함수 가 를 원소로 갖는 구간
에서 정의되어 있다고 하자. → 일 때 가 에 수렴한다는 것은∀ ∃ ∀∈
→ 이 성립한다는 것이다. 그런데 일 때 이 자명하게 성립하므로, 위 정의에서
를 로 바꾸어도 된다.
정의 1.
가 공집합이 아닌 구간이고
→ ℝ가 함수이며 ∈
라고 하자. 만약 임의의 양수에 대하여 양수 가 존재하여 인 임의의 ∈
에 대하여 이 성립하 면, “함수 가 에서 연속이다.”라고 말한다.참고 위 정의에서
가 길이가 양수인 구간일 때뿐만 아니라
가 원소가 하나인 집합일 때도 정의된다.즉
라면, 임의의 양수 에 대하여 일 때29) ⇒ ⇒
이므로 함수 가 점 에서 연속이다. □
보기 1. 다음과 같이 정의된 함수 ℝ → ℝ를 살펴보자.
if ∈ ℚif ∉ ℚ이 함수가 에서 연속임을 증명해 보자.
양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 이라고 하면 는 양수이다.
이제 라고 가정하자. 그러면 가 유리수일 때는
이고, 가 무리수일 때는
이다. 두 경우 모두 이라는 결과를 얻는다.
따라서 는 에서 연속이다.
29) 여기서 가 이 아닌 다른 양수여도 된다.
연속의 정의를 사용하여 함수 가 점 에서 불연속임을 서술하는 과정은 다음과 같다.
1단계. 적당한 양수 을 정의한다.
2단계. 양수 가 임의로 주어졌다고 가정한다.
3단계. 이지만 ≥ 인 정의역의 원소 가 존재함을 설명한다.
보기 2. ≠ 일 때, 보기 1의 함수 가 점 에서 불연속임을 증명해 보자.
라고 하자. 그러면 은 양수이다.
양수 가 임의로 주어졌다고 하자.
점 가 유리수인 경우, 무리수의 조밀성에 의하여 와 을 모두 만족시키는 무 리수 가 존재한다. 이때 와 의 부호가 같으므로
≥ 이다.
점 가 무리수인 경우, 유리수의 조밀성에 의하여 와 을 모두 만족시키는 유 리수 가 존재한다. 이때 와 의 부호가 같으므로
≥ 이다.
두 경우 모두 이면서 ≥ 인 가 의 정의역에 존재한다.
그러므로 함수 는 점 에서 연속이 아니다.
함수 가 길이가 양수인 구간
에서 정의되어 있고 가
의 점이라고 하자. 극한을 사용하여 의 연속 성을 정의할 때 가 에 다가간다는 개념을 사용하였다. 그런데 가 에 다가간다는 개념을 수열의 극한으로 바꾸어 생각할 수 있다. 즉 함수의 연속을 정의할 때 수열의 극한을 사용할 수 있다.정리 2.
가 길이가 양수인 구간이고
→ ℝ가 함수이며 ∈
라고 하자.(1) 함수 가 에서 연속이라고 하자. 그러면 모든 항이
에 속하고 에 수렴하는 ‘임의의’ 수열
에 대하여, 수열
이 에 수렴한다.(2) 함수 가 에서 연속이 아니라고 하자. 그러면 모든 항이
에 속하고 에 수렴하는 수열
이 존재하여, 수열
이 에 수렴하지 않는다.이와 같이 수열을 사용하여 정의한 연속성을 점열연속(sequentially continuous)이라고 부른다.
증명 (1)
이 에 수렴하고 모든 항이
에 속하는 수열이라고 하자. 그리고 양수 이 임의로 주어 졌다고 하자. 가 에서 연속이므로, 양수 가 존재하여 인 임의의 ∈
에 대하여 이 성립한다. 가 양수이고
이 에 수렴하므로, 자연수
이 존재하여
인 임의의 항번호 에 대하여
가 성립한다. 이때
⇒
⇒
이다. 그러므로 수열
이 에 수렴한다.(2) 함수 가 에서 연속이 아니라고 가정하자. 그러면 양수 이 존재하여 다음을 만족시킨다.
“임의의 양수 에 대하여, ∈
가 존재하여 이면서 ≥ 이다.” 이라고 하자. 이 자연수일 때 이 양수이므로,
인 ∈
가 존재하여
≥ 을 만족시킨다. 이때 임의의 자연수 에 대하여 이므로
은 에 수렴하지만,
≥ 이므로
은 에 수렴하지 않는다. ■ 정리 2를 사용하면 보기 2의 문제를 더 쉽게 해결할 수 있다.보기 3. ≠ 일 때 보기 1의 함수 가 점 에서 불연속임을 정리 2를 사용하여 증명해 보자.
결론과는 반대로 함수 가 점 에서 연속이라고 가정하자.
에 수렴하는 유리수열
과 에 수렴하는 무리수열
을 생각하자.30)가 에서 연속라고 가정했으므로
lim
→ ∞
lim
→ ∞
,
lim
→ ∞
lim
→ ∞
이다. 그런데 ≠ 이므로 두 등식은 서로 모순이다.
그러므로 함수 는 점 에서 연속이 아니다.
보기 4. 두 함수
→
와
→
에 대하여, 가
의 점이고 라고 하자. 또한가 에서 연속이고 가 에서 연속이라고 하자. 이때 합성함수 ∘ 가 에서 연속임을 증명해 보자.
양수 이 임의로 주어졌다고 하자.
가 에서 연속이므로, 양수 이 존재하여
의 임의의 원소 에 대하여 ⇒
이 성립한다. 여기서 이 양수이고 가 에서 연속이므로, 양수 가 존재하여
의 임의의 원소에 대하여
⇒ 이 성립한다.
그러므로
의 임의의 원소 에 대하여 ⇒
⇒
⇒ ∘ ∘ 이 성립한다. 따라서 ∘ 는 에서 연속이다.
30) 그러한 수열 과 이 왜 존재할까?