지지 않는다.

4

-2 ① AB”=6 cm, AC”=8 cm, ①∠C=40˘이면 오른쪽 그림과 같이 △ABC가 2개 그려진다. ⑤ ∠B=50˘, ∠C=80˘이므로 ∠A=180˘-(50˘+80˘)=50˘ 즉, 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어졌으므 로 △ABC가 하나로 정해진다. 40æ 6`cm 8`cm A B B C

4

02. 삼각형의 합동

개념

CHECK

085쪽 ⑴ 합동 ⑵ 변, 각 ⑶ SSS, SAS, ASA 01⑴ 6 cm ⑵ 7 cm ⑶ ∠P 02ㄱ과 ㅁ, ㄴ과 ㅂ, ㄷ과 ㄹ 03⑴ △ABD≡△CDB, SSS 합동 01⑵ △ABD≡△ACD, ASA 합동

0

1

⑴ AB”=PQ”=6 cm ⑵ QR”=BC”=7 cm

0

2

ㄱ과 ㅁ (SSS 합동), ㄴ과 ㅂ (SAS 합동), ㄷ과 ㄹ (ASA 합동) 본문해설 5+1~15 2018.4.3 2:56 PM 페이지009

(10)

0

3

⑴ AB”=CD”, AD”=CB”, BD”는 공통 ∴ △ABD≡△CDB (SSS 합동) ⑵ AD”는 공통, ∠BAD=∠CAD, ∠ABD=∠ACD이므로 ∠ADB=∠ADC ∴ △ABD≡△ACD (ASA 합동) 유형 2 cm, 70˘1-1 ②, ④ 1-2 ⑤ 유형 ③ 2-12-2 ①, ③ 2-3 ㄱ. SSS 합동 ㄴ. SAS 합동 ㄹ. ASA 합동 2-4 SAS 합동 2-5 ASA 합동 유형 △EDC, SAS 합동

3-1 △BED, △CFE, SAS 합동

3-2 90˘ 3-3 120˘

유형

EXERCISES

086~087쪽 2 3 1 유형`` EF”=BC”=2 cm ∠B=∠F=50˘, ∠C=∠E=60˘이므로 ∠D=180˘-(50˘+60˘)=70˘

1

-1 ② 둘레의 길이가 15일 때, 세 변의 길이가 5, 5, 5인 삼 각형과 6, 6, 3인 삼각형은 합동이 아니다. ⑤ 넓이가 12일 때, ⁄ 가로의 길이 : 3, 세로의 길이 : 4 ¤ 가로의 길이 : 6, 세로의 길이 : 2 즉, 넓이가 같아도 합동은 아니다.

1

-2 (사각형 ABCD)≡(사각형 EFGH)이므로 ① ∠B=∠F+30˘ ② ∠H=∠D+100˘ ③ AB”=EF” ④ AD”=EH” ⑤ CD”=GH”=3 cm

1

유형`` ∠C=180˘-(80˘+55˘)=45˘이므로 한 변의 길이가 8 cm이 고 양 끝 각의 크기가 55˘, 45˘인 삼각형을 찾으면 된다. 따라서 조건에 맞는 삼각형은 ③이다.

2

2

-1 ②와 ④는 대응하는 한 변의 길이가 8 cm이고 양 끝 각 의 크기가 45˘, 70˘로 같으므로 합동이다. ③과 ④는 대응하는 한 변의 길이가 6 cm이고 양 끝 각 의 크기가 65˘, 70˘로 같으므로 합동이다. ⑤와 ④는 대응하는 두 변의 길이가 6 cm, 8 cm이고 그 끼인각의 크기가 70˘로 같으므로 합동이다. 따라서 ②, ③, ④, ⑤는 서로 합동인 삼각형이다.

2

-2 ① ∠A=∠D이면 SAS 합동 ③ BE”=FE”이면 SSS 합동

2

-3 ㄱ. 대응하는 세 변의 길이가 각각 같으므로 합동이다. (SSS 합동) ㄴ. 대응하는 두 변의 길이가 각각 같고 그 끼인각의 크기 가 같으므로 합동이다. (SAS 합동) ㄹ. 대응하는 한 변의 길이가 같고 그 양 끝 각의 크기가 각각 같으므로 합동이다. (ASA 합동)

2

-4 AO”=CO”, BO”=DO”, ∠AOB=∠COD (맞꼭지각)

∴ △ABO≡△CDO (SAS 합동)

2

-5 AC”=EC”, ∠ACB=∠ECD (맞꼭지각) AB”∥DE”이므로 ∠BAC=∠DEC (엇각) ∴ △ABC≡△EDC (ASA 합동) 유형`` △EAB와 △EDC에서

AB”=DC”, EB”=EC”, ∠ABE=∠DCE ∴ △EAB≡△EDC (SAS 합동)

3

-1 △ADF와 △BED와 △CFE에서 AD”=BE”=CF”, AF”=BD”=CE”, ∠A=∠B=∠C=60˘ ∴ △ADF≡△BED≡△CFE (SAS 합동)

3

-2 △ABE와 △BCF에서 AB”=BC”, BE”=CF”, ∠B=∠C=90˘ ∴ △ABE≡△BCF (SAS 합동) ∠BAE=∠CBF=∠a, ∠AEB=∠BFC=∠b라고하면 ∠a+∠b=90˘ △BEP에서 ∠PBE+∠PEB=∠a+∠b=90˘ ∴ ∠APF=∠BPE=90˘

3

본문해설 5+1~15 2018.3.30 6:52 PM 페이지010

(11)

개념 BOOK Ⅴ. 기본 도형

011

3

-3 △ACD와 △BCE에서 AC”=BC” (△ABC가 정삼각형) CD”=CE” (△ECD가 정삼각형) ∠ACD=∠BCE=120˘ ∴ △ACD≡△BCE (`SAS 합동) ∠CAD=∠CBE=∠a ∠CDA=∠CEB=∠b라고 하면 △ACD에서 ∠a+∠b+120˘=180˘ ∴ ∠a+∠b=60˘ 따라서 △PBD에서 ∠BPD=180˘-(∠DBP+∠BDP) =180˘-(∠a+∠b) =180˘-60˘=120˘ 010203눈금 없는 자 : 2번, 컴퍼스 : 2번 0405②, ③ 0607080910②, ④ 11121314①, ⑤ 15△PAB≡△PDC, SAS 합동 16⑴ △EBC≡△DAC, SAS 합동 ⑵ 4 cm 171810 m 19202110 cm 222362˘

중단원

EXERCISES

088~091쪽

0

1

컴퍼스는 원을 그리거나 선분의 길이를 옮길 때 사용한다. 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㅁ이다.

0

2

④ 두 선분의 길이를 비교할 때 컴퍼스를 사용한다.

0

3

정삼각형의 작도는 오른쪽 그림과 같다. 작도 과정 중 ①, ②`는 컴퍼스를 사용하고 ③, ④`는 눈금 없는 자를 사용한다. 따라서 눈금 없는 자는 2번, 컴퍼스는 2번 사용한다.

0

4

④ AC”+BC”

0

5

② 1+6=7 ③ 10>5+3이므로 삼각형이 만들어지지 않 는다. A B ① ② ④ ③

0

6

세 변의 길이는 양수이므로 a>1이고 a+2가 가장 긴 변의 길이이므로 a+2<a-1+a ∴ a>3

0

7

⁄ 가장 긴 변의 길이가 8 cm일 때 (8 cm, 6 cm, 4 cm), (8 cm, 6 cm, 3 cm) ¤ 가장 긴 변의 길이가 6 cm일 때 (6 cm, 4 cm, 3 cm) 따라서 서로 다른 삼각형을 3개 만들 수 있다.

0

9

② ∠C가 AB”와 BC”의 끼인각이 아니므로 삼각형이 하나 로 정해지지 않는다.

10

① ∠A가 끼인각이 아니므로 △ABC는 하나로 정해지지 않는다. ② 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어졌으므로 △ABC는 하나로 정해진다. ③ ∠C가 끼인각이 아니므로 △ABC는 하나로 정해지지 않는다. ④ 세 변의 길이가 주어지고 8<7+6, 즉 가장 긴 변의 길 이가 나머지 두 변의 길이의 합보다 작으므로 △ABC는 하나로 정해진다. ⑤ 13=7+6이므로 삼각형이 만들어지지 않는다.

11

⑤ ⁄ 윗변의 길이 : 1, 아랫변의 길이 : 2, 높이 : 10 ⑤ ⁄Δ(사다리꼴의 넓이)=;2!;_(1+2)_10=15 ⑤¤ 윗변의 길이 : 20, 아랫변의 길이 : 10, 높이 : 1 ⑤ ⁄Δ(사다리꼴의 넓이)=;2!;_(20+10)_1=15 ⑤따라서 사다리꼴의 넓이가 같아도 합동은 아니다.

12

사각형 EFGH에서 AD”의 대응변은 EH”이므로 AD”=EH”=6 cm 또한, ∠B의 대응각은 ∠F이므로 ∠B=∠F=120˘ ∴ ∠D=360˘-(∠A+∠B+∠C) =360˘-(70˘+120˘+90˘) =80˘

13

ㄷ. ㅁ. 6`cm 50æ 70æ 6`cm 50æ 60æ 70æ ASA 합동 본문해설 5+1~15 2018.3.30 6:52 PM 페이지011

(12)

14

⁄`∠B, ∠E를 끼인각으로 하는 나머지 한 변의 길이가 같 아야 하므로 필요한 조건은 BC”=EF”이다. ¤`AB”, DE”의 양 끝 각 중 다른 한 각의 크기가 같아야 하 므로 필요한 조건은 ∠A=∠D이다. 따라서 필요한 나머지 한 조건이 될 수 있는 것은 ①, ⑤ 이다.

15

△PAB와 △PDC에서 PA”=PD”, AB”=DC” △PDA는 이등변삼각형이므로 ∠PAD=∠PDA이고 ∠PAB=90˘-∠PAD=90˘-∠PDA=∠PDC ∴ △PAB≡△PDC (SAS 합동)

16

⑴ △EBC와 △DAC에서 ⑴BC”=AC” (△ABC가 정삼각형) ⑴EC”=DC” (△CDE가 정삼각형) ⑴∠ECB=60˘-∠ACE=∠DCA ∴ △EBC≡△DAC (SAS 합동) ⑵ AD”=BE”=7-3=4(cm)

17

△PAM과 △PBM에서 PM”은 공통인 변이다. 점 M은 AB”의 중점이므로 AM”= AB”⊥l이므로 ∠PMA= =90˘ ∴ △PAM™△PBM ( 합동) 이때 PA”에 대응하는 변은 이므로 PA”= 이다.

18

△APB와 △DPC에서 ∠ABP=∠DCP, BP”=CP”, ∠APB=∠DPC`(맞꼭지각)이므로 △APB™△DPC`(`ASA 합동) ∴ AB”=DC”=10 m

19

오른쪽 그림과 같이 AB”=4 cm, AC”=3 cm, ∠B=40˘를 만족하는 삼각형은 점 C가 C'의 위치에 있을 때도 가 능하므로 2가지의 삼각형을 작도할 수 있다.

20

AB”=DC”, DB”=AC”, AD”는 공통 ∴ △ABD≡△DCA (SSS 합동) 또, AB”=DC”, AC”=DB”, BC”는 공통 B C' C A 40æ 4`cm 3`cm PB” PB” SAS ∠PMB BM” ∴ △ABC≡△DCB (SSS 합동) 또, AB”=DC”, ∠ABP=∠DCP, ∠BAP=∠CDP ∴ △ABP≡△DCP (ASA 합동) 따라서 합동인 삼각형은 모두 3쌍이다.

21

△BCG와 △DCE에서 BC”=DC”=8 cm, CG”=CE”=6 cm ∠BCG=∠DCE=90˘ ∴ △BCG≡△DCE (SAS 합동) 따라서 BG”=DE”이므로 DE”=10 cm

22

△ACE와 △BCD에서 CE”=CD” (△CED가 정삼각형) AC”=BC” (△ABC가 정삼각형) ∠ACE=∠BCD=60˘ ∴ △ACE≡△BCD (SAS 합동) ② AD”=DC”인지는 알 수 없다.

23

△BCE와 △DCE에서 CE”는 공통, BC”=DC”, ∠BCE=∠DCE ∴ △BCE≡△DCE (SAS 합동) ∴ ∠CBE=∠CDE △DFC에서 ∠CDF=180˘-(28˘+90˘)=62˘ ∴ ∠CBE=62˘ 본문해설 5+1~15 2018.3.30 6:52 PM 페이지012

(13)

개념 BOOK Ⅴ. 기본 도형

013

010230 036 cm 040506070845˘ 09130˘ 108 11JH”, CE” 1213141516①, ④ 1718192021222315 cm 2412 cm 252616 cm¤

대단원

EXERCISES

094~097쪽

0

1

① 두 반직선의 출발점과 방향이 모두 다르므로 AB≥+BA≥

0

2

a= =10, b=5_4=20 ∴ a+b=30

0

3

AB”=16-4=12(cm)이므로 AM”=MB”=;2!; AB”=;2!;_12=6(cm)

0

4

∠AOC=∠COD=∠a, ∠DOE=∠b라고 하면 ∠a+∠a=90˘, ∠b+2∠b=90˘이므로 ∠a=45˘, ∠b=30˘ ∴ ∠COE=∠a+∠b=45˘+30˘=75˘

0

5

∠x+20˘+∠x+30˘=90˘ (∵ 맞꼭지각) 2∠x=40˘ ∴ ∠x=20˘

0

6

① ∠c=∠a=60˘이므로 동위각의 크기가 같다. ∴ l∥m ② 2∠a=∠d이고 ∠c=∠a이므로 ∠d+∠c=180˘, 2∠c+∠c=180˘에서 ∠c=60˘이다. ∴ l∥m ③ ∠c=180˘-∠b=60˘이므로 동위각의 크기가 같다. ∴ l∥m ④ ∠c=∠a=60˘, ∠d=120˘이어야 l∥m 즉 ∠d-∠a=60˘이어야 l∥m이다. ⑤ ∠a+∠c=120˘이고 ∠c=∠a이므로 ∠c=60˘이다.∴ l∥m 5_4 44444444542

0

7

오른쪽 그림과 같이 점 O를 지 나고 두 직선 l, m에 평행한 직 선을 그으면 ∠x+40˘+2∠x-20˘=110˘ 3∠x=90˘ ∴ ∠x=30˘

0

8

오른쪽 그림과 같이 XX'”, YY'”에 평행한 직선 n을 그어 보자. ∠CAX'=∠a, ∠CBY'=∠b라 고 하면 평행선에서 동측내각의 크 기의 합은 180˘이므로 ∠BAX'+∠ABY'=180˘ 4∠a+4∠b=180˘ ∴ ∠a+∠b=45˘ ∴ ∠x=∠a+∠b=45˘

0

9

∠DGE=∠DCE=90˘ (접은 각) △DGE에서 ∠GED=180˘-(90˘+25˘)=65˘ 그런데 ∠GED=∠CED (접은 각)이므로 ∠GEC=2∠GED=130˘ 이때 FG”∥BC”이므로 ∠x=∠GEC=130˘

10

모서리 AB와 수직인 모서리는 AE”, BF”이므로 x=2 모서리 AB와 평행한 모서리는 EF”이므로 y=1 모서리 AB와 꼬인 위치에 있는 모서리는 EH”, FG”, GH”, CG”, DH”이므로 z=5 ∴ 2x-y+z=2_2-1+5=8

11

주어진 전개도로 입체도형을 만들면 오른 쪽 그림과 같다. 따라서 모서리 AB와 꼬인 위치에 있는 모서리는 JH”, CE”이다. ⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤

12

① l∥m, m⊥n이면 l과 n은 수직이거나 꼬 인 위치에 있다. ⑤⑤⑤⑤ ② l⊥m, m⊥n이면 l과 n은 평행하거나 수직이거나 꼬인 위치에 있다. ⑤⑤⑤⑤ ③ l∥m, m∥n이면 l과 n은 항상 평행하 다. ⑤⑤⑤⑤ m l n l m n™ n™ m l D{B,`F} J H C E I{A,`G} n A a a b b 3a 3b Y B C Y' X X' O x+40æ l m x+40æ 2x-20æ 2x-20æ 본문해설 5+1~15 2018.4.3 2:57 PM 페이지013

(14)

⑤ l과 m이 꼬인 위치에 있고 m∥n이면l과 n은 한 점에서 만나거나 꼬인 위치

에 있다.

13

ㄱ. 면 ABCD와 평행한 면은 면 EFGH로 1개이다.

14

면 BCHG와 평행한 모서리는 AF”, EJ”, DI”, ED”, JI”로 5개이다.

15

ㄴ. 한 평면에 수직인 서로 다른 두 평면 은 서로 만날 수도 있다. ⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤ ㄷ. AB”와 평면 CGHD, ㄷ.평면 EFGH는 각각 평행하지 만 두 평면은 서로 만난다. ⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤

16

② 작도할 때, 눈금 없는 자는 두 점을 연결하는 선분을 긋 거나 주어진 선분을 연장하는 데 사용한다. ③ 작도할 때, 컴퍼스는 원을 그리거나 주어진 선분의 길이 를 옮기는 데 사용한다. ⑤ 넓이가 같다고 해서 두 삼각형이 서로 합동인 것은 아니 다.

17

작도 순서는 ㉥-㉠-㉢-㉡-㉣-㉤이다.

18

① 5+6>9 ② 6+7>9 ③ 6+9>10 ④ 6+9>13 ⑤ 6+9=15가 되어 삼각형이 만들어지지 않는다.

19

① 85˘+95˘=180˘로 두 각의 크기의 합이 180˘이므로 삼 각형이 그려지지 않는다. ② AC”의 길이 대신 ∠A 또는 ∠C의 크기가 주어지거나, ∠B의 크기 대신 BC”의 길이 또는 ∠A의 크기가 주어 져야 △ABC가 하나로 정해진다. ③ 세 각으로는 무수히 많은 삼각형을 만들 수 있다. ④ 40˘, 60˘, 80˘라는 각의 크기가 각각 ∠A, ∠B, ∠C에 어떻게 대응되느냐에 따라 삼각형이 달라진다.

20

BC”의 길이와 ∠B의 크기가 주어졌으므로 AB”의 길이 또 는 ∠A 또는 ∠C의 크기가 주어지면 △ABC가 하나로 정해지게 된다. B F D H G C E A m l n™

21

① 두 각의 크기가 40˘와 80˘이므로 나머지 한 각의 크기는 60˘이다. 따라서 한 변의 길이가 10이고 양 끝 각의 크 기가 40˘, 60˘인 주어진 삼각형과 ASA 합동이 된다.

22

△ACD와 △AEB에서 는 공통, AC”= , AD”= ∴ △ACD △AEB ( 합동)

23

△ABD와 △CAE에서 AB”=CA” ∠ADB=∠CEA=90˘이므로 ∠DAB+∠DBA=90˘, ∠DAB+∠EAC=90˘ ∴ ∠DBA=∠EAC, ∠DAB=∠ECA ∴ △ABD™△CAE (ASA 합동) 따라서 BD”=AE”, AD”=CE”이므로 BD”=DE”-AD””=DE”-CE”=20-5=15(cm)

24

AB”=24 cm이고 AC” : CB”=3 : 1이므로 AC”=;4#;AB”=;4#;_24=18(cm) CB”=;4!;AB”=;4!;_24=6(cm) ……❶ MC”=AM”=;2!;AC”=;2!;_18=9(cm) CN”=NB””=;2!; CB”=;2!;_6=3(cm) ……❷ ∴ MN”=MC”+CN”=9+3=12(cm) ……❸ ■ 다른 풀이 ■ MN”=MC”+CN”=;2!;AC”+;2!; CB” ……❶ MN=;2!;(AC”+CB”)=;2!;AB” ……❷ MN=12(cm) ……❸ SAS ≡ AB” AE” ∠A ❶AC”, CB”의 길이 구하기 ❷MC”, CN”의 길이 구하기 ❸MN”의 길이 구하기 40 % 40 % 20 % 채점 기준 배점 ❶MN”을 AC”와 CB”로 나타내기 ❷MN”을 AB”로 나타내기 ❸MN”의 길이 구하기 40 % 30 % 30 % 채점 기준 배점 본문해설 5+1~15 2018.3.30 6:52 PM 페이지014

(15)

개념 BOOK Ⅴ. 기본 도형

015

25

다음 그림과 같이 두 직선 l, m에 평행한 직선을 2개 그으 면 ……❶ ∠x+5˘=2∠x (엇각) ……❷ ∴ ∠x=5˘ ……❸

26

△OBH와 △OCI에서 OB”=OC”, ∠OBH=∠OCI ∠BOH=90˘-∠HOC=∠COI ∴ △OBH≡△OCI (ASA 합동) ……❶ △OBH≡△OCI이므로 겹쳐진 부분의 넓이는 △OBC의 넓이와 같다. ……❷ ∴ (겹쳐진 부분의 넓이) =(△OBC의 넓이)=;2!;_8_4=16(cm¤ ) ……❸ l m 30æ 30æ 2x x+5æ x+10æ x+10æl, m에 평행한 두 직선 긋기 ❷식 세우기 ❸∠x의 크기 구하기 40 % 30 % 30 % 채점 기준 배점 ❶△OBH≡△OCI임을 설명하기 ❸겹쳐진 부분의 넓이 구하기 ❷겹쳐진 부분의 넓이가 △OBC의 넓이와 같음을 알기 40 % 30 % 30 % 채점 기준 배점 [유제] 01풀이 참조

Advanced Lecture

098~099쪽

01

⁄ 눈금 없는 자만 사용하는 경우 ⁄다음 그림과 같이 두 점을 지나는 직선을 그으면 한 점 A에서 만난다. 이때 생긴 사다리꼴에서 대각선을 그으 면 교점 B가 생긴다. 두 점 A, B를 지나는 직선이 바로 원의 중심을 지나는 직선이 된다. ⁄

01

¤ 컴퍼스만을 사용하는 경우 ⁄주어진 한 직선과 원이 만나는 점을 각각 원의 중심으로 하고, 반지름의 길이를 적당한 길이로 같게 하여 그리면 다음 그림과 같이 교점이 2개 생긴다. ⁄이때 두 교점을 지나는 직선이 바로 원의 중심을 지나는 직선이 된다. ⁄ A B 본문해설 5+1~15 2018.3.30 6:52 PM 페이지015

(16)

평면도형

VI

1. 다각형의 성질

01. 다각형의 내각, 외각과 대각선

개념

CHECK

111쪽 ⑴ 내각, 외각 ⑵ (n-3), 01ㄱ, ㄹ 02⑴ 60˘ ⑵ 85˘ 03⑴ 십삼각형 ⑵ 11 ⑶ 65 04⑴ 35 ⑵ 90 05구각형 n(n-3) 2

0

2

⑴ 180˘-120˘=60˘ ⑵ 180˘-95˘=85˘

0

3

⑴ 구하는 다각형을 n각형이라고 하면 n각형의 한 꼭짓점 에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 (n-3)이므로 n-3=10 ∴ n=13 따라서 구하는 다각형은 십삼각형이다. ⑵ 13-2=11 ⑶ =65

0

4

⑴ =35 ⑵ =90

0

5

구하는 다각형을 n각형이라고 하면 =27, n(n-3)=54 n(n-3)=9_6 ∴ n=9 따라서 구하는 다각형은 구각형이다. n(n-3) 11112 15_(15-3) 11111242 10_(10-3) 11111242 13_(13-3) 11111242 02. 다각형의 내각과 외각의 크기

개념

CHECK

120쪽 ⑴ 180˘_(n-2), 360˘ ⑵ , 01⑴ 50˘ ⑵ 100˘ 02⑴ 1080˘, 360˘ ⑵ 1440˘, 360˘ 03⑴ 60˘ ⑵ 90˘ 04⑴ 140˘, 40˘ ⑵ 150˘, 30˘ 05⑴ 정십팔각형 ⑵ 정이십각형 360˘ n 180˘_(n-2) n

0

1

⑴ (∠x+10˘)+(2∠x-30˘)+50˘=180˘ 3∠x+30˘=180˘, 3∠x=150˘ ∴ ∠x=50˘ ⑵ 삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같으므로 70˘+30˘=∠x ∴ ∠x=100˘ ■ 다른 풀이 ■ ⑵ 외각의 크기의 합은 360˘이므로 110˘+150˘+∠x=360˘ 260˘+∠x=360˘ ∴ ∠x=100˘

0

2

⑴ (내각의 크기의 합)=180˘_(8-2) =180˘_6=1080˘ ⑵ (내각의 크기의 합)=180˘_(10-2) =180˘_8=1440˘

0

3

⑴ 사각형의 내각의 크기의 합은 360˘이므로 95˘+130˘+75˘+∠x=360˘ 300˘+∠x=360˘ ∴ ∠x=60˘ ⑵ 오각형의 내각의 크기의 합은 540˘이므로 120˘+90˘+130˘+∠x+110˘=540˘ 450˘+∠x=540˘ ∴ ∠x=90˘

0

4

⑴ (한 내각의 크기)= = ⑴ (한 내각의 크기)=20˘_7=140˘ (한 외각의 크기)= =40˘ ⑵ (한 내각의 크기)= = ⑴ (한 내각의 크기)=15˘_10=150˘ (한 외각의 크기)= =30˘

0

5

⑴ 한 내각의 크기가 160˘이므로 한 외각의 크기는 180˘-160˘=20˘ 구하는 정다각형을 정n각형이라고 하면 =20˘, 360˘=20˘_n ∴ n=18 따라서 구하는 정다각형은 정십팔각형이다. ⑵ 구하는 정다각형을 정n각형이라고 하면 한 외각의 크기가 18˘이므로 360˘ 131n 360˘ 13112 180˘_10 1113112 180˘_(12-2) 121111112 360˘ 1319 180˘_7 11119 180˘_(9-2) 1111119 A C B x 150æ 110æ 70æ A C B x 150æ 30æ 70æ 본문해설 6+16~31 2018.3.30 6:54 PM 페이지016

(17)

개념 BOOK Ⅵ. 평면도형

017

=18˘, 360˘=18˘_n ∴ n=20 따라서 구하는 정다각형은 정이십각형이다. 360˘ 131n 유형 ∠x=110˘, ∠y=65˘ 1-1 ③, ⑤ 1-2 120˘ 1-3 점 A 유형 44 2-1 15 2-2 팔각형 2-3 3 유형 60˘ 3-1 80˘ 3-23-3 120˘ 유형 30˘ 4-14-2 80˘ 4-3 75˘ 유형 40˘ 5-15-2 ④ 유형 1440˘, 360˘ 6-1 9 6-26-3 60˘ 유형 정십이각형 7-1 1080˘ 7-2 156˘, 24˘ 7-3 54 유형 ⑤ 8-1 135˘ 8-2 120˘

유형

EXERCISES

121~124쪽 4 5 3 7 8 6 유형`` (∠x+25˘)+35˘+∠x=180˘ 2∠x=120˘ ∴ ∠x=60˘

3

-1 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180˘이므로 가장 큰 내각의 크기는 180˘_ =180˘_;9$;=80˘

3

-2 3∠B=2∠C에서 ∠C=;2#;∠B ∠A+∠B+∠C=180˘이므로 50˘+∠B+;2#;∠B=180˘, ;2%;∠B=130˘ ∴ ∠B=52˘

3

-3 △ABD에서 ∠CBD+∠CDB=180˘-(85˘+15˘+20˘)=60˘ △CBD에서 ∠x=180˘-60˘=120˘ 4 1455155222+3+4

3

유형`` (2∠x+15˘)+(2∠x-10˘)=125˘ 4∠x+5˘=125˘ ∴ ∠x=30˘

4

2 1 유형`` ∠x=180˘-70˘=110˘ ∠y=180˘-115˘=65˘

1

-1 ③ 정육면체는 입체도형이므로 다각형이 아니다. ⑤ 원은 곡선으로 둘러싸여 있으므로 다각형이 아니다.

1

-2 정삼각형의 내각의 크기는 모두 같으므로 ∠A=∠B=∠C=60˘ 따라서 ∠A의 외각의 크기는 180˘-60˘=120˘

1

-3 다각형의 한 꼭짓점에서 (내각의 크기)+(외각의 크기) =180˘이므로 사각형 ABCD의 외각의 크기는 오른쪽 그림과 같다. 따라서 외각의 크기가 가장 작은 꼭짓점은 점 A이다. 75æ 105æ 95æ 85æ 75æ 105æ 95æ 85æ A D B C

1

유형`` 구하는 다각형을 n각형이라고 하면 한 꼭짓점에서 그을 수 있 는 대각선의 개수는 (n-3)이므로 n-3=8 ∴ n=11 따라서 십일각형의 대각선의 개수는 =44

2

-1 십각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 a=10-3=7 이때 생기는 삼각형의 개수는 b=10-2=8 ∴ a+b=7+8=15

2

-2 구하는 다각형을 n각형이라고 하면 =20, n(n-3)=40 n(n-3)=8_5 ∴ n=8 따라서 구하는 다각형은 팔각형이다.

2

-3 어떤 다각형을 n각형이라고 하면 n각형의 한 꼭짓점에 서 그을 수 있는 대각선의 개수는 a=n-3 n각형의 내부의 한 점에서 각 꼭짓점에 선분을 그었을 때 생기는 삼각형의 개수는 b=n ∴ b-a=n-(n-3)=n-n+3=3 n(n-3) 1111232 11_(11-3) 13111112

2

본문해설 6+16~31 2018.3.30 6:54 PM 페이지017

(18)

4

-1 △ABC에서 ∠ACD=30˘+55˘=85˘ △CDF에서 3∠x-15˘=85˘+∠x 2∠x=100˘ ∴ ∠x=50˘

4

-2 ∠x+30˘=40˘+70˘ ∴ ∠x=80˘

4

-3 △ABC에서 ∠BAC=140˘-70˘=70˘ ∴ ∠BAD=∠DAC=;2!;_70˘=35˘ △ADC에서 ∠x+35˘+70˘=180˘ ∴ ∠x=75˘

6

-2 다각형의 외각의 크기의 합은 360˘이므로 ∠x+50˘+55˘+(180˘-2∠x)+60˘+80˘=360˘ 425˘-∠x=360˘ ∴ ∠x=65˘

6

-3 오른쪽 그림과 같이 CE”를 그으면 오각형의 내각의 크기의 합은 180˘_(5-2)=540˘이므로 ∠DCE+∠DEC =540˘-(110˘+95˘+65˘+ 50˘+100˘) =540˘-420˘=120˘ 따라서 △DCE에서 ∠x=180˘-120˘=60˘ 95æ A B C D F E 110æ 100æ 65æ x 50æ 유형`` △ABC에서 ∠ACE=80˘+∠ABC이므로 ∠DCE=;2!;∠ACE=;2!;(80˘+∠ABC) ∠DCE=40˘+;2!;∠ABC=40˘+∠DBC yy ㉠ △DBC에서 ∠DCE=∠x+∠DBC yy ㉡ ㉠, ㉡에서 40˘+∠DBC=∠x+∠DBC ∴ ∠x=40˘

5

-1 △BCD는 이등변삼각형이므로 ∠BDC=∠BCD=80˘ 이때 △ABD도 이등변삼각형이므로 ∠DBA=∠x이 고, △ABD에서 ∠BDC=∠x+∠x=80˘ ∴ ∠x=40˘

5

-2 ∠x=180˘-(40˘+30˘)=110˘, ∠y=40˘+35˘=75˘ ∴ ∠x+∠y=110˘+75˘=185˘

5

유형`` 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수가 7인 다각형은 십 각형이다. 십각형의 내각의 크기의 합은 180˘_8=1440˘이고, 다각형의 외각의 크기의 합은 항상 360˘이다.

6

-1 구하는 다각형을 n각형이라고 하면 n각형의 내각의 크 기의 합은 180˘_(n-2)이므로 180˘_(n-2)=1260˘ n-2=7 ∴ n=9 따라서 구하는 다각형은 구각형이므로 꼭짓점의 개수는 9이다.

6

유형`` 조건 ㈎에서 구하는 다각형은 정다각형임을 알 수 있다. 이를 정n각형이라고 하면 조건 ㈏에서 (한 외각의 크기)=180˘-150˘=30˘ 그런데 외각의 크기의 합은 항상 360˘이므로 (한 외각의 크기)= =30˘ ∴ n=12 따라서 구하는 다각형은 정십이각형이다. ■ 다른 풀이 ■ 정n각형의 한 내각의 크기는 이므로 조건 ㈏에서 =150˘, 6(n-2)=5n 6n-12=5n ∴ n=12

7

-1 한 외각의 크기가 45˘인 정다각형을 정n각형이라고 하면 =45˘ ∴ n=8 따라서 정팔각형의 내각의 크기의 합은 180˘_(8-2)=180˘_6=1080˘ ■ 다른 풀이 ■ 한 외각의 크기가 45˘인 정다각형은 정팔각형이다. 그런데 정팔각형의 한 내각의 크기는 180˘-45˘=135˘ 이므로 내각의 크기의 합은 135˘_8=1080˘

7

-2 내각의 크기의 합이 2340˘인 정다각형을 정n각형이라고 하면 180˘_(n-2)=2340˘ 360˘ 131n 180˘_(n-2) 1311111n 180˘_(n-2) 1311111n 360˘ 131n

7

본문해설 6+16~31 2018.3.30 6:54 PM 페이지018

(19)

개념 BOOK Ⅵ. 평면도형

019

n-2=13 ∴ n=15 따라서 정십오각형의 한 내각의 크기는 =156˘ 이고, 한 외각의 크기는 =24˘

7

-3 한 꼭짓점에서의 한 내각의 크기와 한 외각의 크기의 합 은 180˘이므로 (한 ``외각의 ``크기)=180˘_ =30˘ 이 정다각형을 정n각형이라고 하면 =30˘ ∴ n=12 따라서 정십이각형의 대각선의 개수는 =131112_92 =54 12_(12-3) 13111112 360˘ 131n 1 1315+1 360˘ 11315 2340˘ 131315 유형`` 정오각형의 한 내각의 크기는 =108˘ ∠BCA=;2!;_(180˘-108˘)=36˘ ∴ ∠x=108˘-36˘=72˘

8

-1 ∠x의 크기는 정사각형의 한 외각의 크기와 정팔각형의 한 외각의 크기의 합이므로 ∠x= + =90˘+45˘=135˘

8

-2 정육각형의 한 내각의 크기는 =120˘이고 △ABF는 이등변삼각형이므로 ∠ABF=30˘ 마찬가지로 △BAC에서 ∠BAC=30˘ 따라서 △ABG에서 ∠x=∠AGB=180˘-(30˘+30˘)=120˘ 180˘_(6-2) 13111116 x E D C B A F G 30æ 120æ 360˘ 1128 360˘ 1124 180˘_(5-2) 1111115 x A B E C D 108æ

8

0102ㄴ, ㄷ 0354 0414 05십일각형 0615˘ 0735˘ 0840˘ 09105˘ 10 900˘ 11 십일각형 12105˘ 13 100˘ 14 정십각형 15 ③, ④ 1636˘ 17정십각형 1865 19 9번 20130˘ 21 105˘ 2260˘ 2370˘ 2490˘

중단원

EXERCISES

125~127쪽

0

1

⑤ 모든 내각의 크기와 모든 변의 길이가 같은 다각형을 정 다각형이라고 한다.

0

2

ㄴ. 직육면체는 입체도형이므로 다각형이 될 수 없다. ㄷ. 반원은 일부분이 곡선으로 이루어져 있으므로 다각형 이 될 수 없다. 따라서 다각형이 아닌 것은 ㄴ, ㄷ이다.

0

3

어떤 다각형을 n각형이라고 하면 n-3=9 ∴ n=12 따라서 십이각형의 대각선의 개수는 =54

0

4

어떤 다각형은 칠각형이므로 대각선의 개수는 =14

0

5

구하는 다각형을 n각형이라고 하면 =44, n(n-3)=88 n(n-3)=11_8 ∴ n=11 따라서 구하는 다각형은 십일각형이다.

0

6

(4∠x+30˘)+(3∠x+15˘)+2∠x=180˘ 9∠x+45˘=180˘, 9∠x=135˘ ∴ ∠x=15˘

0

7

∠ACD는 △ABC의 한 외각이므로 45˘+(2∠x-10˘)=4∠x-35˘ 2∠x+35˘=4∠x-35˘, 2∠x=70˘ ∴ ∠x=35˘

0

8

50˘+30˘=∠x+40˘ n(n-3) 11112 7_(7-3) 111112 12_(12-3) 1111112 본문해설 6+16~31 2018.3.30 6:54 PM 페이지019

(20)

∴ ∠x=40˘ ■ 다른 풀이 ■ △ABO에서 ∠AOB=180˘-(50˘+30˘)=100˘ ∴ ∠COD=100˘(맞꼭지각) 즉, △OCD에서 ∠x=180˘-(100˘+40˘)=40˘

0

9

△ABC에서 70˘+40˘+∠ACB=180˘이므로 ∠ACB=70˘ ∠DCB=;2!;∠ACB=;2!;_70˘=35˘ 따라서 △DBC에서 ∠x+40˘+35˘=180˘ ∴ ∠x=105˘

10

한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수가 4인 다각형은 칠각형이다. 칠각형의 내각의 크기의 합은 180˘_(7-2)=180˘_5=900˘

11

외각의 크기의 합은 항상 360˘이므로 구하는 다각형의 내 각의 크기의 합은 1980˘-360˘=1620˘ 구하는 다각형을 n각형이라고 하면 n각형의 내각의 크기 의 합이 1620˘이므로 180˘_(n-2)=1620˘, n-2=9 ∴ n=11 따라서 구하는 다각형은 십일각형이다.

12

사각형 ABCD에서 ∠ABC+∠DCB=360˘-(80˘+130˘)=150˘ ∴ ∠EBC+∠ECB=;2!;_(∠ABC+∠DCB) ∴ ∠EBC+∠ECB=;2!;_150˘=75˘ 따라서 삼각형 EBC에서 ∠x=180˘-(∠EBC+∠ECB) ∠x=180˘-75˘=105˘

13

∠x의 외각의 크기는 180˘-∠x이고 외각의 크기의 합은 항상 360˘이므로 (180˘-∠x)+60˘+65˘+75˘+80˘=360˘ 460˘-∠x=360˘ ∴ ∠x=100˘

14

한 내각의 크기가 144˘이므로 한 외각의 크기는 180˘-144˘=36˘ 구하는 정다각형을 정`n각형이라고 하면 =36˘, 360˘=36˘_n ∴ n=10 따라서 구하는 정다각형은 정십각형이다. ■ 다른 풀이 ■ 구하는 정다각형을 정n각형이라고 하면 한 내각의 크기는 =144˘, 180˘_(n-2)=144˘_n 5_(n-2)=4n, 5n-10=4n ∴ n=10 따라서 구하는 정다각형은 정십각형이다.

15

① 정십이각형의 대각선의 개수는 =54 ② 정십이각형의 내각의 크기의 합은 180˘_(12-2)=1800˘ ③ 정십이각형의 한 내각의 크기는 =150˘ ④ 정십이각형의 한 외각의 크기는 =30˘ ⑤ 정십이각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개 수는 12-3=9

16

정오각형의 한 외각의 크기는 =72˘ △OBC에서 ∠OBC=∠OCB=72˘ ∴ ∠x=180˘-(72˘+72˘)=36˘

17

구하는 정다각형의 한 외각의 크기는 180˘_ =36˘ 구하는 정다각형을 정n각형이라고 하면 =36˘, 360˘=36˘_n ∴ n=10 따라서 구하는 정다각형은 정십각형이다.

18

구하는 다각형을 n각형이라고 하면 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 a=n-3 이때 생기는 삼각형의 개수는 b=n-2 그런데 a+b=21이므로 a+b=(n-3)+(n-2)=21 2n-5=21, 2n=26 ∴ n=13 따라서 십삼각형의 대각선의 개수는 =113113_10=65 2 13_(13-3) 1111112 360˘ 11n 1 1214+1 360˘ 115 360˘ 1112 1800˘ 11112 12_(12-3) 1111112 180˘_(n-2) 1111111n 360˘ 11n 본문해설 6+16~31 2018.3.30 6:54 PM 페이지020

(21)

개념 BOOK Ⅵ. 평면도형

021

19

6명의 학생이 이웃한 학생들을 제외한 모든 학생들과 서로 한 번씩 악수하는 횟수는 육각형의 대각선의 개수와 같으 므로 =9(번)

20

오른쪽 그림과 같이 선분 BC를 그으면 △ABC에서 ∠DBC+∠DCB =180˘-(80˘+25˘+25˘) =50˘ 따라서 △DBC에서 ∠x=180˘-(∠DBC+∠DCB) ∠x=180˘-50˘=130˘ ■ 다른 풀이 ■ 오른쪽 그림과 같이 선분 AD의 연장선을 그으면 ∑`+_=80˘이므로 ∠x=( ∑`+25˘)+(_+25˘) ∠x=( ∑`+_)+50˘ ∠x=80˘+50˘=130˘

21

△DBC는 DB”=DC”인 이등변삼각형이므로 ∠DCB=∠DBC=35˘ △DBC에서 ∠ADC=35˘+35˘=70˘ 또한 △CAD는 CA”=CD”인 이등변삼각형이므로 ∠CAD=∠CDA=70˘ 따라서 △ABC에서 ∠x=70˘+35˘=105˘

22

△ABF에서 ∠BFC=∠ABF+∠BAF이므로 80˘=∠ABF+50˘ ∴ ∠ABF=80˘-50˘=30˘ △BCE에서 BC”=CE”이므로 ∠EBC=∠BEC=30˘ 따라서 △EBC에서 ∠x=∠EBC+∠BEC=30˘+30˘=60˘

23

오른쪽 그림과 같이 보조선을 그어 오각형을 만들면 •+_=∠x+∠y 오각형의 내각의 크기의 합은 180˘_(5-2)=540˘ x y 70æ 122æ 87æ 99æ 92æ x 35æ 35æ 70æ 70æ A B D C 25æ 25æ A B C D +25æ +25æ 25æ 25æ 80æ A B C D x 6_(6-3) 111112 이므로 87˘+99˘+92˘+122˘+70˘+∠x+∠y=540˘ 470˘+∠x+∠y=540˘ ∴ ∠x+∠y=70˘

24

정삼각형의 한 내각의 크기는 60˘, 정사각형의 한 내각의 크기는 90˘, 정육각형의 한 내각의 크기는 =120˘ ∴ ∠x=360˘-(60˘+90˘+120˘)=90˘ 180˘_(6-2) 11111216

2. 부채꼴의 성질

0

1

ㄹ. μBC와 BC”로 둘러싸인 도형은 활꼴이다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

0

3

⑴ 한 원에서 중심각의 크기가 같은 두 호의 길이는 같다. ⑵ 한 원에서 길이가 같은 두 현에 대한 중심각의 크기는 같 다.

0

4

⑴ 한 원에서 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로 x : 12=30˘ : 120˘, x : 12=1 : 4 ∴ x=3 ⑵ 한 원에서 중심각의 크기는 호의 길이에 정비례하므로 (180-x) : x=12 : 4, (180-x) : x=3 : 1 3x=180-x, 4x=180 ∴ x=45 ⑶ 한 원에서 부채꼴의 넓이는 중심각의 크기에 정비례하 므로 x : 24=45˘ : 135˘, x : 24=1 : 3 3x=24 ∴ x=8 ⑷ 한 원에서 중심각의 크기는 부채꼴의 넓이에 정비례하 므로 x : (x+54)=30 : 48, x : (x+54)=5 : 8 8x=5(x+54), 8x=5x+270 3x=270 ∴ x=90 01. 부채꼴의 뜻과 성질

개념

CHECK

133쪽 ⑴ 호 ⑵ 현, 할선 ⑶ 부채꼴, 활꼴 01ㄱ, ㄴ, ㄷ 02180˘ 03⑴ 3 ⑵80 04⑴ 3 ⑵ 45 ⑶ 8 ⑷ 90 본문해설 6+16~31 2018.3.30 6:54 PM 페이지021

(22)

유형 60˘ 1-1 80˘ 1-2 90˘ 1-3 60˘ 유형 24 cm 2-1 6 cm 2-2 4 cm 2-3 18˘ 유형 24 cm¤ 3-1 x=9, y=120 3-2 16 cm¤ 3-3 20 cm¤ 유형 55˘ 4-1 3 cm 4-2

유형

EXERCISES

134~135쪽 2 1 4 3 유형`` 부채꼴의 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로 8 : 12=∠x : 90˘, 2 : 3=∠x : 90˘ 3∠x=180˘ ∴ ∠x=60˘

1

-1 부채꼴의 중심각의 크기는 호의 길이에 정비례하므로 ∠x : (∠x+40˘)=4 : 6, ∠x : (∠x+40˘)=2 : 3 3∠x=2(∠x+40˘) , 3∠x=2∠x+80˘ ∴ ∠x=80˘

1

-2 ∠BOC는 μ BC의 중심각이고, 한 원에서 부채꼴의 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로 ∠BOC=360˘_ =360˘_;4!;=90˘

1

-3 ∠AOB+∠DOC=180˘-80˘=100˘이고 μAB :μ DC=∠AOB : ∠DOC=2:3이므로 ∠DOC=100˘_ 3 =60˘ 2+3 3 4+3+5

1

유형`` AD”∥OC”이므로 ∠OAD=∠BOC=30˘(동위각) OD”를 그으면 △OAD는 OA”=OD”인

이등변삼각형이므로 ∠ADO=∠OAD=30˘ ∴ ∠AOD=180˘-(30˘+30˘)=120˘ 따라서 μAD : 6=120˘ : 30˘이므로 μAD : 6=4 : 1 ∴ μAD=24(cm)

2

-1 △OAB는 OA”=OB”인 이등변삼각형이므로 ∠OAB=∠OBA=;2!;_(180˘-100˘)=40˘ AB”∥CO”이므로 ∠OAB=∠COA=40˘(엇각) O D C B A 30æ 6`cm 30æ 30æ 따라서 μAC : 15=40˘ : 100˘이므로 μAC : 15=2 : 5, 5μAC=30 ∴ μAC=6(cm)

2

-2 △OAD는 OA”=OD”인 이등변삼각형이므로 ∠ODA=∠OAD=45˘ ∴ ∠AOD=180˘-(45˘+45˘) =90˘ AD”∥OC”이므로 ∠DAO=∠COB=45˘(동위각) 따라서 90˘ : 45˘=8 : μ BC이므로 2 : 1=8 : μ BC, 2μ BC=8 ∴ μ BC=4(cm)

2

-3 OC”를 그으면 △OBC는 OB”=OC”인 이등변삼각형이므로 ∠OCB=∠OBC=∠x ∠AOC는 △OBC의 외각이므로 ∠AOC=2∠x ∴ ∠BOC=180˘-2∠x 이때 호 BC의 길이가 호 AC의 길이의 4배이므로 2∠x : (180˘-2∠x)=1 : 4 8∠x=180˘-2∠x, 10∠x=180˘ ∴ ∠x=18˘ O B A C x x 2x 180æ-2x O C D B A 8`cm 45æ 45æ 45æ

2

유형`` 부채꼴 AOB의 넓이를 x cm¤ 라고 하면 x:6=120˘:30˘, x:6=4:1 ∴ x=24 따라서 부채꼴 AOB의 넓이는 24 cm¤ 이다.

3

-1 부채꼴의 넓이는 중심각의 크기에 정비례하므로 x : 21=30˘ : 70˘, x : 21=3 : 7 7x=63 ∴ x=9 y˘ : 70˘=36 : 21, y : 70=12 : 7 7y=70_12 ∴ y=120

3

-2 중심각의 크기가 200˘인 부채꼴의 넓이를 x cm¤ 라고 하면 300˘ : 200˘=24 : x, 3 : 2=24 : x 3x=48 ∴ x=16 따라서 구하는 넓이는 16 cm¤ 이다.

3

본문해설 6+16~31 2018.3.30 6:54 PM 페이지022

(23)

개념 BOOK Ⅵ. 평면도형

023

유형`` AB”=CD”=DE”에서 ∠AOB=∠COD=∠DOE이므로 ∠COE=2∠AOB=110˘ ∴ ∠AOB=55˘

4

-1 AC”∥OD”이므로 ∠CAO=∠DOB (동위각) OC”를 그으면 △CAO는 이등변삼각형이므로 ∠ACO=∠CAO ∠ACO=∠COD (엇각)이므로 ∠COD=∠DOB ∴ BD”=CD”=3(cm)

4

-2 ② AC”<2DE” 3cm A C B D O

4

3

-3 △OAB는` OA”=OB”인 이등변삼각형이므로 ∠OBA=;2!;_(180˘-100˘)=40˘ AB”∥OC”이므로 ∠COB=∠OBA=40˘ (엇각) 부채꼴 BOC의 넓이를 x cm¤ 라고 하면 부채꼴의 넓이는 중심각의 크기에 정비례하므로 50 : x=100˘ : 40˘, 50 : x=5 : 2 5x=100 ∴ x=20 따라서 구하는 넓이는 20 cm¤ 이다. A B O C 100æ 40æ 40æ 40æ

0

2

⑴ 원의 반지름의 길이를 r라고 하면 2pr=14p ∴ r=7 ⑵ 원의 반지름의 길이를 r라고 하면 pr¤ =36p, r¤ =36 ∴ r=6

0

3

⑴ (호의 길이)=2p_12_;3¢6∞0;=3p(cm) (넓이)=p_12¤ _;3¢6∞0;=18p(cm¤ ) ⑵ (호의 길이)=2p_9_;3!6$0);=7p(cm) (넓이)=p_9¤ _;3!6$0);=:§2£:p(cm¤ )

0

4

(넓이)=;2!;_6_5p=15p(cm¤ )

0

5

부채꼴의 호의 길이가 2p cm이므로 2p_8_;36{0;=2p, 8_;36{0;=1 ∴ x=45

0

6

(색칠한 부분의 둘레의 길이) =2p_10_;3ª6º0;+10_2=5p+20(cm) (색칠한 부분의 넓이) =10_10-p_10¤ _;3ª6º0;=100-25p(cm¤ ) 02. 부채꼴의 호의 길이와 넓이

개념

CHECK

141쪽 ⑴ 2pr, pr¤ ⑵ 2pr, pr¤ , rl 01⑴ 8p cm, 16p cm¤ ` ⑵ 16p cm, 64p cm¤ 02⑴ 7 ⑵ 6 03⑴ 3p cm, 18p cm¤ ⑵ 7p cm, :§2£:p cm¤ 0415p cm¤ 0545 06(5p+20) cm, (100-25p) cm¤

0

1

⑴ (둘레의 길이)=2p_4=8p(cm) (넓이)=p_4¤ =16p(cm¤ ) ⑵ (둘레의 길이)=2p_8=16p(cm) (넓이)=p_8¤ =64p(cm¤ ) 유형 14p cm, 21p cm¤ 1-1 18p cm, 27p cm¤ 1-2 6p cm¤ 1-3 14p cm, 10p cm¤ 유형 2p cm, 5p cm¤ 2-1 5p cm 2-2 120 2-3 5 cm, 216˘ 유형 (5p+6) cm, pcm¤ 3-1 2p cm¤ 3-2 (2p+4) cm 3-3 8p cm, (32p-64) cm¤ 3-4 8p cm, 8p cm¤ 3-5 24p cm, 48p cm¤ 3-6 (4p-8) cm¤ 3-7 2p cm 15 2

유형

EXERCISES

142~143쪽 1 3 2 본문해설 6+16~31 2018.3.30 6:54 PM 페이지023

(24)

유형`` (호의 길이)=2p_5_;3¶6™0;=2p(cm) (넓이)=p_5¤ _;3¶6™0;=5p(cm¤ )

2

-1 호의 길이를 l cm라고 하면 ;2!;_10_l=25p ∴ l=5p 따라서 호의 길이는 5p cm이다.

2

-2 반지름의 길이가 8 cm인 부채꼴의 넓이는 ;2!;_8_3p=12p(cm¤ )

2

유형`` (색칠한 부분의 둘레의 길이) =μAB+μ CD+AC”+BD” =2p_6_;3§6º0;+2p_9_;3§6º0;+3_2 =2p+3p+6 =5p+6(cm) (색칠한 부분의 넓이) =(부채꼴 COD의 넓이)-(부채꼴 AOB의 넓이) =p_9¤ _;3§6º0;-p_6¤ _;3§6º0; =:™2¶:p-6p=:¡2∞:p(cm¤ )

3

-1 (색칠한 부분의 넓이) =(반지름의 길이가 4 cm인 사분원의 넓이) -(지름의 길이가 4 cm인 반원의 넓이) =p_4¤ _;4!;-p_2¤ _;2!; =4p-2p=2p(cm¤ )

3

-2 오른쪽 그림에서 BD”와 CD”는 부 채꼴의 반지름이므로 BD”=CD”=BC”=4 cm ∴ ∠DBC=∠DCB=60˘ 따라서 호 DB와 호 DC는 중심 각의 크기가 같고, 반지름의 길이가 같은 두 부채꼴의 각 각의 호이므로 μ DB=μ DC이다. 4`cm 4`cm A D B 60æ 60æC

3

유형`` (둘레의 길이)=(반지름의 길이가 5 cm인 원의 둘레의 길이) =+(반지름의 길이가 2 cm인 원의 둘레의 길이) =2p_5+2p_2=10p+4p=14p(cm) (넓이)=(반지름의 길이가 5 cm인 원의 넓이) (넓이)=-(반지름의 길이가 2 cm인 원의 넓이) (넓이)=p_5¤ -p_2¤ =25p-4p=21p(cm¤ )

1

-1 (둘레의 길이)=2p_6+2p_3 =12p+6p=18p(cm) (넓이)=p_6¤ -p_3¤ =36p-9p=27p(cm¤ )

1

-2 (넓이)=p_4¤ -p_1¤ -p_3¤ =16p-p-9p=6p(cm¤ )

1

-3 (둘레의 길이)=μAC+μAB+μ BC (둘레의 길이)=2p_7_;2!;+2p_5_;2!;+2p_2_;2!; (둘레의 길이)=7p+5p+2p=14p(cm) (넓이)=(반지름의 길이가 7 cm인 반원의 넓이) (넓이)=-(반지름의 길이가 5 cm인 반원의 넓이) (넓이)=-(반지름의 길이가 2 cm인 반원의 넓이) (넓이)=p_7¤ _;2!;-p_5¤ _;2!;-p_2¤ _;2!; (넓이)=49-25-42 p=10p(cm¤ ) 반지름의 길이가 6 cm인 부채꼴의 넓이는 p_6¤ _ = (cm¤ ) 이때 두 부채꼴의 넓이가 같으므로 12p= ∴ x=120

2

-3 부채꼴의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 15p=;2!;_r_6p에서 r=5 부채꼴의 중심각의 크기를 x˘라고 하면 2p_5_ =6p에서 x=216 따라서 부채꼴의 반지름의 길이는 5 cm, 중심각의 크기 는 216˘이다. x 360 px 10 px 10 x 360

1

본문해설 6+16~31 2018.3.30 6:54 PM 페이지024

(25)

개념 BOOK Ⅵ. 평면도형

025

∴ (색칠한 부분의 둘레의 길이) ∴=AB”+μAD+μ DB ∴=AB”+(μAD+μ DC) ∴=AB”+μAC ∴=4+2p_4_;3ª6º0=4+2p(cm)

3

-3 (색칠한 부분의 둘레의 길이) =2_μAC=2_{2p_8_;3ª6º0}=8p(cm) 색칠한 부분의 넓이는 오른쪽 그 림에서 색칠한 부분의 넓이의 2 배와 같으므로 2_{(부채꼴 ABC의 넓이) -(△ABC의 넓이)} =2_{p_8¤ _;3ª6º0-;2!;_8_8} =2_(16p-32)=32p-64(cm¤ )

3

-4 (색칠한 부분의 둘레의 길이) =(반지름의 길이가 4 cm인 원의 둘레의 길이)_;2!; =+(반지름의 길이가 2 cm인 원의 둘레의 길이)_;2!;_2 =2p_4_;2!;+{2p_2_;2!;}_2 =4p+4p=8p(cm) 주어진 도형을 변형하면 다음 그림과 같으므로 Δ (색칠한 부분의 넓이)=p_4¤ _;2!;=8p(cm¤ )

3

-5 주어진 도형을 변형하면 오른쪽 그림 과 같으므로 (색칠한 부분의 둘레의 길이) =(반지름의 길이가 8 cm인 원의 둘레의 길이) +(반지름의 길이가 4 cm인 원의 둘레의 길이) =2p_8+2p_4=16p+8p=24p(cm) (색칠한 부분의 넓이) =(반지름의 길이가 8 cm인 원의 넓이) -(반지름의 길이가 4 cm인 원의 넓이) =p_8¤ -p_4¤ =64p-16p=48p(cm¤ ) 8cm 8cm 8cm 4 cm 8`cm 8`cm A B D C

3

-6 오른쪽 그림과 같이 이동하면 구하 는 넓이는 p_4¤ _;3ª6º0;-;2!;_4_4 =4p-8(cm¤ )

3

-7 (사각형 ABCD의 넓이)=(부채꼴 ABE의 넓이)이므로 8_BC”=p_8¤ _;3ª6º0; ∴ BC”=2p(cm) 4 cm

0

1

②` AC”<2AB”로 현의 길이는 중심각의 크기에 정비례하 지 않는다.

0

2

부채꼴의 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로 4 : μCD=30˘ : 90˘, 4 : μ CD=1 : 3 ∴ μ CD=12(cm)

0

3

부채꼴의 중심각의 크기는 호의 길이에 정비례하므로 ∠x : (2∠x+20˘)=6 : 15 ∠x : (2∠x+20˘)=2 : 5 5∠x=2(2∠x+20˘), 5∠x=4∠x+40˘ ∴ ∠x=40˘

0

4

μAB : μ BC : μ CPA=1 : 3 : 5, ∠BOC는 μ BC의 중심각 이고 한 원에서 부채꼴의 중심각의 크기는 호의 길이에 정 비례하므로 ∠BOC=360˘_ 3 =120˘ 1+3+5 010212 cm 0340˘ 04120˘ 0530˘ 0654 cm¤ 0745˘ 082p 0930p cm¤ 10120˘ 11 pcm¤ 12 pcm¤ 1332 cm¤ 1432p cm¤ 15(12p+48) cm 162 cm 178p cm 181932 cm¤ 2012p cm¤ 2180p m¤ 25 3 135 8

중단원

EXERCISES

144~146쪽 본문해설 6+16~31 2018.3.30 6:54 PM 페이지025

참조

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