09. 경우의 수
72~73쪽
01 1부터 6까지의 수 중에서
⑴ 4보다 큰 수는 5, 6이므로 구하는 경우의 수는 2
⑵ 8의 약수는 1, 2, 4이므로 구하는 경우의 수는 3
02 ⑴ 7의 배수는 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49의 7개 10의 배수는 10, 20, 30, 40, 50의 5개
두 사건은 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 경우의 수는 7+5=12
⑵ 4의 배수는 4, 8, 12, y, 48의 12개 6의 배수는 6, 12, 18, y, 48의 8개
이때 12의 배수인 12, 24, 36, 48이 중복된다.
따라서 구하는 경우의 수는 12+8-4=16
03 ⑴ 갈 때의 방법의 수는 5
그 각각에 대하여 올 때의 방법의 수는 3 따라서 구하는 방법의 수는 5_3=15
⑵ 갈 때의 방법의 수는 5
그 각각에 대하여 올 때의 방법의 수는 5 따라서 구하는 방법의 수는 5_5=25
04 ⑴ 3_2=6
⑵ 2_2_3=12
05 ⑴ 모든 경우의 수는 2_2=4이고 2개의 동전이 모두 뒷면이 나오는 경우의 수는 1이므로 구하는 경우의 수는
4-1=3
⑵ 모든 경우의 수는 6_6=36이고 나오는 눈의 수의 합이 3 이하인 경우는
(1, 1), (1, 2), (2, 1) 의 3가지이므로 구하는 경우의 수는
36-3=33
Ⅲ
● ● ●개념확인● ● ●
01 ⑴ 2 ⑵3 02 ⑴ 12 ⑵ 16 03 ⑴ 15 ⑵ 25 04 ⑴ 6 ⑵ 12 05 ⑴ 3 ⑵ 33
핵심유형
1
⁄ 합이 4인 경우(1, 3), (2, 2), (3, 1)의 3가지
¤ 합이 5인 경우
(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)의 4가지 따라서 구하는 경우의 수는
3+4=7
1-1 ⁄ 차가 0인 경우
⁄(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)의 6가지
¤ 차가 1인 경우
⁄(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 5),
⁄(5, 4), (5, 6), (6, 5)의 10가지
‹ 차가 2인 경우
⁄(1, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 5), (4, 2), (4, 6), (5, 3),
⁄(6, 4)의 8가지 따라서 구하는 경우의 수는
6+10+8=24
1-2 ⁄ x=1일 때, y…7이므로 조건을 만족시키는 순서쌍 (x, y)는
⁄(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7) 의 7개
¤ x=2일 때, y…4이므로 조건을 만족시키는 순서쌍 (x, y)는
⁄(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4)의 4개
‹ x=3일 때, y…1이므로 조건을 만족시키는 순서쌍 (x, y)는
⁄(3, 1)의 1개
따라서 구하는 순서쌍의 개수는 7+4+1=12
1-3 10부터 99까지의 자연수 중에서 2로 나누어떨어지는 자연 수는 45개, 3으로 나누어떨어지는 자연수는 30개, 2와 3의 최소공배수인 6으로 나누어떨어지는 자연수는 15개이다.
따라서 2 또는 3으로 나누어떨어지는 자연수의 개수는 45+30-15=60
74~75쪽
● ● ●핵심유형으로개념정복하기● ● ●
핵심유형 1 ④
1-1 24 1-2⑤ 1-360
핵심유형 2 12
2-1 24 2-220 2-314
핵심유형 3 9
3-1 5 3-2720 3-312
핵심유형 4 ③
4-1 ① 4-2② 4-3② 해(44-64)굿비고등수하-ok 2018.4.13 3:32 PM 페이지44
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핵심유형
2
a가 될 수 있는 것은 1, 2, 3, 4의 4개이고 그 각각에 대하여 b가 될 수 있는 것은 1, 3, 5의 3개이므로 순서쌍 (a, b)의 개수는 4_3=12∴ n(C)=12
2-1 햄버거를 고르는 방법은 4가지이고, 그 각각에 대하여 감자 튀김을 고르는 방법은 2가지, 또 그 각각에 대하여 음료를 고르는 방법은 3가지이다.
따라서 만들 수 있는 세트 메뉴의 개수는 4_2_3=24
2-2 240=2› _3_5이므로 240의 양의 약수는
2å _3∫ _5ç (단, a=0, 1, 2, 3, 4, b=0, 1, c=0, 1) 의 꼴이다. 이때 a, b, c가 될 수 있는 수는 각각 5개, 2개, 2개 이다.
따라서 240의 양의 약수의 개수는 5_2_2=20
[참고]
a, b, c가 서로 다른 소수이고 p, q, r가 자연수일 때
⑴ (`aπ _bœ 의 양의 약수의 개수)=(p+1)(q+1)
⑵ (`aπ _bœ _c® 의 양의 약수의 개수)
=(p+1)(q+1)(r+1)
2-3 중간에 B지점을 지나는 경우와 B지점을 지나지 않는 경우 로 나누어 생각한다.
⁄ A ⁄ B ⁄ C로 가는 경우：4_3=12(가지)
¤ A ⁄ C로 가는 경우：2가지
따라서 구하는 방법의 수는 12+2=14
핵심유형
3
a¡+1이므로 a¡이 2, 3, 4인 경우에 대 하여 a™+2, a£+3, a¢+4인 경우를 수형도로 나타내면 오른쪽과 같다.따라서 구하는 자연수의 개수는 9이다.
3-1 주어진 정사면체의 꼭짓점 A에서 출 발하여 꼭짓점 D까지 이동하는 경우 를 수형도로 나타내면 오른쪽과 같다.
따라서 구하는 방법의 수는 5이다.
3-2 다른 영역과 가장 많이 인접한 B영역을 먼저 칠하는 것이 좋다.
B에 칠할 수 있는 색은 5가지, A와 C 에 칠할 수 있는 색은 B에 칠한 색을 제외한 4가지, D에 칠할 수 있는 색은 B, C에 칠한 색을 제외한 3가지, E에 칠할 수 있는 색은 B, D에 칠한 색을 제외한 3가지이다.
따라서 구하는 경우의 수는 5_4_4_3_3=720
3-3 ⁄ 지불할 수 있는 방법의 수
⁄100원짜리 동전으로 지불할 수 있는 방법은
⁄ 0개, 1개의 2가지
⁄50원짜리 동전으로 지불할 수 있는 방법은
⁄ 0개, 1개, 2개, 3개, 4개의 5가지
⁄10원짜리 동전으로 지불할 수 있는 방법은
⁄ 0개, 1개, 2개, 3개의 4가지
⁄이때 0원을 지불하는 경우를 제외해야 하므로 지불할 수 있는 방법의 수는
a=2_5_4-1=39
¤ 지불할 수 있는 금액의 수
⁄50원짜리 동전 2개로 지불할 수 있는 금액과 100원짜리 동전 1개로 지불할 수 있는 금액이 같으므로 100원짜리 동전 1개를 50원짜리 동전 2개로 바꾸면 지불할 수 있는 금액의 수는 50원짜리 동전 6개, 10원짜리 동전 3개로 지불할 수 있는 금액의 수와 같다.
⁄50원짜리 동전으로 지불할 수 있는 금액은 0원, 50원, 100원, y, 300원의 7가지
⁄10원짜리 동전으로 지불할 수 있는 금액은 0원, 10원, 20원, 30원의 4가지
⁄이때 0원을 지불하는 경우를 제외해야 하므로 지불할 수 있는 금액의 수는
b=7_4-1=27
⁄, ¤에 의하여 a-b=12
핵심유형
4
구하는 자연수의 개수는 1부터 100까지의 자연수 100개에 서 10과 서로소가 아닌 자연수의 개수를 뺀 것과 같다.10과 서로소가 아닌 자연수는 2의 배수 또는 5의 배수이고, 1에서 100까지의 자연수 중에서 2의 배수의 개수는 50, 5의 배수의 개수는 20, 2의 배수이면서 5의 배수, 즉 10의 배수 의 개수는 10이므로 10과 서로소가 아닌 자연수의 개수는
50+20-10=60 따라서 구하는 자연수의 개수는
100-60=40
4-1 구하는 경우의 수는 전체의 경우의 수에서 눈의 수의 곱이 홀수인 경우의 수를 뺀 것과 같다.
A B C
E D
a¡ a™ a£ a¢
11 2 1 3 3111 2 21 1 4
11 4 1 2 4111 2 21 1 3
11 4 1 3 31 4 1 1 41 1 1 3 21
B1C1 D B1D C1B1 D C1D D A1 해(44-64)굿비고등수하-ok 2018.4.13 3:32 PM 페이지45
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76~77쪽
● ● ●기출문제로내신대비하기● ● ●
01 ③ 02 ④ 03 ⑤ 04 ④
05 7 06 24 07 11 08 26
09 7 10 18 11 167 12 ③
13 35 14 13 15 10
01 빨간색 꽃을 고르는 경우는 5가지이고, 그 각각에 대하여 흰색 꽃을 고르는 경우는 2가지, 또 그 각각에 대하여 노란색 꽃을 고 르는 경우는 3가지이다.
따라서 만들 수 있는 꽃다발의 개수는 5_2_3=30
02 ⁄ x=1일 때, y+2z=7을 만족시키는 자연수 y, z의 순서쌍 (y, z)는 (1, 3), (3, 2), (5, 1)의 3개
¤ x=2일 때, y+2z=4를 만족시키는 자연수 y, z의 순서쌍 (y, z)는 (2, 1)의 1개
⁄, ¤에 의하여 구하는 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 3+1=4
세 주사위 A, B, C를 동시에 던졌을 때 일어나는 전체의 경 우의 수는 6_6_6=216
눈의 수의 곱이 홀수인 경우의 수는 3_3_3=27
따라서 구하는 경우의 수는 216-27=189
4-2 세 자리의 자연수의 개수는 999-99=900
숫자 7이 들어 있지 않은 세 자리의 자연수는 백의 자리에는 0, 7이 없고, 십의 자리와 일의 자리에는 각각 7이 없으므로 그 개수는
8_9_9=648
따라서 숫자 7이 적어도 하나 들어 있는 세 자리의 자연수의 개수는
900-648=252
4-3 서로 다른 동전 6개를 동시에 던졌을 때 나오는 모든 경우의 수는 2_2_2_2_2_2=64
앞면이 1개 나오는 경우의 수는 6 앞면이 나오지 않는 경우의 수는 1 따라서 앞면이 2개 이상 나오는 경우의 수는
64-(6+1)=57
03 (a+b+c)(p+q+r)의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는 3_3=9
(a+b)(s+t)의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는 2_2=4
위의 두 전개식 중에서 동류항은 없으므로 구하는 항의 개수는 9+4=13
04 주사위를 두 번 던져 나온 눈의 수의 합이 짝수가 되는 것은 (홀수, 홀수) 또는 (짝수, 짝수)
인 경우이다.
따라서 구하는 경우의 수는 3_3+3_3=18
05 이차방정식 x¤ +ax+b=0이 실근을 가지려면 판별식을 D라 할 때, D=a¤ -4bæ0이어야 한다.
⁄ b=0일 때, a¤ æ0이므로 조건을 만족시키는 순서쌍
⁄(a, b)는 (0, 0), (1, 0), (2, 0), (3, 0)의 4개
¤ b=1일 때, a¤ -4æ0이므로 조건을 만족시키는 순서쌍
⁄(a, b)는 (2, 1), (3, 1)의 2개
‹ b=2일 때, a¤ -8æ0이므로 조건을 만족시키는 순서쌍
⁄(a, b)는 (3, 2)의 1개 따라서 구하는 순서쌍 (a, b)의 개수는
4+2+1=7
06 ⁄ 집 ⁄ 학교 ⁄ 도서관` ⁄ 집
⁄ 2_2_3=12
¤ 집 ⁄ 도서관` ⁄ 학교 ⁄ 집
⁄ 3_2_2=12
⁄, ¤에 의하여 구하는 방법의 수는 12+12=24
07 ⁄ 1번 공을 A™에 넣는 경우
¤A£, A¢, A∞에 3, 4, 5번의 공을 넣는 방법은 다음 2가지이다.
¤ (A£, A¢, A∞) : (4, 5, 3), (5, 3, 4)
¤ 1번 공을 A£에 넣는 경우
¤A™, A¢, A∞에 3, 4, 5번의 공을 넣는 방법은 다음 3가지이다.
¤ (A™, A¢, A∞) : (3, 5, 4), (4, 5, 3), (5, 3, 4) 1번 공을 A¢ 또는 A∞에 넣는 경우의 방법도 각각 3가지씩이므 로 구하는 방법의 수는
2+3_3=2+9=11 1 2 3 4 5
A¡ A™ A£
A¢ A∞ 해(44-64)굿비고등수하-ok 2018.4.13 3:32 PM 페이지46
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10. 순열
78~79쪽
02 ⑴4P2=4_3=12
⑵6P1=6
⑶5P5=5_4_3_2_1=120
03 6명의 학생 중에서 3명을 뽑아 일렬로 세우는 경우의 수는
6P3=6_5_4=120
04 ⑴nP2= =n(n-1)이므로
⑴ n(n-1)=20=5_4 ∴ n=5
⑵6P0=1이므로 r=0
⑶nPn=n!이고, 24=4_3_2_1=4!이므로 n!=4! ∴ n=4
05 ⑴ 4명의 학생을 일렬로 세우는 경우의 수는 4!=4_3_2_1=24
⑵ A, B를 한 사람으로 생각하여 3명의 학생을 일렬로 세우는 경우의 수는
3!=3_2_1=6
⑶이때 A, B의 자리를 정하는 방법의 수가 2이므로 구하는 경 우의 수는
6_2=12
⑶ ⁄ A, B를 일렬로 세우는 경우의 수는 2
⑶¤ ⁄에서 세운 것의 사이사이와 양 끝의 3개의 자리에 C, D를 세우는 경우의 수 는
3P2=3_2=6
⑶⁄, ¤에 의하여 구하는 경우의 수는 2_6=12
A B
C D n!
(n-2)!
● ● ●개념확인● ● ●
01 ⑴ ∞P∞ ⑵ ¡ºP™ 02 ⑴ 12 ⑵ 6 ⑶ 120 03 120 04 ⑴ 5 ⑵ 0 ⑶ 4 05 ⑴ 24 ⑵ 12 ⑶ 12
13 카드에 적혀 있는 숫자를 곱하여 만들 수 있는 자연수 N은 N=1_2π _3œ _5® =2π _3œ _5®
(p=0, 1, 2, 3, q=0, 1, 2, r=0, 1, 2) 과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.
이때 2장 이상의 카드를 뽑아야 하므로 2‹ _3¤ _5¤ 의 약수 중에 서 1을 제외한 경우이다.
따라서 구하는 자연수의 개수는 (3+1)(2+1)(2+1)-1=35
14 세 자리 자연수이므로 백의 자리에는 0을 제외한 3개의 숫자가 올 수 있고, 짝수이므로 일의 자리에는 0 또는 2가 올 수 있다.
⁄ 일의 자리의 숫자가 0인 경우
백의 자리에 3개, 십의 자리에 3개의 숫자가 올 수 있으므로 짝수의 개수는
⁄ 3_3=9 yy ❶
¤ 일의 자리의 숫자가 2인 경우
백의 자리에 2개, 십의 자리에 2개의 숫자가 올 수 있으므로 짝수의 개수는
⁄ 2_2=4 yy ❷
⁄, ¤에 의하여 구하는 짝수의 개수는
9+4=13 yy ❸
15 이차방정식 ax¤ +bx+c=0의 판별식을 D라 하면 허근을 가 져야 하므로 a+0이고 D=b¤ -4ac<0이어야 한다.
∴ ac>;4!;b¤ yy ❶
⁄ b=0일 때,
ac>0에서 a<{1, 2, 6}, c<{1, 2, 6}, a+c이므로 부등식 을 만족시키는 순서쌍 (a, c)는
(1, 2), (1, 6), (2, 1), (2, 6), (6, 1), (6, 2)의 6개
¤ b=1일 때,
¤ac>;4!;에서 a<{2, 6}, c<{2, 6}, a+c이므로 부등식을 만
¤족시키는 순서쌍 (a, c)는 (2, 6), (6, 2)의 2개
‹ b=2일 때,
¤ac>1에서 a<{1, 6}, c<{1, 6}, a+c이므로 부등식을 만 족시키는 순서쌍 (a, c)는
(1, 6), (6, 1)의 2개
› b=6일 때,
¤ac>9이므로 이 부등식을 만족시키는 순서쌍 (a, c)는 없
다. yy ❷
⁄~›에 의하여 구하는 순서쌍 (a, b, c)의 개수는
6+2+2=10 yy ❸
채점 기준 배점
❶ 일의 자리 숫자가 0인 짝수의 개수 구하기
❷ 일의 자리 숫자가 2인 짝수의 개수 구하기
❸ 짝수의 개수 구하기
40 % 40 % 20 %
채점 기준 배점
❶ a, b, c의 관계식 구하기
❷ b의 값에 따른 순서쌍 (a, c)의 개수 각각 구하기
❸ 순서쌍 (a, b, c)의 개수 구하기
30 % 50 % 20 % 해(44-64)굿비고등수하-ok 2018.4.13 3:32 PM 페이지48
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핵심유형
1
‘남남여여여’의 순서로 버스를 타면 된다.이때 남학생 2명의 순서를 정하는 경우의 수는 2!=2이고, 여학생 3명의 순서를 정하는 경우의 수는 3!=6이다.
따라서 구하는 경우의 수는 2_6=12
1-1 ⑴nP3=210에서
⑴ n(n-1)(n-2)=7_6_5
⑴ ∴ n=7
⑵nP4=6_nP2에서
⑴ n(n-1)(n-2)(n-3)=6n(n-1)
⑴ (n-2)(n-3)=3_2 (∵ næ4)
⑴ n-2=3 ∴ n=5
1-2 서로 다른 4개의 문자에서 3개를 선택하여 만들 수 있는 문 자열의 개수는
¢P£=24
1-3 6명의 학생이 한 줄로 설 때, 남학생의 자리를 , 여학생의 자리를 라 하면
⁄ ` ` ` ` ` 로 서는 방법의 수
⁄ 인 3자리에 남학생 3명이 서는 방법의 수는 3!=6이 고, 인 3자리에 여학생 3명이 서는 방법의 수가 3!=6 이므로 6명이 서는 방법의 수는
⁄ 6_6=36
¤ ` ` ` ` ` 로 서는 방법의 수
¤⁄의 경우와 마찬가지로 36이다.
따라서 구하는 방법의 수는 36+36=72
1-4 8개 중 r개를 뽑아 일렬로 나열하는 방법의 수는 8개 중 r개 를 택하는 순열의 수와 같으므로
8Pr=336=8_7_6
∴ r=3
80~81쪽
● ● ●핵심유형으로개념정복하기● ● ●
핵심유형 1 12
1-1⑴ 7 ⑵ 5 1-224 1-3② 1-43
핵심유형 2 ③
2-1288 2-2480 2-314400 2-43
핵심유형 3 144
3-1⑴ 120 ⑵ 960 3-2144 3-3108 3-44320
핵심유형 4 ⑴ 96 ⑵ 36 4-172
핵심유형 5 53번째 5-1③
핵심유형
2
여학생 2명을 묶어서 한 명으로 생각하여 5명의 순서를 정 하는 경우의 수는 5!=120이때 여학생 2명의 순서를 정하는 경우의 수는
이때 여학생 2명의 순서를 정하는 경우의 수는