본 소절에서는 기존의 Braess' paradox에 대한 모형을 확장해보고자 한다. 직 관적으로 생각해 볼 때, 고정된 통행수요 하에서 기존의 교통망에 대체노선을 추가하게 되면 통행수요가 분산될 수 있으므로, 결국 통행자들은 더 낮은 통행 시간을 겪게 될 것이다. 여기에서는 이러한 대체노선의 영향이 Braess' paradox 가 발생하는 교통망에서는 어떻게 나타나는지에 초점을 맞추고 전개할 것이다.
따라서 대체노선의 추가와 더불어 기존 교통망에 Braess link가 추가되는 상황 도 살펴보게 된다. 결론적으로 볼 때 대체노선이 더 많이 존재하는 상황일수록 사회적 최적에서의 균형통행시간은 감소되나, 역설의 구간은 오히려 더욱 증가 됨이 확인할 수 있었다.
아울러 본 소절에서 모형을 설정하기 위해 몇 가지 가정이 필요한데, 이러한 가정들은 이전 연구의 가정을 기초로 하고 있다. 먼저 통행시간함수는 Braess(1968)와 Small&Arnott(1983) 및 Pas&Principio(1997)의 연구에서 살펴본 선형의 통행시간함수로 가정하며, 통행수요도 비탄력적인 수요로 가정한다. 또 한 계산상의 편의를 위해 Pas&Principio(1997)의 연구와 동일하게 통행시간함수 의 파라메터값을
,
라고 가정한다.14) 마지막으로 대체노선의 통 행시간함수는 기존의 노선1 또는 노선2와 같은 통행시간함수로 가정한다.14) 이처럼 모형의 가정을 기존 연구에서의 가정과 동일하게 설정한 이유는 계산상의 편의가 존재할 뿐만 아니라 기존의 연구와 비교분석이 가능하게 하기 위해서이다.
1) 대체노선이 1개 존재하는 Braess 모형15) (1) 이용자 균형과 사회적 최적
기존의 Braess 모형에서 대체노선이라 불리는 노선이 오직 하나만 추가된 모 형을 살펴보자. 대체노선은 기존 교통망의 노선과는 달리 ‘공유하는 링크16)’ 가 없다. 즉, 기종점을 ‘독립적인 형태’로 연결하는 새로운 도로와 유사하다.
다만 가정에서 언급했듯이 기존 교통망의 노선1, 노선2와 통행시간함수의 파라 미터 값은 같다고 본다. 따라서 대체노선의 통행시간함수는 다음과 같다.
이제 Braess' paradox을 확인하기 위해 먼저 이용자 균형을 구해보자. 5링크 교통망에서는 3가지 타입의 이용자 균형이 존재하였는데 여기에서는 4가지 타 입의 이용자 균형이 존재한다.
첫 번째는
인 경우이다. 이 경우는 모든 노선에서의 통행자가 존재하는 경우로 균형조건은
,
,
,
이다. 따라서 균 형통행량과 균형통행시간 그리고 균형조건을 구해보면 다음과 같다.ⅰ) 균형통행량 :
,
,
ⅱ) 균형통행시간 :
,15) Braess 모형은 Braess' paradox가 가능한 모형을 의미하는 것으로, 기존의 교통망에서 Braess link가 추가되어 역설이 발생되는 상황을 설명하는 모형을 뜻한다.
16) 여기에서 공유하는 링크라는 것은 2개 이상의 노선에 중복되는 링크를 의미한다. 이러한 경우 노선이 공유된 링크로 구성되었을 경우 그 통행시간을 결정함에 있어 공유된 링크를 이용하는 다른 노선의 통 행량에 영향을 받게 된다. 따라서 의사결정 상의 복잡함이 요구된다.
ⅲ) 균형조건 :
두 번째는
≤
인 경우이다. 이 경우는 노선3을 제외한 모든 노선의 통행자가 영이 아닌 경우로 균형조건은
,
,
그리고
≤
이다. 따라서 균형통행량과 균형통행시간 그리고 균형조건을 구해보면 다음과 같다.ⅰ) 균형통행량 :
,
ⅱ) 균형통행시간 :
,
ⅲ) 균형조건 :
≤
세 번째는
그리고
인 경우이다. 이 경우는 균 형에서 노선3과 노선4에는 통행자가 존재하지만 노선1과 노선2는 통행자가 존 재하지 않는 경우이다. 따라서 균형조건은
≤
,
,
이다. 균형통행량과 균형통행시간 그리고 균형조건을 구해보면 다음과 같다.
ⅰ) 균형통행량 :
,
,
,ⅱ) 균형통행시간 :
,
ⅲ) 균형조건 :
≤ ≤
네 번째는
,
, 그리고
인 경우이다. 이 경우는 노선3을 제외한 모든 노선의 통행자들은 존재하지 않으므로 그 균형조건은
,
≤
,
로 나타난다. 따라서 균형통행량과 균형통 행시간 그리고 균형조건을 구해보면 다음과 같다.ⅰ) 균형통행량 :
,
,
,
ⅱ) 균형통행시간 :
,
ⅲ) 균형조건 :
위에서 살펴본 균형에 대한 결과를 간략히 정리하면 <표 4>와 같다.
균형의 조건 범위 비고
≤
노선1,2,4이용
모든 노선이용
≤ ≤
노선3,4이용
노선3만이용
<표 4> 대체노선이 1개 존재할 때 이용자 균형
이어서 사회적 최적을 구해보자. 사회적 최적은 총통행자의 평균통행시간이
최소가 되는 것을 목적으로 한 결과이다. 따라서 아래의 제약조건 하에서 그 목적함수값을 최소화하는 문제로 설정된다.
ⅰ) 목적함수 :
ⅱ) 제약조건 :
,
,
,
,
≥
,
≥
,
≥
,
≥
이렇게 설정된 문제를 풀게 되면 아래의 결과를 가지게 된다.
ⅰ) 균형통행량 :
,
ⅱ) 균형통행시간 :
,
(2) Braess의 역설
본 소절에서는 앞 소절에서 살펴본 이용자 균형을 토대로 Braess' paradox이 발생하는 조건을 도출하고자 한다. 이용자 균형이 4가지 타입으로 구분되어 있 으므로 각각 살펴보게 되며, 그 유형을 종합하여 최종적인 조건을 도출하게 된 다. Braess' paradox를 확인하기 위해 먼저 사회적 최적인 상태에서 균형통행시 간을 계산하여야 하는데, 계산하면 아래의 균형통행시간과 총통행시간을 가진 다.
위의 값은 이용자 균형의 총통행시간과 비교하여 Braess' paradox의 기본 조 건인
에 이용되며 이 조건과 이용자 균형의 조건을 동시에 만족하는 조건에 의해 Braess' paradox를 확인할 수 있다. 이제 이용자 균형의 유형별로 역설의 조건을 살펴보자.첫 번째는
인 경우이다. 이 경우 Braess' paradox의 조건인
와 이용자 균형의 조건인
,
을 정리하면 다음과 같 다.ⅰ)
:
ⅱ)
,
:
따라서 동시에 만족하는 조건17)은 다음과 같다.
두 번째로
≤
인 경우이다. 이 경우 Braess' paradox의 조건 인
와 이용자 균형의 조건인
≤
,
을 정리하면 다음 과 같다.ⅰ)
: 이러한 구간이 존재하지 않음17) 동시에 만족하는 조건을 찾는다는 것은 두 조건의 교집합을 찾는다는 것과 의미가 같다.
ⅱ)
≤
,
:
≤
정리한 결과 Braess' paradox가 발생하는 기본 조건에서 그 구간이 존재하지 않는다. 따라서 여기에서는 역설이 발생하지 않는다.
세 번째로
≤
인 경우이다. 이 경우에서 Braess' paradox의 조건인
와 이용자 균형의 조건인
,
≤
,
≤
을 정리하면 다음과 같다.
ⅰ)
:
ⅱ)
≤
,
,
≤
:
≤ ≤
따라서 위 조건을 동시에 만족하는 조건을 구하게 되면 아래와 같다.
≤
네 번째로
≤
인 경우이다. 이 경우에서 Braess' paradox의 조건인
와 이용자 균형의 조건인
,
≤
,
을 정리하면 다음과 같다.
ⅰ)
:
ⅱ)
,
≤
,
:
여기에서 두 조건을 만족하는 구간을 구하여 볼 때 이러한 구간은 존재하지 않는다. 따라서 역설이 발생하지 않는다.
이제 위에서 각각 계산한 역설의 조건을 토대로 이용자 균형의 모든 범위에
서 역설의 조건을 살펴볼 수 있다. 각각의 조건은 각 구간별로 계산된 것이므 로 전체 범위를 구하기 위해 모든 범위를 합하여 계산하여야 한다.18) 그러므로 결론적으로 역설이 발생하는 구간은 다음과 같다.
3) 대체노선이
개 존재하는 경우의 모형 (1) 이용자 균형앞 소절에서 살펴본 대체노선이 1개 존재하는 모형을 토대로 대체노선이
개 존재하는 모형으로 확장하여 보자. 이제 총 노선이 기존 교통망의 3개와 개의 대체노선으로 주어진 상황이므로 총
가 존재하게 된다. 여기에서 사용자 최적은
를 최소화하는 문제를 푸는 것이며, 이용자 균형은 선택된 노선에 한해서 그것을 이용하는 통행수요의 균형통행시간이 서로 같은 수준인 경우를 찾는 것이다. 이러한 문제를 풀기 위한 각 노선의 통행시간함수를 확인 해보면 아래와 같다.
...
18) 조건의 전체 범위를 찾는다는 것은 각각 계산된 유형별 역설의 조건의 합집합을 찾는 것과 의미가 같 다. 여기에서는 모든 유형별 조건들이 구간에 의해 서로 독립이므로 각각의 범위를 단순히 더하는 것만 으로도 전체 범위를 찾을 수 있다.
,
만약에 대체노선이
개 존재하고 Braess link가 없는 경우의 이용자 균형을 구하게 되면 다음과 같다.ⅰ) 균형통행량 :
ⅱ) 균형통행시간 :
,
이는 사회적 최적과도 같으며, Braess link가 추가된 이 후에서의 사회적 최적 과도 같다. 이제 Braess link가 추가된 경우의 이용자 균형을 살펴보자. 이용자 균형은 총 4가지 유형으로 나타나며 그 내용은 다음과 같다.
첫 번째는
인 경우이다. 이 경우 모든 노선의 이용자 가 영이 아니기 때문에
,
,
의 균형조건 을 가진다. 따라서 이용자 균형과 그 균형 조건은 아래와 같다.ⅰ) 균형통행량 :
ⅱ) 균형통행시간 :
ⅲ) 균형조건 :
두 번째로
≤
인 경우를 살펴보자. 이 경우 노선3 을 제외하고 모든 노선의 이용자가 영이 아니기 때문에
,
≤
의 균형조건을 가진다. 따라서 이용자 균형과 그 조건은 아래와 같다.ⅰ) 균형통행량 :
,
ⅱ) 균형통행시간 :
,
ⅲ) 균형조건 :
≤
세 번째로
≤
인 경우를 살펴보자. 이 경우 노선 1과 노선2를 제외하고 모든 노선의 이용자가 영이 아니기 때문에
≤
,
,
≤
의 균형조건을 가진다. 따라서 이용자 균 형과 그 조건은 아래와 같다.ⅰ) 균형통행량 :
ⅱ) 균형통행시간 :
ⅲ) 균형조건 :
≤ ≤
마지막 네 번째로
19)인 경우를 살펴보자. 이 경우 노선3을 제외하 고 모든 노선의 이용자가 영이다. 그러므로
≤
,
,
의 균형조건을 가진다. 이용자 균형과 그 조건을 구하면 아래와 같다.ⅰ) 균형통행량 :
,
ⅱ) 균형통행시간 :
,
ⅲ) 균형조건 :
위의 이용자 균형의 결과를 표로 정리하면 다음과 같다.
균형의 조건 범위
≤
≤ ≤
<표 5> 대체노선이
개 존재할 대 이용자 균형19)
는
를 제외한 모든 노선의 통행시간을 의미한다.(2) Braess의 역설
앞 소절을 토대로 Braess' paradox의 조건을 살펴보자. 먼저 대체노선이
개 존재하는 경우에서의 사회적 최적 값을 확인해볼 때 그 균형통행시간과 총통행 시간은 각각
과
임을 알 수있다.
먼저
인 경우부터 살펴보자.
의 조건을 구하 면
의 값을 가진다. 그리고 모든 노선의 통행시간이 균형 에서 같아지기 위해 다음의 조건을 만족하여야 한다.
따라서 이 두 조건을 만족하는 범위를 살펴보면 균형조건이 역설의 조건에 포함되므로 이러한 이용자 균형의 범위에서는 항상 역설이 발생한다. 그 공통 된 조건은 위에 제시된 이용자 균형의 조건과 같다.
두 번째로
≤
인 경우를 살펴보자. 이 경우 이용 자 균형에서 노선3을 이용하지 않는다. 노선3은 Braess link이므로 노선3을 이 용하지 않는다는 것은 Braess link가 없는 경우의 이용자 균형과 그 값이 같게 된다. 즉, 역설은 발생할 수 없다. Braess link 전후의 균형통행시간이 항상 같 기 때문이다.세 번째로 살펴볼 경우는
≤
인 경우이다. 여기 에서는
≤ ≤
의 균형조건을 가진다. 반면
역설의 조건인