05
△ABD에서
BDÓ="Ã12Û`+9Û`=15 yy ➊
△ABD»△HAD (AA 닮음)이므로
∠ABD=∠HAD=∠x yy ➋
∴ sin`x=sin`(∠ABD)=ADÓ BDÓ
∴ sin`x=;1!5@;=;5$; yy ➌
;5$;
06
△FGH에서 FHÓ="Ã5Û`+5Û`=5'2 yy ➊
△BFH에서 BHÓ=¿¹5Û`+(5'2)Û`=5'3 yy ➋
∴ cos`x=FHÓ
BHÓ= 5'2
5'3= '6 3 yy ➌
'6
3
07
➊ sin`30ù=;2!;이므로
4x-10ù=30ù, 4x=40ù ∴ x=10ù
➋ cos`(3x+15ù)=cos`45ù= '2 2
'2 2
08
cos`30ù= BDÓ ABÓ이므로 '32 =BDÓ
8 ∴ BDÓ=4'3 yy ➊
sin`30ù= ADÓ ABÓ이므로
;2!;= ADÓ8 ∴ ADÓ=4
이때 ∠DAC=∠DCA=45ù이므로
CDÓ=ADÓ=4 yy ➋
∴ BCÓ=BDÓ+CDÓ=4'3+4=4('3+1) yy ➌
4('3+1)
x x
A
B C
D
E 20
16 12
x
x A
H
B C
D
12
9 15
Ⅰ. 삼각비
1. 삼각비
워크북 | 16 ~ 20 쪽
01
'72102
3'503
204
;3$;05
;5$;06
'3607
'2208
4('3+1)09
60ù10
1.481911
'2312
013
⑴ 1.3722 ⑵ 7114
23ù15
1.723서술형
훈련하기
01
➊ ABÓ`:`ACÓ=2`:`'3이므로 ABÓ=2k,ACÓ='3k라고 하면
BCÓ=¿¹(2k)Û`+('3k)Û`='7k
➋ sin`B= ACÓ
BCÓ= '3k
'7k= '21 7
'21 7
02
cos`A= ABÓ
ACÓ이므로
;3@;= ABÓ9 ∴ ABÓ=6 yy ➊
∴ BCÓ="Ã9Û`-6Û`=3'5 yy ➋
3'5
03
tan`A=3이므로 오른쪽 그림에서
ACÓ="Ã1Û`+3Û`='10 yy ➊
∴ sin`A= 3
'10= 3'10 10
∴ cos`A= 1
'10= '10 10 yy ➋ sin`A-cos`A= 3'1010 - '10 10
sin`A-cos`A= 2'10 10 = '10 5
sin`A+cos`A= 3'1010 + '1010
sin`A-cos`A= 4'10 10 = 2'10 5
∴ sin`A+cos`Asin`A-cos`A = 2'10 5 Ö '105
= 2'10 5 _ 5
'10=2 yy ➌
2
A B
C
1 3
| 서술형 훈련하기 |
워크북
15
∠B=180ù-(90ù+38ù)=52ù yy ➊ cos`52ù= BCÓ
ABÓ이므로
0.6157= x10 ∴ x=6.157 yy ➋ sin`52ù= ACÓ
ABÓ이므로
0.7880= y10 ∴ y=7.880 yy ➌
∴ y-x=7.880-6.157=1.723 yy ➍
1.723
09
2'3x-2y+13=0에서 y='3x+ 132 이므로
tan`a='3 yy ➊
∴ ∠a=60ù yy ➋
60ù
10
➊ sin`40ù=ABÓ
OAÓ= ABÓ1 =ABÓ=0.6428
➋ tan`40ù=CDÓ
ODÓ= CDÓ1 =CDÓ=0.8391
➌ sin`40ù+tan`40ù=0.6428+0.8391
=1.4819
1.4819
11
'3x-3y+6=0에서 y= '3
3 x+2이므로 tan`a= '3
3 ∴ a=30ù yy ➊
∴ cos`a_sin`3a-cos`3a_tan`a
∴ =cos`30ù_sin`90ù-cos`90ù_tan`30ù
= '32 _1-0_ '33 = '32 yy ➋
'3
2
12
45ù<A<90ù이므로 0<cos`A<sin`A<1
∴ sin`A-cos`A>0,cos`A-sin`A<0 yy ➊
∴ "Ã(sin`A-cos`A)Û`-"Ã(cos`A-sin`A)Û`
∴ =sin`A-cos`A-{-(cos`A-sin`A)}
∴ =sin`A-cos`A+cos`A-sin`A
∴ =0 yy ➋
0
13
⑴ ➊ sin`35ù=a에서 a=0.5736 cos`37ù=b에서 b=0.7986
➋ a+b=0.5736+0.7986=1.3722
⑵ ➊ cos`xù=0.8192에서 x=35 tan`yù=0.7265에서 y=36
➋ x+y=35+36=71
⑴ 1.3722 ⑵ 71
14
cos`A= ABÓ
ACÓ= 39100 =0.39
이때 cos`67ù=0.39이므로 ∠A=67ù yy ➊
∴ ∠C=180ù-(90ù+67ù)=23ù yy ➋
23ù
2. 삼각비의 활용
워크북 | 21 ~ 25 쪽
01
27.802
10'3`cmÜ``03
3(3+'3)`m04
2'705
6'606
8`m07
3(3-'3)08
25'3`09
50(3+'3) m10
16`cmÛ`11
120ù12
15'3`cmÛ`13
15'3`cmÛ`14
32`cmÛ`15
72'3`cmÛ`서술형
훈련하기
01
➊ ∠C=180ù-(90ù+35ù)=55ù
➋ x=20`sin`55ù=20_0.82=16.4
➌ y=20`cos`55ù=20_0.57=11.4
➍ x+y=16.4+11.4=27.8
27.8
02
△ABD에서 ∠A=90ù이므로
ABÓ=BDÓ`sin`30ù=4_;2!;=2(cm) yy ➊ ADÓ=BDÓ`cos`30ùÓ=4_ '3
2 =2'3(cm) yy ➋ 따라서 잘라 내고 남은 나무토막의 부피는
;2!;_2_2'3_5=10'3(cmÜ`) yy ➌
10'3`cmÜ`
03
오른쪽 그림에서 CHÓ=9(m)
△CEH에서 EHÓ=CHÓ`tan`45ù
EH=9_1=9(m) yy ➊
4530°° A C
B D
9`m H
E
△CHD에서
DHÓ=CHÓ`tan`30ù=9_ '3
3 =3'3(m) yy ➋
AHÓ=8`sin`30ù=8_;2!;=4
➋ BHÓ=8`cos`30ù=8_ '3
CHÓ=12`sin`60ù=12_ '3
2 =6'3 yy ➊
∠A=180ù-(60ù+75ù)=45ù yy ➋
△AHC에서
ABÓ= BHÓsin`30ù =4Ö;2!;=4_2=8(m) yy ➋
8`m
07
➊ AHÓ=h라고 하면
△ABH에서 ∠BAH=45ù이므로 BHÓ=h`tan`45ù=h_1=h
△AHC에서 ∠HAC=30ù이므로 CHÓ=h`tan`30ùÓ=h_ '3
3 = '33 h
➋ BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로 h+ '3
△ABH에서 ∠BAH=60ù이므로 BHÓ=h`tan`60ù=h_'3='3h
△ACH에서 ∠CAH=30ù이므로 CHÓ=h`tan`30ùÓ=h_ '3
3 = '33 h yy ➊
△ABH에서 ∠BAH=45ù이므로 BHÓ=h`tan`45ù=h_1=h(m)
△ACH에서 ∠CAH=30ù이므로 CHÓ=h`tan`30ù=h_ '3
3 ='3
➊ ABÓ=BCÓ이므로 ∠A=∠C=75ù
∴ ∠B=180ù-(75ù+75ù)=30ù
➋ △ABC=;2!;_8_8_sin`B
| 서술형 훈련하기 |
워크북
11
90ù<∠C<180ù이므로
△ABC=;2!;_5_8_sin`(180ù-C)
=20`sin`(180ù-C) yy ➊
△ABC의 넓이가 10'3`cmÛ`이므로 20`sin`(180ù-C)=10'3 sin`(180ù-C)= '3
2
180ù-C=60ù ∴ ∠C=120ù yy ➋
120ù
12
△ABC에서
ACÓ=4`tan`60ù=4_'3=4'3(cm) yy ➊
∴ ABCD =△ABC+△ACD
=;2!;_4_4'3+;2!;_4'3_7_sin`30ù∴
=;2!;_4_4'3+;2!;_4'3_7_;2!;
=8'3+7'3=15'3(cmÛ`) yy ➋
15'3`cmÛ`
13
➊ ABCD=6_10_sin`60ù
=6_10_ '3
2 =30'3(cmÛ`)
➋ △AED=;2!;ABCD=;2!;_30'3=15'3(cmÛ`)
15'3`cmÛ`
14
ABCD는 등변사다리꼴이므로
ACÓ=BDÓ=8(cm) yy ➊
이때 두 대각선이 직교하므로
ABCD=;2!;_8_8_sin`90ù
=;2!;_8_8_1=32(cmÛ`) yy ➋
32`cmÛ`
15
마름모 ABCD의 둘레의 길이가 48`cm이므로 한 변의 길이는
48_;4!;=12(cm) yy ➊
ABCD는 ABÓ=ADÓ=12(cm)인 평행사변형이므로
ABCD=12_12_sin`(180ù-120ù)
=12_12_ '3
2 =72'3(cmÛ`) yy ➋
72'3`cmÛ`
Ⅱ. 원의 성질
1. 원과 직선
워크북 | 26 ~ 31 쪽
01
13`cm02
4'7`cm03
4p`cmÛ`04
2'10`cm05
65ù06
30`cm`07
2`cm08
25p`cmÛ`09
36p`cmÛ`10
8'3`cm11
30`cm12
5'2`cm13
3`cm14
24`cm15
(30-4p)`cmÛ`16
24`cm17
162`cmÛ`18
6`cm서술형
훈련하기
01
➊ 원의 중심에서 현에 그은 수선은 그 현을 이등분하므로 AÕMÓ=;2!; ABÓ=;2!;_24=12(cm)
➋ 원 O의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 OMÓ=OCÓ-MòCÓ=r-8(cm)
➌ OÕAÓ를 그으면 △OMA에서 rÛ`=12Û`+(r-8)Û`
rÛ`=144+rÛ`-16r+64 16r=208 ∴ r=13
따라서 원 O의 반지름의 길이는 13`cm이다.
13`cm
02
현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지나 므로 CDÓ의 연장선은 원의 중심을 지난다.
원의 중심을 O라고 하면 OÕAÓ=8(cm)
ODÓ=OCÓ-CDÓ
=8-2=6(cm) yy ➊
△AOD에서
ADÓ="Ã8Û`-6Û`=2'7(cm) yy ➋ ADÓ=BDÓ이므로
ABÓ=2ADÓ=2_2'7=4'7(cm) yy ➌
4'7`cm
03
원의 중심 O에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 M
이라고 하면 원의 중심에서 현에 그은 수선은 그 현을 이등분하므로
AMÓ=;2!;ABÓ
AMÓ=;2!;_2'3Ó='3(cm) yy ➊ O
A
B
M C8`cm 24`cm r`cm
A B
C D 2`cm
O 8`cm6`cm
2 3 cm
A M B
O r`cm
➋ △OPA에서
(r+2)Û`=(2'3)Û`+rÛ`, rÛ`+4r+4=12+rÛ`
4r=8 ∴ r=2
따라서 원 O의 반지름의 길이는 2`cm이다.
2`cm
08
PA³, PB³는 원 O의 접선이므로
∠PAO=∠PBO=90ù
∴ ∠AOB
∴ =360ù-(90ù+70ù+90ù)
∴ =110ù yy ➊
이때 색칠한 부분의 중심각의 크기는
360ù-110ù=250ù yy ➋
따라서 색칠한 부분의 넓이는
p_6Û`_;3@6%0);=25p(cmÛ`) yy ➌
25p`cmÛ`
09
원의 중심 O에서 ABÓ에 내린 수선의 발 을 H라고 하면 원의 중심 O에서 현 AB에 그은 수선은 그 현을 이등분하므로 AHÓ=;2!; ABÓ
AHÓ=;2!;_12=6(cm) yy ➊
큰 원의 반지름의 길이를 R`cm, 작은 원의 반지름의 길이를 r`cm 라고 하면 △OAH에서
RÛ`=6Û`+rÛ` ∴ RÛ`-rÛ`=36 yy ➋ 따라서 색칠한 부분의 넓이는
pRÛ`-prÛ`=p(RÛ`-rÛ`)=36p(cmÛ`) yy ➌
36p`cmÛ`
10
➊ OPÓ를 그으면
△AOP와 △BOP에서 OPÓ는 공통,
∠OAP=∠OBP=90ù, OÕAÓ=OBÓ이므로
△AOPª△BOP`(RHS 합동) ∴ ∠AOP=∠BOP=;2!;∠AOB ∴ ∠AOP=;2!;_120ù=60ù
➋ △AOP에서
APÓ=4tan`60ù=4_'3=4'3(cm)
➌ PAÓ=PBÓ이므로
PÕAÓ+PBÓ=2PÕAÓ=2_4'3=8'3(cm)
8'3`cm 70°
A
B
P 6`cm O
A H B
O
12`cm R`cm r`cm
A
B
P O
4`cm 120° 원 O의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 주어진 그림은 원 모양의
종이를 ABÓ를 접는 선으로 하여 원의 둘레 위의 한 점이 원의 중심 O에 오도록 접은 것이므로
MOÓ= r2 (cm) yy ➋
△AOM에서
rÛ`=('3)Û`+{;2R;}2`, rÛ`=3+ rÛ`4
3rÛ`4 =3, rÛ`=4 ∴ r=2`(∵ r>0) yy ➌ 따라서 원 O의 넓이는 p_2Û`=4p(cmÛ`) yy ➍
4p`cmÛ`
04
➊ 원의 중심에서 현에 그은 수선은 그 현을 이등분하므로 AÕMÓ=;2!;ABÓ=;2!;_6=3(cm)
➋ △AOM에서
OMÓ="Ã7Û`-3Û`=2'10(cm)
➌ CDÓ=2CNÓ=2_3=6(cm)이므로 ABÓ=CDÓ ∴ ONÓ=OMÓ=2'10(cm)
2'10`cm
05
AMON에서
∠A=360ù-(90ù+130ù+90ù)=50ù yy ➊ OMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=ACÓ
즉, △ABC는 이등변삼각형이다. yy ➋
∴ ∠B=;2!;_(180ù-50ù)=65ù yy ➌
65ù
06
ODÓ=OEÓ=OFÓ이므로 ABÓ=BCÓ=CAÓ
즉, △ABC는 정삼각형이다. yy ➊
원의 중심에서 현에 그은 수선은 그 현을 이등분하므로
ABÓ=2ADÓ=2_5=10(cm) yy ➋ 따라서 △ABC의 둘레의 길이는
10+10+10=30(cm) yy ➌
30`cm`
07
➊ PA³는 원 O의 접선이므로
∠OAP=90ù
원 O의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면
OAÓ=r(cm), OPÓ=2+r(cm) 2 3 cm A B P
O 2`cm r`cmr`cm
| 서술형 훈련하기 |
워크북
11
△POC에서
CPÓ="Ã17Û`-8Û`Ó=15(cm) yy ➊ ARÓ=APÓ, BRÓ=BQÓ, CPÓ=CQÓ이므로
(△ABC의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+CAÓ
=(ARÓ+BRÓ)+BCÓ+CAÓ
=(APÓ+BQÓ)+BCÓ+CAÓ
=(APÓ+CAÓ)+(BQÓ+BCÓ)
=CPÓ+CQÓ=2CPÓ
=2_15=30(cm) yy ➋
30`cm
12
DCÓ=DEÓ+CEÓ=DAÓ+CBÓ
DCÓ=5+10=15(cm) yy ➊
꼭짓점 D에서 BCÓ에 내린 수선의 발 을 H라고 하면
HCÓ=BCÓ-BHÓ
=10-5Ó=5(cm) yy ➋
△DHC에서
DÕHÓ="Ã15Û`-5Û`Ó=10'2(cm) yy ➌ 따라서 반원 O의 반지름의 길이는
;2!; ABÓ=;2!; DÕHÓ=;2!;_10'2=5'2(cm) yy ➍
5'2`cm
13
➊ AFÓ=x`cm라고 하면 ADÓ=AFÓ=x(cm)
∴ BEÓ=BDÓ=8-x(cm), CEÓ=CFÓ=7-x(cm)
➋ BCÓ=BEÓ+CEÓ이므로
9=(8-x)+(7-x), 9=15-2x 2x=6 ∴ x=3
∴ AFÓ=3(cm)
3`cm
14
ADÓ=x`cm라고 하면 AFÓ=ADÓ=x(cm) BDÓ=BEÓ=4(cm), CFÓ=CEÓ=2(cm)이므로
ABÓ=x+4(cm), ACÓ=x+2(cm) yy ➊
△ABC에서
(x+4)Û`=6Û`+(x+2)Û`
xÛ`+8x+16=36+xÛ`+4x+4
4x=24 ∴ x=6 yy ➋
따라서 △ABC의 둘레의 길이는
(6+4)+6+(6+2)=24(cm) yy ➌
24`cm
A B
H C
D E
O 5`cm
10`cm
15
△ABC에서
ACÓ="Ã13Û`-12Û`=5(cm) 원 O의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면
ADÓ=AFÓ=r(cm)
∴ BEÓ=BDÓ=12-r(cm),
∴ CEÓ=CFÓ=5-r(cm) yy ➊
BCÓ=BEÓ+CEÓ이므로
13=(12-r)+(5-r), 13=17-2r
2r=4 ∴ r=2 yy ➋
따라서 색칠한 부분의 넓이는
;2!;_12_5-p_2Û`=30-4p(cmÛ`) yy ➌
(30-4p)`cmÛ`
16
➊ AHÓ=AEÓ=3(cm)이므로 ADÓ=3+2=5(cm)
➋ ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로
(ABCD의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+CDÓ+DAÓ
=(ABÓ+CDÓ)+(BCÓ+DÕAÓ)
=2(BCÓ+DÕAÓ)
=2_(7+5)
=24(cm)
24`cm
17
원 O의 반지름의 길이가 6`cm이므로
CDÓ=2_6=12(cm) yy ➊
ADÓ+BCÓ=ABÓ+CDÓ=15+12=27(cm) yy ➋
∴ ABCD=;2!;_(ADÓ+BCÓ)_CDÓ
=;2!;_27_12
=162(cmÛ`) yy ➌
162`cmÛ`
18
△CDE에서
EDÓ="Ã10Û`-8Û`=6(cm) yy ➊ AEÓ=x`cm라고 하면
BCÓ=ADÓ=x+6(cm) yy ➋
ABCE에서 AEÓ+BCÓ=ABÓ+ECÓ이므로 x+(x+6)=8+10, 2x+6=18
2x=12 ∴ x=6
∴ AEÓ=6(cm) yy ➌
6`cm A
B C
D
E F O 12`cm
13`cm r`cm
2. 원주각
워크북 | 32 ~ 35 쪽
01
79ù02
18ù03
5`cm04
60ù05
15`cm06
21ù07
108ù08
40ù09
43ù10
22ù11
80ù12
8'3`cmÛ`서술형
훈련하기
01
➊ BEÓ를 그으면
∠AEB=∠ADB=37ù
➋ ∠BEC=;2!;∠BOC
=;2!;_84ù=42ù
➌ ∠AEC=∠AEB+∠BEC
=37ù+42ù=79ù
79ù
02
△BPC에서 ∠BCD=40ù+∠x yy ➊
한 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같으므로
∠ADC=∠ABC=∠x yy ➋
△QCD에서
(40ù+∠x)+∠x=76ù, 40ù+2∠x=76ù
2∠x=36ù ∴ ∠x=18ù yy ➌
18ù
03
원 O의 지름 BA'과 AÕ'CÓ를 그으면
∠A'CB=90ù
한 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같으므로
∠BA'C=∠BAC=60ù yy ➊
∴ A'BÓ= 5'3
sin`60ù =5'3Ö'3 2
=5'3_ 2'3=10(cm) yy ➋ 따라서 원 O의 반지름의 길이는
;2!;_10=5(cm) yy ➌
5`cm
04
➊ 한 원에서 길이가 같은 호에 대한 원주각의 크기는 같으므로 ∠BCA=∠BDC=35ù
➋ △BCD에서
50ù+(35ù+∠ACD)+35ù=180ù
∠ACD+120ù=180ù ∴ ∠ACD=60ù
60ù 84° 37°
A
B
C
D E
O
5 3 cm 60°
60° A
A'
B C
O
05
△APD에서 ∠DAP=84ù-60ù=24ù yy ➊ 호의 길이는 그 호에 대한 원주각의 크기에 정비례하므로
6`: µAB=24ù`:`60ù ∴ µAB=15(cm) yy ➋
15`cm
06
ACÓ를 그으면 µAB, µCD의 길이가 각 각 원 O의 둘레의 길이의 ;5!;, 112 이 므로
∠ACB=180ù_1 5=36ù
∠DAC=180ù_ 112=15ù yy ➊
△ACP에서 ∠P=36ù-15ù=21ù yy ➋
21ù
07
➊ 원주각의 크기는 중심각의 크기의 ;2!;이므로 ∠AOC=2∠B=2_72ù=144ù
➋ ∠B+∠D=180ù이므로
72ù+∠D=180ù ∴ ∠D=108ù
➌ AOCD에서
∠x+∠y=360ù-(144ù+108ù)=108ù
108ù
08
∠DAB=∠DCE=110ù이므로
∠DAC=110ù-60ù=50ù yy ➊
원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같으므로
∠DBC=∠DAC=50ù yy ➋
지름에 대한 원주각의 크기는 90ù이므로 ∠ABC=90ù
∴ ∠ABD=90ù-50ù=40ù yy ➌
40ù
09
ABCD가 원에 내접하므로
∠C=180ù-124ù=56ù yy ➊
∠P=∠x라고 하면 △PBC에서
∠PBQ=∠x+56ù yy ➋
△AQB에서
25ù+(∠x+56ù)=124ù
∠x+81ù=124ù ∴ ∠x=43ù
∴ ∠P=43ù yy ➌
43ù
10
➊ ∠ACB=∠ABT=68ù이므로 ∠AOB=2∠ACB=2_68ù=136ù
A
B C P
O D
| 서술형 훈련하기 |
워크북
➋ 6개의 변량 3, 6, 10, 8, 13, 5를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 3, 5, 6, 8, 10, 13
따라서 중앙값은 b= 6+8 2 =7
➌ a+b=8+7=15
15
02
x를 제외한 5개의 변량의 도수가 모두 1이므로 x는 5개의 변량 중
하나와 같고, 최빈값은 x이다. yy ➊
또, 평균과 최빈값이 같으므로 12+15+16+14+18+x
6 =x
75+x6 =x, 75+x=6x
5x=75 ∴ x=15 yy ➋
15
03
a = 44+47+50+56+48+53+46+568
= 4008 =50 yy ➊
자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 44, 46, 47, 48, 50, 53, 56, 56
∴ b = 48+50 2
= 98 2 =49 yy ➋
도수가 가장 큰 것은 56이므로
c=56 yy ➌
∴ a-b+c=50-49+56=57 yy ➍
57
04
➊ 평균이 8이므로 9+6+8+10+x
5 =8, 33+x5 =8 33+x=40 ∴ x=7
➋ (분산)=(9-8)Û`+(6-8)Û`+(8-8)Û`+(10-8)Û`+(7-8)Û`
5 =1Û`+(-2)Û`+0Û`+2Û`+(-1)Û`
5 = 1+4+0+4+15 = 105 =2
2
05
평균이 5이므로 3+6+7+4+x+y
6 =5, x+y+206 =5
x+y+20=30 ∴ x+y=10 yy ㉠ yy ➊
Ⅲ. 통계
1. 대푯값, 산포도, 상관관계
워크북 | 36 ~ 39 쪽