⑴ ∠x=180ù-70ù=110ù ∠y=180ù-100ù=80ù
⑵ ∠x=∠DAB=65ù ∠y=180ù-120ù=60ù
2
ㄱ. ∠B+∠D=180ù이므로 ABCD는 원에 내접한다.
ㄴ. ∠B+∠D+180ù이므로 ABCD는 원에 내접하지 않는다.
ㄷ. ∠CBE=∠D이므로 ABCD는 원에 내접한다.
ㄹ. ∠BAD=180ù-76ù=104ù
즉, ∠DCE=∠BAD이므로 ABCD는 원에 내접한다.
따라서 ABCD가 원에 내접하는 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다.
본교재 | 66~67 쪽
대표 유형
3 ⑤ 3 -1 ② 3 -2 122ù
4 ② 4 -1 ④ 4 -2 140ù
5 100ù 5 -1 ③
6 ②, ⑤ 6 -1 ㄱ, ㄷ 6 -2 98ù
3 -1
△ABD에서 ∠BAD=180ù-(32ù+50ù)=98ù
ABCD가 원에 내접하므로
∠x=180ù-∠BAD=180ù-98ù=82ù ②
3 -2
BCÓ는 원 O의 지름이므로 ∠BDC=90ù
△DBC에서 ∠BCD=180ù-(32ù+90ù)=58ù
ABCD가 원 O에 내접하므로
∠x=180ù-∠BCD=180ù-58ù=122ù 122ù
4 -1
∠BAD= 12 ∠BOD=1
2 _114ù=57ù
ABCD가 원 O에 내접하므로 ∠x=∠BAD=57ù ④
4 -2
ABCD가 원에 내접하므로
∠x+40ù=100ù ∴ ∠x=60ù 이때 ∠CBD=∠CAD=40ù이므로
∠y=180ù-(60ù+40ù)=80ù
∴ ∠x+∠y=60ù+80ù=140ù 140ù
5 -1
CFÓ를 그으면 ABCF가 원에 내접하므로
∠AFC=180ù-∠B=180ù-105ù=75ù 또, CDEF가 원에 내접하므로
∠CFE=180ù-∠D=180ù-120ù=60ù
∴ ∠AFE=∠AFC+∠CFE
=75ù+60ù=135ù ③
6 -1
ㄱ. ABCD가 원에 내접하는지 알 수 없다.
ㄴ. ∠B+∠D=180ù이므로 ABCD는 원에 내접한다.
ㄷ. ∠BAD=180ù-100ù=80ù
즉, ∠BCE+∠BAD이므로 ABCD는 원에 내접하지 않는다.
ㄹ. △ACD에서 ∠D=180ù-(30ù+20ù)=130ù 즉, ∠B+∠D=180ù이므로 ABCD는 원에 내접한다.
따라서 ABCD가 원에 내접하지 않는 것은 ㄱ, ㄷ이다. ㄱ, ㄷ
6 -2
∠BAC=∠BDC이므로 ABCD는 원에 내접한다.
∴ ∠ABC=180ù-∠ADC
=180ù-(50ù+32ù)=98ù 98ù
원의 접선과 현이 이루는 각
06
개념
본교재 | 68 쪽
개념 콕콕
1
⑴ 100ù ⑵ 50ù ⑶ 65ù ⑷ 55ù2
⑴ 25ù ⑵ 80ù105° 120° A B
C D
E F
Ⅱ- 2. 원주각
1
⑶ ∠x=∠CAT=180ù-(60ù+55ù)=65ù
⑷ ∠BCA=∠BAT=80ù이므로 △ABC에서 ∠x=180ù-(45ù+80ù)=55ù
2
⑴ BCÓ가 원 O의 지름이므로 ∠CAB=90ù ∴ ∠x=∠BCA=180ù-(90ù+65ù)=25ù
⑵ ∠CAB=∠CBA=50ù이므로
∠x=∠BCA=180ù-(50ù+50ù)=80ù
본교재 | 69 쪽
대표 유형
7 35ù 7 -1 64ù 7 -2 ③ 8 40ù 8 -1 26ù 8 -2 ①
7 -1
ABCD가 원에 내접하므로
∠BCD=180ù-102ù=78ù
이때 ∠BDC=∠BCT=38ù이므로 △BCD에서
∠x=180ù-(78ù+38ù)=64ù 64ù
7 -2
∠BCA=∠BAT=56ù이므로
∠BOA=2∠BCA=2_56ù=112ù 이때 OAÓ=OBÓ이므로 △OAB에서
∠x= 12 _(180ù-112ù)=34ù ③
8 -1 ATÓ를 그으면
∠BAT=∠BTC=58ù
∠ATB=90ù이므로
∠ATP=180ù-(90ù+58ù)=32ù 따라서 △APT에서 ∠x+32ù=58ù
이므로 ∠x=26ù 26ù
8 -2
ACÓ를 그으면 ∠ACD=90ù
ABCD가 원 O에 내접하므로
∠ADC=180ù-110ù=70ù 따라서 △ACD에서
∠CAD=180ù-(90ù+70ù)=20ù
∴ ∠DCT=∠CAD=20ù ①
58°
T C
B A
P
O
x
O A
B
C D
T 110°
본교재 | 70~71 쪽
01
①, ④02
60ù03
③04
④05
73ù06
36ù07
94ù08
①09
③10
③11
③12
15ù13
③14
33ù배운대로
해결하기
01
① ∠ADB+∠ACB이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있지 않다.
② ∠ACB=65ù-35ù=30ù
즉,`∠ACB=∠ADB이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있다.
③ ∠BAC=90ù-35ù=55ù
즉,`∠BAC=∠BDC이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있다.
④ ∠ADB=180ù-(30ù+110ù)=40ù
즉,`∠ADB+∠ACB이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있지 않다.
⑤ ∠BDC=180ù-(43ù+77ù)=60ù
즉,`∠BAC=∠BDC이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있다.
따라서 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있지 않은 것은 ①, ④이다.
①, ④
02
네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로
∠DAC=∠DBC=35ù
이때 ∠BAC=95ù-35ù=60ù이므로
∠x=∠BAC=60ù 60ù
03
ABÓ=ACÓ이므로 △ABC에서 ∠ABC= 12 _(180ù-40ù)=70ù
ABCD가 원에 내접하므로 ∠x=180ù-70ù=110ù ③
04
ABÓ가 원 O의 지름이므로 ∠ACB=90ù µ BC=µ CD이므로 ∠DAC=∠CAB=20ù 이때 ABCD가 원 O에 내접하므로
(20ù+20ù)+(∠x+90ù)=180ù ∴ ∠x=50ù ④
05
△ABC에서
∠ABC=180ù-(47ù+60ù)=73ù
ABCD가 원에 내접하므로 ∠CDE=∠ABC=73ù 73ù
06
∠x=180ù-(92ù+52ù)=36ù 36ù
07
∠BAC =∠BAE-∠CAE
=110ù-80ù=30ù 이므로
∠x=2∠BAC=2_30ù=60ù ①
09
① ∠BAC+∠BDC이므로 ABCD는 원에 내접하지 않는다.
② ∠A+∠C+180ù이므로 ABCD는 원에 내접하지 않는다.
③ △ACD에서 ∠ADC=180ù-(60ù+50ù)=70ù 즉, ∠B+∠D=180ù이므로 ABCD는 원에 내접한다.
∠BOA=2∠BCA=2_65ù=130ù ③
11
BEÓ=BDÓ이므로
∠BED= 12 _(180ù-30ù)=75ù
∠DFE=∠BED=75ù이므로 △DEF에서
∠DEF=180ù-(55ù+75ù)=50ù ③ 78°
∠ACB`:`∠CAB`:`∠ABC=µAB`:`µ BC`:`µ CA
=3`:`4`:`5
∠ACB=180ù_ 3
3+4+5 =45ù이므로
∠x=∠ACB=45ù
∠CAB=180ù_ 4
3+4+5=60ù이므로
∠y=∠CAB=60ù
∴ ∠y-∠x=60ù-45ù=15ù 15ù
13
∠AOB=∠AOC-∠BOC
=124ù-50ù=74ù
Ⅱ- 2. 원주각
02
무대의 양 끝을 각각 A, B라 하고 공연장의 중 심을 O라고 하면
∠AOB=2∠APB
=2_30ù=60ù 이때 OAÓ=OBÓ이므로
∠OAB=∠OBA= 12 _(180ù-60ù)=60ù 즉, △AOB는 정삼각형이다.
따라서 공연장의 반지름의 길이는 10`m이므로 지름의 길이는
2_10=20(m) 20`m
03
∠PAO=∠PBO=90ù이므로 APBO에서
∠y=360ù-(90ù+36ù+90ù)=144ù
∠x= 12 ∠AOB=1
2 _144ù=72ù
∴ ∠x+∠y=72ù+144ù=216ù 216ù
04
∠ACB=∠ADB=20ù이므로 △APC에서
∠x+20ù=60ù ∴ ∠x=40ù 40ù
05
ABÓ는 원 O의 지름이므로 ∠ACB=90ù
△ACB에서 ∠BAC=180ù-(90ù+36ù)=54ù이므로
∠DAB=82ù-54ù=28ù
이때 ∠ADC=∠ABC=36ù이므로 △APD에서
∠DPB=28ù+36ù=64ù ④
06
△APD에서
∠PAD+35ù=75ù ∴ ∠PAD=40ù 이때 원의 둘레의 길이를 l`cm라고 하면
∠CAD`:`180ù=µ CD`:`l이므로 40ù`:`180ù=6`:`l, 2`:`9=6`:`l 2l=54 ∴ l=27
따라서 원의 둘레의 길이는 27`cm이다. 27`cm
07
∠ADB`:`∠CBD=µAB`:`µ CD이므로
∠x`:`∠CBD=3`:`1, 3∠CBD=∠x
∴ ∠CBD= 13 ∠x
△DBE에서 ∠x= 13 ∠x+32ù
23 ∠x=32ù ∴ ∠x=48ù 48ù 30°
10`m 무대
O
A B
P
08
네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로
∠DAC=∠DBC=55ù
△APD에서
55ù+∠x=86ù ∴ ∠x=31ù
△PCD에서
∠PCD=180ù-(60ù+86ù)=34ù
∴ ∠y=∠ACD=34ù
∴ ∠y-∠x=34ù-31ù=3ù 3ù
09
∠BOD=2∠BAD=2_52ù=104ù ABCD가 원 O에 내접하므로
∠BCD=180ù-52ù=128ù
따라서 OBCD에서 104ù+∠x+128ù+∠y=360ù이므로
∠x+∠y=128ù 128ù
10
ABCD가 원에 내접하므로
∠QAB=∠PAD=∠DCB=∠x
△AQB에서 ∠ABC=∠x+43ù
△ADP에서 ∠ADC=35ù+∠x
ABCD에서 ∠ABC+∠ADC=180ù이므로 (∠x+43ù)+(35ù+∠x)=180ù
2∠x=102ù ∴ ∠x=51ù 51ù
11
PQCD가 원 O'에 내접하므로
∠PQB=∠PDC=115ù
ABQP가 원 O에 내접하므로
∠BAP=180ù-115ù=65ù
∴ ∠x=2∠BAP=2_65ù=130ù ③
12
ㄷ, ㄹ. 직사각형과 정사각형은 네 내각의 크기가 모두 90ù이므로 대각의 크기의 합이 180ù이다.
ㅂ. 등변사다리꼴은 아랫변의 양 끝 각의 크기가 같고 윗변의 양 끝 각의 크기가 같으므로 대각의 크기의 합이 180ù이다.
따라서 항상 원에 내접하는 것은 ㄷ, ㄹ, ㅂ이다. ㄷ, ㄹ, ㅂ
13
µ BC=µ CA이므로
∠ABC=∠BAC= 12 _(180ù-110ù)=35ù
∴ ∠CAT=∠ABC=35ù ④
14
∠BAP=∠BPT=60ù
APÓ는 원 O의 지름이므로 ∠ABP=90ù 직각삼각형 APB에서
PBÓ=12`sin`60ù=12_ '32 =6'3(cm) ABÓ=12`cos`60ù=12_ 12 =6(cm)
∴ △APB= 12 _6'3_6=18'3(cmÛ`) 18'3`cmÛ`
15
∠ABT=∠ATP=35ù
ABÓ는 원 O의 지름이므로 ∠BTA=90ù
△ABT에서 ∠BAT=180ù-(35ù+90ù)=55ù이므로 µAT`:`µ BT =∠ABT`:`∠BAT
=35ù`:`55ù=7`:`11 ⑤
16
∠APE=∠ABP=75ù
∠DPE=∠DCP=63ù
∴ ∠x=180ù-(75ù+63ù)=42ù 42ù
17
ADÓ를 그으면
∠CAD= 12 ∠COD
= 12 _42ù=21ù yy 40%
ABÓ는 반원 O의 지름이므로
∠ADB=90ù yy 30%
따라서 △PAD에서
∠x+21ù=90ù ∴ ∠x=69ù yy 30%
69ù
18
BCÓ를 그으면 µAB의 길이는 원의 둘레의 길 이의 29 이므로
∠BCA=180ù_ 29
=40ù yy 40%
42° x
A B
P
C D
O
A
B P
C
D
∠BCA`:`∠CBD=µAB`:`µ CD이므로 40ù`:`∠CBD=2`:`3, 2∠CBD=120ù
∴ ∠CBD=60ù yy 40%
따라서 △BCP에서
∠CPD=40ù+60ù=100ù yy 20%
100ù
19
ABCD가 원에 내접하므로
∠ABC=180ù-108ù=72ù yy 35%
이때 ∠BCP=∠BAC=40ù이므로 yy 35%
△BPC에서
∠BPC+40ù=72ù ∴ ∠BPC=32ù yy 30%
32ù
20
BOÓ의 연장선이 원 O와 만나는 점을 A'이라고
하면
∠BCA'=90ù, ∠BA'C=∠BAC AÕ'BÓ=2OBÓ=2_3=6이므로 직각삼각형 A'BC에서 AÕ'CÓ="Ã6Û`-4Û`='20=2'5
∴ cos`A=cos`A'= AÕ'ÕCÕ AÕ'BÓ
= 2'56 = '53 '5
3
21
ABCD가 원에 내접하므로
∠ABC+∠ADC=180ù
이때 µAE=µ DE이므로 ∠ABE=∠ECD=∠a라고 하면
∠ADC=180ù-∠ABC
=180ù-(∠a+55ù)=125ù-∠a 따라서 △PCD에서
∠x=∠PCD+∠PDC
=∠a+(125ù-∠a)=125ù ④
22
ABÓ가 원 O의 지름이므로 ∠ATB=90ù
△AHT와 △ATB에서
∠AHT=∠ATB=90ù,
∠ATH=∠ABT이므로
△AHT»△ATB (AA 닮음) AHÓ`:`ATÓ=ATÓ`:`ABÓ이므로 6`:`ATÓ=ATÓ`:`15, ATÓÛ`=90
∴ ATÓ=3'10`(∵ ATÓ>0) 따라서 △AHT에서
HÕTÓ=¿¹(3'10)Û`-6Û`='54=3'6 3'6 O
A A'
B 4 C
3
Ⅲ- 1. 대푯값, 산포도, 상관관계
Ⅲ. 통계