학부 대학수학 2011 기말시험 답안지

1. 다음 함수의 그래프를 그리고, a 값에 따른 변화를 반드시 나타내시오.(10) ① (a > 0, a_≠1) ② y=log_a x (a > 0, a_≠1) 1 0< a< x y 1 x a y= 1 > a x y 1 1 0< a< x y x y= x a y= 1 1 > a y x y= x a y= 1

2011. 1학기

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학기 대학수학

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대학수학 중간시험

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중간시험

중간시험

2. 다음 문제의 답을 구하시오.(20) ① 일 때, ② ③ ④ x 1 x y=log_a x 1 x y=log_a 32 2 , 12 2 2x + y = x+ y = 3 , 3 1 , 1 7 7 3 ) 2 3 ( 2 2 3 , 3 2 3 log , 3 log = = ∴ = = ⇒ = ⇒ = − + ∴ = − = + ⇒ = = y x Y X X X X Y X Y X Y X y x 3 1 = + x x _{+ =} x x 1 − +log 32= 3 4 log 3 2 log_{2 2 2} 7 1 9 2 1 1 2 = + ∴ =       + + =       + x x x x x x 4 5 2 1 2 log 3 log 2 log 3 log 2 log_{2 2 2} 2 _{2 2} 5 = + − = + + − − 2 , 3 3 , 2 4 , 8 8 , 4 32 , 12 2 , 2 = = = = ∴ = = = = ∴ = = + ⇒ = = y x or y x Y X or Y X XY Y X Y X y x 2 3 log 27 log , 3 9 log 3 log_x + _y = _x − _y =

3. 삼 각 함 수 에 있어서 각 문제에 대해 답하시오.(30) ① 다음은 삼각함수의 변환공식이다. 우측에 대해 답하시오. (10) ② 다음은 삼각함수의 덧셈 공식이다. 우측에 대해 답하시오. (5) ③ 다음은 삼각함수의 반각 공식이다. 우측에 대해 답하시오. (5)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

x

)

x

(

x

)

x

(

x

)

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x tan tan , cos cos , sin sin cot 2 tan , cos 2 cos , sin 2 sin tan 2 3 tan , sin 2 3 cos , cos 2 3 sin tan tan , cos cos , sin sin cot 2 tan , sin 2 cos , cos 2 sin − = − = − − = − = ± = ± ± = ± =       ± ± =       ± − =       ± ± = ± − = ± = ± =       ± =       ± =       ± m m m m m π π π π π π π π π π π π

(

)

(

)

(

)

y x y x y x y x y x y x y x y x y x tan tan 1 tan tan tan , sin sin cos cos cos , sin cos cos sin sin m m ± = ± = ± ± = ± x x x x cos 1 cos 1 2 tan , 2 cos 1 2 cos , 2 cos 1 2 sin + − ± =       + ± =       − ± =      π π π ② 삼각함수의 덧셈공식을 이용해 다음을 유도하시오.(10)

4. 삼각함수인 y=sin x, y=cos x, y=tan x 의 그래프를 그리고 π/6, π/3, 2π/3, 4π/3 에서의 값을 표시하시오.(10)

(

+φ

)

+ = +b x a b x x

asin cos 2 2sin

x cos 1 2 2 2 2 2     +  , sin , cos 2 2 2 2 _{로가정하면} φ φ b a b b a a= + = +

(

φ

)

φ φ + + = + + + = + x b a x b a x b a x b x a sin cos sin sin cos cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 b a + φ a b

4. 삼각함수인 y=sin x, y=cos x, y=tan x 의 그래프를 그리고 π/6, π/3, 2π/3, 4π/3 에서의 값을 표시하시오.(10) 5. 복소수에서 다음 문제에 답하시오.(20) ① 오일러 공식을 쓰고, 각도 θ가 0 ~ 2π 로 변할 때의 궤적을 그리시오 y ② 두 복소수가 z

1=r1(cos θ1+ j sin θ1), z2=r2(cos θ2+ j sin θ2)로 주어졌을 때 ,

을 구하시오. n

z

z

z

z

z

₁

⋅

₂

,

₁

,

−

₁

,

₁

θ

θ

θ sin cos j ej = + x 1

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

[

]

( )

( )

[

]

[

(

)

(

)

]

(

)

(

)

[

1 1

]

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos

θ

θ

π

θ

π

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

n j n r z j r j r z j r z j r r z z n n + = + + + = − − = − − + − = + + + = ⋅

③ 를 복소평면에 극형식 그림으로 표시하시오. ④ 복소수 를 복소평면에 극형식 그림으로 나타내시오 1 1 2 1

z

,

z

,

z

z

⋅

−

j z = 3−

real

j

1

z

−

z

₁ 1

z

2

z

2 1

z

z

⋅

j

2 1 2 3 2 3 _       − = − = j j z

z

real

3

1

−

(

cos( 30 ) sin( 30 )

)

2 2 2 ° − + ° − =   j ° 30

3. 다음 문제의 답을 구하시오.(10) ① 일 때, 의 값 ② 4. 100만원을 연이율 5%, 1년마다 복리로 계산할 때, 10년 후의 원리합계를 구 하시오. (단, log1.05 = 0.0212, log1.629 = 0.2120으로 계산) (10) - 10년 후의 원리합계를 x원이라고 하면, 양변을 log 취하면 그러므로, 구하는 원리합계는 5. 다음 함수의 그래프를 그리고, a 값에 따른 변화를 반드시 나타내시오.(10) ① (a > 0, a_≠1) 3 2 =x 2 8 1 x       ? 32 log 3 4 log 3 2 log2 − 2 + 2 = x a y=

( )

( )

27 1 3 2 2 2 8 1 ₂3 2 3 2 3 2 3 2 = = = = =       − − − − x x x x 4 5 2 1 2 log 3 log 2 log 3 log 2 log 2 2 5 2 2 2 2 = + − = + + − −

(

)

10 6 10 05 . 1 10 05 . 0 1 000 , 000 , 1 + = × = x

(

10 1.05

)

6 10log1.05 6 10 0.0212 6.212 log logx= 6× 10 = + = + × =

(

6

)

10 629 . 1 log 629 . 1 log 6 212 . 6 , 212 . 0 629 . 1 log = 이므로 = + = × 원 000 , 629 , 1 10 629 . 1 × 6 = = x

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① (a > 0, a_≠1) ① (a > 0, a≠1) x y=log_a 1 0< a< x y 1 1 > a x y 1 1 0< a< x y 1 x y= x y=log_a x a y= 1 1 > a x y 1 x y= x y=log_a x a y= 1

6. 다음 방정식의 답을 구하시오.(20) ① ② ③ ④ 7. 다음 함수의 그래프를 그리고, θ = π/6, π/4, π/6일 때의 값을 그래프에 반드시 표시하시오.(15) ① y=sinx ② ③

(

)

x x+2 2 =3 ₄ 1 ₂ 2 _{3 0} = − + + + x x

(

log

)

2

logx3− x 2 = _{log 3+log 9=3, log 27−log 3=2} y x y x x y=cos y=tanx

(

)

2 3 1 3 2 , 0 ) = ⇒∴ = + ⇒ = + ≠ x x x x i 일때 x x 0 3 2 , 0 ) x= 0 = 0⇒∴x= ii 일때

(

)

1 ) ( 2 3 , 2 1 2 0 ) 3 2 )( 1 2 ( 3 4 4 , 0 2 , 0 3 2 4 4 4 2 − = ⇒∴ × − = = ∴ = + − = − + > = = − × + × x X X X X X X x x x x

(

)

(

)

10 100 1 2 log 2 ) 1 )( 2 ( 2 3 2 3 log log 3 2 2 2 or x or x X X X X X X X x x = ∴ = = ⇒ = − − = + − = − = − 3 , 3 1 3 log , 1 3 log 1 , 1 2 3 , 3 2 , 3 log , 3 log = = ⇒ = = ∴ = = ⇒ = − = + = = y x Y X Y X Y X Y X y x y x 로하면 8. 삼각함수의 덧셈공식을 이용해 다음을 유도하시오.(10)

(

+φ

)

+ = +b x a b x x

asin cos 2 2 sin

, sin , cos 2 2 2 2 _{로가정하면} φ φ b a b b a a= + = +

(

φ

)

φ φ + + = + + + = + x b a x b a x b a x b x a sin cos sin sin cos cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 b a + φ a b

1. 다음은 역함수 관계이다. a 값에 따른 함수의 그래프를 그리시오.(10) ① (a > 0, a_≠1) ② (a > 0, a_≠1) 2. 다음 문제의 답을 구하시오.(20) ① 일 때, ② ③ ④ 3. 삼각함수에 있어서 각 문제에 대해 답하시오.(30) ① 다음은 삼각함수의 변환공식이다. 우측에 대해 답하시오. (10) ② 다음은 삼각함수의 덧셈 공식이다. 우측에 대해 답하시오. (5)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

−

)

=

(

−

)

=

(

−

)

= = ± = ± = ± =       ± =       ± =       ± = ± = ± = ± =       ± =       ± =       ± x x x x x x x x x x x x x x x tan , cos , sin 2 tan , 2 cos , 2 sin 2 3 tan , 2 3 cos , 2 3 sin tan , cos , sin 2 tan , 2 cos , 2 sin π π π π π π π π π π π π x a y= y=logax 32 2 , 12 2

2x + y = x+ y = logx3+logy9=3, logx27−logy3=2 3 1 = + x x + = x x 1 − +log 32= 3 4 log 3 2 log2 2 2

2011

2011

2011

2011

년

년

년

년---- 1

1

1

1

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② 다음은 삼각함수의 덧셈 공식이다. 우측에 대해 답하시오. (5) ③ 다음은 삼각함수의 반각 공식이다. 우측에 대해 답하시오. (5) ② 삼각함수의 덧셈공식을 이용해 다음을 유도하시오.(10)

4. 삼각함수인 y=sin x, y=cos x, y=tan x 의 그래프를 그리고 π/6, π/3, 2π/3, 4π/3 에서의 값을 표시하시오.(10)

5. 복소수에서 다음 문제에 답하시오.(20)

① 오일러 공식을 쓰고, 각도 θ가 0 ~ 2π 로 변할 때의 궤적을 그리시오 ② 두 복소수가 z

1=r1(cos θ1 + j sin θ1), z2=r2(cos θ2 + j sin θ2)로 주어졌을

때 , 을 구하시오. ③ 를 복소평면에 극형식 그림으로 표시하시오. ④ 복소수 를 복소평면에 극형식 그림으로 나타내시오 6. 기타 학습한 내용 중 출제되지 않은 부분이 있으면, 정리해서 답하시오.(10) n

z

z

z

z

z

₁

⋅

₂

,

₁

,

−

₁

,

₁ 1 1 2 1

z

,

z

,

z

z

⋅

−

j z = 3−

(

x± y

)

= , cos

(

x± y

)

= , tan

(

x± y

)

= sin

(

+φ

)

+ = +b x a b x x

asin cos 2 2sin

=       =       =       2 tan , 2 cos , 2 sin π π π