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⑴ ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로

‌ 6+10=x+13 ∴ x=3

⑵ ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로

‌ x+5=4+8 ∴ x=7

⑶ ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로

‌ 7+(5+x)=8+12 ∴ x=8

⑷ ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로

‌ 20+16=12+(x+9) ∴ x=15

본교재 | 50 쪽

대표 유형

7 42`cm 7 -1 34`cm 7 -28 6`cm 8 -1 15`cm 8 -2 53 `cm

7 -1

DHÓ=DGÓ=3(cm)이므로 ADÓ=3+3=6(cm)

이때 ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로 ABCD의 둘레의 길이는 ABÓ+BCÓ+CDÓ+DÕAÓ =2(ADÓ+BCÓ)

=2_(6+11)

=34(cm)  34`cm

7 -2

직각삼각형 BCD에서

CDÓ="Ã13Û`-12Û`='¶25=5(cm) ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로

11+5=ADÓ+12 ∴ ADÓ=4(cm)  ③

8 -1

직각삼각형 DEC에서

ECÓ="Ã13Û`-12Û`='¶25=5(cm)

ADÓ=x`cm라고 하면 BCÓ=ADÓ=x(cm)이므로 BEÓ=x-5(cm)

이때 ABED가 원 O에 외접하므로

ABÓ+EDÓ=ADÓ+BEÓ, 12+13=x+(x-5) 2x=30 ∴ x=15

∴ ADÓ=15(cm)  15`cm

8 -2

CEÓ=x`cm라고 하면 BEÓ=5-x(cm)

ABED가 원 O에 외접하므로

ABÓ+EDÓ=ADÓ+BEÓ, 4+DEÓ=5+(5-x)

∴ DEÓ=6-x(cm)

직각삼각형 DEC에서

(6-x)Û`=xÛ`+4Û`, 36-12x+xÛ`=xÛ`+16 -12x=-20 ∴ x= 53

∴ CEÓ= 53 (cm) 53 `cm

본교재 | 51 쪽

01

02

4'3`cmÛ`

03

04

8'1Œ5`cmÛ`

05

06

17`cm

07

08

152 `cm

배운대로

해결하기

01

OTÓ를 긋고 원 O의 반지름의 길이를 r`cm 라고 하면

OÕAÓ=OTÓ=r(cm) OPÓ=r+8(cm)

이때 ∠OTP=90ù이므로 직각삼각형 OPT에서 (r+8)Û`=rÛ`+16Û`, rÛ`+16r+64=rÛ`+256 16r=192 ∴ r=12

따라서 원 O의 둘레의 길이는

2p_12=24p(cm)  ③

02

PBÓ=PÕAÓ=4(cm)이므로

APB‌‌= 12 _4_4_sin`60ù‌ ‌

= 12 _4_4_'3 2

=4'3(cmÛ`)  4'3`cmÛ`

03

∠ODA=90ù이므로 직각삼각형 AOD에서 ADÓ="Ã6Û`-2Û`='¶32=4'2(cm)

이때 ADÓ=AFÓ, BEÓ=BDÓ, CEÓ=CFÓ이므로 (△ACB의 둘레의 길이) =ACÓ+BCÓ+ABÓ‌ ‌

=ACÓ+(BEÓ+CEÓ)+ABÓ‌ ‌

=ACÓ+(BDÓ+CFÓ)+ABÓ‌ ‌

=(ACÓ+CFÓ)+(ABÓ+BDÓ)‌ ‌

=AFÓ+ADÓ‌‌

=2ADÓ‌‌

=2_4'2‌‌

=8'2(cm)  ⑤

16`cm A 8`cm T

O P

04

AHÓ="Ã8Û`-2Û`='¶60=2'¶15(cm)

∴ ABCD‌‌= 12 _(3+5)_2'¶15‌‌

=8'¶15(cmÛ`)‌  8'¶15`cmÛ`

05

AFÓ=ADÓ=4(cm)이므로

BEÓ=BDÓ=11-4=7(cm), CEÓ=CFÓ=10-4=6(cm)

∴ BCÓ=BEÓ+CEÓ=7+6=13(cm)  ②

06

ACÓ=AFÓ+CFÓ=12+5=17(cm)  17`cm

07

x+6=9+ECÓ ∴ ECÓ=x-3(cm) 이때 BEÓ=9-(x-3)=12-x(cm)이므로

2 _20=10 OCÓ를 그으면

OCÓ=10, OÕMÓ=10-4=6 직각삼각형 OMC에서 CÕMÓ="Ã10Û`-6Û`='¶64=8

∴ CDÓ=2CÕMÓ=2_8=16  ④

03

AÕMÓ="Ã5Û`-3Û`='¶16=4(cm)

∴ ABÓ=2AÕMÓ=2_4=8(cm)  8`cm

04

rÛ`=24Û`+(r-12)Û`

rÛ`=576+rÛ`-24r+144 24r=720 ∴ r=30

따라서 타이어의 반지름의 길이는 30`cm이다.  30`cm

Ⅱ- 1. 원과 직선

05

OÕAÓ를 긋고 점 O에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 M이라고 하자.

원 O의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 OÕAÓ=r`cm, OÕMÓ= 12 OÕAÓ=1

2 r(cm) AÕMÓ= 12 ABÓ=1

2 _12=6(cm)이므로 직각삼각형 AMO에서

rÛ`=6Û`+{ 12 r}2`, rÛ`=36+1 4 rÛ`

34 rÛ`=36, rÛ`=48 ∴ r=4'3`(∵ r>0)

따라서 원 O의 넓이는 prÛ`=p_(4'3)Û`=48p(cmÛ`)  ③

06

OÕAÓ를 그으면 OÕAÓ=8`cm이므로 직각삼각형 OAM에서

AÕMÓ="Ã8Û`-4Û`='¶48=4'3(cm)

∴ ABÓ=2AÕMÓ=2_4'3=8'3(cm) 이때 OÕMÓ=OÕNÓ이므로

CDÓ=ABÓ=8'3(cm)

∴ ABÓ+CÕDÓ=8'3+8'3=16'3(cm)  16'3`cm

07

OÕDÓ=OFÓ이므로 ABÓ=ACÓ 즉, △ABC는 이등변삼각형이므로

∠ABC= 12 _(180ù-56ù)=62ù 따라서 DBEO에서

∠DOE=360ù-(90ù+62ù+90ù)=118ù  ④

08

2 _60ù=30ù

∠OAP=90ù이므로 직각삼각형 AOP에서 PAÓ= 6

tan`30ù =6_ 3

'3=6'3(cm)

한편, PÕAÓ=PBÓ, ∠APB=60ù이므로 △PAB는 정삼각형이다.

∴ ABÓ=PÕAÓ=6'3(cm)  6'3`cm

직각삼각형 ACB에서 ACÓ="Ã5Û`+12Û`='¶169=13(cm) BDÓ=BEÓ, CFÓ=CEÓ이므로

ADÓ+AFÓ =(ABÓ+BDÓ)+(ACÓ+CFÓ)

=(ABÓ+BEÓ)+(ACÓ+CEÓ)

=ABÓ+(BEÓ+CEÓ)+ACÓ

=ABÓ+BCÓ+ACÓ

=5+12+13=30(cm)

이때 ADÓ=AFÓ이므로 ADÓ= 12 _30=15(cm)  15`cm

11

(△ABC의 둘레의 길이)=2(ADÓ+BEÓ+CFÓ)이므로 30=2(3+x+5), 2x=14 ∴ x=7

∴ BEÓ=7(cm)  7`cm

13

△ABC에서 ∠C=180ù-(50ù+66ù)=64ù 이때 CEÓ=CFÓ이므로 △CFE는 이등변삼각형이다.

2(ADÓ+BEÓ+CEÓ)=2_(6+4+2)=24(cm)  24`cm A

15

원 O의 반지름의 길이가 4`cm이므로 ABÓ=2_4=8(cm)

이때 ADÓ+BCÓ=ABÓ+CDÓ=8+12=20(cm)이므로

ABCD‌‌= 12 _(ADÓ+BCÓ)_8‌ ‌

= 12 _20_8=80(cmÛ`)  80`cmÛ`

16

ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ=4+8=12(cm) 이때 ABÓ=CDÓ이므로

ABÓ= 12 _12=6(cm)

두 꼭짓점 A, D에서‌BCÓ에 내린 수선의 발을 각각 H, I라고 하면

HIÓ=ADÓ=4(cm)이므로 BHÓ= 12 _(8-4)=2(cm)‌

따라서 직각삼각형 ABH에서 AÕHÓ="Ã6Û`-2Û`='¶32=4'2(cm)이 므로 원 O의 지름의 길이는 4'2`cm이다.  4'2`cm

17

OÕAÓ를 그으면

OÕAÓ =ODÓ

=6+4=10(cm) yy 30%

직각삼각형 OAC에서

ACÓ="Ã10Û`-6Û`='¶64=8(cm) yy 30%

∴ ABÓ=2ACÓ=2_8=16(cm) yy 40%

 16`cm

18

BEÓ=x`cm라고 하면 BDÓ=BEÓ=x(cm)‌‌ yy 20%

AFÓ=ADÓ=9-x(cm), CFÓ=CEÓ=10-x(cm)‌ yy 40%

이때 ACÓ=AFÓ+CFÓ이므로 7=(9-x)+(10-x) 2x=12 ∴ x=6

∴ BEÓ=6(cm)‌‌ yy 40%

 6`cm

19

ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ=18+12=30(cm)‌ yy 50%

이때 ABÓ`:`CDÓ=2`:`3이므로

CDÓ=30_ 32+3=18(cm)‌‌ yy 50%

 18`cm

A

O 4`cm

8`cm

B C

D

H I

A C B

D O

6 cm

4 cm

20

점 O에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하면 AHÓ= 12 `ABÓ=1

2 _10=5(cm)

OAÓ를 긋고 큰 원의 반지름의 길이를 R`cm, 작은 원의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 직각삼각형 OAH에서

RÛ`=5Û`+rÛ` ∴ RÛ`-rÛ`=25

∴ (색칠한 부분의 넓이) =pRÛ`-prÛ`‌‌

=p(RÛ`-rÛ`)‌‌

=25p(cmÛ`)  25p`cmÛ`

21

△ADOª△AEO (RHS 합동)이므로

∠DAO‌‌=∠EAO‌ ‌

= 12 ∠DAE‌

= 12 _60ù=30ù

△AOD에서

ADÓ=6`cos`30ù=6_ '3

2 =3'3(cm)

BCÓ와 원 O의 접점을 F라고 하면 ADÓ=AEÓ, BFÓ=BDÓ, CFÓ=CEÓ 이므로

(△ACB의 둘레의 길이) =ACÓ+CBÓ+BÕAÓ‌ ‌

=ACÓ+(CFÓ+BFÓ)+BÕAÓ‌ ‌

=ACÓ+(CEÓ+BDÓ)+BÕAÓ

=(ACÓ+CEÓ)+(BDÓ+BÕAÓ)‌ ‌

=AEÓ+ADÓ=2ADÓ‌ ‌

=2_3'3=6'3(cm)  6'3`cm

22

CEÓ=CÕAÓ=6(cm), DEÓ=DBÓ=10(cm)이므로 CDÓ=6+10=16(cm)

꼭짓점 C에서 BDÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하면 HBÓ=CÕAÓ=6(cm)이므로 DHÓ=10-6=4(cm)

직각삼각형 CHD에서

CHÓ="Ã16Û`-4Û`='¶240=4'¶15(cm)

즉, ABÓ=CHÓ=4'¶15(cm)이므로 원 O의 반지름의 길이는 12 _4'¶15=2'¶15(cm)

따라서 OEÓ를 그으면 OEÓ⊥CDÓ이고 OEÓ=2'¶15`cm이므로

COD‌‌= 12 _16_2'¶15‌

=16'¶15(cmÛ`)  16'¶15`cmÛ`

O

A H B

10`cm

60° A

B F D

C E 6`cm O

A B

C E D

O

6`cm H10`cm

Ⅱ- 2. 원주각

Ⅱ. 원의 성질

2. 원주각

관련 문서