10④ 20⑤ 30③ 40④ 50⑤ 60④ 70③ 80② 90① 10 ①
유제
본문 59~67쪽확률변수 X가 갖는 값은 0, 1, 2, 3이다.
이때 |X-2|=1에서 X-2=-1 또는 X-2=1 즉, X=1 또는 X=3
한 개의 주사위를 던져서 6의 약수인 1, 2, 3, 6의 눈이 나 올 확률은
;6$;=;3@;
X=1일 때, 6의 약수의 눈이 한 번 나오는 경우이므로 P(X=1)=3C1{;3@;}Ú`{;3!;}Û`=;9@;
X=3일 때, 6의 약수의 눈이 세 번 나오는 경우이므로 P(X=3)=3C3{;3@;}Ü`{;3!;}â`=;2¥7;
따라서
P(|X-2|=1)=P(X=1)+P(X=3)
=;9@;+;2¥7;
=;2!7$;
⑤
2
확률변수 X가 갖는 값은 3, 4, 5, 6이고, P(X=3)=2C2
6C3=;2Á0;
P(X=4)=3C2 6C3=;2£0;
P(X=5)=4C2 6C3=;1£0;
P(X=6)=5C2 6C3=;2!;
따라서
E(X)=3_;2Á0;+4_;2£0;+5_;1£0;+6_;2!;
=;;ª4Á;
④
4
확률변수 X가 갖는 값은 1, 2, 3이고, P(X=1)=2C2_3C1
5C3 =;1£0;
P(X=2)=2C1_3C2 5C3 =;5#;
P(X=3)=3C3 5C3=;1Á0;
따라서
E(X)=1_;1£0;+2_;5#;+3_;1Á0;=;5(;
5
X -1 0 1 2 합계
P(X=x) ;3A; ;2A; ;3A; ;6A; 1
확률변수 X가 갖는 값에 대한 확률의 합은 1이므로
;3A;+;2A;+;3A;+;6A;=;3$;a=1 a=;4#;
따라서
E(X)=(-1)_;3A;+0_;2A;+1_;3A;+2_;6A;
=;3!;a
=;3!;_;4#;=;4!;
③
확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
3
E(XÛ`)=1Û`_;1£0;+2Û`_;5#;+3Û`_;1Á0;=;;Á5¥;;
이므로
V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`
=;;Á5¥;;-{;5(;}Û`
=;2»5;
⑤
P(1ÉXÉ3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=;6%;
이므로 ;6!;+{;3@;-a }+b=;6%;, a=b
확률변수 X가 갖는 값에 대한 확률의 합은 1이므로 P(X=0)=1-P(1ÉXÉ3)
=1-;6%;=;6!;
즉, a=;6!;이므로 b=;6!;
따라서 확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X 0 1 2 3 합계
P(X=x) ;6!; ;6!; ;2!; ;6!; 1
E(X)=0_;6!;+1_;6!;+2_;2!;+3_;6!;=;3%;
E(XÛ`)=0Û`_;6!;+1Û`_;6!;+2Û`_;2!;+3Û`_;6!;=;;Á3Á;;
이므로
V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`
=;;Á3Á;;-{;3%;}Û`
=;9*;
④
6
E(3X+1)=3E(X)+1=16 이므로 E(X)=5
V(2X+1)=2Û` V(X)=4V(X)=8 이므로 V(X)=2
따라서 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`에서
7
E(XÛ`)=V(X)+{E(X)}Û`
=2+5Û`
=27
③
확률변수 X가 갖는 값에 대한 확률의 합은 1이므로
;2!;+a+b=1
a+b=;2!; yy ㉠ E(2X+1)=2E(X)+1=;2%;
이므로 E(X)=;4#;
주어진 표에서
E(X)=0_;2!;+1_a+2_b=a+2b 이므로 a+2b=;4#; yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=b=;4!;
따라서 확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X 0 1 2 합계
P(X=x) ;2!; ;4!; ;4!; 1
E(XÛ`)=0Û`_;2!;+1Û`_;4!;+2Û`_;4!;=;4%;이므로 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`
=;4%;-{;4#;}Û`
=;1!6!;
따라서
V(4X+1)=4Û` V(X)
=16_;1!6!;
=11
②
8
확률변수 X가 이항분포 B{ n, ;4!;}을 따르므로 E(X)=n_;4!;=;4N;
9
V(X)=n_;4!;_;4#;=;1£6; n V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`에서 E(XÛ`)=V(X)+{E(X)}Û`이므로 70=;1£6; n+;1Á6; nÛ`
nÛ`+3n-1120=0 (n-32)(n+35)=0 이때 n은 자연수이므로 n=32
①
log2 (a+1)-log2`3=log2` a+13 의 값이 정수가 되려면 a+13 =1 또는 a+13 =2
이어야 하므로 a=2 또는 a=5
즉, a=2일 때 log2`1=0, a=5일 때 log2`2=1이므로 P(A)=;6@;=;3!;
한 개의 주사위를 24번 던지는 시행은 독립시행이므로 확률 변수 X는 이항분포 B{24, ;3!;}을 따른다.
따라서 E(X)=24_;3!;=8이므로 E(2X-3)=2E(X)-3
=2_8-3
=13
①
10
확률변수 X가 갖는 값에 대한 확률의 합은 1이므로
;2!;+a+;3!;=1 a=;6!;
1
10⑤ 20④ 30② 40③ 505
본문 68쪽
1
Level
기초 연습
따라서
E(X)=1_;2!;+2_;6!;+4_;3!;
=;;Á6£;;
⑤
확률변수 X가 갖는 값은 2, 3, 4, 5이다.
X=2일 때, 1이 적혀 있는 카드 2장을 모두 선택하는 경우 이므로
P(X=2)=2C2 5C2=;1Á0;
X=3일 때, 1, 2가 적혀 있는 카드를 한 장씩 선택하는 경 우이므로
P(X=3)=2C1_2C1 5C2 =;5@;
X=4일 때, 1, 3이 적혀 있는 카드를 한 장씩 선택하거나 2가 적혀 있는 카드 2장을 모두 선택하는 경우이므로 P(X=4)=2C1_1C1
5C2 +2C2
5C2=;1ª0;+;1Á0;=;1£0;
X=5일 때, 2, 3이 적혀 있는 카드를 한 장씩 선택하는 경 우이므로
P(X=5)=2C1_1C1 5C2 =;5!;
따라서 확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X 2 3 4 5 합계
P(X=x) ;1Á0; ;5@; ;1£0; ;5!; 1
E(X)=2_;1Á0;+3_;5@;+4_;1£0;+5_;5!;
=;;Á5¥;;
④
2
P(X=-2)=;6K;
P(X=0)=;4K;
P(X=1)=;3K;
P(X=2)=;2K;
3
이고
P(X=-2)+P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1 이므로
;6K;+;4K;+;3K;+;2K;=;4%;k=1 k=;5$;
따라서 이산확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음 과 같다.
X -2 0 1 2 합계
P(X=x) ;1ª5; ;5!; ;1¢5; ;5@; 1
E(X)=(-2)_;1ª5;+0_;5!;+1_;1¢5;+2_;5@;
=;5$;
따라서
E(3X-k)=3E(X)-k
=3_;5$;-;5$;
=;5*;
②
한 개의 주사위를 한 번 던질 때 3의 배수의 눈이 나올 확률 은 ;3!;이므로 확률변수 X는 이항분포 B{n, ;3!;}을 따른다.
E(X)=n_;3!;= n3
E(2X)=2E(X)=2_ n3 =;3@;n=24이므로 n=36
따라서 V(X)=36_;3!;_;3@;=8이므로 V(2X+4)=2Û` V(X)
=4_8
=32
③
4
P(X=x)=90Cx` 2x 390
=90Cx{;3@;}x{;3!;}90-x (x=0, 1, 2, y, 90)
5
1부터 9까지의 자연수 중에서 짝수는 4개, 홀수는 5개이므 로 확률변수 X가 갖는 값은 1, 2, 3, 4, 5이다.
또한 확률변수 X가 갖는 값에 대한 확률의 합은 1이므로 P(X>2)=1-{P(X=1)+P(X=2)}
이때
P(X=1)=4C4_5C1 9C5 =;12%6;
P(X=2)=4C3_5C2 9C5 =;6@3);
따라서
P(X>2)=1-{;12%6;+;6@3);}
=;1¥2Á6;
=;1»4;
③
1
10③ 20① 3043 40⑤ 50⑤ 60④ 70⑤ 80②
본문 69~70쪽
2
Level
기본 연습
확률변수 X가 갖는 값에 대한 확률의 합은 1이므로 b+;4!;+;2#;b+;8!;=1
;2%;b=;8%;
2
이므로 확률변수 X는 이항분포 B{ 90, ;3@;}를 따른다.
V(X)=90_;3@;_;3!;=20 따라서
V{;2!;X+1 }={;2!;}Û` V(X)
=;4!;_20
=5
5
b=;4!;
따라서 이산확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음 과 같다.
X 1 2 a 6 합계
P(X=x) ;4!; ;4!; ;8#; ;8!; 1
E(X)=1_;4!;+2_;4!;+a_;8#;+6_;8!;
=;2#;+;8#;a=3 이므로 a=4
E(XÛ`)=1Û`_;4!;+2Û`_;4!;+4Û`_;8#;+6Û`_;8!;
=;;¢4¦;;
따라서
V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`
=;;¢4¦;;-3Û`
=;;Á4Á;;
①
확률변수 X가 갖는 값은 0, 1, 2이다.
두 주머니 A, B에서 임의로 꺼낸 한 개의 공이 검은 공일 확률은 각각 ;5#;, ;3@;이므로
P(X=0)={ 1-;5#;}_{ 1-;3@;}
=;5@;_;3!;
=;1ª5;
P(X=1)=;5#;_{ 1-;3@;}+{ 1-;5#;}_;3@;
=;5#;_;3!;+;5@;_;3@;
=;1¦5;
P(X=2)=;5#;_;3@;
=;5@;
따라서 확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
3
X 0 1 2 합계
P(X=x) ;1ª5; ;1¦5; ;5@; 1
E(X)=0_;1ª5;+1_;1¦5;+2_;5@;
=;1!5(;
따라서
E(30X+5)=30E(X)+5
=30_;1!5(;+5
=43
43
확률변수 X가 갖는 값에 대한 확률의 합은 1이므로
;3!;+a+2a+3a+4a=1 10a=;3@;
a=;1Á5;
따라서 이산확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음 과 같다.
X 1 2 3 4 5 합계
P(X=x) ;3!; ;1Á5; ;1ª5; ;5!; ;1¢5; 1
E(X)=1_;3!;+2_;1Á5;+3_;1ª5;+4_;5!;+5_;1¢5;
=3
E(XÛ`)=1Û`_;3!;+2Û`_;1Á5;+3Û`_;1ª5;+4Û`_;5!;+5Û`_;1¢5;
=;;£3°;;
이므로
V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`
=;;£3°;;-3Û`
=;3*;
따라서
V(3X)=3Û` V(X)
=9_;3*;=24
⑤
4
이산확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X -2 -1 0 1 2 3 합계
P(X=x) ;1Á2; ;1Á2; a a b b 1
확률변수 X가 갖는 값에 대한 확률의 합은 1이므로
;1Á2;+;1Á2;+a+a+b+b=1 2a+2b=;6%;
a+b=;1°2; yy ㉠ E(X)=;6&;이므로
E(X)=(-2)_;1Á2;+(-1)_;1Á2;+0_a+1_a +2_b+3_b
=-;4!;+a+5b=;6&;
a+5b=;1!2&; yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=;6!;, b=;4!;
따라서
E{ Xa +;b!;}=E(6X+4)
=6E(X)+4
=6_;6&;+4
=11
⑤
5
확률변수 X가 이항분포 B{ n, ;2!;}을 따르므로 E(X)=n_;2!;=;2N;
V(X)=n_;2!;_;2!;=;4N;
V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`에서 E(XÛ`)=V(X)+{E(X)}Û`
= n4 +{n 2 }Û`
= n4 +2 n 4 따라서
E(XÛ`)-E(X)= n4 +2 n 4 -n
2 =n2 4 -n
4 =390
6
nÛ`-n-1560=0 (n-40)(n+39)=0 이때 n은 자연수이므로 n=40
④
이항분포 B(4n, p)를 따르는 확률변수 X의 확률질량함 수는
P(X=r)=4nCr`pr(1-p)4n-r (r=0, 1, 2, y, 4n) 이다.
조건 (가)에서
P(X=2n-1)=4nC2n-1`pÛ`n-1(1-p)Û`n+1 P(X=2n+1)=4nC2n+1`pÛ`n+1(1-p)Û`n-1
4nC2n-1=4nC4n-(2n-1)=4nC2n+1이므로 P(X=2n-1)=25P(X=2n+1)에서
4nC2n-1`pÛ`n-1(1-p)Û`n+1=25_4nC2n+1`pÛ`n+1(1-p)Û`n-1 (1-p)Û`=25pÛ`
24pÛ`+2p-1=0 (4p+1)(6p-1)=0 이때 0ÉpÉ1이므로 p=;6!;
조건 (나)에서
E(X)=4np=;3@;n=80 이므로 n=120
따라서 확률변수 Y는 이항분포 B{ 120, ;3!;}을 따르므로 V(Y)=120_;3!;_;3@;
=;;¥3¼;;
⑤
7
한 개의 주사위를 45번 던질 때 4 이하의 눈이 나오는 횟수 를 확률변수 X라 하자.
한 개의 주사위를 한 번 던질 때 4 이하의 눈이 나올 확률은
;6$;=;3@;
따라서 확률변수 X는 이항분포 B{ 45, ;3@;}를 따르므로 E(X)=45_;3@;=30
4 이하의 눈이 X번 나오면 5 이상의 눈은 (45-X)번 나 오므로 점 P의 좌표 (x, y)에 대하여
8
x=2_X+(-1)_(45-X)=3X-45
=1-{;7!;+;7@;+;3¥5;}
=;3!5@;
따라서 확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X 0 1 2 3 합계
P(X=x) ;7!; ;7@; ;3!5@; ;3¥5; 1
따라서
E(X)=0_;7!;+1_;7@;+2_;3!5@;+3_;3¥5;
=;3%5*;
③
확률변수 X가 갖는 값은 1, 2, 3, 4, 5이다.
P(X=1)=;6@;=;3!;
P(X=2)=;6$;_;5@;=;1¢5;
P(X=3)=;6$;_;5#;_;4@;=;5!;
P(X=4)=;6$;_;5#;_;4@;_;3@;=;1ª5;
P(X=5)=;6$;_;5#;_;4@;_;3!;_;2@;=;1Á5;
따라서 확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X 1 2 3 4 5 합계
P(X=x) ;3!; ;1¢5; ;5!; ;1ª5; ;1Á5; 1
E(X)=1_;3!;+2_;1¢5;+3_;5!;+4_;1ª5;+5_;1Á5;
=;3&;
E(XÛ`)=1Û`_;3!;+2Û`_;1¢5;+3Û`_;5!;+4Û`_;1ª5;+5Û`_;1Á5;
=7 따라서
V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`
=7-{;3&;}Û`
=;;Á9¢;;
3
이므로
V(6X+4)=6Û` V(X)
=36_;;Á9¢;;
=56
⑤
(a-4)(b-2)>0이려면 a-4>0이고 b-2>0 또는 a-4<0이고 b-2<0 이어야 한다.
Ú a>4이고 b>2인 순서쌍 (a, b)의 개수는 (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) 의 8이다.
Û a<4이고 b<2인 순서쌍 (a, b)의 개수는 (3, 1), (2, 1), (1, 1)
의 3이다.
Ú, Û에서 P(A)=;3!6!;
한 개의 주사위를 두 번 던지는 24회의 독립시행이므로 확 률변수 X는 이항분포 B{ 24, ;3!6!;}을 따른다.
V(X)=24_;3!6!;_;3@6%;=;;ª5¦4°;;이므로 V(3X)=3Û` V(X)
=9_;;ª5¦4°;;
= 2756
따라서 p=6, q=275이므로 p+q=6+275=281
281
Ú a>4이고 b>2일 확률은
;6@;_;6$;=;9@;
Û a<4이고 b<2일 확률은
;6#;_;6!;=;1Á2;
Ú, Û에서 P(A)=;9@;+;1Á2;=;3!6!;
4
f(x)가 확률밀도함수이므로 -1ÉxÉ1에서 함수 y=f(x)의 그래프와 x축 사이의 넓이가 1이다. 즉,
;2!;_{1-(-1)}_{ f(-1)+f(1)}
=;2!;_2_{(-a+b)+(a+b)}
=2b=1 b=;2!;
P(0ÉXÉ1)=;5#;이므로 0ÉxÉ1에서
직선 f(x)=ax+;2!;과 x축 사이의 넓이가 ;5#;이다.
f(0)=;2!;, f(1)=a+;2!;이므로
;2!;_(1-0)_{;2!;+a+;2!;}=;5#;
a+1=;5^;, a=;5!;
따라서 a+b=;5!;+;2!;=;1¦0;
⑤